Torsion simple. Afin d avoir de la torsion pure, nous ne nous occuperons ici que des poutres ayant une section droite circulaire (pleine ou creuse).
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- Bénédicte St-Jean
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1 Chapire 4 ELTAEF aher & BEN NEJA anel Torsion simple. Définiion : Une poure es solliciée à la orsion simple si elle es soumise à deux momens opposés porés par la ligne moyenne e qui enden à la ordre ou lorsque le orseur associé aux effors de cohésion de la parie 2 de la poure sur la parie 1, peu se réduire en G barycenre de la secion droie à un momen porée par la normale à cee secion, elle que : = 2 /1 G coh G 0 G G Remarque : Afin d avoir de la orsion pure, nous ne nous occuperons ici que des poures ayan une secion droie circulaire (pleine ou creuse).. Eude expérimenale des déformaions :.1. Essai de orsion simple : n soume une éprouvee de forme cylindrique à un momen C que l on fai varier de 0 à Cmax e on mesure la déformaion angulaire α correspondane (relaive à la longueur L). A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 1
2 Le solide de forme cylindrique de révoluion es parfaiemen encasré à son exrémié gauche suivan la secion droie (So) de cenre Go. n race avan l'essai une générarice 10 du cylindre. n applique à l'exrémié droie de la poure sur la secion (S1) de cenre de surface G1 un sysème d'acions mécaniques de liaison modélisé en G1 par un orseur couple : 0 1 el que G1 G1 x = C. x G 1 n fai croîre G1 à parir de zéro e on mesure les déformaions de la poure. n consae que le déplacemen d'une secion droie (S) es uniquemen une roaion d angle α. Cee roaion es proporionnelle à la disance x enre les deux secions (S) e (S0) : x La courbe représenan le momen de orsion en foncion de l angle θ obenue es semblable à celle de l'essai de racion : A : zone linéaire : l éprouvee à une déformaion élasique. Le momen es proporionnel à l angle θ el que : permanene. G k ABC : zone des grandes déformaions. L éprouvee à une déformaion plasique ou.2. Angle uniaire de orsion : Dans la zone des déformaions élasiques, on appelle angle uniaire de orsion, la déformaion angulaire relaive Ө enre deux secions disanes de l'unié de longueur : x A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 2
3 . Répariion des conraines dans une secion droie : En un poin de la secion droie (S), la conraine de orsion τ s écri sous la forme : τ = G. θ. ρ Avec τ : Conraine angenielle (Pa) G : odule d'élasicié ransversale ou module de coulomb (Pa) θ: Angle uniaire (rad / mm) ρ : Disance du poin au cenre de la secion (mm) D où la répariion des conraines dans une secion droie : La conraine de orsion es maximale si le poin es sur la surface exérieure de la poure c'es-à-dire pour ρ = R : τ max = G. θ. R V. omen quadraique polaire : Le momen quadraique polaire de la surface (S) par rappor à l axe ( ; z ) es par définiion : Avec S ( x y ) ds ds S : momen quadraique polaire (mm 4 ) Exemple : : Disance (mm) ds : Élémen de surface (mm 2 ) : Pour les poures de secions circulaires e annulaires : A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 3
4 V. Equaion de déformaion : Dans le domaine élasique, le momen de orsion es proporionnel à l angle uniaire de orsion : = G. θ. Avec : momen de orsion (N.mm) G : odule de coulomb (Pa) θ : Angle uniaire de orsion (rad/mm) : omen quadraique polaire (mm 4 ) V. Condiion de rigidié : Pour les arbres de longueur imporan (arbre de forage des puis de pérole, arbre de navires), on évie les grandes déformaions pour diminuer les vibraions. Pour cela l angle uniaire de orsion doi reser inférieur à une valeur limie lim. D'où la condiion de rigidié ou de déformaion : lim ou lim G V. Eude des conraines : La conraine en un poin es G e G En cas général la conraine maximale de orsion es : max max Avec R : disance du poin le plus éloigné. A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 4
5 V. Condiion de résisance à la orsion : Pour des raisons de sécurié, la conraine de orsion doi reser inférieure à la résisance praique au glissemen). n défini la résisance praique au glissemen) Rpg Reg par le rappor suivan : R pg. s Avec Reg : résisance élasique au glissemen (Pa), s : cœfficien de sécurié. D'où, la condiion de résisance es : max R pg max R R pg X. Concenraion de conraines : Tou changemen brusque de secion (rainure, gorge, épaulemen) enraîne une concenraion de conraine (la répariion des conraines n es plus linéaire). Dans ce cas la condiion de résisance devien : eff max K h max R pg Avec eff : conraine effecive (Pa) h : Conraine héorique sans concenraion de conraine (Pa) K : coefficien de concenraion de conraine relaive à la orsion. K es donné par des abaques ou des ableaux (voir annexes B). Exemple : Arbre avec rainure de clavee. Les rainures de clavees créen des concenraions des conraines rès imporanes. La conraine es maximale dans l angle à fond de rainure. r h/10 h/5 h/3 h/2 K 5,4 3,4 2,7 2,1 Aenion, dans ce cas, on ne ien pas compe pour le calcul de la conraine héorique, de la diminuion de secion due au passage de la clavee. n prendra donc : R D A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 5
6 X. éhodes de calculs en orsion : l exise deux méhodes de calcul à la orsion : Le calcul de vérificaion ; Le calcul de déerminaion. rganigramme du calcul de vérificaion : rganigramme du calcul de déerminaion : Le calcul de déerminaion en orsion es principalemen revien à un calcul de diamère d arbre. A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 6
7 A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 7
8 Exercices d applicaion Exercice 1 : Un arbre cylindrique de diamère D ransme un couple de momen = 50 N.m. Ce arbre es en acier E36 qui possède les caracérisiques mécaniques suivanes : résisance élasique au glissemen Reg = 175 Pa, d exension Re = 325 Pa e de module de Coulomb G = Pa. n adope un coefficien de sécurié s = Déerminer le diamère minimal D de ce arbre à parir de la condiion de résisance à la orsion. 2. Calculer l angle de déformaion en degrés enre deux secions disanes de 300 mm, si on choisi D = 18 mm pour le diamère de l arbre. Exercice 2 : Pour ransmere un couple de 400 N.m, en envisage d uiliser soi un arbre plein, soi un arbre creux. Ces deux arbres son consiués du même acier pour le quel, la résisance élasique au glissemen es Reg = 108 Pa e de module de Coulomb G = Pa. n adope un coefficien de sécurié s = 3. L arbre plein a un diamère D. L arbre creux a pour diamères D1 e d1 el que d1 = 0.6.D1. 1. Déerminer le diamère minimal D de l arbre plein e la déformaion angulaire en degrés enre deux secions disanes de 300 mm. 2. Déerminer les diamères minimaux D1 e d1 de l arbre creux e la déformaion angulaire en degrés enre deux secions disanes de 300 mm? Comparer avec la quesion Déerminer le rappor λ de leur masse. Conclure. Exercice 3 : Un arbre cylindrique de diamère D=30 mm, ransme un couple de momen = 50 N.m. Ce arbre es en acier XC10 qui possède les caracérisiques mécaniques suivanes : résisance élasique au glissemen Reg = 105 Pa, d exension Re = 215 Pa e de module de Coulomb G = Pa. Une rainure de clavee provoque une concenraion de conraine de valeur K = Calculer l angle de déformaion uniaire de l arbre plein en degrés par mères? A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 8
9 2. Déerminer la conraine angenielle effecive pour l arbre plein? Quelle es la valeur du coefficien de sécurié don on dispose. 3. Pour alléger la consrucion, on se propose de remplacer ce arbre plein par un arbre creux de diamère inérieur d1 e de diamère exérieur D1 = 32 mm. Déerminer le diamère inérieur d1 de ce arbre pour que la conraine angenielle effecive soi la même qu au Quel es l angle de déformaion uniaire de orsion de l arbre creux en degrés par mères si on choisi un ube rond normalisé de dimensions D1 = 32 mm e d1 = 29.5 mm? 5. Quel le pourcenage de gain en masse? Exercice 4 : Un moeur élecrique 1 ransme à un renvoi d angle 2 une puissance de 15 KW à la fréquence de roaion N = 1500 r/min par l inermédiaire d un arbre de ransmission 3 de diamère D. Ce dernier es lié au moeur e au récepeur, par deux accouplemens élasiques 4 compensan les défaus d alignemen dus à la déformaion du suppor. La disance séparan les deux accouplemens es de 1m. La résisance praique au glissemen du maériau de l arbre es Rpg = 100 Pa, le module d élasicié ransversal es G = Pa. Les rainures de clavee nécessiées par la liaison des accouplemens élasiques avec l arbre, provoquen une concenraion de conraine de valeur K = Déerminer le diamère minimal D de l arbre. 2. Calculer l angle de déformaion dû à la orsion en degrés enre deux secions disanes de 1 m? 3. n impose une valeur limie de 0.2 /m à l angle uniaire de orsion. Calculer le diamère d arbre dans ce cas? A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 9
10 A.U ELTAEF aher & BEN NEJA anel Page 10
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