********* ON SERA TRÈS VIGILANT À LA QUALITÉ DE LA RÉDACTION. *********

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1 Licence 3 Inégraion e Probabiliés Devoir surveillé du 20 juin 206 durée 3h ********* Les calcularices e les documens son inerdis. ON SERA TRÈS VIGILANT À LA QUALITÉ DE LA RÉDACTION. Eercice *********. Soi f une foncion mesurable, inégrable sur [0, ] par rappor à la mesure de Lebesgue. Monrer que f() dλ() f() dλ(). [0,] lim n + ]/n,] On rappellera précisémen les hypohèses du héorème uilisé. 2. On pose H n n k. Monrer qu il eise une consane réelle γ k elle que l on ai le développemen asympoique lorsque n end vers l infini : H n log n + γ + o(). 3. Pour réel, on noe {} l unique réel de [0, [ el que {} Z. Monrer que l inégrale ]0,] { } dλ() a une valeur finie e que { } dλ() γ, ]0,] Tournez la page S.V.P.

2 Eercice 2. Pour R, on noe s() le plus pei enier sricemen supérieur à. (Ainsi par eemple s(π) 4). Soi X une variable aléaoire suivan une loi eponenielle de paramère λ > 0. Monrer que la variable aléaoire Y s(x) sui une loi géomérique de paramère e λ. 2. Soi X une variable aléaoire suivan la loi binomiale B(206, /2). On pose Y ( 2) X. Calculer EY. 3. Soien X,..., X 99 des variables aléaoires indépendanes suivan la loi de Rademacher, c es à dire que P(X ) P(X ) /2. On pose Z 99 k (k + X k ). Calculer E(Z), en prenan bien soin de jusifier les calculs. Eercice 3. Monrer que pour ou 0, on a 0 cos min( 2 2, 2), puis que pour ou > 0, on a 0 cos. 2. Monrer que pour ou > 0, la foncion cos e es inégrable sur ]0, + [ par rappor à la mesure de Lebesgue. On pose alors cos > 0 F () e dλ(). 3. Monrer que F es dérivable sur ]0, + [, avec F () 2 +. Indicaion : on pourra commencer par prendre ]a, + [, où on a choisi un réel a > 0 quelconque. 4. Monrer que lim n + 5. On pose pour > 0 : G() F (n) 0. En déduire que > 0 F () 2 log( + 2 ). cos 2 e dλ(). Vérifier que G es bien définie, puis monrer que G es dérivable sur ]0, + [, avec G F. 2 Tournez la page S.V.P.

3 6. Monrer qu il eise C R elle que > 0 G() C 2 log( + 2 ) aan. 7. Déerminer la valeur de C. 8. Monrer que + 0 cos 2 d π 2. (On commencera par monrer que l inégrale converge.) FIN Soluions Eercice 8 poins Commenaires lors de pariel 20:Ce eercice a éé rès mal réussi, plus de la moiié des copies obenan la noe zéro. La première quesion demandai de rédiger de manière déaillée un raisonnemen rès fréquemmen uilisé dans les calculs d inégrales. Le résula analogue es une évidence dans la héorie de l inégrale de Riemann généralisée. Ce n es pas le cas en héorie de Lebesgue, où il demande un pei raisonnemen. On a ici renconré beaucoup de confusions enre les deu héories, cerains n hésian pas à affirmer (à or!) qu une foncion mesurable es oujours coninue. La deuième quesion a eu à peine plus de succès, bien qu elle ai déjà éé raiée en TD. On a lu quelques horreurs comme v n end vers 0 donc la série de erme général v n converge, u n+ u n end vers 0 donc la suie u n converge, ou encore v n es bornée, donc v n converge. Il es rès difficile de regagner la confiance du correceur après avoir écri de pareilles choses. Seules les meilleures copies on raié la roisième quesion. La majorié des éudians auraien profi à refaire quelques eercices sur les foncions parie enière e parie fracionnaire, qui ne semblen pas familières au plus grand nombre.. On pose f n () ]/n,] ()f(). On a lim n + f n () ]0,] ()f() pour ou ]0, ], donc f n () converge λ-presque parou vers f() sur [0, ]. De plus, on a pour ou [0, ] e pour ou n : f n () ]/n,] () f() f(). Comme f() es inégrable 3

4 par rappor à la mesure de Lebesgue sur [0, ], le héorème de convergence dominée nous di que f() dλ() f n () dλ(). [0,] lim n + Or [0,] f n() dλ() [0,] ]/n,]()f() dλ() ]/n,]()f() dλ(), d où le résula voulu. 2 poins 2. Posons u n H n log n. On a le comporemen suivan [0,] u n u n (H n H n ) (log n log(n )) + log( /n) n n n + O ( n 2 ) ( ) O n 2. Ainsi la série de erme général u n u n converge, mais on a la n relaion élescopique (u n u n ) u n u, donc la suie (u n ) n k2 converge. Si on noe γ la limie, on a u n γ + o(), soi H n log n + γ + o(). 3 poins 3. Posons f n () { } ]/n,]() ]/n,]() n ] k+, ]() k ]/n,]() n k k ] k+, k ]() f n es une foncion coninue par morceau, donc mesurable. Pour ou de ]0, ], f n () end vers f() { }, qui es donc aussi une foncion mesurable. Comme f es bornée par, l inégrale eise. D après la quesion ), l inégrale de f sur ]0, ] es la limie de ]/n,] f dλ ]0,] f n dλ. Or, ]0,] f n dλ /n d n log n n k k log n H n + k k k + k+ k d On sai que H n log n adme une limie γ lorsque n end vers l infini, appelée. On en dédui que ]0,] { } dλ() γ.3 poins 4

5 Eercice 2 6 poins. X es à valeurs dans R + donc Y s(x) es à valeurs dans s(r + ) N. Il s agi donc, pour ou k N, de déerminer la valeur de P (Y k). On a P(Y k) P(s(X) k) P(X [k, k[) P X ([k, k[) dp X () [k,k[ [k,k[ k k λe λ dλ() λe λ d e λ(k ) e λk ( e λ ) ( e λ) k, donc Y sui une loi géomérique de paramère e λ.3 poins 2. X prend des valeurs enières de 0 à 206. Donc, d après le héorème de ransfer, on a poins E( 2) k 206 ( 2) k P (X k) k0 206 ( ) 206 k k0 206 ( k k0 ( 2)k 2206 ( 2 + ) ) ( 2) k () 206 k 3. Une variable aléaoire suivan la loi de Rademacher ne prend qu un nombre fini de valeurs donc es inégrable. On a E(X k ) P(X k ) + ( )P(X k )

6 Par linéarié, E(k + X k ) k + E(X k ) k. Comme les X k son indépendanes, les k + X k aussi. Or un produi de variable aléaoires inégrables es inégrable e l espérance du produi es le produi des espérances : on a donc 2 poins E(Z) 99 k E(k + X k ) 99 k k 99! Eercice 3 5 poins Commenaires lors de pariel 20:Quelques remarques : L erreur suivane a éé fréquemmen renconrée dans la première quesion : du développemen asympoique cos o(2 ), de nombreu éudians croien pouvoir déduire que pour ou 0, cos 2 2. Il fau reenir qu un développemen asympoique en o() au voisinage de 0 radui l eisence d une limie pour une ceraine quanié : on peu, ceres, en déduire des inégaliés, mais sur un voisinage de 0 don on ne connai pas l ampliude : de f() o(2 ), je peu déduire par eemple qu il eise M el que [ M, M] f() 2, mais je ne peu donner a priori de conrôle sur M. Par eemple, si f() f K () 2 2 +K 3, j ai bien f K () 2 2 +o(2 ), mais je n ai l inégalié f() 2 que pour [ 2K, 2K ]. L énoncé de la deuième quesion a parfois éé mal compris : cerains s arrêen après avoir di que la foncion que l on souhaie inégrer es mesurable e posiive. Il es vrai que dans ce cas, l inégrale a oujours un sens si l on adme qu elle puisse valoir +, mais dans le conee, il éai aendu que l on monre (à un momen ou à un aure) que la valeur de l inégrale éai finie. À la quesion 6, plusieurs éudians on cru pouvoir calculer F à parir de sa dérivée. Rappelons que si F f sur un inervalle I e que G es une primiive de f sur I, alors il eise une consance C elle que F () G() + C pour ou I, mais C n es pas forcémen nul. Il fau revoir les héorèmes sur les inégrales dépendan d un paramère, en pariculier le héorème de dérivabilié. Cerains éudians croien qu ils suffi de vérifier l inégrabilié de f(, ) pour avoir la dérivabilié de f(, ) dλ(). D aures, 6

7 on bien compris qu il fau rouver g avec f(, ) g(), mais négligen de vérifier l inégrabilié de g, voire l affirmen conre oue évidence. On a ainsi parfois lu que éai inégrable sur ]0, + [, ou, plus grave, que la foncion consane égale à l éai. Éablir des inégaliés uiles es encore une grosse difficulé pour la grande majorié des éudians. Il fau se familiariser avec les inégaliés classiques e de ne plus se romper sur le sens des inégaliés, par eemple il fau êre capable de dire sans hésiaion que si b a e > 0, alors e b e a e non l inverse. Seule la praique inensive des eercices, crayon en main, perme de progresser.. Pour ou 0, on a cos, ce qui enraîne évidemmen 0 cos 2. Pour 0 sin 0 cos u du 0 du, puis cos 0 sin d 0 d 2 2. On a donc bien 0 cos min( 2 cos 2, 2), d où min( 2, 2 ). Si 2, 2, sinon 2. Dans les deu cas min( 2, 2 ) e donc 0 cos. 2 poins 2. Soi > 0, la foncion cos e es coninue sur ]0, + [, donc mesurable par rappor à la ribu borélienne. Comme cos e cos e e e que e dλ() cos < +, la foncion e es inégrable sur ]0, + [ par rappor à la mesure de Lebesgue. poins 3. Soi a > 0. On a ]a, + [ ]0, + [ cos e ( cos )e, donc cos e ( cos )e 2e a. Comme 2e a dλ() 2 a < +, le héorème de dérivaion sous le signe inégrale nous donne la dérivabilié de F sur ]a, + [, avec F () (cos )e dλ() cos e dλ(). Comme e i e e, la foncion e i e es inégrable sur 7

8 ]0, + [ : On en dédui soi e i e dλ() lim M + lim M + i + i 2 + R e i e dλ() cos e dλ() ]0,M[ e (i )M i 2 +, 2 +, e i e dλ() e finalemen F () 2 + pour ou ]a, + [. Comme ou > 0 adme un voisinage de la forme ]a, + [ pour un cerain a > 0 (par eemple a /2), la dérivabilié de F sur ]0, + [ s ensui. 3 poins 4. 0 cos e n e n, donc en inégran 0 F (n) n, ce qui enraîne lim n + F (n) 0. Comme F () une primiive de F sur ]0, + [ es , 2 log(2 + ) log 2 (log(2 + ) log 2 ) 2 log( + 2 ), donc il eise K réel el que > 0 F () 2 log( + 2 ) + K. En faisan n e en faisan endre n vers l infini, on obien K 0, soi > 0 F () 2 log( + 2 ). 2 poins 5. Comme précédemmen cos e es posiive, coninue, majorée 2 par e, donc inégrable. Ainsi G es bien définie. 8

9 On a cos 2 e cos e, donc ]a, + [ ]0, + [ cos 2 e cos e e a. Comme e a dλ() a < +, le héorème de dérivaion sous le signe inégrale nous donne la dérivabilié de G sur ]a, + [, avec G cos () e dλ() F (). 2 poins 6. On rouve une primiive de F grâce à une inégraion par paries : 2 log( + 2 ) d 2 log( ) log( + 2 ) d 2 log( + 2 ) + aan Comme G F, on en dédui qu il eise C R elle que poins > 0 G() C 2 log( + 2 ) aan. 7. Comme précédemmen, on monre 0 G(), donc 8. lim + G() 0. 2 d En +, log( + 2 ) 2, donc 2 log( + 2 ) 2 e a donc une limie nulle en l infini. Comme la foncion arcangene a une limie π/2 en l infini, on a d où C π 2. poins lim + C 2 log(+ 2 ) aan C π 2, 0 ]0, ] 0 cos 2 e. e 0 > 0 cos 2 e

10 Ainsi 0 > 0 0 cos 2 e [0,] () + ],+ [ 2. Comme pour ou > 0, l applicaion cos e es coninue 2 sur [0, + [ e que [0,] () + ],+ [ dλ() + 2 < +, 2 le héorème de coninuié d une inégrale dépendan d un paramère nous di que e dλ() es coninue. En pariculier cos 2 cos 2 dλ() lim 0 + Évaluons cee limie : on a pour > 0 cos 2 e dλ() lim 0 + G() π 2 2 log(2 + 2 ) aan π 2 2 log(+2 )+ log aan. G(). Comme lim log 0, on obien lim G() π , soi cos 2 dλ() π 2. Comme cos 2, es coninue, posiive, inégrable par rappor à la mesure de Lebesgue, l inégrale de Riemann impropre eise aussi e coïncide : on a ainsi 3 poins + 0 cos 2 d π 2. 0