b) Est-il possible d avoir un trajet partant et arrivant du même lieu et passant une fois et une seule par toutes les rues?

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1 T ES DEVOIR SURVEILLE 6 - SPE 23 MAI 2014 Durée : 1h Calculatrice autorisée Exercice 1-7 points - Dans la ville de GRAPHE, on s intéresse aux principales rues permettant de relier différents lieux ouverts au public, à savoir la mairie (M), le centre commercial (C), la bibliothèque (B), la piscine (P) et le lycée (L). Chacun de ces lieux est désigné par son initiale. Le tableau ci-dessous donne les rues existant entre ces lieux. 1. Dessiner un graphe représentant cette situation. 2. a) Montrer qu il est possible de trouver un trajet empruntant une fois et une seule toutes les rues de ce plan. Justifier. Proposer un tel trajet. b) Est-il possible d avoir un trajet partant et arrivant du même lieu et passant une fois et une seule par toutes les rues? 3. Dimitri habite dans cette ville ; le graphe ci-dessous donne le nouveau plan du quartier avec les sens de circulation dans les différentes rues et le temps de parcours entre les différents lieux. Dimitri désire prendre sa voiture pour se rendre à son domicile noté D jusqu à la piscine. Proposer un trajet le plus court possible lui permettant de se rendre de son domicile à la piscine. La réponse proposée devra être justifiée par un algorithme.

2 Exercice 2-8 points - Partie A Laurent s'occupe de distribuer le courrier dans les bureaux d'une grande entreprise. Le graphe ci-dessous représente les différents parcours qu'il peut faire pour distribuer le courrier dans les bureaux A, B, C, D, E, F et G. Le poids de chaque arête indique le nombre d'obstacles (portes, escaliers, machines à café ) qui nuisent à la distribution du courrier. Laurent se voit confier par le bureau A un colis à livrer au bureau G. Indiquer un parcours qui permette à Laurent de partir du bureau A pour arriver au bureau G en rencontrant le minimum d'obstacles. Partie B Pris par le temps, il n'est pas rare de voir Laurent oublier de livrer le courrier du matin! On considère que : Si Laurent a distribué le courrier du matin un certain jour, la probabilité qu'il y pense le lendemain est de 0,7. Si Laurent a oublié de distribuer le courrier du matin un certain jour, la probabilité pour qu'il oublie à nouveau le lendemain est de 0,8. Le lundi matin 1er octobre, Laurent a bien distribué le courrier. On note la probabilité que Laurent distribue le courrier le n-ième jour de travail (on considère donc que le lundi 1er octobre est le premier jour et que ). 1. Traduire les données de cet exercice à l'aide d'un graphe probabiliste. Préciser la matrice de transition associée à ce graphe. 2. Démontrer que, pour tout, on a :. 3. On considère la suite définie, pour tout, par. a) Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,5. Calculer son premier terme. b) En déduire, pour tout, la valeur de en fonction de. 4. Quelle est la probabilité que Laurent distribue le courrier le samedi 6 octobre?

3 EXERCICES AU CHOIX Exercice 3 ou exercice 4 Exercice 3-5 points - Une entreprise fabrique deux types de téléviseurs, premier prix et haute technologie. Pour fabriquer un téléviseur premier prix il faut 1 unité du bureau d étude, 1,5 unités de main-d œuvre et 3 unités de composants électroniques un téléviseur haute technologie, il faut 2 unités du bureau d étude, 2 unités de main-d œuvre et 6 unités de composants électroniques. Les coûts des unités sont les suivants : 40 euros pour une unité du bureau d étude 20 euros pour une unité de main-d œuvre 25 euros pour une unité de composants électroniques L entreprise doit fournir 90 téléviseurs premier prix et 30 téléviseurs haute technologie. On donne les matrices, ( ) et ( ) Calculer les produits de matrices suivants et interpréter le résultat 1. P B 2. B C 3. P B C Exercice 4-5 points - On note le système d équations : { 1. Déterminer les matrices et telles que se traduise par l égalité avec ( ) 2. Déterminer et en déduire la solution du système S. (Les résultats pourront être donnés avec la calculatrice) 3. Déterminer la fonction définie sur R par dont la courbe représentative passe par A(1; 0) et B(2; 3) et la tangente à la courbe au point B a pour coefficient directeur 5.

4 T ES CORRECTION DEVOIR SURVEILLE 6 - SPE 23 / 05 / 2014 Exercice 1-7 points - Asie, juin 2003 Dans la ville de GRAPHE, on s intéresse aux principales rues permettant de relier différents lieux ouverts au public, à savoir la mairie (M), le centre commercial (C), la bibliothèque (B), la piscine (P) et le lycée (L). Chacun de ces lieux est désigné par son initiale. Le tableau cidessous donne les rues existant entre ces lieux. 1. Dessiner un graphe représentant cette situation. 2. a) Montrer qu il est possible de trouver un trajet empruntant une fois et une seule toutes les rues de ce plan. Justifier. Proposer un tel trajet. Tableau indiquant le degré de chaque sommet : sommet B C L M P degré Ce graphe est connexe et il possède que deux, et seulement deux, sommets de degré impair donc ce graphe admet une chaîne eulérienne. Donc il est possible de trouver un trajet empruntant une fois et une seule toutes les rues de ce plan. Proposition d un tel trajet : B-P-M-C-L-M-B-C. b) Est-il possible d avoir un trajet partant et arrivant du même lieu et passant une fois et une seule par toutes les rues? Ce graphe est connexe et tous ses sommets ne sont pas de degré pair donc ce graphe n admet pas de cycle eulérien. Donc il n est pas possible de trouver un trajet partant et arrivant du même lieu et passant une fois et une seule par toutes les rues. 3. Dimitri habite dans cette ville ; le graphe cidessous donne le nouveau plan du quartier avec les sens de circulation dans les différentes rues et le temps de parcours entre les différents lieux. Dimitri désire prendre sa voiture pour se rendre à son domicile noté D jusqu à la piscine. Proposer un trajet le plus court possible lui permettant de se rendre de son domicile à la piscine. La réponse proposée devra être justifiée par un algorithme.

5 Utilisons l algorithme Dijkstra : Le trajet le plus court possible : DCBMP Exercice 2-8 points - Amérique du sud 2008 Partie A Laurent s'occupe de distribuer le courrier dans les bureaux d'une grande entreprise. Le graphe ci-dessous représente les différents parcours qu'il peut faire pour distribuer le courrier dans les bureaux A, B, C, D, E, F et G. Le poids de chaque arête indique le nombre d'obstacles (portes, escaliers, machines à café ) qui nuisent à la distribution du courrier. Laurent se voit confier par le bureau A un colis à livrer au bureau G. Indiquer un parcours qui permette à Laurent de partir du bureau A pour arriver au bureau G en rencontrant le minimum d'obstacles. Pour déterminer le parcours comportant un minimum d'obstacles, pour aller de A à G, on utilise l'algorithme de Dijkstra. A B C D E F G Sommet sélectionné 0 A (0) 5 (A) 6(A) B (5) 10 (B) 6 (A) E (6) 10 (B) 9 (E) 11(E) D (9) 10 (B) 10(D) 13(D) C (10) 10(D) 13(D) E (10) 12 (F) G (12) Le sommet G étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de G et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. G F D E A. Le parcours qui permette à Laurent de partir du bureau A pour arriver au bureau G en rencontrant le minimum d'obstacles est A-E-D-F-G. (Laurent rencontre 12 obstacles).

6 Partie B Pris par le temps, il n'est pas rare de voir Laurent oublier de livrer le courrier du matin! On considère que : Si Laurent a distribué le courrier du matin un certain jour, la probabilité qu'il y pense le lendemain est de 0,7. Si Laurent a oublié de distribuer le courrier du matin un certain jour, la probabilité pour qu'il oublie à nouveau le lendemain est de 0,8. Le lundi matin 1er octobre, Laurent a bien distribué le courrier. On note la probabilité que Laurent distribue le courrier le n-ième jour de travail (on considère donc que le lundi 1er octobre est le premier jour et que ). 1. Traduire les données de cet exercice à l'aide d'un graphe probabiliste. Préciser la matrice de transition associée à ce graphe. Notons A l'état : «Laurent a distribué le courrier» et B l'état : «Laurent a oublié de distribuer le courrier». Si Laurent a distribué le courrier du matin un certain jour, la probabilité qu'il y pense le lendemain est de 0,7. D'où la probabilité d'être dans l'état A le n + 1-ième jour sachant que l'on est dans l'état A le n-ième jour est égale à 0,7. Par conséquent, la probabilité d'être dans l'état B le n + 1-ième jour sachant que l'on est dans l'état A le -ième jour est égale à 0,3. Si Laurent a oublié de distribuer le courrier du matin un certain jour, la probabilité pour qu'il oublie à nouveau le lendemain est de 0,8. D'où la probabilité d'être dans l'état B le n + 1-ième jour sachant que l'on est dans l'état B le n-ième jour est égale à 0,8. Par conséquent, la probabilité d'être dans l'état A le n + 1-ième jour sachant que l'on est dans l'état B le -ième jour est égale à 0,2. Le graphe probabiliste qui représente la situation est : La matrice de transition associée est ( ) 2. Démontrer que, pour tout, on a :. Soit (avec ) la matrice ligne décrivant l'état probabiliste le - ième jour. Alors, ( ) D'où avec. Soit Ainsi, pour tout, on a. 3. On considère la suite définie, pour tout, par. a) Démontrer que la suite est une suite géométrique de raison 0,5. Calculer son premier terme. Pour tout, Ainsi, pour tout entier naturel,. Donc la suite est une suite géométrique de raison 0,5. Le terme initial de la suite est : La suite est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme 0,6.

7 b) En déduire, pour tout, la valeur de en fonction de. est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme 0,6 lors pour tout entier naturel, Soit pour tout entier naturel, Ainsi, pour tout entier naturel,. 4. Quelle est la probabilité que Laurent distribue le courrier le samedi 6 octobre? On calcule Donc la probabilité que Laurent distribue le courrier le samedi 6 octobre est de 0,402 Exercice 3-5 points - Une entreprise fabrique deux types de téléviseurs, premier prix et haute technologie. Pour fabriquer un téléviseur premier prix il faut 1 unité du bureau d étude, 1,5 unités de main-d œuvre et 3 unités de composants électroniques un téléviseur haute technologie, il faut 2 unités du bureau d étude, 2 unités de main-d œuvre et 6 unités de composants électroniques. Les coûts des unités sont les suivants : 40 euros pour une unité du bureau d étude 20 euros pour une unité de main-d œuvre 25 euros pour une unité de composants électroniques L entreprise doit fournir 90 téléviseurs premier prix et 30 téléviseurs haute technologie. On donne les matrices, ( ) et ( ) Calculer les produits de matrices suivants et interpréter le résultat 1. P B P représente les coûts en euros pour une unité du bureau d étude, une unité de main d œuvre et une unité de composants. ( ) 2. B C 3. P B C La matrice obtenue donne le coût de production pour chaque type de téléviseurs. ( ) ( ) ( ) La matrice obtenue donne le nombre d unités nécessaire pour fabriquer respectivement 90 téléviseurs de type 1 et 30 de type 2. Il faut par exemple au total 150 unités du bureau d étude. Le coût total de fabrication sera donc de

8 Exercice 4-5 points - On note le système d équations : { 1. Déterminer les matrices et telles que se traduise par l égalité avec ( ) ( ), ( ) et ( ) On a donc ( ) 2. Déterminer et en déduire la solution du système S. (Les résultats pourront être donnés avec la calculatrice) ( ) et ( ) La solution est donc, et 3. Déterminer la fonction définie sur R par dont la courbe représentative passe par A(1; 0) et B(2; 3) et la tangente à la courbe au point B a pour coefficient directeur 5. La tangente en B a pour coefficient directeur 2 donc d où Il faut donc résoudre { D après la question précédente, on a donc, et Donc