TD n 5 : CORRECTION. Intégrales doubles, triples, théorème de Green-Riemann, courbes paramétrées..

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1 TD n 5 : CORRECTION.Page sur 8 TD n 5 : CORRECTION Intégrales doubles, triples, théorème de Green-Riemann, courbes paramétrées.. a) t x t = cos t x t = sin t y t = cos t - y (t) = sin t - Γ est donc bien un chemin fermé, on a M l intervalle donné. = M = (; ) et on ne parcourt qu une seule fois le chemin sur

2 TD n 5 : CORRECTION.Page sur 8 b) Aire de S. Calcul d aires planes. Avec ω x, y = ydx + xdy, ou ω x, y = ydx ou ω x, y = xdy on a : Q x P y = et donc : Aire D = dxdy D = Q D P x y dxdy = dxdy D = Pdx + Qdy Γ= D Aire(D) = Γ= D xdy ydx = ydx Γ= D = xdy Γ= D En coordonnées polaires cela donne : Aire(D) = Γ= D r²dθ Attention ici, le sens de parcours n est pas le sens direct : Aire S = Aire S = xdy Γ= D sin t 3 3 c) xdxdy S Formule de Green-Riemann = sin t ( sin t) dt = sin t cos t (sin t) dt = cos t sin² t dt = 4 3 Soit S un compact simple de R, on note Γ la courbe délimitant S, orientée dans le sens direct. On note Γ = S le bord de S. Soit ω une forme différentielle de classe C définie dans S. Q S P x y dxdy = Pdx + Qdy Γ= S Avec ω x, y = Pdx + Qdy = xydx on a : Q x P y = x. Puis on applique Green-Riemann (attention au sens de parcours) S xdxdy = S Q x P y dxdy = Pdx + Qdy Γ= S = xydx Γ= S = sin t cos t ( cos t)dt S xdxdy = car l intégrande est impaire et on intègre sur un intervalle symétrique par rapport à.

3 TD n 5 : CORRECTION.Page 3 sur 8 Aire S = xdy Γ= D où Γ = Γ Γ avec Γ = courbe paramétée par γ et Γ = segment de A ; à O(; ) xdy Γ xdy Γ = t sin t sin t dt = t sin t dt t sin t sin t dt = sin t t cos t = sin t dt t sin t 4 = = 3 Aire S = t sin t sin t dt = 3

4 TD n 5 : CORRECTION.Page 4 sur 8 Sur Γ : Par passage en coordonnées polaires, avec t qui varie de à. Donc x = x t = cos t y = y t = sin t x (t) = sin t y (t) = cos t B(-,) A(,) Sur Γ : x = x t = t y = y t = avec t qui varie de à. Donc x (t) = y (t) = a = Γ 4dx + xydy = 8 sin t + cos² t sin t dt = 8 cos t cos t 3 3 = 3 3 b = 4dx + xydy = 6 Γ c = S ydxdy On passe en polaires c = r² sin t dt rdr = r3 cos t 3 = 6 3 b) En posant : ω x, y = 4dx + xydy = Pdx + Qdy, on a : Q P = y = y x y Formule de Green-Riemann Soit D un compact simple de R, on note Γ la courbe délimitant D, orientée dans le sens direct. On note Γ = D le bord de D. Soit ω une forme différentielle de classe C définie dans D. Q D P x y dxdy = Pdx + Qdy Γ= D Attention au sens de parcours. c = Q S P x y dxdy = ydxdy S D après le th. de Green-Riemann = Pdx + Qdy Γ Γ = D = 4dx + xydy Γ Γ = D c = 4dx + xydy Γ Γ = D D après la relation de Chasles = 4dx + xydy Γ 4dx + xydy Γ = a b Donc a = b + c

5 TD n 5 : CORRECTION.Page 5 sur 8 On intègre sur un cylindre. Il faut faire attention à l ordre d intégration. Méthode : Le volume D est la région comprise à l intérieur du cylindre d équation : 4 = x² + y², sous le plan horizontal d équation z = et au dessus du plan (xoy). D = x; y; z R 3, x² + y² 4, z. On peut faire varier z de à et prendre (x ;y) dans le disque de centre O et de rayon. D = x; y; z R 3, z, x; y D z. D z = x; y R, x² + y² 4 = Disque O; R =. Par passage en coordonnées cylindriques on obtient : I = D z z x²+y² dxdy dz = r z r² drdt dz En appliquant Fubini : I = r z r² drdt dz = r z r² dz dr dt I = r zr²+ dr r² + dt = r r² + dr dt = ln(r + ) dt I = ln 5 Méthode : I = r z r² dt dr dz = z 4 ln z dz

6 TD n 5 : CORRECTION.Page 6 sur 8 Sphériques x = r sin φ cos θ y = r sin φ sin θ z = r cos φ det J = r² sin φ r θ ; φ ; D f x, y, z dxdydz = f K=φ (D) r sin φ cos θ r sinφ sin θ r cos φ r² sin φ drdθdφ V xyz dxdydz = r 5 sin φ 3 cos φ cos θ sin θ dr dφ dθ V xyz dxdydz = r6 6 sin φ 4 4 cos² θ =

7 TD n 5 : CORRECTION.Page 7 sur 8 a) Le volume V est la région comprise à l intérieur du paraboloïde d équation : z = x² + y², sous le plan horizontal d équation z =. V = x; y; z R 3, x² + y² z. On peut faire varier z de à et prendre (x ;y) dans le disque de centre O et de rayon z. V = x; y; z R 3, z, x; y D z. D z = x; y R, x² + y² z = Disque O; R = z. Par Fubini on obtient : V = D z dxdy V = z dz dz = z dz = z V = b) x²z dxdydz V = x²zdxdy D z dz = z x²dxdy D z dz x dxdy D z On va passer en coordonnées polaires. z x dxdy = rcos t dt D z rdr = z 4 V x²z dxdydz = z x²dxdy D z dz = z z 4 dz = 6

8 TD n 5 : CORRECTION.Page 8 sur 8 Autre exemple :

9 TD n 5 : CORRECTION.Page 9 sur 8 t de - à t de -3 à 3 t de - à

10 TD n 5 : CORRECTION.Page sur 8 a) Symétrie. On utilise un changement de paramétrage pour Γ d équation : γ t = x = x t = 3t² y = y t = t 3 3t sur I = R Soit g t g(t) de I dans I telle que I = I g(i ) et I g I = ou un singleton Suivant la formule liant γog et γ, on fait varier t dans I, d où une courbe Γ, puis une courbe Γ déduite de Γ, et Γ = Γ Γ x g(t) = x(t) y g(t) = y(t) x g(t) = x t + a y g(t) = y t + b x g(t) = x(t) y g(t) = y(t) x g(t) = x(t) y g(t) = y(t) x g(t) = x(t) y g(t) = y(t) x g(t) = y(t) y g(t) = x(t) Isométrie permettant de passer de Γ à Γ Identité Translation de vecteur a i + bj Symétrie par rapport à (Oy) Symétrie par rapport à (Ox) Symétrie par rapport au point O Symétrie par rapport à la première bissectrice Généralement on teste : g(t) = t pour I = ] a; a[ et alors I = [; a[ g t = a + b t pour I = [a; b] et alors I = [a ; a+b [ g t = t pour I = ] ; + [ et alors I = ]; ] Ici : γ t = x = x t = x(t) y = y t = y(t) Donc pour I = ] ; [, on a I = [; [ On passe de Γ pour t dans I à Γ par symétrie par rapport à l axe Ox

11 TD n 5 : CORRECTION.Page sur 8 b) Points réguliers et biréguliers de la courbes. Définition. Soit Γ la trajectoire de l arc paramétré γ: t γ t = M(t) de classe C On dit que M(t) est un point régulier de Γ si et seulement si : γ (t) Si γ est de classe C On dit que M(t) est un point birégulier de Γ si et seulement si : la famille f (t); f (t) est libre. Pour les déterminer on écrit que le déterminant de la famille est non nul Un point non régulier est dit stationnaire. Théorèmes. γ un arc paramétré de classe C En tout point régulier M t de Γ, Γ admet une tangente et celle-ci est dirigé par γ (t). Soit M t point régulier de Γ, et T(t) la tangente en M(t)à Γ. Si x t, T(t) a pour coeff. directeur : y t x t Si x t =, T t est parallèle à Oy dans ce cas on a y t non nul car M t régulier Théorème. γ un arc paramétré de classe C k, et A(t) = γ t Si l un au moins des vecteurs dérivés successifs f (t); f (t);. ; f (k) (t) est non nul, alors Γ admet en A(t) une tangente et celle-ci est dirigée par le premier vecteur dérivé successif qui soit non nul.

12 TD n 5 : CORRECTION.Page sur 8 Allure de la courbe au voisinage d un point. Soit p le plus petit entier tel que : f (p) (t) Soit q le plus petit entier > p tel que : f p t ; f p t soit libre Points réguliers de l arc paramétré γ. Ici : γ t = x = x t = 3t² y = y t = t 3 3t donc γ t = x t = 6t y t = 3t 3 γ x t = 6t = t = y t = 3t 3 = ce qui est impossible car si x t =, alors t = or y = 3 De ce fait l arc paramétré γ est régulier car tous ces points sont réguliers. Points biréguliers de l arc paramétré γ. γ t = x t = 6t y t = 3t 3 donc γ t = x t = 6 y t = 6t Alors : x t y t y t x t = 36t² 8t² + 8 = implique : 8t² + 8 = 8 t + =. Donc x t y t y t x t pour tout réel t De ce fait l arc paramétré γ est birégulier car tous ces points sont biréguliers.

13 TD n 5 : CORRECTION.Page 3 sur 8 ) f t = cos 3 t sin 3 t = x(t) y(t) f t est -périodique, étude sur [- ;] Symétries. x(t) o f t = donc Γ présente une symétrie / Ox, on réduit l étude à ;. y(t) x(t) o f t = donc Γ présente une symétrie / Oy), on réduit l étude à [ ; y(t) ]. Remarque on pouvait encore réduire l intervalle d étude mais bon Variations. f t = 3 sin t cos t 3 cos t sin t et tableau de variations aisé. t x (t) - x y y (t) + Points non réguliers. Sur l intervalle d étude, f t = ssi t = ou, ce sont les deux seuls points non réguliers.

14 TD n 5 : CORRECTION.Page 4 sur 8 Etude aux points caractéristiques. o Pour t= : En M() = A( ; ) A=M() est un point non régulier car f = On calcule : f = 3, dirige la tangente en A. f = 6 et f t ; f 3 t est libre donc p= et q=3, Γ présente en A un point de rebroussement de ère espèce. o Pour t = : En M( ) = B( ; ) B = M est un point non régulier car f = On calcule : f = 3, dirige la tangente en B. f = 6 et f t ; f 3 t est libre donc p= et q=3, Γ présente en B un point de rebroussement de ère espèce.

15 TD n 5 : CORRECTION.Page 5 sur 8 ) f t = ch t = e x +e x sh t = e x e x = x(t) y(t) définie sur R Symétries. o f t = Variations. x(t) y(t) donc Γ présente une symétrie / Ox), on réduit l étude à ;+. f t = s t c t et tableau de variations aisé. t + x (t) + x + y + y (t) + Points non réguliers : Il n y a pas de points non réguliers car f t pour tous les t. En effet, si x t t R Etude aux points caractéristiques. o Pour t= : En M() = A( ; ) A = M(), f = qui dirige la tangente en A. Branches infinies. o o o Γ présente une branche infinie en + car lim t + f(t) = +. lim + x t = + = lim + y(t) donc on étudie le rapport y/x lim t + y(t) x t = lim t + y t x t =, alors Γ admet une pour asymptote la droite d équation y = x + = x.

16 TD n 5 : CORRECTION.Page 6 sur 8 3 ) f t = t² +t² t 3 +t² = x(t) y(t) définie sur R Symétries. x(t) o f t = donc Γ présente une symétrie / Ox, on réduit l étude à ;+. y(t) Variations. : f t = t +t² ² t²(3+t ) +t² ² et tableau de variations aisé. t + x (t) + x y + y (t) + Points non réguliers. Sur l intervalle d étude, f t = ssi t =, A(; ) = M() est le seul point non régulier. Etude aux points caractéristiques. o Pour t=, A(; ) = M() est un point non régulier car f = On calcule : f =, dirige la tangente en A. f = 6 et f t ; f 3 t est libre donc p= et q=3, Γ présente en A un point de rebroussement de ère espèce. Branches infinies. o Γ présente une branche infinie en + car lim t + f(t) = +. o lim t a y(t) = + lim t a x t =, alors Γ admet pour asymptote la droite d équation x =.

17 TD n 5 : CORRECTION.Page 7 sur 8 4 ) f t = t² + t 4 t² t 3 = x(t) y(t) définie sur R Aucune Symétrie. Variations. : f t = t(t + ) t( 3t) et tableau de variations aisé. t - /3 + x (t) /7 + x + + 5/8 y + 4/7 y (t) Points non réguliers. Sur l intervalle d étude, f t = ssi t =, A(; ) = M() est le seul point non régulier. Etude aux points caractéristiques. o Pour t=, A(; ) = M() est un point non régulier car f = On calcule : f =, dirige la tangente en A. f = 6 et f t ; f 3 t est libre donc p= et q=3, Γ présente en A un point de rebroussement de ère espèce. o Pour t=/3 : En M 3 = B 5 8 ; 4 7 B = M 3 est un point régulier car f 3 = 68 7 qui dirige la tangente en B. Branches infinies. o Γ présente une branche infinie en + car lim t + f(t) = +. o lim t ± y(t) x t =, alors Γ admet une branche parabolique de direction asymptotique (Ox).

18 TD n 5 : CORRECTION.Page 8 sur 8 Intersection de la courbe avec l axe (Ox). y t = ssi t = ou et x =, x = Donc les points d intersection de la courbe avec l axe (Ox) sont les points : M = A(; ) M = C(; )