Séquence 1 : Nombres et calculs. Chapitre 7 : Puissances

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1 Séquence 1 : Nombres et calculs Chapitre 7 : Puissances

2 Chapitre 7 : Puissances. - Objectifs du chapitre : - Comprendre les notations a n et a -n et savoir les utiliser sur des exemples numériques, pour des exposants très simples et pour des égalités telle que a²x a 3 =a 5 ; (ab)²=a²xb²; a²/b 5 =(a/b) -3, où a et b sont des nombres relatifs non nuls. - Utiliser sur des exemples numériques les égalités : 10 m x10 n =10 m+n 1/10 n =10 -n ; (10 m ) n =10 mxn, où m et n sont des entiers relatifs. - Sur des exemples numériques, écrire un nombre décimal sous différentes formes faisant intervenir des puissances de Utiliser la notation scientifique pour obtenir un encadrement ou un ordre de grandeur du résultat du calcul. 2

3 Chapitre 7: Puissances I- Puissances entières d'un nombre relatif a désigne un nombre relatif et n désigne un nombre entier positif. 1. Notation «Puissance» 1.1 Puissances d exposants positifs Définition: Pour tout entier n supérieur ou égal à 2, a n est le produit de n facteurs tous égaux à n. a n =axaxa...xa Cas particuliers : - a 1 =a - Pour a différent de 0, a 0 = 1 Vocabulaire: a n se lit «a exposant n» ou «a puissance n». On dit que a n est une puissance de a. n est appelé l'exposant Remarques : a 2 se lit «a au carré» et a 3 se lit «a au cube» 2 4 = 2x2x2x2 = 16 (-5) 3 = (-5)x(-5)x(-5) = -125 (0,3)² = 0,3 x 0,3 = 0,9 (2/3)² = 4/ = =1 1.2 Puissances d'exposants négatifs. Définition: a étant un nombre relatif non nul et n un nombre entier positif non nul, le nombre a -n est égal à l inverse du nombre a n. et a -1 =1/a a -n est la puissance d exposant n du nombre a. Exemples: 2-4 =1/2 4 = 1/16 (-5) -3 =1/(-5) 3 =1/(-125) (0,3) -2 =1/0,3 2 =1/0,09=9/100 Calculer : (-2) 2 =4 1.3 Signe d'une puissance d'un nombre négatif 3

4 (-2) 3 =(-8) (-2) 4 =16 (-2) 5 =(-32) Propriété : Une puissance d un nombre Une puissance d'un nombre Une puissance d'un nombre Remarques : 7²=49 et (-7)²=49 Le produit de deux nombres négatifs est positif donc: Un carré est toujours un nombre positif. Attention : (-3)²= (-3)x(-3)=9 mais -3²= - 3 x 3 =-9 2. Priorités opératoires Propriété : Dans une expression sans parenthèses, on effectue d abord les puissances, puis les multiplications et les divisions, puis les additions et les soustractions = 5x2 2 = (3x2) 2 = 5²+5 3 = 3. Produit et quotient de puissances Propriété : Produit de deux puissances du même nombre : Le produit de deux puissances du même nombre est une puissance de ce nombre. Pour multiplier deux puissances du même nombre, on ajoute les exposants. Pour Démonstration : positif est un nombre positif. négatif dont l'exposant est pair est un nombre positif. négatif dont l'exposant est impair est un nombre négatif 5 3 x5 4 = 7 4 x7 9 = Propriété : Produit de deux puissances de même exposant : Pour multiplier des puissances de même exposant, on peut calculer la puissance de même exposant du produit des deux nombres. 4

5 Pour 0 0,, x x Démonstration : On regroupe les a et les b. comme il y en a le même nombre, on obtient la puissance de a b d'exposant n. 2 5 x5 5 = 6 3 x4 3 = Propriété : Quotient de deux puissances du même nombre : Le quotient de deux puissances du même nombre est une puissance de ce nombre. Pour diviser deux puissances du même nombre, on soustrait les exposants. Pour 0,, 5 3 /5 6 = 4 6 /4 5 = 2 5 /2 7 = 8 2 /8 4 = Propriété : Quotient de deux puissances de même exposant : Pour diviser des puissances de même exposant, on peut calculer la puissance de même exposant du quotient des deux nombres. Pour 0 0,, 28 3 /7 3 = 12 4 /2 4 = 81 5 /9 5 = Propriété : soit a un nombre entier différent de zéro, n et m deux relatifs : II- Cas particulier des puissances de dix 1. Calcul d'une puissance de 10 Propriété : Pour tout entier n positif non nul : 10 n =10x10 x10 = n =1/10 n =0,0 01 n zéros n zéros 5

6 10 5 = 10-3 = 10 1 = 10-1 = 2. Propriété Propriété : Pour multiplier un nombre en écriture décimale ; Par 10 n, on décale la virgule de n rangs vers la droite Par 10 -n, on décale la virgule de n rangs vers la gauche 3,5 x 10 4 = 3,5 x 10-4 = Propriété : n et p étant deux entiers relatifs 10 n x10 p =10 n+p 1/10 n =10 -n 10 n /10 p =10 n-p (10 n ) p =10 nxp 10 3 x10 5 = 10 4 x10-8 = 10 2 / /10-4 = (10 5 ) 2 = (10-2 ) 7 = Remarques : La somme ou la différence de deux puissances de dix ne sont pas des puissances de 10. Par exemple 10²+10 3 =1100. III- Différentes écritures d'un nombre décimal. 1. Écritures de la forme ax10 n 253,47 = x 10-2 = 0,25347 x 10 3 =2,5347 x 10 2 =.. 2. Écriture scientifique Propriété : L écriture scientifique d un nombre décimal différent de zéro est la seule écriture de la forme a x 10 n où : - a est un nombre décimal écrit avec un seul chiffre autre que 0 avant la virgule. - n est un nombre entier relatif. L écriture scientifique de 253,47 est 2,5347 x 10 2 A=0,287 x 10-4 =2,87 x 10-1 x10-4 =2,87 x