Logarithme. 1 Travail sur tableur. 2 Travail sur feuille. conjecture sur tableur en analyse

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1 Logarithme 1 Travail sur tableur a désigne un nombre réel On dénit une suite u par : { u = a u n+1 = + ln (u n ) 1 Faire une feuille de tableur qui devra acher les termes de la suite, sur le modèle suivant : A B C D E 1 a= valeur de a 3 Indices n Termes u n 4 valeur de u 5 1 valeur de u 1 6 valeur de u 7 3 valeur de u 3 En changeant uniquement la valeur inscrite dans la case B1, toutes les valeurs de la suite (cases B4, B5, ) devront se mtre à jour En essayant diverses valeurs de a, on essaiera de faire des conjectures sur le comportement de la suite en fonction du terme initial u = a On pourra, pour s'aider dans cte phase de conjecture, faire tracer un nuage de points (c'est à dire une représentation graphique des premiers termes de la suite) On se posera notamment les questions suivantes : (a) Dénit-on ainsi une suite pour toute valeur de a? (b) La suite u semble-t-elle croissante pour certaines valeurs de a? décroissante pour certaines valeurs de a? constantes pour certaines valeurs de a? (c) La suite semble-t-elle majorée, minorée, bornée pour des valeurs de a? Valeur d'un majorant, d'un minorant? (d) La suite semble-t-elle convergente pour certaines valeurs de a? divergente pour certaines valeurs de a? Travail sur feuille Cte partie est à commencer en classe Elle devra être terminée rendue sur feuille le 1 Sur feuille, inscrire les formules utilisées dans la feuille de tableur Rappel : pour un travail à la maison sur tableur, si vous ne disposez pas déjà d'un tableur vous pouvez télécharger la suite bureautique libre gratuite Open Oce travailler avec son tableur Open Oce Calc Décrire toutes les conjectures faites 3 Démontrez que l'équation + ln() = adm eactement deu solutions dans R (que l'on appellera α β, avec α < β) 4 Pour la valeur a = 1 : (a) Quelles sont vos conjectures? (b) Démontrez toutes ces conjectures Soyez le plus compl le plus précis possible 5 Pour la valeur a = 5 : (a) Quelles sont vos conjectures? (b) Démontrez toutes ces conjectures Soyez le plus compl le plus précis possible 6 Pour quelles valeurs de a avez-vous conjecturé que la suite est croissante? Démontrez cte conjecture

2 Dm sur le logarithme Corrigé 1 A B C D E 1 a= valeur de a 3 Indices n Termes u n 4 = B1 5 1 = + LN(B4) 6 = + LN(B5) 7 3 = + LN(B6) (a) Il semble que pour des valeurs de a dans l'intervalle ]; α 1 [ (où α 1,159), on ne dénisse pas une suite (il semble eister pour ces valeurs de a un rang n tel que u n, on ne peut pas alors dénir u n+1 puisque la fonction ln n'est dénie que sur ]; ] ) (b) Il semble que pour des valeurs de a dans l'intervalle ]α 1 ; β 1 [ (où β 1 3,146), on dénisse une suite strictement croissante Cte suite semble bornée (par,5 3,5 par eemple) semble être convergente vers β 1 (c) Il semble que pour des valeurs de a dans l'intervalle ]β 1 ; + [, on dénisse une suite strictement décroissante Cte suite semble bornée (par 3 u ) semble être convergente vers β 1 3 Soit f la fonction déne sur ]; + [ par f() = + ln() La fonction f est dérivable sur ]; + [, avec, pour tout ]; + [ : f () = 1 1 = 1 lim ln() = lim = donc lim f = ( f() = + ln() ) 1 ln() Avec le théorème des croissances comparées, on a lim = + ( Donc lim + + ln() ) 1 = 1 lim f = + Signe de la dérivée f Variation de la fonction f 1 (a) La fonction f est continue sur ]; 1], strictement croissante sur ]; 1] prend des valeurs positives des valeurs négatives sur c intervalle (cf tableau de variations) Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (version fonction strictement monotone), la fonction f s'annule une une seule fois dans l'intervalle ]; 1] (b) Avec les mêmes arguments, la fonction f s'annule une une seule fois dans l'intervalle [1; + [

3 (c) Appelons α l'unique zéro de f dans l'intervalle ]; 1] β l'unique zéro de f dans l'intervalle [1; + [ Avec une machine, on constate que f(,158) < f(α) < f(,159), donc : α ],158 ;,159[ De même : β ]3,146 ; 3,147[ 4 a = 1 (a) Suite croissante, bornée, convergente vers β (b) i Notons, pour n N : P (n) : 1 u n < u n+1 4 Amorce u = 1, u 1 = + ln(1) = Donc 1 u < u 1 4 P () est vraie Hérédité Soit n N un entier pour lequel 1 u n < u n+1 4 Comme u n u n+1 sont strictement positifs, ces termes ont une image par la fonction ln La fonction ln conservant l'ordre sur R +, on a (en utilisant l'hypothèse de récurrence) : 5 a = 5 soit : ln(u n ) < ln(u n+1 ) ln(4) 1 + ln(u n ) < + ln(u n+1 ) + ln(4) 1 u n+1 < u n+ + ln(4) 4 Conclusion Avec a = 1, on dénit bien une suite (c'est à dire : on peut calculer u n à tout rang n) cte suite est strictement croissante bornée par 1 4 ii La suite u dénie avec a = 1 est croissante majorée d'après ce qui précède, elle est donc convergente vers une limite l iii La limite l vérie l = + ln(l) (continuité de la fonction + ln() ) L'équation = + ln() a deu solutions réelles : α β Comme u est minorée par 1, on a 1 l Comme α < 1, on en conclut que l'on a l = β (a) Suite décroissante, bornée, convergente vers β (b) i Notons, pour n N : P (n) : 3 u n+1 < u n 5 Amorce u = 5, u 1 = + ln(5) Avec une calculatrice : 3,6 < + ln(5) < 3,7 Donc 3 u 1 < u 5 P () est vraie Hérédité Soit n N un entier pour lequel 3 u n+1 < u n 5 Comme u n u n+1 sont strictement positifs, ces termes ont une image par la fonction ln La fonction ln conservant l'ordre sur R +, on a (en utilisant l'hypothèse de récurrence) : d'où ln(3) ln(u n+1 ) < ln(u n ) ln(5) + ln(3) + ln(u n+1 ) < + ln(u n ) + ln(5) 3 u n+ < u n+1 5 Conclusion Avec a = 5, on dénit bien une suite (c'est à dire : on peut calculer u n à tout rang n) cte suite est strictement décroissante bornée par 3 5

4 ii La suite u dénie avec a = 5 est décroissante minorée d'après ce qui précède, elle est donc convergente vers une limite l iii La limite l vérie l = + ln(l) (continuité de la fonction + ln() ) L'équation = + ln() a deu solutions réelles : α β Comme u est minorée par 3, on a 3 l Comme α < 3, on en conclut que l'on a l = β 6 Il s'agit d'établir : que l'on dénit une suite croissante lorsqu'on prend une valeur de a dans l'intervalle [α; β] que l'on ne dénit pas une suite croissante avec une valeur de a en dehors de l'intervalle [α; β] (a) Commençons par traiter deu cas non envisagés dans les conjectures i En posant u = α, on dénit en fait une suite constante (donc croissante au sens large) En e, on a u = α u 1 = + ln(α) = α Une récurrence simple perm alors d'établir que la suite est constante ii De même, lorsque u = β, la suite est constante Ces deu cas étaient diciles à envisager dans les conjectures parce qu'il aurait fallu avoir des valeurs eactes (ou au moins susamment de décimales eactes) de α β pour observer le phénomène (b) Avec une valeur a ]α; β[ Notons, pour n N : P (n) : u u n < u n+1 Amorce u 1 = + ln(a) Rappelons ce que l'on a obtenu sur la fonction f (cf question 3) : Variation de la fonction f α 1 β + 1 D'après ce tableau, on a f > sur ]α; β[ En particulier + ln(a) a > ce qui s'écrit aussi u 1 > a Donc P () est vraie Hérédité Soit n N un entier pour lequel u u n < u n+1 Comme u n u n+1 sont strictement positifs, ces termes ont une image par la fonction ln La fonction ln conservant l'ordre sur R +, on a (en utilisant l'hypothèse de récurrence) : ln(a) ln(u n ) < ln(u n+1 ) + ln(a) + ln(u n ) < + ln(u n+1 ) d'où a < + ln(a) u n+1 < u n+ Conclusion Avec a = 1, on dénit bien une suite (c'est à dire : on peut calculer u n à tout rang n) cte suite est strictement croissante (c) Envisageons maintenant le cas où a ]; α[ Si a, on ne peut calculer u 1 On ne dénit donc pas une suite On peut donc supposer a > Lorsque u = a, on a : u 1 = + ln(a) < a puisque la fonction f prend des valeurs négatives sur ]; α[ Supposons que l'on dénisse une suite, c'est à dire que l'on puisse calculer u n à tout rang n le fait que u > u 1 que la fonction +ln() soit une fonction conservant l'ordre sur son intervalle de dénition nous permtrait alors d'établir par récurrence (sur le même modèle que les questions précédentes) que la suite u ainsi dénie est une suite strictement décroissante La suite u serait donc d'une part minorée par

5 (si l'on peut calculer u n à tout rang n, c'est en e qu'aucun terme n'est négatif : si l'on avait u n 1 on ne pourrait pas calculer u n ) d'autre part décroissante Elle serait donc convergente vers une limite l Mais cte suite décroissante de premier terme u = a est majorée par a on aurait l a < α Or si la suite u converge, sa limite l vérie l = + ln(l), c'est à dire l = α ou l = β On a une contradiction Ainsi on ne dénit jamais une suite lorsque a est une valeur prise dans l'intervalle ]; α[ (d) Il nous reste à envisager le cas a ]β; + [ Dans ce cas, on a u 1 = + ln(a) < u en utilisant le fait que f est strictement négative sur ]β; + [ On établit alors par récurrence le fait que la suite u est strictement décroissante