u ; = 1 et z z = z 2 4z

Transcription

1 Exercice (contrôle 06/07) ) Montrer que i est un imaginaire pur. ) On donne : 3 4i et 5 + i 3 alculer ( ) Re et m Exercice (accompagnement 06/07) u ; v ). Unité graphique : 5cm Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (O ; ompléter la figure au fur et à mesure. On considère les points et d'affixes respectives et i et on définit l'application f qui à tout point M d'affixe et différent de O associe le point M' d'affixe ' ) a) Déterminer l'affixe du point ', image par f du point d'affixe + i. b) Montrer que les points O, et ' sont alignés. ) On pose x + iy a) Exprimer ' en fonction de x et y. b) Utiliser le calcul précédent pour montrer que les points O, M et M' sont alignés. 3) Soit E le point d'affixe E + 3 i 5 5 a) Montrer que le point E appartient à la droite (). b) Déterminer l'affixe du point E', image du point E par f. c) Montrer que les droites (E') et (E') sont perpendiculaires. d) Que peut-on en déduire de la position du point E'? e) Placer le point E'. 4) On admet que si un point M appartient à la droite () alors le point M' appartient au cercle de diamètre []. Déduire des questions précédentes la construction de l'image d'un point M de la droite (). Exercice 3 (contrôle 06/07) Le plan complexe est muni d un repère orthonormé (O ; u ; v ). On considère l application f qui, à tout point M d affixe associe le point M d affixe telle que 4 ) Soit et les points d affixes 3 + i 3 et i 3 a) Soit G le milieu du segment []. alculer l affixe du point G. b) alculer les affixes des points et, images par f des points et. Que remarque-t-on? c) Placer ces points sur une figure (unité: cm ou grands carreaux). ) Généralisation du résultat constaté à la question ) Soient M et M deux points d affixes respectives et tels que G soit le milieu du segment [ M M ]. a) Montrer que 4 b) M ' et M' sont les images respectives de M et M par f. Montrer que M ' et M' sont confondus.

2 3) a) On pose x + iy (x et y réels). alculer la partie réelle et la partie imaginaire de en fonction de x et y. b) En déduire l ensemble des points M tels que M appartienne à l axe des réels. c) Tracer en vert cet ensemble sur la figure. 4) Soit le point d affixe 3. a) Montrer que OMM est un parallélogramme si et seulement si b) Résoudre alors dans Z cette équation et placer le (ou les) point(s) correspondant(s) sur la figure. Tracer le (ou les) parallélogramme(s) obtenu(s). Exercice 4 (contrôle 06/07) Le plan complexe est muni d un repère orthonormé (O ; u ; v ). On considère l application f qui, à tout point M d affixe associe le point M d affixe telle que i ) Montrer que f admet un unique point invariant que l on note Ω. ) Montrer que pour tout point M du plan, les points Ω, M et M sont alignés. Exercice 5 (contrôle 05/06) 0 + 5i a) Montrer que est un imaginaire pur. i i( i) b) alculer m ( + i ) Exercice 6 (contrôle 05/06) Dans le plan complexe, on donne les points,, et D tels que: 3 + i i i ) Faire une figure ) Montrer que D est un parallélogramme. D + 5i Exercice 7 (contrôle 05/06) Dans le plan complexe, on donne les points, et tels que: 3 + i 5 + i 3i a) Déterminer les affixes des points ' et ' milieux respectifs des segments [] et []. b) Déterminer l'affixe du point G défini par G ' 3 c) Démontrer que les points ', G et sont alignés. Exercice 8 (contrôle 05/06) Résoudre dans Z les équations suivantes (les solutions seront toutes écrites sous forme algébrique): a) ( + i) + 3 4i 0 b) c) 3 i 5 3i

3 Exercice 9 (contrôle 05/06) i Soit un nombre complexe différent de et soit ' On pose x + iy (x et y réels). Ecrire ' sous forme algébrique puis exprimer m(') en fonction de x et y. Exercice 0 (contrôle 05/06) Le plan est rapporté au repère orthonormal direct (O ; u ; v ) (unité : 4 cm ou 4 grands carreaux) Partie ) On considère dans l ensemble des nombres complexes Z l équation (β) d inconnue : Déterminer les trois réels a, b et c tels que, pour tout Z : ( )(a + b + c) ) On admet que a, b 0 et c 4 Résoudre dans Z l équation (β) Partie On note le point d affixe i et le point d affixe. tout point M distinct de d affixe x + iy (x et y réels), on associe le point M d affixe tel que i On définit la fonction f par f(m) M ) Soit le milieu du segment []. Déterminer l affixe ' du point, image de par la fonction f. ) Faire une figure (on rappelle que l unité est de 4 cm (ou 4 grands carreaux)) et placer les points,, et. 3) Résoudre dans Z l équation i. Placer sur la figure le point D ayant pour affixe la solution. 4) a) Déterminer la forme algébrique de en fonction de x et y. x + y x y On vérifiera, en particulier, que Re( ) x + y b) Déterminer (en précisant ses éléments caractéristiques) l ensemble c des points M tels que soit un imaginaire pur. c) Montrer que D appartient à c. d) Tracer c sur la figure. Exercice (contrôle 04/05) Ecrire sous forme algébrique avec 3 i 4 + i Exercice (contrôle 04/05) Soit x + iy avec x et y réels et Z avec i. i Déterminer la forme algébrique de Z en fonction de x et y et écrire m(z) en fonction de x et y.

4 Exercice 3 (contrôle 04/05) Résoudre les équations suivantes où désigne un nombre complexe: ) + 4i + + 5i ) 3( ) i Exercice 4 (contrôle 04/05) Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; u ; v ). ) Question de cours Prérequis: et sont deux points d'affixes respectives et. L'affixe du vecteur est égale à + En utilisant le prérequis, démontrer que l'affixe du milieu du segment [] est égale à ) On considère les points,, et D d'affixes respectives 5 + 6i; 3 + 4i; + i et D 7 + 4i a) alculer l'affixe du milieu du segment []. b) Montrer que D est un parallélogramme. c) alculer l'affixe E du point E symétrique de par rapport à. Exercice 5 (contrôle 04/05) Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal (O ; u ; v ) (unité: cm), on considèr le point M d'affixe x + iy avec x et y réels. ) On considère dans l'ensemble des nombres complexes Z l'équation (β) d'inconnue : (β) a) Déterminer les trois réels a, b et c tels que, pour tout Z: ( )(a + b + c) Remarque: Si vous ne trouve pas les valeurs de a, b et c (indispensables pour la question suivante), venir me voir à mon bureau et je vous donnerai la réponse en échange des points attribués à la question ) a)... b) Résoudre dans Z l'équation (β) ) On considère les points et d'affixes respectives i et et on définit l'application f qui à tout point M d'affixe et différent de associe le point M' d'affixe Z i a) Placer les points et sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice. b) G est le point d'affixe + i et G' est son image par l'application f. Déterminer l'affixe du point G' et placer les points G et G' sur la figure. c) Résoudre dans Z l'équation Z i. On placera sur la figure le point K ayant pour affixe la solution. 3) a) Déterminer la forme algébrique de Z en fonction de x et y. x + y x y On vérifiera, en particulier, que Re(Z) x + y b) Déterminer et représenter sur la figure l'ensemble c des points M d'affixe tels que Z soit un imaginaire pur.

5 Vérifier que K c. c) Déterminer et représenter sur la figure l'ensemble Δ des points M d'affixe tels que Z soit un réel. Vérifier que G Δ. Exercice 6 (contrôle 06/07) Dans le plan complexe muni du repère orthonormé direct (O ; u ; v ), on considère les points,, et D d affixes respectives,, et D ) Restitution organisée de connaissances Prérequis : L affixe du vecteur est égal à + En utilisant le prérequis, montrer que l affixe du milieu du segment [] est égale à ) On donne : 3 + i, i, i et D 4 + 4i a) Faire une figure et placer les points,, et D. b) Démontrer que D est un parallélogramme et calculer l affixe de son centre Ω. c) Montrer que les points, O et D sont alignés. d) alculer l affixe du point E tel que DE soit un parallélogramme. Exercice 7 (contrôle 06/07) Résoudre dans Z les équations suivantes : a) i i b) i 0 Exercice 8 (contrôle 06/07) Soit x + iy un nombre complexe différent de (x et y réels) et Ecrire sous forme algébrique en fonction de x et y. Exercice 9 (contrôle 06/07) ) Déterminer l équation du cercle c de centre Ω 3 et de rayon 6 7 ) L équation suivante est-elle l équation d un cercle c? Si oui, préciser les coordonnées du centre Ω et le rayon : x + y 0x + 4y 7 0 i +

6 Exercice - orrigé ) i i i i i i ) 3 i i est bien un imaginaire pur i i i + i i 5 + i i i 5 i i 3 donc Re( ) 0 ( 3 4i)( 5 i) 3 4i 5 3i 0i + 4i 5 3i 0i 4 3i 5 + i 5 + i 5 i donc m 3 6 Exercice - orrigé ) a) L'affixe ' du point ' est égale à: ' + i + i + i + i i i + i b) L'affixe du vecteur O est égale à O O + i L'affixe du vecteur O' est égale à O' ' O + i On constate que O 5 sont bien alignés. O' donc les vecteurs O et 5 5 O' sont colinéaires: ela signifie que O, et ' ) a) ' x + iy x + iy x + iy x iy x + iy x + y b) L'affixe du vecteur OM est égale à x + iy OM M x + iy L'affixe du vecteur OM' est égale à OM' M' x + y On constate que OM ( x + y ) OM' donc les vecteurs OM et OM' sont colinéaires: ela signifie que O, M et M' sont bien alignés. 3) a) i + i E E 3 + i i On constate que E 3 donc les vecteurs E et sont colinéaires: ela prouve bien que les 5 points E, et sont alignés, c'est à dire que le point E appartient à la droite ().

7 3 3 + i + i b) L'affixe du point E' est égale à E' i i c) L'affixe du vecteur L'affixe du vecteur E' est égale à E' E' est égale à E' On en déduit donc que les vecteurs et (E') sont perpendiculaires i i i i + i Les coordonnées du vecteur E' sont donc ; 3 3 et celles du vecteur 0 E' sont ; 3 3 On calcule le produit scalaire de ces deux vecteurs : E'E' E' et E' sont orthogonaux: On a bien montrer que les droites (E') d) On en déduit que le triangle E' est rectangle en E': E' appartient donc au cercle de diamètre []. 4) Le point M' est l'intersection du cercle de diamètre [] et de la droite (OM).

8 Exercice 3 - orrigé + 3+ i 3 + i 3 4 ) a) G b) ' ' 3 + i i i 3 + i 3 4i i 3 3 4i i 3 i 3 4 i 3 i 3 + i i 3 i i i 3 On constate que et sont confondus. c) + ) a) G est le milieu de [ M M ] donc : G b) Soit ' l affixe du point M ' : ' 4 Soit ' l affixe du point M' ' 4 (4 ) 4(4 ) On a ' ' donc on en déduit que M ' et M' sont confondus. 3) a) 4 (x + iy) 4(x + iy) Re( ) x y 4x x + ixy m( ) xy 4y y 4x 4iy ( x y 4x) + i(xy 4y) b) M appartient à l axe des réels donc : m( ) 0 xy 4y 0 y(x 4) 0 y 0 ou x 4 0 y 0 ou x L ensemble des points M tels que M appartienne à l axe des réels est la réunion de la droite d équation y 0 (c est à dire l axe des réels) et de la droite d équation x (voir figure (en vert)) 4) a) OMM est un parallélogramme si et seulement si : OM M' OM M' M O M' 0 3 ( 4)

9 b) a b 3 c 3 Δ ( 3) Δ < 0 donc l équation admet deux solutions complexes conjuguées égales à 3 + i i 3 Voir figure (en bleu). et 3 i 3 Exercice 4 - orrigé ) On recherche les points invariants par f en résolvant l équation : i On a bien trouvé un unique point invariant Ω d affixe 3 5i 5 3 5i i ) M M Ω Ω i i MM' M' M On constate que 5 Ω, M et M sont alignés. Exercice 5 - orrigé 0 + 5i a) i MM' donc les vecteurs M Ω M 0 + 5i + i 0 + 0i + 5i + 0i 0 + 5i 0 5i i + i i 3 + 5i 3 5i 5 5 Ω et MM' sont colinéaires : Par conséquent, les points 5i On a bien prouvé que est un imaginaire pur car la partie réelle de est nulle. b) ( i) ( + ) i m i ( i + )( 3 4i) i i i + i + m m m m 4 + 4i + i 4 + 4i 3+ 4i 3+ 4i 3 4i m m m + 6i 8i + 6 8i 6i i 4 i Exercice 6 - orrigé ) voir figure ci-contre ) ère méthode: ( i) (3 + i) i 3 i 3i D D i ( + 5i) i 5i 3i On constate que donc les vecteurs et D sont égaux: D D est bien un parallélogramme. ème méthode: Soit le milieu de [] et soit J le milieu de [D] i + i 3 + 3i

10 + D i + + 5i 3+ 3i J On constate que et J sont confondus: Les diagonales du quadrilatère D se coupent en leur milieu donc D est un parallélogramme. Exercice 7 - orrigé i 3i 5 i a) ' i 3i 3 i ' b) G ' donc G 3 3 ( ' ) G 3 + ' 3 3 c) ' ' G G + ' 3 5 i 3+ i 0 i 6 + 4i 4 + i + i i 3 i 3 i 0 4i 3 5i 5 + i + 5 i + + i i i 5 6i 3 5i 5 + i i On constate que 3 donc ' 3 ' G les points, ' et G sont bien alignés. Remarque: On sait que G 3 G : Les vecteurs ' et P sont donc colinéaires et ' donc on en déduit que les points, ' et G sont aussi alignés. Par conséquent, le point G est l'intersection de des 3 médianes du triangle c'est à dire son centre de gravité. Exercice 8 - orrigé a) ( + i) + 3 4i 0 ( +i) 3 + 4i i i 3 3i 4i 4i 3 7i 4 7i + i i + + 7i 7i 7i s b) Δ ( 4) Δ < 0 donc l'équation a deux solutions complexes conjuguées égales à 4 + i i i + i et i + i; i s { }

11 c) 3 i 5 3i On pose x + iy avec x et y réels L'équation devient: 3(x iy) i(x + iy) 5 3i 3x 3iy ix i y 5 3i 3x 3iy ix + y 5 3i (3x + y) + i( x 3y) 5 3i Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales. On a donc le système suivant: y 3x + y 5 6x + 4y 0 5y 5 x 3y 3 6x 9y 9 3x + y 5 3x 5 5 y 5 y y x 5 9 x x on a additionné les deux lignes du système précédent i donc s 5 Exercice 9 - orrigé i ' ( ix + i y) ' i x + iy ix y x iy ix ix i xy xy + y + iy x + iy x + iy x + y x + y ix ix + xy xy + y + iy y x + y x + i m(') x + y x + y x + y x + y x x + y Exercice 0 - orrigé Partie ) ( )(a + b + c) a 3 + b + c a b c a 3 + (b a) + (c b) c On sait que ( )(a 3 + b + c) doit être égal à On en déduit le système suivant en identifiant les coefficients des termes de même degré : a a b a b + a 0 c b 4 c 4 + b 4 c 4 c 4 ) L équation (β) devient : ( )( + 4) 0 0 ou ou 4 (i) ou i ou i s { ;i; i}

12 Partie + i + ) est le milieu de [] donc + i + i + i + i i ( i) ' + i i + i i i i i ) voir figure page suivante 3)pour i, l équation i équivaut à : s { + i} i i i( i) i 4i i 4 + ( i) 5 5 5( + i) + i i + 4) a) ( x + iy )( x iy + i) x + iy x ixy + ix + ixy + y y x + iy i x + iy i x + iy i x iy + i x + y x + y x y x + y + i x + y x + y b) est un imaginaire pur si et seulement si : Re( ) 0 x + y x y 0 x + y x + y x y 0 car i x + ( y ) x + ( y ) 4 ette équation caractérise un cercle de centre le point d affixe i + et de rayon Remarque : les coordonnées du point sont ( ; ) 5 + ( ) Les coordonnées de vérifient l équation du cercle ci-dessus. Or, n a pas d image par la fonction f. On en déduit que l ensemble c des points M dont l image est sur l axe des imaginaires purs est le cercle 5 de centre et de rayon privé du point c) On sait que l affixe du point D est solution de l équation i,on en déduit donc que l image de D par la fonction f a pour affixe i. Or, i est un imaginaire pur. Par conséquent, le point D appartient bien à c.

13 Exercice - orrigé ( 4 + i) 3 i 3 i 9 i + i 9 i + 4i 9 i 4 5 i 4 + i 6 + 8i + i 6 + 8i 5 + 8i 5 + 8i 5 i 5 8i 75 40i 80i + 96i 75 40i 80i 96 0i 5 + 8i 5 8i utre méthode: ( 3 i)( 4 i) 3 i 3i 8i + i 3i 8i 0 i 4 + i 4 i 4 i i 00 0i + i 00 0i + i 00 0i 0i Exercice - orrigé ( x + iy)( x iy + i) x + iy x ixy + ix + ixy i y + i y Z i x + iy i x + iy i x iy + i x + y x + ix + y y x + y y x Z + i x + y x + y x + y On a donc m(z) x x + y Exercice 3 - orrigé ) + 4i + + 5i + 4i + 5i ( + 4i) + 5i + 5i ( + 5i)( 4i) + 4i 0i 0i + 4i 0i + 0 6i 3i + 4i + 4i 4i

14 3i s 0 ) 3( ) i On pose x + iy où x et y sont des réels L'équation devient: 3(x + iy x + iy) + 5(x + iy) 7 3(x iy) i 6iy + 5x + 5iy 7 3x 3iy i 5x 7 + iy 3x +i( 3y ) 7 7 5x 7 3x x On a donc le système suivant: 5 3 y 3y y i s 7 Exercice 4 - orrigé ) milieu de [] donc: On a bien montré que i + + i 4 + 8i ) a) + 4i b) ère méthode: 3 + 4i ( 5 + 6i) 3 + 4i + 5 6i 8 i D + i ( 7 + 4i) + i + 7 4i 8 i D On constate que D donc D, ce qui prouve bien que D est un parallélogramme. ème méthode: Soit J le milieu de [D] + D J 3 + 4i 7 + 4i 4 + 8i + 4i On constate que J donc les diagonales du quadrilatère D se coupent en leur milieu: ela prouve bien que D est un parallélogramme. c) E est le symétrique de par rapport à donc est le milieu de [E] et On a donc: E E E + 8 i i E + i E

15 Exercice 5 - orrigé 3 ) a) ( )(a + b + c) a 3 + b + c a b c a 3 + (b a) + (c b) c On identifie les coefficients des termes de même degré. On obtient le système suivant: a a b a b + a 0 c b 4 c 4 + b 4 c 4 c 4 3 Par conséquent, ( )( + 4) b) (β) équivaut à: ( )( + 4) 0 0 ou ou 4 4 i (i) ou i ou i s { ; i; i} Remarque: pour résoudre l'équation Δ Δ < 0 donc l'équation ) a) + 4 0, on peut également calculer Δ a deux solutions complexes conjuguées égales à 0 + i 6 i et i.

16 c Δ G + i + i i b) G ' G i + i i i i L'affixe du point G' est égale à c) On résout: Z i i i Pour i, cette équation équivaut à: i( i) (produit en croix) i 4i i 4 + ( i) 5 5 5( + i) + i i + s { + i} L'affixe du point K est égale à + i x + iy x + iy x iy + i 3) a) Z i x + iy i x + y Z Z x ixy + ix + ixy i y + i y x + iy i x + y x ixy + ix + ixy + y y x + iy i x + y ( x + y x y ) + i ( x + y ) Z x + y

17 b) Z est un imaginaire pur si et seulement si Re(Z) 0 x + y x y 0 x + y x + y x y 0 pour (x; y) (0; ) x + ( y ) x + ( y ) 4 L'ensemble c est donc le cercle de centre G et de rayon 5 5 privé du point (*) 4 (*) Les coordonnées de sont (0; ) et les coordonnées de vérifient l'équation x + y x y 0 Or, n'a pas d'image par l'application f donc l'ensemble c ne peut pas contenir le point. On sait que l'affixe de K est solution de l'équation Z i i étant un imaginaire pur, on en déduit que K c. c) Z est un réel si et seulement si m(z) 0 x + y 0 x + y x + y 0 pour (x; y) (0; ) y x + L'ensemble Δ est donc la droite d'équation y x + privée du point (**) (**) Les coordonnées de vérifient l'équation y x + et l'ensemble Δ ne peut pas contenir le point. On sait que G ', ce qui signifie que G ' est un réel et le point G appartient donc bien à Δ. Exercice 6 - orrigé ) est le milieu de [] si et seulement si ) a) voir ci-contre b) ( i) (3 + i) i 3 i 4 i D D i (4 + 4i) i 4 4i 4 i D

18 On constate que D donc D est un parallélogramme. Le centre Ω du parallélogramme D est le milieu des diagonales : + D i i 3 + 3i Ω c) O O i OD D O 4 + 4i On constate que OD 4 par conséquent alignés. d) DE est un parallélogramme si et seulement si ED D E E D i i i E 7 + 3i E Exercice 7 - orrigé O donc les vecteurs OD et O sont colinéaires : Les points O, et D sont ED a) i i équivaut à : i i (i + 3) 4 + i 4 + i ( 4 + i)( 3 i) + 8i + 3i i 3 + i 3 + i 3 i 3 + s 0 + i 3 b) On pose x + iy avec x et y réels + 8i + 3i i i 0 équivaut à : x + iy + (x iy) + 3 4i 0 s { 4i} x + iy + x iy + 3 4i 0 (x + x + 3) + i(y y 4) 0 (3x + 3) + i( y 4) 0 3x y 4 0 x y 4

19 Exercice 8 - orrigé i + i x + iy ix y ix y x + iy ix + ix i xy xy y + iy x + iy + ( x + ) + iy x + + y x + + y ix ix xy xy y iy y x y x + i x + + y x + + y x + + y Exercice 9 - orrigé ) L équation du cercle c de centre Ω 3 7 et de rayon 6 est : (x + 3) + (y 7) 36 ) x + y 0x + 4y 7 0 équivaut à x 0x + y + 4y 7 x 0x y + 4y (x 5) 5 + (y + 7) 49 7 (x 5) + (y + 7) (x 5) + (y + 7) 8 L équation ci-dessus est l équation du cercle c de centre Ω 5 7 et de rayon 8 9