FONCTIONS USUELLES. (On fera un rapprochement dans la formulation avec l'équivalence : y = x y 0 et x = y 2 ) 3 2 π π 4.

Transcription

1 FONCTIONS USUELLES PLAN I : Fonctions trigonométriques ) Réciproque des fonctions trigonométriques ) Fonctions trigonométriques hyperboliques II : Equations fonctionnelles ) f(+y) = f() + f(y) ) f(+y) = f()f(y) ) f(y) = f()+f(y) 4) f(y) = f()f(y) Annee : trigonométrie I : Fonctions trigonométriques Réciproque des fonctions trigonométriques a) arcsin : sin : [ /,/] [,] est continue strictement monotone. Elle admet donc une réciproque notée arcsin. On a donc : θ = arcsin θ [ /,/] et = sinθ (On fera un rapprochement dans la formulation avec l'équivalence : y = y 0 et = y ) Voici un tableau de valeurs : arcsin sinθ θ arcsin est strictement croissante, impaire : arcsin( ) = arcsin [,], sin(arcsin) = θ [ /,/], arcsin(sinθ) = θ MAIS cette dernière relation est fausse si θ appartient à un autre intervalle. Eemple : arcsin[sin(/4)] = arcsin( ) = 4 (On fera un rapprochement dans la formultation des relations précédentes avec : +, ( ) = y +, y = y MAIS pour y quelconque dans, y = y

2 cos(arcsin) = car cos est positif sur [ /,/], et dans ce cas, cosθ = sin θ La dérivée d'arcsin est y arcsinus sinus o b) arccos cos : [0,] [,] est continue strictement monotone. Elle admet donc une réciproque notée arccos. On a donc : θ = arccos θ [0,] et = cosθ Voici un tableau de valeurs : arccos cosθ 0 θ arccos est strictement décroissante : arccos( ) = arccos En effet, θ = arccos( ) = cosθ et θ [0,] = cosθ = cos( θ) et θ [0,] θ = arccos [,], cos(arccos) = θ [0,], arccos(cosθ) = θ MAIS cette dernière relation est fausse si θ appartient à un autre intervalle.

3 Eemple : arccos[cos( /4)] = arccos( sin(arccos) = ) = 4 car sin est positif sur [0,], et dans ce cas, sinθ = cos θ arcsin + arccos = En effet, θ = arcsin θ [ /,/] et sinθ = = cos(/ θ) et / θ [0,] / θ = arccos La dérivée de arccos est y arccosinus o cosinus c) arctan tan : ] /,/[ est continue strictement monotone. Elle admet donc une réciproque notée arctan. On a donc : θ = arctan θ ] /,/[ et = tanθ Voici un tableau de valeurs : 0 + tanθ

4 arctan θ arctan est strictement croissante, impaire : arctan( ) = arctan, tan(arctan) = θ ] /,/[, arctan(tanθ) = θ MAIS cette dernière relation est fausse si θ appartient à un autre intervalle. Eemple : arctan[tan(/4)] = arctan( ) = 4 cos(arctan) = + car cos est positif sur [ /,/], et dans ce cas, cosθ = sin(arctan) = + +tan θ arctan + arctan =.sgn() où sgn() = si > 0 = si < 0 Les deu membres étant des fonctions impaires de, il suffit de le montrer pour > 0. Dans ce cas, on a : θ = arctan = tanθ et θ ]0,/[ = = tan(/ θ) et / θ ]0,/[ tanθ / θ = arctan La dérivée d'arctan est +.

5 y tan arctan o Fonctions trigonométriques hyperboliques a) sh et ch On pose : sh = e e ch = e + e On vérifie facilement que : sh est impair. ch est pair et strictement positif. sh' = ch donc sh est strictement croissante, et du signe de. ch' = sh donc ch est décroissant sur ],0] et croissant sur [0,+ [. sh ch e au voisinage de +. sh au voisinage de 0 (car sh'0 = ). ch au voisinage de 0. ch car on vérifiera que ch =.sh. Il eiste des formules de trigonométries hyperboliques, en particulier : ch sh = On consultera sur ce point l'annee, donnant une comparaison des formules de trigonométries circulaire et hyperbolique.

6 y ch sh o b) th On a : th = sh ch = e e e + e = e e + th est impaire. th' = ch = th > 0 donc th est strictement croissante. lim th = et lim th = + th au voisinage de 0 (car th'0 = ). A titre d'eercice, on pourra chercher les réciproques des fonctions hyperboliques.

7 y th o c) argsh sh est continue strictement monotone de sur. Cette fonction admet donc une réciproque, notée argsh. y = argsh = shy = ey e y D'où : e y.e y. = 0 e y = ± + La seule racine positive est + +. On a donc : y = argsh = ln( + +) Sa dérivée vaut + d) argch ch est continue strictement monotone de [0,+ [ sur [,+ [. Cette fonction admet donc une réciproque, notée argch. y = argch = chy = ey + e y et y 0 D'où : e y.e y. + = 0 e y = ± Les deu racines sont positives, mais la seule racine supérieure ou égale à est +. On a donc : y = argch = ln( + )

8 En fait, il peut être parfois utile d'étendre cette fonction à l'intervalle ], ] en considérant ln +, dont on vérifiera en eercice qu'elle est impaire. Sa dérivée vaut c) argth. th est continue strictement monotone de sur ],[. Elle admet donc une réciproque notée argth y = argth = thy D'où : e y e y + = e y = + y = argth = ln +. Il est parfois utile d'étendre cette fonction à \ {,} en considérant + ln Sa dérivée vaut II : Equations fonctionnelles Dans tout ce paragraphe, les fonctions sont continues. f(+y) = f() + f(y) f() = a vérifie cette équation. Inversement, soit f une fonction continue vérifiant cette équation. Posons a = f(). i) f(0) = 0. Il suffit de prendre = y = 0 ii) n, f(n) = nf(). Cela se prouve aisément par récurrence. iii) n, f(n) = nf(). Pour n > 0, on a en effet : 0 = f(0) = f(n n) = f(n) + f( n) = nf() + f( n) f( n) = nf() iv) n, f(n) = an. Il suffit de prendre = dans iii) v) n *, f( n ) = a n. Il suffit en effet de prendre = dans iii). On a alors : n a = f() = f( n n ) = nf( n ) vi), f() = a. En effet, si = n, on a, d'après iii) et iv) : q f() = f(n/q) = nf(/q) = an q = a vii), f() = a. Il suffit de prendre une suite de rationnels convergeant vers, et d'utiliser vi) et la continuité de f pour faire un passage à la limite. Nous pouvons donc conclure : PROPOSITION

9 Les fonctions continues vérifiant l'équation fonctionnelle f(+y)=f()+f(y) sont les fonctions linéaires. f(+y) = f()f(y) f() = A, A > 0, vérifie cette équation. Inversement, soit f une fonction continue vérifiant cette équation : Si f s'annule en un point, alors f est identiquement nulle. En effet, pour tout t : f(t) = f(t +) = f(t )f() = 0. Nous supposerons donc que f ne s'annule en aucun. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, f est de signe constant, et comme f() = f() > 0, on en déduit que f est strictement positive. Posons g() = ln(f()). g est continue et vérifie : g(+y) = g() + g(y). D'après le ), il eiste donc a tel que g() = a. Donc f() = ep(a) = Α avec Α = ep(a). Nous pouvons donc conclure : PROPOSITION Les fonctions continues vérifiant l'équation fonctionnelle f(+y)=f()f(y) sont : la fonction identiquement nulle les fonctions eponentielles Α, Α > 0. f(y) = f()+f(y) f() = ln vérifie cette équation. Inversement, soit f une fonction continue vérifiant cette équation. Posons g() = f(e ). g est continue et vérifie g(+y) = g() + g(y). Donc il eiste a tel que g() = a = f(e ). Ainsi, pour > 0, f() = aln f ne peut être définie continue sur, sauf si a = 0. Il se peut que f soit définie continue sur *. Si b = f( ), on a alors 0 = f() = f[( ) ] = f( ) donc f( ) = 0. Pour > 0, on alors : f( ) = f( ) + f() = f(). Ainsi, f() = f( ) = aln fonction qui vérifie bien la relation. Nous pouvons conclure : PROPOSITION Soit f une fonction continue vérifiant l'équation fonctionnelle f(y)=f()+f(y). Alors : Si f est définie sur, f = 0. Si f est définie sur 4 f(y) = f()f(y) + ou sur *, alors f() = aln( ). f() = µ vérifie cette équation. Inversement, soit f continue vérifiant cette équation. Posons g() = f(e ). On a alors g(+y) = g()g(y). Donc g = 0 ou bien il eiste Α > 0 tel que g() = Α. i) Dans le premier cas, f = 0 sur + *. Pour = 0, on a f(0) = f(0)f() = 0, et pour > 0, f( ) = f( )f() = 0. f est identiquement nulle. ii) Dans le second cas, pour > 0, f() = g(ln) = Α ln = lnα = µ avec µ = lnα. Cette fonction ne peut être définie et continue en 0 que si µ 0. Si f est définie sur *, alors f() = = f[( ) ] = f( ), donc f( ) = ou. Si f( ) =, alors, pour > 0, f( ) = f( )f() = µ et donc, pour tout non nul, f() = µ Si f( ) =, alors, pour > 0, f( ) = µ, et donc, pour tout non nul, f() = sg(). µ, fonction qui vérifie bien la relation.

10 Nous pouvons conclure : PROPOSITION Soit f une fonction continue vérifiant l'équation fonctionnelle f(y) = f()f(y). Alors f est l'une des fonctions suivantes : f = 0 f() = µ f() = sg(). µ Annee : trigonométrie Voici une comparaison des formules de trigonométrie circulaires et hyperboliques : cos = ei + e i sin = ei e i i tan = sin cos cos' = sin sin' = cos tan' = cos = + tan DERIVEES ch = e + e sh = e e th = sh ch ch' = sh sh' = ch th' = ch = tan

11 cos + sin = cos(a+b) = cosa cosb sina sinb cos(a b) = cosa cosb + sina sinb cos() = cos sin cos = + cos() sin(a+b) = sina cosb + cosa sinb sin(a b) = sina cosb cosa sinb sin() = sin cos sin = cos() tana + tanb tan(a + b) = tana tanb tana tanb tan(a b) = + tana tanb tan tan() = tan cosa cosb = [cos(a + b) + cos(a b)] sina sinb = [cos(a + b) cos(a b)] sina cosb = [sin(a + b) + sin(a b)] cosp + cosq = cos p + q cos p q cosp cosq = sin p + q sin p q sinp + sinq = sin p + q pour t = tan t sin = + t cos = t + t tan = t t cos p q FORMULES ch sh = ch(a+b) = cha chb + sha shb ch(a b) = cha chb sha shb ch() = ch + sh ch = + ch() sh(a+b) = sha chb + cha shb sh(a b) = sha chb cha shb sh() = sh ch sh = ch() tha + thb th(a + b) = + tha thb tha thb th(a b) = tha thb th th() = + th cha chb = [ch(a + b) + ch(a b)] sha shb = [ch(a + b) ch(a b)] sha chb = [sh(a + b) + sh(a b)] chp + chq = ch p + q ch p q chp chq = sh p + q sh p q shp + shq = sh p + q pour t = th t sh = t ch = + t t t th = + t ch p q

12 PARAMETRAGES paramétrage de l'ellipse a + y b = = a cos t y = b sin t paramétrage de l'hyperbole a y b = = a ch t y = b sh t sin ~ cos ~ tan ~ cos EQUIVALENTS au voisinage de 0 sh ~ ch ~ th ~ ch DEVELOPPEMENTS LIMITES au voisinage de 0 n sin = k=0 ( ) k k+ (k+)! + o(n+ ) n sh = k=0 k+ (k+)! + o(n+ ) n cos = k=0 ( ) k k (k)! + o(n+ ) n ch = k=0 k (k)! + o(n+ )