Exercices proposés : semaine n o 7

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1 Prépa ATS Exercices proposés : semaine n o 7 I. Géométrie dans le plan 1 Soit ABC un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A. Montrer que : 1. BA 2 = BH BC 2. CA 2 = CH CB 3. AH 2 = BH HC 2 Formule d Al Kashi Soit ABC un triangle quelconque. Montrer que : BC 2 = AB 2 + AC 2 +2AB AC cos( AB, AC) 3 Formule de Héron Soit ABC un triangle. On note respectivement a, b, c les distances BC, AC, AB, S l aire du triangle, P la périmètre et p = P le demi périmètre Montrer que 2 AB. AC = b 2 + c 2 a Calculer (det( AB ; AC) ) 2 +( AB. AC) En déduire la formule de Héron : S 2 = p(p a)(p b)(p c) 4 Soient A(1 ; 1), B(3 ; 7) et C( 1 ; 3). 1. a) Déterminer une équation cartésienne de chacune des trois médianes du triangle ABC. concours Ω de ces trois droites. 2. a) Déterminer une équation cartésienne de chacune des trois médiatrices du triangle ABC. concours Γ de ces trois droites. 3. a) Déterminer une équation cartésienne de chacune des trois hauteurs du triangle ABC. concours H de ces trois droites. 4. Démontrer que les points Ω, Γ et H sont alignés. 5. Déterminer une équation cartésienne du cercle circonscrit au triangle ABC On considère la droite D de représentation paramétrique : x =3 λ y = 1+2λ, λ R. Déterminer une équation cartésienne de D. 2. Déterminer une équation cartésienne de D parallèle à D et passant par B(1 ; 1). 3. On considère la famille de droites ( m ) avec m : mx +(m 1)y +2=0. Déterminer la valeur de m pour laquelle ( m ) est parallèle à D. 6 On rapporte le plan à un repère orthonormal direct. On considère les points A( 1 ; 1), B(2 ; 3) et C(3 ; 3). 1. Calculer l aire du triangle ABC. 2. En déduire la distance de A à la droite (BC). 3. Former une équation de la droite (AB). 4. En déduire la longueur de la hauteur issue de C et retrouver l aire du triangle ABC. 7 Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère les points A(1 ; 2) et B( 2 ; 3). 1. Écrire une équation cartésienne de la droite (AB). 2. Déterminer la distance du point C(1 ; 1) à la droite (AB). 3. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal H de C sur (AB). 4. Retrouver la distance du point C à la droite (AB) en utilisant la question précédente. 8 Calculer la distance du point A a la droite D dans les cas suivants : 1. A(0 ; 0) et D passe par B(5 ; 3) et est dirigée par # u (1 ; 2). 2. A(1 ; 1) et D passe par B( 1 ; 1) et est perpendiculaire à # n(2 ; 3). 3. A(4 ; 1) et D est la droite d équation cartésienne x +2y +3=0. Prépa ATS

2 9 Dans le plan muni d un repère orthonormal direct, on considère les 4 points A( 1 ; 3), B( 6 ; 2), C(2 ; 6) et D(3 ; 1). 1. Montrer que ABCD est un trapèze. 2. Calculer les coordonnées de l intersection de ses diagonales. 3. Montrer que ses diagonales sont perpendiculaires. 4. Calculer l aire de ABCD. 10 On considère deux droites D et D d équationsrespectives : 3x +4y +3=0 et D : 12x 5y +4=0 1. Montrer que ces deux droites sont sécantes. 2. Déterminer une équation de chacune de leurs bissectrices. 11 Déterminer l intersection des droites D 1 et D 2 : x =2t 1 D 1 : y = t +2, t R. D 2 : x = k +2 y =3k +1, k R. 12 Choix d un repère Dans le plan, on considère trois points A, B et C non alignés. Une droite D coupe les droites (BC), (AC) et (AB) en A, B et C respectivement. Par A on mène les parallèles à (AB) et (AC) qui coupent respectivement aux points E et F la parallèle à (BC) menée par A. Montrer que les droites (B E) et (C F ) sont parallèles. b) Que se passe-t-il lorsque A et B sont confondus? Le produit scalaire MA. MB, indépendant du choix de la droite (d) est appelé puissance du point M par rapport à C. 2. Soit A, B, C et D quatre points du cercle C tels que (AB) et (CD) soient perpendiculaires et sécantes en un point M intérieur au cercle. Montrer que la médiane issue de M dans le triangle MAC est la hauteur issue de M dans le triangle MBD. 3. Soit A, B et C trois points du cercle C, sommets d un triangle non aplati. La hauteur issue de A coupe (BC) en K et C en A 1. Soit H le symétrique de A 1 par rapport à (BC). 14 a) Montrer que : BH. AC = BK. KC + KH. AK =0 et CH. AB =0. b) En déduire que H est l orthocentre du triangle ABC. Le symétrique de l orthocentre du triangle ABC par rapport à un côté appartient au cercle circonscrit à ce triangle. 1. Déterminer une équation cartésienne du cercle de centre Ω( 2 ; 1) passant par B(1 ; 1). 2. On considère le cercle C dont une équation cartésienne est x 2 + y 2 4x 2y +4=0. Préciser le centre et le rayon de C. 15 Déterminer le centre et le rayon des cercles d équations cartésiennes : a. x 2 +y 2 4x+4y 1=0 b. x 2 +y 2 6x+8y+24 = 0 13 Puissance d un point par rapport à un cercle Soit C un cercle du plan de centre O et de rayon R et M un point du plan. 1. a) Soit (d) une droite passant par M et coupant C en deux points A et B, soit A le point du cercle diamétralement opposé à A. Montrer que : MA. MB = MA. MA = OM 2 R 2 16 On considère le cercle C de centre A(1 ; 2) et de rayon R>0 ainsi que la droite D d équation x + y =2. Déterminer suivant les valeurs de R le nombre de points d intersection de C et D. 17 On considère le cercle C de centre A(1 ; 2) et de rayon 1 ainsi que le cercle C de centre A (0 ; 1) et de rayon 1. Déterminer les points d intersection de C et C. Prépa ATS

3 18 Soient C le cercle de centre Ω(2 ; 1) et de rayon 2 et D la droite d équation 2x + y =0. Déterminer les droites qui sont tangentes à C et parallèles à D. 19 On considère le cercle d équation C : x 2 + y 2 + x 3y 3=0 et le point A(1 ; 2). Une droite passant par A est tangente au cercle C au point M. Calculer la longueur AM. 20 On considère le cercle C d équation et la droite d équation x 2 + y 2 +4x 6y 17 = 0 5x +2y 13 = 0. Trouver l équation cartésienne du diamètre de C perpendiculaire à la droite D. 21 Déterminer les équations de cercles tangents aux deux droites d équations 4x 3y + 10 = 0, 4x 3y 30 = 0 et dont le centre se trouve sur la droite d équation 2x + y =0. II. Géométrie dans l espace 22 On considère un tétraèdre ABCD. 1. Montrer la relation AB 2 BC 2 + CD 2 DA 2 =2 AC. DB En déduire que si les droites (AB) et (CD) sont orthogonales, ainsi que les droites (AC) et (BD), alors les droites (BC) et (AD) sont orthogonales. 2. On suppose que AB, AC et AD sont deux à deux orthogonaux (on dit que le tétraèdre est rectangle), montrer que : 23 Soit # u (1 ; 1 ; 2) et # v (a ; a ; 1). 1. Déterminer a pour que # u et # v soient orthogonaux. 2. Construire un vecteur w # pour que la base ( # u ; # v ; w) # soit une base directe. 3. En déduire une base orthonormée ( # u 1 ; # v 1 ; # w 1 ) dont les vecteurs sont colinéaires aux vecteurs # u, # v, # w. 4. On pose Ω(1 ; 1 ; 1), on considère un point M de coordonnées (x ; y ; z) dans le repère (O ; # i ; # j ; # k ). Déterminer les coordonnées de M dans le repère (Ω ; # u 1 ; # v 1 ; w # 1 ). 24 Pour chacun des plans P suivant calculer une équation cartésienne et une équation paramétrée : 1. Le plan P passant par A(1 ; 0 ; 1) et de vecteur normal # n(1 ; 1 ; 2). 2. Le plan P passant par A(0 ; 1 ; 1) et engendré par # u (1 ; 1 ; 0) et # v (0 ; 0 ; 2). 3. Le plan P passant par A(1 ; 1 ; 0) et parallèle au plan Q : x 2z +1=0. 4. Le plan P passant par A(1 ; 1 ; 1) et perpendiculaire à la droite 2x y +1=0 x y + z 2=0 5. Le plan P passant par les points A(1 ; 0 ; 1), B(0 ; 1 ; 1) et C(2 ; 1 ; 0). 6. Le plan P contenant les droites x y +1=0 y z 2=0 x = 3+t D : y =2 t z =2 2t 7. Le plan P passant par A(1 ; 0 ; 0) et perpendiculaire aux plans Q : x 2y + z 1=0 et Q : y 2z +1=0 8. Le plan P passant par les points A(1 ; 0 ; 2) et B(0 ; 1 ; 1) et perpendiculaire au plan Q : x y + z =1. BC BD 2 = AB AC 2 + AC AD 2 + AB AD 2 et interpréter cette relation en termes d aires. Prépa ATS

4 25 Soient P et P les plans définis par : P est le plan passant par A(1 ; 1 ; 0) et dirigé par # u (1 ; 1 ; 1) et # v (1 ; 4 ; 1). P est le plan passant par B(1 ; 2 ; 1), C(1 ; 4 ; 0) et E(1 ; 1 ; 3) 1. Déterminer une équation cartésienne de P et P. 2. Justifier que P et P se coupent suivant une droite D, et déterminer un point et un vecteur directeur de cette droite On note D la droite passant par A(3 ; 0 ; 1) et dirigée par # u (2 ; 1 ; 1). Déterminer un système d équations cartésiennes de D. x = z Soit D : y =3z 3 Démontrer que D et D sont coplanaires et déterminer une équation cartésienne du plan P les contenant. 27 On considère les plans P et P d équations respectives x y + z +1=0 et 2x + y z 1=0. 1. Vérifier que ces deux plans ne sont pas parallèles. 2. Déterminer une paramétrisation de leur intersection D. 3. Donner une équation cartésienne du plan Q passant par A(1 ; 1 ; 0) et perpendiculaire aux deux plans P et P. 28 Calculer : 1. La distance du point A(1 ; 2 ; 1) au plan P : x 2y +3z =1 2. La distance du point B(1 ; 2 ; 1) à la droite D x =1+3t paramétrée par y =2 t avec t R. z =2t 3. La distance du point C(1 ; 0 ; 2) à la droite 2x y + z =1 définie par x y + z = 1 4. Déterminer la distance entre les droites D et x + y z =1 D d équations respectives et x y +2z =1 2x y z =0 x 2y +3z =0 29 On considère la droite D passant par A(1 ; 2 ; 0) et dirigée par # u (1 ; 1 ; 1). Soit B(0 ; 1 ; 2) un point de l espace. 1. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal de B sur D. 2. Calculer de deux manières différentes la distance de B à la droite D. 30 On considère le plan P représenté paramétriquement par : y =3 λ +2µ (λ ; µ) R 2 z =1+2λ + x =2+λ µ µ 1. Donner une équation cartésienne du plan P. 2. Déterminer la distance du point A(1 ; 1 ; 1) au plan P. 3. Donner une équation cartésienne de la droite passant par le point A et perpendiculaire au plan P. 31 On considère la droite d équation : x + y z +1=0 2x y + z 2=0 Déterminer la distance du point Ω(1 ; 2 ; 1) à cette droite. 32 On considère dans l espace muni dun repère, les deux droites d équations : x z a =0 y +3z +1=0 x +2y + z 2b =0 D : 3x +3y +2z 7=0 où (a ; b) R Montrer qu elles ne sont pas parallèles. 2. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur (a ; b) pour que les deux droites soient sécantes. Former alors l équation cartésienne de leur plan. 33 Dans l espace euclidien rapporté à un repère orthonormé direct, on considère deux droites D 1 et D 2 d équation cartésienne x + y 3z +4=0 D 1 : 2x z +1=0 D 2 : x z +1b =0 y z +1=0 1. Trouvez une équation cartésienne de la perpendiculaire commune à D 1 et D 2. Prépa ATS

5 2. Déterminez la distance entre les droites D 1 et D 2 par deux méthodes différentes : a) la première utilisant le cours. b) la seconde utilisant le plan P contenant la droite D 2 et parallèle à la droite D Questions indépendantes 1. Soient Ω(1 ; 2 ; 0) et A( 1 ; 1 ; 2), déterminer une équation cartésienne de la sphère S de centre Ω passant par A. 2. Soient A(0 ; 0 ; 3) et B(1 ; 1 ; 1), déterminerune équation cartésienne de la sphère S de diamètre [AB]. 3. Montrer que l ensemble des points M(x ; y) tels que x 2 + y 2 2x +2y 4z 3=0est une sphère. 35 Calculer la distance entre la droite x y + z =0 x + z =1 et la sphère S : x 2 + y 2 + z 2 6x +2y 4z = Montrer que x 2 +y 2 +z 2 2x 4y 6z +5=0 est l équation d une sphère S dont on déterminera le centre et le rayon. 2. Étudier l intersection de S avec le plan P d équation x + y + z 1=0.Onpréciseraleséléments géométriques de cette intersection. 37 On muni l espace d un repère orthonormal # # # (O ; i ; j ; k ). On considère la sphère S d équation : x 2 + y 2 + z 2 2x +4y +6z 11 = 0 ainsi que le plan P dequation : 3x 4z + 19 = Donner le centre Ω et le rayon R de S. 2. Déterminer l intersection de P et de S. 3. Donner une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire à P qui passe par Ω. 4. Trouver les coordonnées des points M et N de S respectivement le plus proche et le plus éloigne de P en précisant les distances correspondantes (ces points sont sur ). Prépa ATS