Question no.1: (4 points) AUTOMNE Considérer le système en boucle fermée représenté à la figure ci-dessous :

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1 EXAMEN FINAL ELE3 Asservissemens d e 8 Quesion no.: 4 poins AUTOMNE Considérer le sysème en boule fermée représené à la figure i-dessous : + Ref K s +.5 s s - e Figure no. La réponse en fréquene du sysème en boule ouvere pour K =. es représenée sous forme de diagramme de Nyquis à la figu re i-dessous pour des fréquenes posiives e négaives. Analyser la sabilié du sysème en boule fermée en fonion du gain K en appliquan le rière de Nyquis. i Donner le onour de Nyquis uilisé pour analyser la sabilié de e sysème. ii C o m p l é e r le diagramme ou lieu de Nyquis en jusifian vos onsruions. i i i Analyser la sabilié du sysème en boule fermée en fonion du gain K. F i g u r e n o. : Diagramme de Nyquis

2 EXAMEN FINAL ELE3 Asservissemens d e 8 Quesion no.: 4 poins Considérer le sysème de posiionnemen angulai re ave un lien élasique qui a éé éudié au laboraoire. La fonion de ransfer Gs du moeur, de la harge e du lien élasique es donnée sur la figure i-dessous e le ompensaeur de fonion G s es de ype proporionnel e omprend un filre -ahe. Les paramères du sysème e la fonion de ransfer du ompensaeur son les suivans : K = 96; a= 3.5; b= 6; = 5; s + as+ b G s = K p b ; K =. 5; p= 4; s+ p θ u Ampli servo - moeur volan n o. Lien élasique Volan N o. Enodeur N o. Φ Ref + e G s a Ban d essai K ss s as b b Diagramme fonionnel du sysème Figure no.3 i Expliquer en vos propre s ermes la fonion du filre ahe dans le ompensaeur G s. Pourquoi es -il uilisé? ii La réponse en fréquene du sysème en boule ouvere Gj ω G j ω es représenée à la figure no. 4 e le ableau no. indique les valeurs numériques de ee réponse. Le sysème es-il sable? Évaluer la marge de gain e la marge de phase du sysème. Déerminer la valeur du gain K qui rendrai le sysème insable. Déerminer la grandeur d un reard pur τ d se qui rendrai le sysème insable. Jusifier vore réponse. i i i La figure no.5 monre la réponse en fréquene du sysème en boule ouvere Gj ω G j ω sur laquelle on a superposé un abaque de Nihols. Évaluer approximaivemen la valeur du gain K qui permerai d avoir un gain à la résonane de 3 db. Pour e gain, évaluer la pulsaion à la résonane. La marge de gain e la marge de phase seraien-elles augmenées ou diminuées dans e as?

3 EXAMEN FINAL ELE3 Asservissemens 3 d e 8 pulsaion rad/se gain en db phase en deg T a b l e a u n o F i g u r e n o. 4 : 3

4 EXAMEN FINAL ELE3 Asservissemens 4 d e 8 Figure no.5 4

5 EXAMEN FINAL ELE3 Asservissemens 5 d e 8 5 Quesion No. 3: 6 poins Le sysème à l éude es omposé d une poure sur laquelle es plaée une boule, el qu illusré sur la figure i-dessous. La boule peu rouler suivan un seul degré de liberé, soi le long de la poure. Lorsque la poure es inlinée par rappor à l horizonale, la gravié fai rouler la boule sur la poure. La posiion de la boule, r, peu êre ommandée grâe à l aion d un servomoeur qui perme d exerer un ouple au enre de la poure. L SERVOMOTEUR a r POUTRE BOULE Les onsanes e les variables du sysème son les suivanes : m Masse de la boule. kg R Rayon de la boule. 5 m g Aéléraion gravi aionnelle 9.8 m/s J Momen d inerie de la boule 9.99 x -6 kgm r Posiion de la boule le long de la poure α Angle de la poure par rappor à l horizonale Le modèle d éa suivan représene le omporemen dynamique du sysème: u r r m R J mg r r + α α + = α α

6 EXAMEN FINAL ELE3 Asservissemens 6 d e 8 i Conevoir un régulaeur par reour d éa qui permera de ommander la posiion de la b o u l e : a Dessiner le diagramme fonionnel du sysème en boule fermée. b Définissez en vos ermes la ommandabilié d un sysème. Le sysème es -il ommandable? Jusifiez vore réponse. d Déerminer le veeur de gains K R permean d obenir la dynamique définie par les pôles suivans : p = -; p = -8; p 3,4 = - ± j ii Définissez en vos ermes l observabilié d un sysème. i i i Le sysème es-il observable pour les sories y = r e y = α? Jusifiez vore réponse. iv Donnez les équaions déaillées d un shéma de ommande ombinan un régulaeur e observaeur d éa pour le sysème à l éude. Énonez un rière qui vous permerai d effeuer le hoix des pôles pour l observaeur d éa de e shéma de ommande. 6

7 EXAMEN FINAL ELE3 Asservissemens 7 d e 8 Quesion No. 4 : 6 poins Considérez le sysème de ommande non-linéaire représené i-d e s s o u s : u REF e Km τ s + m x = θ s y = x = θ + αs Ce sysème de ommande ser à asservir en posiion angulaire un servomoeur. Les onsanes e les variables du sysème son les suivanes : τ m Consane de emps du servomoeur. 6 K m Consane du servomoeur θ Posiion angulaire du servomoeur Le modèle d éa du servomoeur es : θ θ = + u K m θ τ θ m τ m θ y = [ ] θ Pour le relais monré sur la figure : i Déerminez les ourbes de ommuaion pour REF =.5 e pour α = e α =. e indiquez dans le plan de phase la loi de ommande dans haune des zones délimiées par es ourbes. ii En uilisan les rajeoires du sysème pour les ommandes u = {-.,.,.} données dans les pages suivanes, raez la rajeoire dans le plan de phase pour la ondiion iniiale x = [.,.] T e pour α = e α =.. 7

8 EXAMEN FINAL ELE3 Asservissemens 8 d e 8 i i i Pour α = e α =., le sysème possède- -il un yle limie? Quelle es l influene du paramère α sur les araérisiques du des yles limies. iv Évaluez la période du des yles limies idenifiés au numéro prééden. Sans effeuer ous les aluls, dérivez en déail la proédure pour y arriver. Isabelle Tremblay Rihard Hureau 8

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