Brevet blanc de mathématiques

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1 Brevet blanc de mathématiques avril 2011 L'usage de la calculatrice est autorisé. I Activités numériques 12 points II Activités géométriques 12 points III Problème 12 points Qualité de rédaction et présentation 4 points Le sujet est à rendre avec la copie. Rappel de quelques formules pouvant s'avérer utiles : 1. L'aire d'un triangle rectangle est donné par a b longueurs des deux cotés formant l'angle droit de ce triangle. 2 où a et b désignent les 2. Le volume d'un cône est donné par 1 3 B h où B désigne l'aire de la base du cône et h désigne sa hauteur. 3. Le volume d'une boule est donné par 4 3 r 3 où r désigne le rayon de la boule.

2 Activités numériques Exercice 1 : Jean-Charles et son frère Paul-Henri souhaitent gâter leur mère pour son anniversaire. Ils disposent de 180 et profitent des soldes. 1. Dans la vitrine d'une bijouterie, ils aperçoivent de superbes boucles d'oreilles à 120. Calculer le prix des boucles d'oreilles après une remise de 25% =120 0,75=90 Le prix des boucles d'oreilles après une remise de 25% est donc de Dans la même bijouterie, ils aperçoivent une magnifique bague. Après une remise de 20%, le prix de la bague est de 78,4. Quel était son prix initial? Soit x le prix de la bague avant la remise. On a 20 1 x 100 =78,4 soit x 0,8=78,4 D'où x= 78,4 0,8 =98 Le prix initial de la bague était de En s'apprêtant à sortir de la bijouterie, Jean-Charles est sous le charme d'un pendentif en nacre. Pour l'acheter, il ne devra dépenser que 21 au lieu des 28 que ce pendentif coutait avant les soldes. Déterminer le pourcentage de la remise effectuée sur le prix de ce pendentif. Soit x le pourcentage de remise. On a x =21 d'où 1 x 100 =21 28 =0,75 alors x 100 =0,25 et finalement x=25 La remise effectuée sur le pendentif est donc de 25%. 4. Les deux frères auront-ils assez d'argent pour acheter les trois articles? Si oui, combien d'argent leur reste-t-il? Si non, combien d'argent leur manque-t-il? On calcul d'une part le coût de l'achat des trois articles 90 78,4 21=189,4 Les deux frères ne disposant que de 180 il leur manque 9,4 pour les acheter tous les trois. Exercice 2 : Lors d'un contrôle, une classe de 3ième a obtenue les notes suivantes :

3 Compléter le tableau suivant en rangeant toutes les notes par ordre croissant. Notes Effectifs Quel est l'effectif total de cette classe? L'effectif total de cette classe est égal à la somme des effectifs par note soit : =28 Il y a donc 28 élèves dans cette classe. 2. Quelle est la moyenne des notes de cette classe? (Arrondir le résultat au dixième) Calcul de la moyenne : = La moyenne de la classe est donc de 289 soit environ de 10, Donner la médiane de ces notes. L'effectif total de la classe étant de 28 élèves, il faut considérer les notes du 14ième et 15ième élève (les élèves étant rangés par ordre croissant de note). Le tableau précédent nous permet de voir rapidement que le 14ième élève à une note de 10 et le 15ième élève à une note de 11. On calcul alors la demi-somme de ces notes : =10,5 2 La médiane de cette série de notes est donc de 10,5. 4. Donner le premier et le troisième quartile de ces notes. L'effectif total de la classe est de 28 élèves =7. Le premier quartile de cette série de note correspond à la note du 7ième élève soit =21. Le troisième quartile de cette série de note correspond à la note du 21ième Exercice 3 : élève soit 13. Soit A = 1 4 [ a b 2 a b 2 ] 1. Calculer A pour a = 1 et b = 5. A = 1 4 [ ]= 1 4 [ ]= 1 4 [36 16]= =5 2. Calculer A pour a = 2 et b = 3. A = 1 4 [ ]= 1 4 [ ]

4 A = 1 4 [ ]= 1 4 [ ]= 1 4 [ 8 3]= Alex affirme que le nombre A est égal au produit des nombres a et b. A-t-il raison? Justifier. A = 1 4 [ a b 2 a b 2 ]= 1 4 [ a2 2ab b 2 a 2 2ab b 2 ]= 1 4 [a2 2ab b 2 a 2 2ab b 2 ]= 1 4 [ 4ab] A = ab A est donc bien égal au produit de a par b. Exercice 1 : L unité de longueur est le centimètre. ABCD est un carré tel que : AB = 4. ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES Le point M est situé dans le carré ABCD et vérifie : AM = 2,4 et DM =3,2. La droite (AM) coupe la demi-droite [DC) au point I. 1. Faire une figure en vraie grandeur. 2. Montrer que le triangle AMD est rectangle en M. Dans le triangle AMD le coté le plus est AD. D'une part AD 2 =4 2 =16. D'autre part AM 2 DM 2 =2,4 2 3,2 2 =5,76 10,24=16. On a donc AD 2 =AM 2 DM 2. D'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle AMD est rectangle en M. 3. Calculer au degré près la mesure de l'angle DAM. Dans le triangle AMD rectangle en M on a : tan DAM= DM AM = 3,2 2,4 = 4 3. A l'aide de la calculatrice on en déduit que DAM Dans le triangle ADI rectangle en D, exprimer tan DAI. En déduire une valeur approchée au mm près de la longueur DI.

5 Dans le triangle ADI rectangle en D on a tan DAI= DI DA. On en déduit que DI=DA tan DAI. En remarquant que DAM= DAI (les points A, M et I étant alignés) il vient DI=DA tan DAM=4 4 3 = ,3 cm. Exercice 2 : Un jouet a la forme d une demi boule surmontée d un cône de révolution de sommet A, comme l indique la figure ci contre. Le segment [BC] est un diamètre de la base du cône. Le point O est le centre de cette base. On donne AB = 7,5cm et BC = 9cm. 1. Construire en vraie grandeur le triangle rectangle AOB. [BC] étant un diamètre de la base du cône et O étant le centre de cette base, on en déduit que O est le milieu de [BC] et donc que BO= BC 2 = 9 2 =4,5cm. 2. Calculer la valeur exacte de AO. Le triangle ABO est rectangle en O. D'après le théorème de Pythagore : AO 2 =AB 2 OB 2 =7,5 2 4,5 2 =56,25 20,25=36 On en déduit AO= 36=6cm 3. Calcule la valeur exacte du sinus de l angle OBA. En déduire une mesure de l angle (on donnera le résultat arrondi au degré près). Le sinus de l'angle OBA est par définition égal au rapport de la longueur du coté opposé à cet angle par la longueur de l'hypoténuse du triangle, soit : sin OBA= OA BA = 6 7,5. A l'aide de la calculatrice on en déduit une mesure approchée de l'angle : OBA 53 On se propose à présent de calculer le volume du jouet (cône et demi boule réunis) 4. Calcule le volume (exact et arrondi au cm 3 ) du cône de révolution.

6 Calculons dans un premier temps l'aire de la base du cône : B= BO 2 = 4,5 2 =20,25 cm 2 On en déduit le volume exact du cône : V cône = 1 3 B OA=1 3 20,25 6=40,5 cm3, et son volume arrondi au cm 3 : V cône 127 cm Calcule le volume (exact et arrondi au cm 3 ) de la demi-boule. Le volume exact de la demi-boule est donné par : V demi boule = BO3 =2 3 4,53 =60,75 cm 3, et son volume arrondi au cm 3 : V demi boule 191 cm 3 6. Déduire des deux questions précédentes le volume (arrondi au cm 3 ) du jouet. Le volume du jouet est tout simplement donné par la somme des volumes du cône et de la demi-boule soit : V jouet =V cône V demi boule =40,5 60,75 =101,25 318cm 3. PROBLEME : Les trois parties sont indépendantes Deux frères ont hérité d un terrain que l on peut assimiler à un triangle rectangle. L aire de ce terrain est égale à 2400m 2. Ils désirent construire un muret afin de partager ce terrain en deux parcelles de même aire, soit 1200m 2 par parcelle. Pour cela, on partage le terrain selon un segment [MN], M et N étant respectivement sur les côtés [CB] et [CA]. Les droites (MN) et (AB) sont parallèles. Dans tout ce problème, l unité de longueur est le mètre. On donne : AB = 60 et BC = 80. Partie A : Dans cette partie : CM = Justifier que MN = 37,5. Les points C, N, A et C, M, B sont alignés et dans le même ordre. De plus (AB) et (MN) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : CM CB = CN CA =MN AB Donc en particulier On en déduit que =MN 60

7 MN= =37,5 2. Justifier que le triangle CMN est rectangle en M (tu pourras utiliser une propriété connue depuis la sixième). (AB) est parallèle à (MN) et (BC) est perpendiculaire (AB), or si deux droites sont parallèles entre elles et qu'une troisième droite est perpendiculaire à l'une alors cette troisième droite est aussi perpendiculaire à l'autre. Par conséquent (BC) est aussi perpendiculaire à (MN) et le triangle CMN est rectangle en M. 3. Comparer les aires du triangle CMN et du trapèze ANMB après les avoir calculées. Calculons l'aire du triangle rectangle CMN : A CMN = MN CM = 37,5 50 =937,5 m Pour calculer l'aire du trapèze ANMB on se propose de ne pas utiliser la formule de l'aire d'un trapèze mais de remarquer que cette aire est égale à l'aire du triangle ABC (c'est-à-dire l'aire du terrain qui est donnée à 2400m 2 ) à laquelle on soustrait l'aire du triangle CMN que l'on vient de calculer : A ANMC =A ABC A CMN = ,5=1462,5 m 2 4. Pour que les deux aires soient égales, doit-on placer le point M à plus de 50 m de C ou à moins de 50 m de C? Nous venons de voir que si le point M est situé à 50 m de C l'aire du terrain représenté par le triangle CMN n'est que de 937,5m 2 alors qu'il devrait être de 1200m 2 pour que le partage soit équitable. Il faut donc clairement placer le point à plus de 50 m de C pour augmenter l'aire de ce terrain. Partie B : On veut déterminer la distance CM pour laquelle l aire du triangle CNM est égale à 1200m 2. On pose CM = x. 1. Démontrer que MN= 3 4 x. Les points C, N, A et C, M, B sont alignés et dans le même ordre. De plus (AB) et (MN) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : CM CB = CN CA =MN AB Donc en particulier On en déduit que x 80 =MN 60 MN= 60 x 80 = x=3 4 x 2. Démontrer que l aire du triangle CNM, exprimée en m 2, a pour mesure 3 8 x 2.

8 Le triangle CMN étant rectangle (pour les mêmes raisons que dans la partie A du problème), l'aire de ce triangle est donnée par : 3 A CMN = MN MC 4 x x 3 4 x 2 = = =3 8 x 2 3. Soit f la fonction qui, au nombre x appartenant à l intervalle [0; 80], associe l aire du triangle CMN. On note f : x 3 8 x 2. On a construit ci-dessous la courbe représentative de la fonction f. a) À l aide de cette courbe, détermine la valeur de x pour laquelle les deux parcelles ont la même aire. Tu feras apparaître en vert les tracés sur le graphique et tu donneras sur ta copie une valeur approchée de x. Sur le graphique ci-contre nous avons fait apparaître qu'il n'y a visiblement qu'un seul antécédent à la valeur 1200 par la fonction f. Cet unique antécédent semble être environ égal à 57. b) En résolvant une équation, déterminer la valeur exacte de x en mètre pour laquelle les deux parcelles ont la même aire. On cherche x tel que : 3 8 x 2 =1200 ; x = 3 8 ; x 2 = ; x 2 = ; x 2 =3200 Finalement x= 3200= = =40 2. c) En déduire la valeur exacte de la longueur MN du muret en mètre puis donne une valeur approchée au décimètre près de MN.

9 On a démontré à la première question de cette partie que MN= 3 4 x, on en déduit la valeur exacte de MN : MN= =30 2m puis sa valeur approchée au décimètre MN 42,4m. Partie C : 1. Le muret est construit avec des briquettes de 20 cm de longueur et de 10 cm de hauteur. Calculer le nombre de briquettes nécessaires à la construction de ce muret de 42,20 m de longueur et de 1 m de hauteur. 1 Pour que le mur ait la bonne hauteur il faut empiler 10 briques ( ). Pour que le mur ait la 0,1 bonne longueur il faut aligner 211 briques ( 42,2 ). Pour monter le mur il faudra donc 0,2 maçonner 10 ligne de 211 briques soit 2110 briques au total. 2. Sachant que les briquettes sont conditionnées par paquet de 20 et qu'un paquet coûtent 35, calculer le coût du muret. Calculons dans un premier temps le nombre de paquet de briquettes nécessaire en effectuant la division euclidienne de 2110 par 20 : 2110= Il faudra donc se procurer 106 paquets de briquettes (avec 105 paquets il manquerait 10 briquettes), et le coût de cet achat sera de : =3710.

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