Sujet 4 (Bac S) Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i r, r j ), l unité graphique étant 1 cm.

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1 Suje 4 (Bac S) Exercice 1 (Courbes paramérées) Le plan es rapporé à un repère orhonormal (O ; i r, r j ), l unié graphique éan 1 cm. 1) Soi (C) la courbe don une représenaion paramérique es : = = 1 2 x f( ) ( + 2) 2 = ( ) = 1 3 y g ( + 2) 2, a) Monrer que (C) es symérique par rappor à l axe des abscisses. b) Eudier conjoinemen les variaions des foncions f e g sur [0 ;+ [. c) Préciser la angene au poin de paramère = 0. d) Tracer la courbe (C). 2) Soi (P) la parabole d équaion y 2 = 4x a) Vérifier qu une représenaion paramérique de (P) es : 2 x( ) = y( ) = 2,. b) Tracer (P) dans le même repère que (C). c) Soi (D ) la angene à (P) au poin M de coordonnées (x(),y()). Soi ( ) la perpendiculaire à (D ) au poin M.

2 Monrer qu un équaion carésienne de ( ) es : Y = -X d) Pour \ { 0 }, ( ) coupe l axe des abscisses en un poin A e l axe des ordonnées en un poin B. On appelle I le milieu du segmen [A B ]. Exprimer en foncion de les coordonnées du poin I. Quel es l ensemble des poins I lorsque décri \ { 0 }? Exercice 2 (Obligaoire)(Probabiliés : variables aléaoires,espérance) Un joueur dispose d une urne conenan 3 boules rouges, 4 boules blanches e n boules veres ( 0 n 10 ). Les boules son indiscernables au oucher. 1) Le joueur ire au hasard une boule de l urne. Calculer la probabilié de chacun des événemens suivans : a) R : «La boule irée es rouge» ; b) B : «La boule irée es blanche» ; c) V : «La boule irée es vere». 2) Le joueur décide de jouer une parie.celle-ci se déroule de la manière indiquée ci-dessous. Le joueur ire une boule de l urne : Si elle es rouge, il gagne 16F ; Si elle es blanche, il perd 12F ; Si elle es vere, il reme la boule dans l urne, puis ire une boule de l urne :

3 - si cee boule es rouge, il gagne 8F ; - si cee boule es blanche, il perd 2F ; - Si cee boule es vere, il ne perd rien e ne gagne rien. Les irages son équiprobables e deux irages successifs son indépendans. Au débu de la parie, le joueur possède 12F. Soi X la variable aléaoire qui prend pour valeur la somme que le joueur possède à l issue de la parie (un irage qu deux irages selon le cas). a) Déerminer les valeurs prises par X. b) Déerminer la loi de probabilié de X. c) Monrer que l espérance mahémaique de X es n. 2 ( n+ 7) 3) On considère la foncion f définie sur l inervalle [0 ; 10] par f(x) = x. 2 ( x+ 7) Eudier les variaions de f. 4) En déduire la valeur n pour laquelle l espérance mahémaique de X es maximale.calculer cee valeur maximale (On donnera le résula sous la forme d une fracion irréducible). Exercice 2 (Spécialié)(Arihméique : divisibilié) 1) Démonrer que, pour ou enier naurel n : 2 3n 1 es un muliple de 7 ( on pourra uiliser un raisonnemen par récurrence). En déduire que 2 3n es un muliple de 7 e que 2 3n es un muliple de 7. 2) Déerminer les reses de la division par 7 des puissances de 2.

4 3) Le nombre p éan un enier naurel, on considère le nombre enier : A p = 2 p + 2 2p + 2 3p. a) Si p = 3n, quel es le rese de la division de Ap par 7? b) Démonrer que si p = 3n + 1 alors Ap es divisible par 7. c) Eudier la cas où p = 3n ) On considère les nombres eniers a e b écris dans le sysème binaire : a = b = Vérifier que ces deux nombres son de la forme A p. Son-ils divisibles par 7? Problème On considère les foncions f e g définies sur par : f(x) = 1 1+e x e g(x) = e x On noe (C) e (Γ) les courbes représenaives des foncions f e g dans un repère orhonormal (O; i r, r j ) ( unié graphique : 4 cm). Parie A : Eude des foncions f e g 1)a) Eudier les variaions de f sur.

5 b) Calculer les limies de f en + e -. Préciser les évenuelles asympoes à (C). c) Prouver que le poin Ω de coordonnées (0 ; 2 1 ) es cenre de symérie de (C). d) On noe (T) la angene à (C) au poin Ω. Déerminer le coefficien direceur de (T). e) Représener (T) e (C). 2) a) En observan que, pour ou nombre réel x, on a g(x) = f(-x), monrer que (Γ) es l image de (C) par une symérie que l on déerminera. b) Vérifier que, pour ou nombre réel x, on a f(x) + g(x) = 1. En déduire que (Γ) es l image de (C) par une aure symérie que l on déerminera. c) Déerminer le coefficien direceur de la angene (T ) à (Γ) au poin Ω. d) Représener (T ) e (Γ) sur la figure de la quesion 1. Parie B : Calcul d une aire On noe I = 1 f ( ) d e J = 1 g ( ) d ) En uilisan l égalié de la quesion A2)b), calculer I+J. 2)a) Monrer que, pour ou nombre réel,

6 1 1+e peu s écrire sous la forme e e +1. b) En déduire une primiive G de g sur, puis la valeur de J. 3)Calculer la valeur de I. 4)a) Prouver que, pour ou nombre réel x apparenan à [0 ;+ [, f(x) g(x). b) On noe l ensemble des poins du plan don les coordonnées (x,y) vérifien : 0< x< 1 f( x) y g( x) On noe A l aire, exprimée en cm 2, du domaine. Exprimer A en foncion de I e J. Donner une approximaion décimale de A à 10-2 près. Parie C : Eude d une foncion définie par une inégrale On considère les foncions h e H définies sur [0 ;+ [ par : h(x) = e x ln(1 + e -x ) e H(x) = x h( ) d b) En déduire que H es sricemen croissane sur [0 ;+ [. 2) On noe h la foncion dérivée de h. a)vérifier que, pour ou nombre réel x apparenan à [0 ;+ [, 0

7 h(x) = h (x) + g(x). b) En déduire H(x) en foncion de x. 3)a) Vérifier que, pour ou nombre réel x apparenan à [0 ;+ [, h(x) = x ln(1+ e ) x e. En déduire la limie de h en +. b) Déerminer la limie de H en +. Prouver finalemen que lim (H(x) x ) = 1 2ln2. x + Inerpréer graphiquemen ce dernier résula.