Concours Puissance 11 - LaSalle 2015 Corrigé détaillé de l épreuve de mathématiques

Transcription

1 Concours Puissanc - LaSall 05 Corrigé détaillé d l épruv d mathématiqus Réponss aux xrcics Exrcic n o : FFVV - Étud d fonction Exrcic n o : FFFF - Fonction défini par dux paramètrs Exrcic n o : VFVV - Bass d la géométri Exrcic n o 4 : FFVV - Qustions d logiqu Exrcic n o 5 : VVVF - Ptit démonstration Exrcic n o 6 : FVFF - Calculs d limits Exrcic n o 7 : FVVV - Calcul intégral Exrcic n o 8 : VVVV - Fonction xponntill Exrcic n o 9 : VFFV - Fonction xponntill t logarithm Exrcic n o 0 : FVFV - Suit t trigonométri Exrcic n o : VVVV - Suit d nombrs complxs Exrcic n o : FVVV - Géométri t complxs Exrcic n o : VFVV - Variabls aléatoirs rélls : Cours - Calculs Exrcic n o 4 : FFVV - Probabilités conditionnlls Exrcic n o 5 : VVVF - Logiqu t géométri dans l spac Exrcic n o 6 : FVVV - Orthogonalité dans l spac C documnt st mis à disposition sous licnc Crativ Commons CC BY-NC-ND, c qui signifi qu vous êts libr d l copir t d l partagr slon ls trms suivants : Attribution (BY : vous dvz citr l autur du documnt Pas d utilisation commrcial (NC : vous n pouvz pas utilisr c documnt à ds fins commrcials sans l autorisation d l autur Pas d modification (ND : vous n pouvz pas crér d documnts dérivés d c documnt sans l autorisation d l autur En d autrs trms, la licnc autoris la rdistribution non commrcial d copis idntiqus à l originals. Pour plus d informations, rndz-vous sur l sit d l association crativcommons.fr. Mathiu Pons matht.nt / 5

2 Exrcic n o : FFVV - Étud d fonction La courb rprésnté st cll d f t ls affirmations portnt sur la fonction f donc soyz vigilant aux affirmations piègs. a Faux f (x x si x x + si x > f (x lim ln x + x + lim x + k + x + x + k ln x + x + k donc par somm, lim Donc (Γ n admt pas d asymptot horizontal n +. b Faux Pour tout x ] ; ], f (x x + k avc k R. si x t k R si x > t k R f (x + x + c Vrai Si (Γ pass par Ω( ; alors on put détrminr la valur d k : Ω( ; (Γ f ( + k k 0 D plus, f st dérivabl donc continu sur R d où : On a alors : Ω( ; (Γ f ( ln + + k k 0 f (x Et par conséqunt, pour tout x R, f (x 0. d Vrai x > donc f ( ln +. x si x ln x + x si x > Mathiu Pons matht.nt / 5

3 Exrcic n o : FFFF - Fonction défini par dux paramètrs a Faux Attntion, a t b sont ds constants t on dériv par rapport à x. On utilis la formul ( u u t on gard l cofficint b a qui st un constant. On obtint : Pour tout x ] a ; a[, f (x b a ( a x a x b a x a x bx a a x u b Faux Si a 6 t b alors on a I [ 6 ; 6], f (x 6 x t f (x x 6 x. x f (x f Donc pour tout x I, 0 f (x. c Faux Si a b alors on a I [ ; ], f (x x t f (x x. x x f (x f Or,4 > donc l équation f (x n admt pas d solutions sur I. Mathiu Pons matht.nt / 5

4 d Faux Si a b alors f (x a x t f (x x a x. La tangnt t la droit d équation y x 5 sont parallèls signifi qu lls ont l mêm cofficint dirctur. On a d un part l cofficint dirctur d la tangnt qui st défini par l nombr dérivé f (x t on a d autr part l cofficint dirctur d la droit qui st égal à d où : f (x x a x x a x avc a x > 0 donc x < 0 ( x ( a x x a x x a x a ou x a < 0 : impossibl Donc il n xist qu un sul t uniqu tangnt à (Γ parallèl à la droit d équation y x 5, c st cll qu l on trac n x a. Mathiu Pons matht.nt 4 / 5

5 Exrcic n o : VFVV - Bass d la géométri a Vrai Par définition ls coordonnés d un vctur dirctur d (D s "lisnt" dvant l paramètr t dans la rprésntaion paramètriqu d la droit. C vctur ( ; ; put alors s écrir ı + j + k b Faux a C a AB. CA AB. AC AB. AH AB AH H A a B a a a c Vrai ( + i 4 ( i π iπ 4 d Vrai z ( 4 + i 5 ΩM 5 t si z 0 alors 0 ( 4 + i 4 i 4 + ( 5 donc l nsmbl chrché st bin un crcl d cntr Ω t d rayon 5 qui pass par l origin O. Mathiu Pons matht.nt 5 / 5

6 Exrcic n o 4 : FFVV - Qustions d logiqu On not : A : «Agnan st présnt» ; C : «Clothair st présnt» ; E : «Euds st présnt» ; G : «Goffroy st présnt» ; R : «Rufus st présnt». Lurs complémntairs rspctifs A, C, E, G, R signifiant qu ils sont absnts.ls affirmations d l énoncé s traduisnt alors ainsi : Clothair rfusrait d vnir si Rufus était présnt : R C t C R sa contraposé ; Euds n vindrait qu s il était accompagné d Agnan ou d Rufus : A R E ; Quant à Goffroy t Agnan, ils n iraint null part l un sans l autr : A G. a Faux Si Clothair n st pas vnu alors Rufus st présnt s traduit par : C R qui n st pas équivalnt à l affirmation d l énoncé. b Faux Si Rufus était absnt alors Clothair st vnu s traduit par : R C qui st la contraposé d l affirmation précédnt. c Vrai Si Agnan st vnu alors Euds aussi t Goffroy aussi d après t. d Vrai Si Clothair st vnu alors Rufus st absnt d après. Comm Rufus st absnt mais qu Euds st vnu alors Agnan st vnu (afin d vérifir. Comm Agnan st vnu, Goffroy aussi d après. Mathiu Pons matht.nt 6 / 5

7 Exrcic n o 5 : VVVF - Ptit démonstration a Vrai Pour tout x D f, f (x (x (x x (x (x x(x x ( ( x x(x x (on factoris par x ( ( x x(x ( x x( x ( x b Vrai On chrch ls valurs d x pour lsqulls l nombr dérivé f (x rprésntant l cofficint dirctur d la tangnt n x st égal au cofficint dirctur d la droit d équation y x + 5, donc on résout : f x(x (x (x ( x(x (x x x x + 4x 4x + 0 6x 6x + 0 ( ( > 0 L équation a donc dux solutions t (Γ admt par conséqunt dux tangnts parallèls à la droit d équation y x + 5. c Vrai Or : Pour tout x I, k (x f (x f (x x x x(x (x x x x(x (x (x x x x x x(x (x x x(x x x(x Mathiu Pons matht.nt 7 / 5

8 d Faux Si x I, f n st pas strictmnt positiv donc f n st pas strictmnt croissant sur I, n fft : x x x (x f (x f f ( Mathiu Pons matht.nt 8 / 5

9 Exrcic n o 6 : FVFF - Calculs d limits a Faux lim x + x 0 lim X 0 X 0 donc par composition, lim x + x b Vrai f (x f (a Utilisons la définition du nombr dérivé à savoir qu si f st dérivabl n a alors lim x a x a En posant f (x x t f (x x, il vint : f (a. x lim x 0 x lim x 0 x x lim x 0 x 0 x 0 lim x 0 f (0 ( 0 f (x f (0 x 0 c Faux lim x + x + x x lim x + x ( + x x ( x x x x Or lim x + x 0 t lim x + x x lim 0 par croissanc comparé, donc x + lim + x x x + x x x t par conséqunt la courb Γ admt la droit d équation y pour asymptot horizontal n +. d Faux u n sin (n n n + sin (n n + n n + t pour tout n d N, on a : sin n n + sin n n + n + Or lim n + n + lim n + n + sin n 0 donc d après l théorèm ds gndarms, lim n + n + 0. D plus, lim n + n n + lim n + n n donc u n convrg vrs. Mathiu Pons matht.nt 9 / 5

10 Exrcic n o 7 : FVVV - Calcul intégral a Faux b Vrai x + x dx ( x + [ dx ln x ] ( ln ( ln x x x ( x + dx x ( x + dx [ x + } {{ } u u c Vrai ] ( 5 ( ( + 5 On put rmarqur qu (x ln ( + x + x x + x. α x Donc + x dx [x ln ( + x]α 0 (α ln ( + α (0 ln α ln ( + α. d Vrai 0 Pour tout x d [ ; ], on a : 0 0 [ Or x ] On a donc : x ln ln x ln x ln x ln x x ln (car x < 0 x x ln x x [ x xdx ] L x ln xdx [ ] x xdx (( ( 4 ( (. [ ] [ ] x L x ( L ( ( ( L Mathiu Pons matht.nt 0 / 5

11 Exrcic n o 8 : VVVV - Fonction xponntill a Vrai F (x x t pour tout rél x, F (x < 0 donc F st strictmnt décroissant sur R. D plus, lim x x + donc par somm, x + lim F (x + x + Et, lim x lim x + x 0 x lim x + donc par somm, lim F (x x F étant dérivabl sur R, ll st donc continu sur R t l équation F (x 0 admt un uniqu solution n vrtu du théorèm d la bijction (ou théorèm ds valurs intrmédiairs TVI. x F α On a par aillurs F (0 > 0 t F ( < 0 donc 0 < α <. b Vrai x n convrg t x n+ g(x n donc (x n convrg vrs la solution d l équation g(x x. g(x x x (x + x + Donc (x n convrg vrs α d où lim n + x n α. x x (x + x ( x + x x + x x x + x x x 0 F (x 0 x α Mathiu Pons matht.nt / 5

12 c Vrai La tangnt à (C n x a a pour équation y F (a(x a + F (a. L absciss x du point d intrsction d ctt droit avc l ax ds abscisss vérifi l équation : F (a(x a + F (a 0 xf (a af (a F (a x af (a F (a F (a x a ( a ( a a a x a a a a + a a x a (a + ( a + x g(a Donc ctt tangnt coup bin l ax ds abscisss n un point d coordonnés (g(a ; 0. d Vrai On rconnaît l algorithm d rchrch d la solution d F (x 0 par dichotomi. Clui-ci prmt d affichr un ncadrmnt d la solution ntr A t B. Or l algorithm affich A 0,5 t B 0,75 t la solution d l équation F (x 0 st α donc on put déduir l ncadrmnt d α suivant : 0, 5 < α < 0,75. Mathiu Pons matht.nt / 5

13 Exrcic n o 9 : VFFV - Fonction xponntill t logarithm a Vrai g (x [ ( (x ln (x + (x (ln (x ] ln (x + (x x ln (x ln (x ( + ln x car ln a ln ( a b Faux φ (x x x x ln (x x x x (x ln (x x x (x ln (x x (x g ( x x (x c Faux Étudions l sign d g (x : ln (x 0 ln (x ln (x ln (x x x + x g (x g g(+ Donc g admt un maximum n x +. Mathiu Pons matht.nt / 5

14 d Vrai f ( ln α ln ( ln α ln α ln ( ln α α ln ( ln α α ln (α α Or D où g(α 0 α (α ln (α 0 ln (α α α f ( ln α ln (α α α (α α α α (α α α α α α Mathiu Pons matht.nt 4 / 5

15 Exrcic n o 0 : FVFV - Suit t trigonométri a Faux ( π u n+8 ( n+8 + sin 4 (n + 8 ( π ( n ( 8 + sin 4 n + π ( π ( n + sin 4 n car sin (x + π sin x u n b Vrai Par définition d la fonction sinus, on a pour tout n d N : ( π ( π sin 4 n sin 4 n Si n st pair alors ( n t : ( π ( n + sin 4 n Si n st impair alors ( n t : ( π ( n + sin 4 n Par conséqunt pour tout n d N, on a : u n c Faux u 0 sin 0 0 u + sin π 4 u + sin π u + sin π 4 u 0 < u < u mais u < u Donc (u n n st pas monoton. d Vrai u n n u n gndarms, lim n + n 0. u n n. Or lim n n + n lim n + n 0 donc d après l théorèm ds Mathiu Pons matht.nt 5 / 5

16 Exrcic n o : VVVV - Suit d nombrs complxs a Vrai u n+ z n+ + i z n + i z n ( ( + u n u n Donc (u n st géométriqu d raison t d prmir trm u 0 z 0. b Vrai z n+ z n z n+ +i z n z n +i z n ( z +i n +iz n +i +iz n + i + i + i + i i i + i + i + i i i Mathiu Pons matht.nt 6 / 5

17 c Vrai A n appartint au disqu d cntr O t d rayon R si t sulmnt si la distanc OA n. OA n z n u n n n 4 n ln ln 4 n ln ln 4 ln n avc ln < 0 ln n ln ln ln ln n ln ln n ln ln n 4 d Vrai z n+ z n i z n+ z n z n+ z n+ z O i A na n+ A n A n+ OA n+ t par conséqunt l triangl OA n+ OA n A n+ st isocèl n A n+. ( z n+ z n zn+ z ( n i arg arg i OA n+ ; A n A n+ π t par conséqunt l triangl z n+ z n+ z O OA n A n+ st rctangl n A n+. Mathiu Pons matht.nt 7 / 5

18 Exrcic n o : FVVV - Géométri t complxs a Faux π z i 4 i i π 4 i π 4 ( i π 4 i π i π 4 + ( i π 4 + iπ i π 4 + i 5π 4 + i π 4 b Vrai OM z z i z z i z BM OM Donc M appartint la médiatric du sgmnt [OB]. c Vrai M appartint au crcl d cntr A t d rayon signifi qu : AM z z i z z i z z i z i z z OM Donc M appartint au crcl d cntr O t d rayon. d Vrai z st un imaginair pur signifi qu l point M appartint à l ax ds imaginairs c st-à-dir qu : arg z ± π ( z i arg ± π z 0 ( zm z B arg ± π z M z O ( OM ; BM ± π Donc l point M appartint au crcl d diamètr [OB] privé d O t d B. Mathiu Pons matht.nt 8 / 5

19 Exrcic n o : VFVV - Variabls aléatoirs rélls : Cours - Calculs a Vrai P(X > n P(X n n Si λ, on a bin P(X > n n. b Faux 0 λ λt dt [ λt] n 0 ( λn + 0 λn λn Par définition, P X>a (X > b P(X > b a donc P X>n (X > n + P(X > n + n P(X > c Vrai Par définition, Y N(µ, σ Z Y µ σ N(0,. d Vrai ( 7 9 P(7 Y P σ Y 9 σ ( P σ Z σ ( P 0 Z σ 9 σ par symétri d la courb d Gauss σ 0 + σ Mathiu Pons matht.nt 9 / 5

20 Exrcic n o 4 : FFVV - Probabilités conditionnlls Soit ls événmnts suivants : M n : «l actur a u un trou d mémoir lors d la n ièm rprésntation» ; R n : «l actur rlit son txt l soir d la n ièm rprésntation» ; M n t R n lurs événmnts contrairs. On a par aillurs d après l énoncé : p Rn (M n 9 p Rn (M n p Mn (R n+ p Mn (R n+ p(r L arbr d probabilités d la situation présnté st alors l suivant : 9 9 M M R 8 9 M Chmin R R M 8 9 M Chmin Chmin 4 M R M Chmin M Chmin 5 a Faux L événmnt : «l actur a u un trou d mémoir lors d la prmièr t d la duxièm rprésntation» s traduit par l chmin dans l arbr donc : p (M M b Faux L événmnt : «l actur a u un trou d mémoir lors d la duxièm rprésntation» s traduit par ls chmins, t dans l arbr donc : p (M Mathiu Pons matht.nt 0 / 5

21 c Vrai On chrch p M ( M p ( M M p ( M chmin 4 + chmin 5 p ( M d Vrai Ω p n p n 9 M n+ M n 8 M n+ 9 9 M n+ M n 7 M n+ 9 p n+ p(m n+ p(m n M n+ + p ( M n M n+ p(m n p Mn (M n+ + p ( M n pmn (M n+ p n 9 + ( p n p n p n 9 p Mn (M n+ s obtint n constatant dans l arbr initial qu chaqu fois qu M n st réalisé alors M n+ a un probabilité égal à 9 d s réalisr. D mêm, la qustion précédnt prmt d constatr qu chaqu fois qu M n st réalisé alors M n+ a un probabilité égal à 7 9 d s réalisr. Mathiu Pons matht.nt / 5

22 Exrcic n o 5 : VVVF - Logiqu t géométri dans l spac a Vrai ( d vctur dirctur m t (P d vctur normal sont parallèl si t sulmnt si : m 0 m + 0 m b Vrai Si m alors ( t (P sont parallèls. Dux cas d figurs puvnt s présntr : soit ( t (P sont strictmnt parallèls t n ont donc aucun point commun ; soit ( t (P sont confondus t ont donc un infinité d points communs. ( t (P confondus m t A( ; p ; (P m t x A y A + z A 0 m t p + 0 m t p Par conséqunt, si m t p alors ( t (P sont confondus. Et si m t p alors ( t (P sont strictmnt parallèls t il xist donc bl t bin au moins un rél p tl qu ( (P. c Vrai Si m alors ( t (P n sont pas parallèls t par conséqunt qulqu soit la valur d p, ( t (P s coupnt c st-à-dir ( (P. d Faux Si p alors A( ; ; (P car x A y A + z A + 0. Dux cas d figurs sont alors à nvisagr : soit m t dans c cas ( (P t par conséqunt ( (P {( } ; soit m t dans c cas ( t (P n sont pas parallèls t ( (P {A}. Un contr-xmpl d l affirmation st donc l cas m t p. Mathiu Pons matht.nt / 5

23 Exrcic n o 6 : FVVV - Orthogonalité dans l spac a Faux On a d un part : Et d autr part : BK BS + S K S B + S D Chasls (hypothès BJ BS + S J S B + S O ( S B + S D + DO S B + S D + DB S B + S D + ( DK + KB 4 S B + S D + ( DK + S B S D 4 4 (Chasls (hypothès (Chasls (hypothès (Chasls (hypothès précédnt On a par aillurs : Il vint alors : DK DS + S K Chasls S D + S D (hypothès S D BJ S B + S D + ( 4 S D + ( S B S D 4 S B + S B + S D S D S D 4 S B + S D 4 4 b Vrai D après ls rlations précédnts, on constat qu BJ BK donc ls vcturs BJ t BK sont 4 colinéairs t par conséqunt ls points B, K t J sont alignés. Mathiu Pons matht.nt / 5

24 c Vrai S K K J K (BJ K (S D K (CJ K (S A (BJC (S AD {(KK } D Or (KK (BC (configuration d Thalès t (BC (S F donc (KK qui st défini comm étant la droit ( st bin orthogonal à (S F. C A O F B d Vrai Chrchons ls coordonnés ds points J t K dans l rpèr imposé. Pour cla, on xprim ls vcturs OJ t OK n fonctions ds vcturs OB, OC t OJ. OK OD + DK (Chasls OD + DS (hypothès précédnt ( OD + DO + OS (Chasls OD OD + OJ (hypothès OD + 4 OJ Donc K a pour coordonnés 4 OB + 0 OC + OJ (hypothès ( ; 0 ; 4 t J a pour coordonnés (0 ; 0 ; Chrchons à présnt la rprésntation paramétriqu d la droit (KJ qui admt KJ 0 pour Mathiu Pons matht.nt 4 / 5

25 vctur dirctur t qui pass par J. Sa rprésntation paramétriqu st donc : x t y 0 z t + Il rst à détrminr l intrsction d la droit (KJ avc l plan (P d équation cartésinn x + y z Pour cla, on résout l équation : ( t + 0 ( t t + t 4 t Ls coordonnés du point d intrsction d (KJ t d (P sont donc : x ( y 0 z ( + (KJ t (P s coupnt donc bin au point Ω d coordonnés ( ; 0 ;. Mathiu Pons matht.nt 5 / 5