Mathématiques appliquées à la topographie - niveau 1

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1 VILLE DE LIEGE INSTITUT DE TRAVAUX PUBLICS Enseignement de pomotion sociale Mathématiques appliquées à la topogaphie - niveau 1 Notes de cous povisoies Jean-Luc Becke

2 Tigonométie plane

3 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 1. Nombes tigonométiques des angles aigus Soit un angle aigu quelconque. Constuisons un tiangle ectangle contenant cet angle. B 1.1. Définitions C α A On appelle SINUS d un angle aigu α le appot ente le côté opposé à l angle et l hypoténuse, COSINUS de cet angle α le appot ente le côté adjacent à l angle et l hypoténuse, TANGENTE le appot ente le côté opposé à l angle et le côté adjacent à l angle, et COTANGENTE le appot ente le côté adjacent à l angle et le côté opposé à l angle. En ésumé : coté opposé coté adjacent coté opposé sin α = cos α = tg α = hypotenuse hypotenuse coté adjacent On peut facilement monte à l aide des tiangles semblables que ces nombes sont indépendants du tiangle ectangle choisi. Ces nombes ne dépendent donc que de l angle α ( ou de son amplitude ) et son appelés nombes tigonométiques de l angle aigu α. Avec les notations du tiangle ci-dessus, on a donc sin $ c C cos C $ $ c sin $ b = = tg C = B = a a b a cos B $ = c a tg B $ = b c 1.. Popiétés En obsevant les définitions et le tableau des valeus ci-dessus, on voit de suite que : sin B $ = cos C $ = cos 90 B$ sin C $ = cos B $ = cos 90 C$ ( ) ( ) Le théoème de Pythagoe a une conséquence emaquable appelée elation fondamentale de la tigonométie. En effet, on a AB² + AC² = BC² AB² AC² + = 1 BC² BC² AB AC + BC = 1 BC ( sin α) ( cos α) + = 1 ce que les mathématiciens écivent souvent sin² α+ cos² α =1 3

4 . Unités de mesue des angles Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1.1. Le degé Le degé est pa définition la nonantième patie de l angle doit. Ainsi, un angle plat a pou mesue 180. Le degé est subdivisé en 60 minutes et une minute en 60 secondes : 1 = 60, 1 = 60, donc 1 = Notons cependant qu en patique, on utilise de moins en mois les degésminutes-secondes au pofit des degés décimaux... Le gade Le gade est pa définition la centième patie de l angle doit. Ainsi, un angle plat a pou mesue 00 g. Le gade est subdivisé décimalement comme beaucoup d'autes unités du système intenational. Notons cependant un sous-multiple du gade souvent utilisé en topométie : le décimilligade ( dmg) qui vaut bien entendu un dix-millième de gade : 1 1dmg= g = 4 10 g = 0, 0001 g.3. Relation ente les unités La elation ente ces deux unité découle d'une simple ègle de tois. En effet, on a 100 g = 90 1 g = 0,9 1 = 10 9 g 3. Fomulaie 3.1. Tiangles ectangles A$ + B$ + C$ + = 00g B a c A b 3.. Tiangles quelconques A C sin B $ = b a = cos C $ sin C $ = c a = cos B $ tgb$ = b c = cot gc$ tg C$ = c b = cot gb$ a = b + c A$ + B$ + C$ = 00g c B a b C a b c sin $ = sin $ = A B sin C $ a = b + c bccos A $ b = c + a cacos B $ c = a + b abcos C $ 4

5 4. Execices Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 1/ Un point O est situé à 5 m au-dessus du plan hoizontal α passant pa le pied d une tou. De 0, on voit le sommet de la tou sous un angle de 55 g au-dessus de l hoizontale passant pa O et le pied sous un angle de 11 g au-dessous de la même hoizontale. Calcule la hauteu de la tou. 55g 5,00 H? 11g / Un obsevateu est à 30 m du pied d une tou veticale de 5 m de hauteu. On demande sous quel angle il voit la tou, son œil étant à 1 m 50 du sol supposé hoizontal. 1,50 5,00? 30,00 5

6 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 3/ Deux obsevateus, distants de 1750 m su une hoizontale, mesuent au même instant les angles d élévation d un point emaquable d un nuage, losque celui-ci tavese le plan vetical de la base d obsevation; ils touvent 80 g et 93 g. Quelle est la hauteu du nuage, si celui-ci passe ente les deux obsevateus? 80g 93g / Une pesonne placée au bod d une ivièe voit dans une diection pependiculaie à la ivièe, un abe planté su la ive opposée sous un angle de 53 g; elle ecule de 50 m et cet angle n est plus que de 0 g. Quelle est la hauteu de l abe et la lageu de la ivièe?? 53g 0g? 50,00 6

7 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 5/ Su un teain hoizontal, on obseve une tou sous un angle d élévation de 78,6434 g. En eculant de 37,84 mètes, on obseve alos la tou sous un angle d'élévation de 31,3733 g. Quelle est la hauteu de la tou sachant que l obsevation a été faite à 1,55 m du sol? 78,6434g 31,3733g 1,55? 37,84 6/ Un bateau quitte son embacadèe pou pende le lage. Sachant que sa plus haute stuctue est 4 mètes au dessus du niveau de l eau et que le ayon de la tee est de 6378 km, à quelle distance du ivage le paquebot dispaaîta-t-il à l hoizon?? 6378 km 4 m 7

8 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 7/ Du sommet S d une colline de hauteu H, on obseve deux points X et Y dans la plaine. Détemine la distance d ente les points X et Y sachant que les lignes de visée SX et SY foment espectivement des angles α et β avec l hoizontale en S et que SX et SY foment une angle γ. Calcule la distance d sachant que α = 8,5741 g, β = 6,957 g, γ = 73,051 g et H = 90 m. 8/ Un géomète se touve su le bod d une ivièe à 63 m du pied d un pylône d un pont suspendu et obseve le sommet de ce pylône sous un angle d'élévation de 44,554 g pa appot à l hoizontale. Un pylône identique, situé su l aute ive, est vu sous un angle d'élévation de 1,698 g. Calcule la potée du pont sachant que l écat ente les deux pylônes se voit sous un angle hoizontal de 84,6377 g. 8

9 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 9/ Deux obsevateus au sol sont situés dans l axe d un couloi aéien à une distance de 1 km l un de l aute. A l appoche d un avion, ces obsevateus notent au même moment l angle d élévation de l avion pa appot à l hoizon ( l avion n est pas ente les obsevateus). L obsevateu le plus poche de l avion mesue 6,875 g tandis que l aute 34 g. Sachant que l avion passe au-dessus du pemie obsevateu 8 secondes plus tad, calcule sa vitesse hoaie et son altitude. 6,875g 34g 1 km 10/ D un point P d une plaine, on vise les sommets A et B de deux collines. La colline de sommet A est située au Nod-Ouest de P, a une altitude de 50 mètes et est vue sous un angle d'élévation de 70,4833 g. La colline de sommet B est située au nod-est de P, a une altitude de 55 mètes et est vue sous un angle d'élévation de 73,7133 g. Quelle est la distance hoizontale ente A et B (estimée d apès une cate) et la distance éelle ente A et B? 9

10 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 11/ On obseve au NO une antenne de adio. Apès avoi pogessé ves le NE su 3055 m, on obseve l antenne plein ouest sous un angle d'élévation de 8,6403 g. Quelle est la hauteu de l antenne si elle est vue à 1,4 m du sol? 1/ On obseve un ésevoi sphéique depuis une base AB longue de 53 m. Les visées hoizontales tangentes à ce ésevoi issues de A foment avec AB des angles de 33,6313 g et de 63,3547 g; celles issues de B des angles de 43,806 g et de 79,4406 g. Quel est le volume de ce ésevoi? C A 63,3547g 33,6313g 53,00 43,806g 79,4406g B 10

11 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 13/ Un andonneu machant ves le nod obseve, devant lui, une colline sous un angle d élévation a. En se déplaçant ves l est, su une distance d, cette même colline est vue sous un angle d élévation b. Détemine en fonction de a, b, et d la hauteu h de la colline. Calcule h avec les mesues indiquées su la figue ci-dessous. 14/ Un obsevateu situé su la plaine en une station A mesue l angle d élévation d un pic montagneux appaaissant dans la diection sud-est (18,5544 g). Il gavit ensuite une colline située à l est-nod-est de la station A. Du sommet de cette colline, de hauteu 168 m au dessus de la plaine, le pic montagneux appaaît cette fois au sud sous un angle d élévation 13,159 g. Calcule la hauteu du pic montagneux. 15/ Une station d obsevation epèe un ballon sonde au nod-est selon un angle d élévation a au-dessus de l hoizon. Dix minutes plus tad, le ballon est obsevé plein Nod selon un angle 11

12 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 d élévation b. On constate pa d autes mesues que le ballon a une vitesse ascensionnelle de 6 km/h. On demande la vitesse hoizontale du ballon (supposée constante) sachant qu il se meut sous l effet d un vent d Est. (valeus numéique des angles: a = 11 g et b= 4 g). 16/ Un capitaine de navie obseve dans la diection faisant un angle de 4 g avec la diection de son cap, un oche de hauteu h 1 sumonté d une tou de hauteu h. Il mesue l angle d élévation du sommet de la tou et touve 9,7897 g. Apès avoi pacouu 100 m, il mesue une nouvelle fois l angle d élévation du sommet de la tou (4,9664 g) ainsi que celui de son pied (1,566 g). Calcule les hauteus h 1 et h. 17/ Un paatonnee de longueu connue p est placé su un édifice. D un point situé à une distance d du pied de l édifice et à une hauteu h au-dessus du sol, on voit le paatonnee sous un 1

13 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 angle a. Calcule la hauteu de l édifice, sachant que p = 3 m, d = 36,9 m, h = 1,50 m et a = 3,5470 g. 13

14 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 Tigonométie sphéique 14

15 1. Mesue des acs de cecle Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau Unités x gades (ou degés ou adians) d'angle x gades (ou degés ou adians) d'ac On définit chacune des unités de mesue des acs de cecle suivantes comme étant l ac intecepté pa l unité de mesue des angles coespondante. Ainsi, un degé d ac est un ac intecepté pa un angle au cente de 1 ; un adian d ac est un ac intecepté pa un angle au cente de 1 adian et un gade d ac est un ac intecepté pa un angle au cente de 1 gade. Rappelons que le adian est pa définition la mesue de l angle au cente inteceptant un ac de longueu égale au ayon du cecle. Avec de telles définitions, on peut affime que tout ac de cecle a pou mesue la mesue de l angle au cente qui l intecepte. Remaquons bien que ces définitions donnent des mesues des acs indépendantes du ayon du cecle, au contaie de leu longueu. 1.. Longueu d un ac de mesue connue a Une ègle de tois évidente donne immédiatement la longueu d un ac de cecle de ayon R et de mesue connue: a L =. πr, si a est expimé en degé s 360 g a L =. πr, si a est expimé en gades g 400 a L =. πr = a. R, si a est expimé en adians. π. Définitions Soit une sphèe de cente 0. Coupons-la pa tois plans passant pa son cente; ces plans déteminent su la sphèe des acs de gands cecles AB, BC, CA qui pemettent la définition suivante: On appelle tiangle sphéique, un tiangle tacé su la sphèe au moyen d acs de gands cecles inféieus à un demi-cecle. L impotante estiction finale va de soi, si l on veut conseve la figue tiangulaie habituelle. 15

16 B a c C b A O Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 Les acs de gands cecles fomant le tiangle sphéique ABC en sont les côtés : on epésente leus mesues pa a, b, c suivant qu ils sont opposés aux sommets A, B ou C. Les angles du tiangle sphéique sont des angles fomés pa des acs de gands cecles, c est-à-die des angles obtenus en taçant des tangentes à ces acs, dans les plans qui les contiennent, pa les sommets du tiangle. Les plans passant pa le cente de la sphèe déteminent un tiède cental OABC. Les faces angulaies de ce tiède sont des angles au cente ayant la même mesue que les côtés du tiangle. Les ectilignes des dièdes du tiède cental sont égaux aux angles coespondants du tiangle sphéique. Pa le cente de la sphèe, taçons des pependiculaies aux faces du tiède cental situées, pa appot à ces faces, du même côté que les aêtes opposées. Ces pependiculaies pecent la sphèe aux points A, B et C. Ces points sont chacun pôle d un des acs de gands cecles BC, AC et AB. Le tiangle sphéique A B C est appelé tiangle sphéique polaie du tiangle ABC. 3. Relations géométiques La coespondance établie ente les faces angulaies du tiède et les côtés du tiangle d une pat, les ectilignes des dièdes et les angles du tiangle d aute pat, pemettent d énonce les elations suivantes : 1. La somme des côtés d un tiangle sphéique est inféieue à un gand cecle.. Chaque côté d un tiangle sphéique est inféieu à la somme des deux autes. 3. La somme des angles d un tiangle sphéique est compise ente deux et six doits. 4. L excès de la somme de deux angles su le toisième est inféieue à deux doits. Enfin, les elations existant ente les faces ou les ectilignes d un tiède et les ectilignes ou les faces du tiède supplémentaie donnent l énoncé suivant : chaque angle d un tiangle sphéique est le supplément du côté opposé dans le tiangle polaie. De plus, on sait que (E, l excès sphéique, valant la somme des angles moins 180 ), l aie d un tiangle sphéique quelconque est à l aie du tiangle tiectangle comme son excès sphéique est à un doit. Si E est expimé en degés, l aie du tiangle vaut E T = π R 90 16

17 4. Relations tigonométiques Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau Relations fondamentales 4.. Relations aux sinus cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A $ ) cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B ) cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C ) ) ) sin A sin B sin C sin p sin(p - a) sin(p - b) sin(p - c) = = = sin a sin b sin c sin asinbsin c 4.3. Lois des cotangentes Patons de la pemièe fomule du goupe fondamental et emplaçons-y cos c pa sa valeu tiée de la toisième : ) cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A ) ) cos a = cos b (cos a cos b + sin a sin b cos C) + sin b sin c cos A ) ) cos a = cos a cos² b + sin a sin b cos b cos C + sin b sin c cos A ) ) cos a - cos a cos² b = sin a sin b cos b cos C + sin b sin c cos A ) ) cos a (1 - cos² b) = sin a sin b cos b cos C + sin b sin c cos A ) ) cos a sin² b = sin a sin b cos b cos C + sin b sin c cos A Divisons pa sin b sin a, cos a ) sin c sin b = cos bcos C + sin a sin a cos ) A Remplaçons sin ) c sin C ) ) ) pa ), nous obtenons cotg a sin b = cos b cos C + sin C cotg A. sin a sin A En pocédant pa analogie, nous obtenons les lois des cotangentes : ) ) ) cotg a sin b = cos b cos C + sin C cotg A ) ) ) cotg a sin c = cos c cos B + sin B cotg A ) ) ) cotg b sin a = cos a cos C + sin C cotg B ) ) ) cotg b sin c = cos c cos A + sin A cotg B ) ) ) cotg c sin a = cos a cos B + sin B cotg C ) ) ) cotg c sin b = cos b cos A + sin A cotg C 17

18 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau Relations ente tois angles et un côté Considéons le tiangle ABC et son tiangle polaie A B C. D apès la géométie A = π - a et a = π - A, B = π - b et b = π - B, C = π - c et c = π - C. Appliquons la fomule fondamentale au tiangle polaie A B C : ) cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A ou ) ) ) ) ) cos( π A) = cos( π B) cos( π C) + sin ( π B) sin ( π C) cos ( π a) ou ou enfin ) ) ) ) ) - cos A = cos B cos C - sin B sin C cos a ) ) ) ) ) cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a ) ) ) ) ) cos B = - cos A cos C + sin A sin C cos b ) ) ) ) ) cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c 4.5. Tiangles ectangles Fomulaie ) ) Si on emplace A pa 90, sin A = 1 et cos A = 0, les fomules pécédentes pennent des expessions plus simples connues sous le nom de fomules des tiangles ectangles : cos a = cos b cos c ) ) cos a = cotg B cotg C ) ) ) sin b = sin a sin B cos B = cos b sin C ) ) ) sin c = sin a sin C cos C = cos c sin B ) tg b = tg a cos C ) tg c = tg a cos B ) tg b = sin c tg B ) tg c = sin b tg C 4.5. Natue des éléments En multipliants les deux membes de la fomule cos a = cos b cos c pa cos a, on obtient cos a = cos a cos b cos c. Le pemie membe étant positif, le second membe doit conteni tois facteus positifs ou deux négatifs et un positif. Les côtés d'un tiangle sphéique ectangle sont donc tous inféieus à un quadant ou l'un est inféieu à un quadant et les deux aute supéieus à un quadant. En conclusion : dans un tiangle sphéique ectangle, le nombe de côtés obtus est toujous pai. 18

19 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 ) ) De plus les fomules tg b = sin c tg B et tg c = sin b tg C montent que tg b et tgb $ sont de même signe, comme tg c et tgc $. On en conclut que : dans un tiangle sphéique ectangle, chaque côté de l'angle doit est de même natue que l'angle qui lui est opposé. 5. Execices 1. Calcule la vaie gandeu d'un angle pojeté su un plan hoizontal suivant un angle de 107 g si ses côtés font avec ce même plan des angles espectifs de 86 g et 9 g.. Calcule la pojection d'un angle de 79 g su un plan hoizontal si ses côtés font avec ce même plan des angles espectifs de 6 g et 69 g. 3. Calcule la distance qui sépae Rio de Janeio (3 7'S; 4 10'W) et le Cap de Bonne Espéance (34 3'S; 18 30'E) si le globe teeste est supposé sphéique et de ayon 6378 km. 4. Calcule les angles dièdes d'un tétaède égulie. 5. On considèe su le globe teeste supposé sphéique le point A de coodonnées géogaphiques 49 E et 38 N et un point B de coodonnées géogaphiques 143 E et 65 S. Calcule le gisement de BA en B ( gis BA = angle ente la diection Nod en B et l'ac BA, compté positivement depuis cette diection Nod; ayon teeste = 6380 km) et la longitude du point D, point d'intesection de l'ac de gand cecle AB avec l'équateu. 6. On donne su le globe teeste supposé sphéique (ayon : 6380 km) deux points de même latitude 33,7 Nod et de longitude 7,9 Est (A) et 11,8 Est (B). Calcule la difféence ente la distance de A à B su l'ac de gand cecle qui les unit et la distance ente ces mêmes points su leu paallèle. 19

20 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 Géométie analytique 0

21 1. Repèes du plan Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 O e e 1 Un epèe du plan est constitué 1/ d'un point de éféence ( abitaiement choisi ) appelé oigine du epèe et souvent noté O; / d'un ensemble de deux vecteus non nuls et non alignés ( e1, e) souvent appelé base du epèe. Nous noteons un tel O; e, e epèe { } 1. Si les vecteus de la base sont pependiculaies, le epèe est dit othogonal; si les vecteus de la base sont de même longueu, le epèe dit nomé; si les vecteus de la base sont à la fois pependiculaies et només, le epèe sea dit othonomé. Considéons alos un point P quelconque du plan et pojetons le su l'axe ( Oe, 1) en P' et su l'axe ( Oe, ) en P". On a alos les égalités suivantes : P" P OP = OP' + OP" OP = x e + y e 1 e P' e 1 O Cette décomposition de OP suivant les vecteus de la base est unique. A tout point du plan, on peut donc faie coesponde un et un seul couple de nombes éels et écipoquement. Ce couple (x,y) est appelé coodonnées du point P, qui se note P(x,y) : Pxy (, ) OP= xe + ye 1 La pemièe coodonnée est appelée abscisse de P et la seconde odonnée de P. La doite déteminée pa O et le vecteu e 1 est un axe ( voi.1.) et s'appelle l'axe des abscisses. Il est souvent noté X. La doite déteminée pa O et le vecteu e est un axe ( voi.1.) et s'appelle l'axe des odonnées. Il est souvent noté Y. Avec ces notations, il nous aivea pafois Oe ;, e de pale du epèe XOY pou le epèe { } 1. 1

22 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 En pocédant de la même manièe avec un vecteu (libe ou lié) quelconque, on peut défini la notion de coodonnées d'un vecteu v : v e v vv (, v) v= v e + v e e O e 1 On démonte alos le ésultat suivant : v e 1 1 (, y ) Bx B B y B M y A (, y ) Ax A A e x A e 1 O M x x y y A + B A + B (, ) Les coodonnées du milieu d'un segment sont égales à la moyenne aithmétique des coodonnes des extémités du segment. x B

23 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1. Equations vectoielles, paamétiques et catésiennes de la doite du plan.1. Notion d'équation d'une doite On appelle équation d'une doite toute condition nécessaie et suffisante pou qu'un point du plan appatienne à cette doite... Equation vectoielle d A B P Soit d une doite quelconque et A et B deux points distincts su d. Soit enfin P un point quelconque du plan. On a alos les équivalences suivantes : P d AP est paallèle à AB le vecteu AP est multiple du vecteu AB k R : AP = k AB On en déduit donc que AP = k AB est une équation vectoielle de la doite d = AB. Vocabulaie : 1/ k est appelé paamète éel. / AB est appelé vecteu diecteu de la doite d = AB. Remaque : une doite possède de nombeuses équations vectoielles puisqu'elle possède de nombeux vecteus diecteus : n'impote quel vecteu déteminé pa deux points distincts quelconques de la doite..3. Equations paamétiques e O e 1 AB v (, v ) 1 (, y ) Ax A A B Pxy (, ) Munissons le plan d'un epèe { Oe ;, e} 1 et désignons pa (x,y) les coodonnées de P, pa x y v, v les (, ) les coodonnées de A et pa ( ) A A 1 coodonnées du vecteu diecteu AB. On a alos les équivalences suivantes : AP = k AB OP OA = k AB OP = OA + k xe + ye = xae + yae + k v e + v e xe + ye = x + kv e + y + kv e AB ( ) ( A ) ( A ) ce qui donne le système d'équations suivant 3

24 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 x = xa + kv1 y = ya + kv appelé système d'équations paamétiques de la doite d. Le couple ( v v ),, coodonnées du vecteu diecteu, s'appelle un couple de paamètes 1 diecteus de la doite..4. Equations catésiennes Pou obteni une équation catésienne de la doite d, il suffit d'élimine le paamète k du système d'équations paamétiques de d. 1, sont les coodonnées d'un vecteu diecteu de d, donc que v 1 et v ne sont pas nuls tous les deux en même temps ( sinon la doite n'a plus de diection?! ) On sait que ( v v ) Dès los, tois cas sont possibles : 1/ v 1 et v sont non nuls : le système d'équations paamétiques peut alos s'écie : x xa k x xa = kv = 1 v1 x xa y ya = v( x xa) = v1 ( y ya) (*) y y kv y y A = A v v k = 1 v vx vxa = v1 y v1ya v x v1 y v xa + v1 ya = 0 ; c'est-à-die une équation de la fome a x + b y + c = 0, où a (=v ) et b (= -v 1 ) ne sont pas nuls. Remaquons que le vecteu diecteu v(v 1,v ) peut aussi s'écie v(-b,a). / v 1 = 0 : le système d'équations paamétiques peut alos s'écie : x = xa x = xa ; y = ya + kv c'est-à-die une équation de la fome a x + b y + c = 0, où a = 1, b = 0. Remaquons que dans ce cas la doite est paallèle à l'axe Y puisque son vecteu diecteu v a pou coodonnées (0, v ). Remaquons qu'un aute vecteu diecteu de la doite d est alos (0,1) = (-b,a). 3/ v = 0 : le système d'équations paamétiques peut alos s'écie : x = xa + kv1 y = ya ; y = ya c'est-à-die une équation de la fome a x + b y + c = 0, où a = 0, b = 1. Remaquons que dans ce cas la doite est paallèle à l'axe X puisque son vecteu diecteu v a pou coodonnées (v,0). Remaquons qu'un aute vecteu diecteu de la doite d est alos (-1,0) = (-b,a). Conclusions : Tout doite du plan admet pou équation catésienne une équation de la fome ax + by + c = 0, où a et b ne sont pas simultanément nuls. 4

25 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 Si l'équation d'une doite est ax + by + c = 0, cette doite admet comme vecteu diecteu le vecteu de coodonnées (-b,a). Remaques : 1/ En (*), l'équation obtenue peut aussi s'écie : y y = ( x x ) su cette fomulation. A v v 1 A. Nous eviendons plus loin 3. Coefficient de diection et coefficient angulaie, pependiculaité, distances 3.1. Définition : Considéons une doite d d'équation ax + by + c = 0. Remaquons d'abod que, dans cette équation, b diffèe de 0 si et seulement si la doite n'est pas paallèle à l'axe Y. Dès los, si b 0, l'équation de la doite s'écit : by = ax a c y = b x c b. Le coefficient de x dans l'équation d'une doite ésolue pa appot à y s'appelle coefficient de diection de la doite. On le note souvent m : m a = b 3.. Intepétation gaphique O e e 1 Y Y X Y En vetu d'un ésultat du paagaphe.4., la doite d'équation ax + by + c = 0 admet comme vecteu diecteu (-b,a). Puisque b 0, elle admet a aussi comme vecteu diecteu 1, = ( 1, m ). Ceci b explique l'appellation de m, puisque c'est sa valeu qui mesue la "coissance" ou "décoissance" de la doite. En paticulie, on obtient les tois cas suivant, selon le signe de m : m<0 Y m>0 1 e O e X m O e e X O e e 1 m=0 X 5

26 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 Y Si le epèe est othonomé, on voit facilement que m vaut la tangente tigonométique de l'angle qui applique la patie positive de l'axe x su la doite : m = tg α. Dans ce cas le coefficient de diection s'appelle coefficient angulaie. e O e 1 α X 3.3. Popiétés Coefficient de diection d'une doite dont on connaît deux points : e O e 1 Y (, y ) P x (, ) P x y X Soit deux points du plan muni d'un epèe { Oe ; 1, e } : P1( x1, y1) et P ( x, y ). Un vecteu diecteu de la doite est P P = OP OP = x e + y e x e y e = x x e + y y e Les coodonnées de P P ( ) ( ) sont donc ( x x1 y y1) le vecteu diecteu d'abscisse 1, on déduit que m y y 1 = x x 1,. En penant Equation de la doite passant pa un point donné et de coefficient de diection donné O e e 1 Y P(x P,y P ) De plus, puisque ( v v ), est un vecteu diecteu, le appot v v 1 diection m. L'écitue définitive de l'équation de d est donc X 6, soit 1 Le plan étant muni d'un epèe { Oe ;, e} une doite d dont on connaît un point P(x P,y P ) et le coefficient de diection m. A la pemièe emaque du paagaphe.4., on a établit qu'une équation catésienne de la doite d v est y ya = ( x xa) où ( xa, ya) désignait les v1 coodonnées d'un point de d et ( v1, v) celles d'un vecteu diecteu de d. Avec les notations du pésent paagaphe, cette équation s'écit v y yp = ( x xp). v 1 1 est égal au coefficient de

27 Condition de paallélisme : Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 ( ) y y = m x x P P Deux doites, non paallèles à l'axe Y, sont paallèles ente elles si et seulement si elles ont même coefficient de diection. En effet : si on désigne pa m 1 le coefficient de diection de la pemièe doite d 1 et pa m celui de la deuxième doite d, elles admettent pou vecteus diecteus espectifs v 1, m et v 1, m. Alos ( ) ( ) d1 d v1 v R v1 = v ( 1 m1 ) = ( 1 m) =. :,, m =. m 1 m = m Conditions de pependiculaité de deux doites (epaie ORTHONORME) Si deux doites ne sont pas paallèles à l'axe Y, désignons pa m d le coefficient angulaie de d et m d' le coefficient angulaie de d'. Alos d d' m d m d' = Distance ente deux points Y (, y ) Bx B B et deux,,.alos, Soit un epèe othonomé { Oe ; 1, e } points Ax ( y ) et B( x y ) A A B B dist(a,b) = AB = AB. AB e O e 1 (, y ) Ax A A X (, ) = ( ) + ( ) B A B A dist A B x x y y 7

28 3.6. Distance d'un point à une doite Y O e 1 d n Q e ( ) Pxp, yp Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 X, un 1, y et une doite d d'équation Soit un epèe othonomé { Oe ;, e} point Px ( p p) ax + by + c = 0. Un vecteu diecteu de d est (-b,a). Un vecteu diecteu de la doite pependiculaie à d passant pa P est donc (a,b). Le vecteu ( ab, ) n = est donc pependiculaie à d et de a + b dist P, d = PQ. n, où Q est un point nome 1. Alos, ( ) quelconque de d. On a donc (, ) dist P d = ( x x, y y ).( a, b) q P q P Q P Q P a + b = ax ax + by by a + b O le point Q est su d, donc ses coodonnées véifient l'équation de d : ax + by + c = 0 ax + by = c ; et donc Q Q Q Q axp + by P + c dist( P, d) = a + b 4. Systèmes de coodonnées catésiennes et polaies 4.1. Tansfomation de coodonnées d'un système à l'aute Tansfomation de coodonnées catésiennes en coodonnées polaies mathématiques Le point P est epéé pa ses coodonnées catésiennes (ou ectangulaies) : Px ( P, yp). Les coodonnées polaies mathématiques sont, dans l'ode, le ayon polaie ρ et l angle polaie (ou agument) θ : P( ρθ, ). En convention polaie mathématique, les angles tounent positivement en sens tigonométique (invese hoaie); leu zéo est su l axe des abscisses et ils sont généalement expimés en adians, unité du système intenational. y P ρ θ x P P X Les fomules de tansfomation sont les suivantes : x y P P = ρ cos θ = ρsin θ ρ = xp² + yp² et yp tg θ = xp 8

29 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 yp Il faut cependant emaque que la elation tg θ= ne suffit pas à elle seule pou détemine de x manièe univoque l'angle θ, il demeue en effet une impécision quant au quadant. P Tansfomation de coodonnées catésiennes en coodonnées polaies topogaphiques Le point P est epéé pa ses coodonnées catésiennes (ou ectangulaies) : Px ( P, yp). Les coodonnées polaies topogaphiques sont la distance hoizontale D h et le gisement G : En convention polaie topogaphique, les angles tounent positivement en sens hoaie ; leu zéo est su l axe des odonnées et ils sont toujous expimés en gades (symbole gon) : cela vient des choix technologiques su les appaeils de topométie. y P G Dh x P P X Les fomules de tansfomation sont les suivantes : xp = Dh sin G et yp = Dh cos G Dh = xp² + yp² tg G x P = yp Ici aussi, il faut emaque que la elation tg G x P = ne suffit pas à elle seule pou détemine de y manièe univoque l'angle G, il demeue en effet une impécision quant au quadant. 4.. Changement de epèe catésien dans le plan P Changement d'oigine Soit un epèe { Oe ; 1, e }, ou encoe XOY. Si nous lui faisons subi une tanslation de son oigine O à une nouvelle oigine O', nous obtenons un nouveau epèe X'O'Y'. Soit alos un point P dont les coodonnées sont (x,y) dans XOY et (x',y') dans X'O'Y'. Chechons le lien qui unit ces coodonnées. Désignons pa ( xo ', yo ') les coodonnées de O' dans XOY. Y O X P Y' O' X' Alos, il vient successivement OP = OO' + O' P ' xe + ye = xo ' e + yo ' e + x' e + y' e xe1 + ye = ( xo ' + x' ) e1 + ( yo ' + y' ) e Adoptons les notations maticielles suivantes : '

30 la denièe elation s'écit Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 x X = y x', X' =, X y' O' X = X + X' O ' xo ' =, y O' 4... Rotation de epèe Faisons à pésent subi à note epèe XOY une otation d'angle G (convention topogaphiques). Nous obtenons un nouveau epèe X'OY' de même oigine que XOY. De plus, les coodonnées de e ' 1 Y G Y' P sont (cos G, -sin G) et celles de e ' (sin G, cos G). Il vient alos O X ' ' OP = x e1 + y e = x' e1 + y' e xe + ye = x Ge Ge + y Ge + Ge xe + ye = x G+ y Ge + x G+ y Ge 'cos ( sin ) 'sin ( cos ) ( 'cos 'sin ) ( 'sin 'cos ) Adoptons les notations maticielles suivantes : x X = y x', X' = G G, R y' = cos sin G, sin G cos G la denièe elation s'écit cos G sin G X = G G X ' = R X G ' sin cos La matice R G = cos G sin G sin G s'appelle la matice de otation elative à l'angle G. Elle possède cos G quelques popiétés emaquables : G G dtm( R ) = cos sin G = cos² G + sin² G = 1 sin G cos G R G G G 1 1 cos sin cos = dtm R sin G cos G sin G = G ( ) G ~ sin G ~ = R cos G G X' Rotation et changement d'oigine Pou passe du epèe XOY au epèe X'O'Y', on peut d'abod change d'oigine (epèe X"O"Y"), puis effectue la otation d'angle G autou de O" = O'. En vetu de ce qui pécède, il vient alos X = XO" + X" = XO ' + X" X" = R G X', donc X = XO ' + RGX' ou encoe 30 Y O X P Y" O"=O' G Y' X' X"

31 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 x x y = y O' O' cos G + sin G sin G x G ' cos y' En vetu des popiétés de la matice de otation, l'invesion de cette fomule est tès aisée : ~ ( ) ( ) 1 O' G G O' O' O' X = X + R X' R X' = X X X' = R X X = R X X ou encoe x' cos G sin G x x = y' sin G cos G y y G O' O' G, Changement d'oigine avec changement d'échelle (d'unité) Considéons à pésent deux epèes XOY et X'O'Y' d'unités difféentes. Désignons pa k le Q appot ente la mesue d'une longueu quelconque PQ dans le epèe X'O'Y' et le epèe XOY, ce Y O' que nous noteons P ' d PQ k = d O X PQ Si nous penons successivement comme vecteu PQ les vecteu unitaie de X'O'Y', il vient k = ' e ' ' 1 1 e 1 = = = ; dont on déduit que ' ' 1 e ' ' ' ' 1 = e = et donc que ' 1 e e1 e1 e e k k e 1 = 1 et ' 1 e k e =, puisque les vecteus ' e ete 1 1d'une pat et les vecteus ' e ete sont paallèles. Il vient alos OP = OO' + O' P ' ' xe1 + ye = xo ' e1 + yo ' e + x' e1 + y' e 1 1 xe + ye = x e + y e + x' e + y' e k k 1 O' 1 O' 1 1 xe ye x k x e y 1 k y e + = O + O + + ' ' ' ' 1 1 ou encoe avec nos notations habituelles 1 X = X ( ) k X X k X X O' + ' ' = O' Si nous appliquons cette denièe elation au point O, oigine du epèe XOY, il vient ' XO = k( 0 XO ') = kxo ' ' Dans cette elation, il ne faut pas confonde X O donnant les coodonnées de O dans X'O'Y', avec X O' donnant les coodonnées de O' dans XOY. X' 31

32 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau Rotation et changement d'oigine avec changement d'échelle (d'unité) Pou ce faie, on effectue d'abod un changement d'oigine avec changement d'unité du epèe XOY au epèe povisoie X"O"Y", puis une simple otation du epèe de X"O"Y" en X'O'Y'. Cela donne successivement 1 X X k X X 1 = k X O" + " = O' + ", cos G sin G X" = G G X ' = R X G ', sin cos 1 X = X k X O ' + ", donc 1 X = X k R X O' + G ' x xo G y = ' 1 cos + y k sin G O' Y O sin G x G ' cos y' Q X P Y" O"=O' Cette elation s'invese facilement : 1 X X ( ) ( ) k R X 1 ~ ~ = ' + ' R X' = X X ' R X' = k X X ' X' = kr X X ' X' = kr X+ X k ' O G G O G O G O G O ~ G X' = kr X+ X x' cos G = k y' sin G ' O sin G x x cos G y + y ' O ' O G Y' X' X" qui développée end les elations de Helmet vues au cous de topogaphie. 5. Le cecle 5.1. Définitions On appelle cecle l'ensemble des points du plan équidistants d'un point fixe appelé cente du cecle. La distance constante est appelée ayon du cecle. 5.. Equation catésienne Y e O e 1 (, y ) Cx C C P(x,y) Soit un epèe othonomé { Oe ; 1, e } de ayon et de cente Cx ( y ) équivalences suivantes : Pxy, cecle X 3 ( ) dist( P, C) ( C) ( C) ( ) ( ) C = C,. On a alos les x x + y y = x x + y y = C C L'équation généale d'un cecle est donc ( ) ( ) x x + y y = C C un cecle

33 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 Si on développe cette denièe équation, on obtient ( ) ( ) C C C C C C C C C C x x + y y = x x x+ x + y y y + y = x + y x x y y + x + y = 0 c'est-à-die une équation de la fome x + y + ax + by + c = 0 Dès los, Examinons sous quelles conditions une équation de cette fome est l'équation d'un cecle : a b x y ax by c x x y = y + c = 0 a a b b a b a b x + + y c 0 x y c = = a b a b 4c x y + = 4 si a + b 4c > 0, l'équation x + y + ax + by + c = 0 est celle d'un cecle de cente a + b 4c et de ayon ; si a + b 4c = 0, l'équation x + y + ax + by + c = 0 est celle du point de coodonnées a b, ; si a + b 4c < 0, l'équation x + y + ax + by + c = 0 est impossible. a b, 6. L'ellipse 6.1. Définition On appelle ellipse le lieu des points du plan dont la somme des distances à deux points fixes appelés foyes est constante. 6.. Equation F (-c,0) Y P(x,y) F(c,0) X Afin d établi l équation canonique de l ellipse, notons a la constante donnée et F et F les deux foyes. Nous définissons alos note epèe othonomé comme suit : oigine au milieu du segment [F,F ], axe des abscisses passant pa les deux foyes F et F. L axe des odonnées est alos automatiquement déteminé. Nous désigneons pa (c,0) les coodonnées du foye F, celles du foye F étant alos (-c,0). Soit P(x,y) un point quelconque du plan. On a les équivalences suivantes : P(x,y) appatient à l ellipse PF + PF' = a 33

34 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 ( x c) + y + ( x + c) + y = a ( x c) + y + ( x + c) + y + ( x c) + y ( x+ c) + y = 4a ( x c) + y ( x + c) + y = 4a x y c ( x c) + y ( x + c) + y = a x y c [( x c) y ][( x c) y ] ( a x y c ) = ( a) x c x + c + x y xcy + c y + x y + xcy + c y + y = 4a + c + x + y 4a c 4a x 4a y + c x + c y + x y 4 4a 4a c 4a x 4a y + 4c x + 4c y + 4x y = 0 4 a a c a x a y + c x + c y + x y = ( c a ) x a y + a a c = ( ) ( ) a c x + a y = a a c ( 1) 0 Posons b = a c, ce qui est licite ca c = FF < a sinon le lieu est vide puisque dans le tiangle PFF le côté FF est inféieu à la somme des deux autes côtés. L équation (1) s écit alos x y + = 1 () a b Pou que () soit l équation de l ellipse, il faut pouve qu en (a), on a équivalence; c est-à-die que si un point P(x,y) véifie (), alos on a a c x y 0 x + y a c. O si un point P(x,y) véifie () on a x y y 1 et = 1 donc a b a c x a et y a c et donc l inégalité echechée en additionnant membe à membe ces deux elations. CONCLUSION : Dans le epèe décit ci-dessus, l équation de l ellipse s écit x y + = 1 a b 6.3. Etude de la coube L équation de l ellipse peut s écie x b b y = b 1 y = ( a x ) y = ± a a a a x Pou tace le gaphique de l ellipse, il suffit d étudie la fonction positive ci-dessus, l aute patie du gaphique s obtenant pa symétie pa appot à l axe X. Etudions donc la fonction y = b a a x. Domaine : [ - a, a ] Zéos : - a et a Pas d asymptotes b x Déivée pemièe : y = a a x x - a 0 a 34

35 a Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 - x x y y tangente veticale max = b tangente veticale ab Déivée seconde : y = < 0 su ] - a, a [ a x 3 ( ) Remaque : si on avait fait passe l axe Y et non l axe X pa les deux foyes, on auait obtenu pou équation de l ellipse x y + = 1 et le gaphique ci dessus à doite. b a On voit de suite qu'une ellipse possède deux axes de symétie othogonaux; l'un passant pa les foyes et l'aute pa la médiatice du segment les eliant. Les points d'intesection des axes de symétie avec l'ellipse sont appelés sommets de l'ellipse. 7. L HYPERBOLE 7.1. Définition On appelle hypebole le lieu des points du plan dont la difféence des distances à deux points fixes appelés foyes est égale à une constante. 7.. Equation F (-c,0) Y P(x,y) F(c,0) X Afin d établi l équation canonique de l hypebole, notons a la constante donnée et F et F les deux foyes. Nous définissons alos note epèe othonomé comme suit : oigine au milieu du segment [F,F ], axe des abscisses passant pa les deux foyes F et F. L axe des odonnées est 35

36 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 alos automatiquement déteminé. Nous désigneons pa (c,0) les coodonnées du foye F, celles du foye F étant alos (-c,0). Soit P(x,y) un point quelconque du plan. On a les équivalences suivantes : P(x,y) appatient à l hypebole PF PF' = a ( x c) + y ( x+ c) + y = a ( x c) + y + ( x+ c) + y ( x c) + y ( x+ c) + y = 4a ( x c) + y ( x+ c) + y = x + y + c 4a ( x c) + y ( x+ c) + y = x + y + c a [( x c) y ][( x c) y ] ( x y c a ) = + + ( b) 4 x c x + c + x y xcy + c y + x y + xcy + c y + y = x + y + c + 4a + x y + c x 4a x + c y 4a y 4a c 4 4a + 4c x 4a x 4a y 4a c = 0 4 a + c x a x a y a c = 0 ( ) c a x a y + a a c = 0 () 3 Posons b = c a, ce qui est licite ca c = FF > a sinon le lieu est vide puisque dans le tiangle PFF le côté FF est supéieu à la difféence des deux autes côtés. L équation (3) s écit alos x y = 1 ( 4) a b Pou que (4) soit l équation de l hypebole, il faut pouve qu en (b), on a équivalence; c est-àdie que si un point P(x,y) véifie (4), alos on a x + y + c a 0 x + y a c = a b. O si un point P(x,y) véifie (4) on a x y = 1+ 1 donc x + y x a a b. a b CONCLUSION : Dans le epèe décit ci-dessus, l équation de l hypebole s écit x y = 1 a b 7.3. Etude de la coube L équation de l hypebole peut s écie x b b y b y ( x a ) y a a a x a = 1 = = ± Pou tace le gaphique de l hypebole, il suffit d étudie la fonction positive ci-dessus, l aute patie du gaphique s obtenant pa symétie pa appot à l axe X. b Etudions donc la fonction y = a x a. Domaine : ] -, - a [ ] a, + [; zéos : - a et a Asymptotes : pas de veticales ANV : m b = lim a x a x b x b = lim x = ± a x a ± x ± ± 36

37 p Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 b b a ± = lim x ± x a m x = lim x ± a = ab lim x ± 1 = 0 x + x a x a m x 0 su ] -, - a [ ] a, + [ Il y a donc deux asymptotes obliques; l une en + d'équation y = b x et l aute en a b d'équation y a x b x Déivée pemièe : y = a x a x - a a x x a y y tangente veticale tangente veticale Déivée seconde : y = ab < x a ( ) Remaque : si on avait fait passe l axe Y et non l axe X pa les deux foyes, on auait obtenu pou équation de l hypebole y x = 1 et le gaphique ci dessus à doite. a b On voit de suite qu'une hypebole possède deux axes de symétie othogonaux; l'un passant pa les foyes et l'aute pa la médiatice du segment les eliant. Les points d'intesection de l'axe des foyes avec l'hypebole sont appelés sommets de l'hypebole. 8. LA PARABOLE 8.1. Définition On appelle paabole le lieu des points du plan équidistants d un point fixe appelé foye et d une doite fixe appelée diectice. 37

38 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau Equation x = -p/ d P(x,y) F(p/,0) Afin d établi l équation canonique de la paabole, nommons F le foye et d la diectice. Nous définissons alos note epèe othonomé comme suit : oigine au milieu du segment issu de F pependiculaie à d et limitée à celle-ci, axe des abscisses passant pa le foye F (et donc pependiculaie à d), l abscisse de F étant positive et désignée pa p/. L axe des odonnées est alos automatiquement déteminé. Les coodonnées du foye F sont alos (p/,0) et l équation de la diectice x = -p/. Soit P(x,y) un point quelconque du plan. On a alos les équivalences suivantes : P(x,y) appatient à la paabole x p + y = x+ p x p + y = x + px+ p 4 x px+ p + y = x + px+ p 4 4 y = px CONCLUSION : Dans le epèe décit ci-dessus, l équation de la paabole s écit y = px 8.3. Etude de la coube L équation de la paabole peut s écie y =± px. Domaine : [ 0, + [ Zéos : 0 Pas d'asymptotes p y'= > 0 su ] 0, + [ : fonction px stictement coissante ( décoissante) tangente veticale en 0 y"= p ( px) 3 < 0 su ] 0, + [ On voit de suite qu'une paabole possède un axe de symétie passant pa le foye et pependiculaie à la diectice. Le point d'intesection de l'axe avec la paabole est appelé sommet de la paabole. 38

39 8.4. Aute fome de l'équation Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 Si on avait fait passe l'axe Y et non l'axe X pa le foye, on auait obtenu pou équation de x² la paabole x² = py y =. Si de plus on effectue un changement d'oigine du epèe, défini pa p des elations du type x'= x+ x 0 et y'= y + y 0, on obtient tous calculs faits une équation du type y = ax² + bx + c. On etouve la fome de l'équation de la paabole bien connue des étudiants du secondaie supéieu. Rappelons en les conclusions : Si a > 0, la paabole est de concavité positive; si a < 0, la paabole est de concavité négative. b La paabole admet pou axe de symétie la doite paallèle à l'axe Y d'équation x = a. b Les coodonnées du sommet sont a,, où = b² 4 ac. 4a 10 x x Execices x 5 0 x x x 5 Enoncés 1. On donne les doites a : 3x + y = 6, b : x - y + 6 = 0, c : x - y - 4 = 0. Repésente chacune de ces doites et calcule les coodonnées des sommets du tiangle que ces doites déteminent.. On donne les doites a : 5x + y -10 = 0, b : 3x + 4y - 1 = 0, c : 3x - 4y - 1 = 0. Repésente chacune de ces doites et calcule les coodonnées des sommets du tiangle que ces doites déteminent. 3. On donne les points A(3;0) et B(0;-). Repésente la doite AB et en calcule l'équation catésienne. 4. On donne les points A(3;-1) et B(0;). Repésente la doite AB et en calcule l'équation catésienne. 5. On donne les points A(4;3) et B(-3;4). Repésente la doite AB et en calcule l'équation catésienne. 6. On donne les points A(4;7) et B(1;-5). Repésente la doite AB et en calcule l'équation catésienne. Réponses (0;3), (;0), 8 15 ;, 7 7 y = x 3 y = x + 1 y = x+ 7 y = 4x ; ; et (4;0)

40 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 7. On donne les points A(1;), B(3;4) et C(0;-). Détemine le point commun à AB et à la doite d : x + 1 = 0; le point commun à AC et à la doite d' : y = 3; le point commun à BC et à la doite d" : y + x = On donne le tiangle ABC avec A(-3;0), B(0;4) et C(6;0).Détemine les coodonnées des milieux des cotés. Ecie les équations des médianes. Calcule les coodonnées du cente de gavité. 9. On donne les points A(;1) et B(-3;) et la doite d : x - 3y + 1 = 0. Ecie l'équation de la doite a passant pa A et paallèle à l'axe X; b passant pa B et paallèle à l'axe Y; c passant pa O et paallèle à AB; e passant pa A et paallèle à d; f passant pa B et paallèle à d. 10. On donne le tiangle ABC avec A(3,1), B(-4,) et C(-,-3). Ecie l'équation de chacune des doites passant pa un sommet de ce tiangle et paallèle au côté opposé. 11. On considèe les points A(,3) et B(-4,-1). Détemine l'équation de la doite a passant pa A et paallèle à OB; de la doite b passant pa B et paallèle à OA; de la doite d passant pa O et paallèle à AB. Détemine les coodonnées des sommets du tiangle dont les côtés sont potés pa les doites a, b et d. 1. On donne les doites a : x + y = 0, b : x - y = 0, c : y = x et le point A(1,-3). Pa A on mène les doites a' et b' espectivement paallèles aux doites a et b; su a' on maque le point B d'abscisse -. Pa B on mène la doite c' paallèle à la doite c et on note C son point commun avec b'. Calcule les coodonnées de B et C. 13. On considèe le quadilatèe ABCD avec A(3,), B(-5,4), C(-3,-4) et D(,-3). On désigne pa P le point commun à AB et CD et pa Q le point commun à AD et BC. Démonte que les doites AC et PQ sont paallèles et que BD passe pa le milieu de [PQ]. 14. On donne les points A(1,) et B(-,1). Démonte que les doites OA et OB sont pependiculaies. 15. On donne les points A(1,), B(1,- 5). Ecie les équations des hauteus du tiangle OAB et calcule les coodonnées de leu point commun. (-1;0), 5 4 ; 3, ; C' ;,B' 3 ; 0, A'(3;) 1 AA' : y = x BB' : y = x CC' : y = x G14 ; 3 a : y = 1 b: x = -3 c : y = 1 x e : x - 3y + 1 = 0 5 f : x - 3y + 9 = 0 Pa A : y = 5 17 x+ 4 6 Pa B : y = x+ 5 5 Pa C : y = 1 3 x a : y = x+ b et d (-6;-4) 4 3 b : y = x+ 5 b et a : (-;) d : y = x a et d : (6;4) 3 B(-;0) C(-5;-6) P 41 ; Q 1 44 ; mac = mpq = 1 AC milieu de [PQ] : ;, 3 3 solution de l'équation de BD : y = - x - 1 m OA =, m OB = 1 = 1 moa h : A y = 1 x h : B y = 1 x 9 ho : y = 0 H(-9;0) 40

41 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau On donne le point A(-1,- ) et la doite d : x + 3y = 0. La doite compenant A et paallèle à d coupe Ox en B. La doite compenant A et pependiculaie à d coupe Oy en D. Détemine les coodonnées des sommets du ectangle ABCD. 17. On considèe le tiangle ABC avec A(7,4), B(,-3) et C(-5,). Ecie les équations des médiatices du tiangle ABC. Véifie pa le calcul que ces médiatices sont concouantes en un point M. Véifie pa le calcul que le point M est équidistant des points A, B et C. Que peut-on en conclue? 18.On donne les points A(-3, 3), B(-, -1) et C(, 1). Détemine les coodonnées des milieux des côtés et du cente de gavité du tiangle ABC. Détemine les équations des côtés et des médianes du tiangle ABC. Détemine les équations des hauteus et les coodonnées de l othocente du tiangle ABC. Détemine les équations des médiatices et les coodonnées du cente du cecle ciconscit au tiangle ABC. 19. On donne les doites a : x - y - 1 = 0, b : 7x + y + 8 = 0, c : x + y - 4 = 0. On note T le tiangle déteminé pa ces tois doites. Détemine les sommets de T. Détemine ensuite le cente de gavité, l'othocente et le cente du cecle ciconscit de T. 0. Détemine l'équation des doites situées à une distance 1 de la doite d : 3x - 4y + 6 = O. 1. Détemine les points d'abscisse 1 situés à la même distance de d et de d'. En déduie les équations des bissectices des angles déteminés pa d : x + y - 1 = 0 et pa d' : x - y + 1 = O.. Détemine les points d'abscisse 1 situés à la même distance de d et de d'. En déduie les équations des bissectices des angles déteminés pa d : x + y - = O et pa d' : x + y - 3 = O. B(-4;0) D0; 1 C 3 ; 3 B'(-½;) A'(0;0) C' 5 ; 1 G(-1;1) AB : y = -4x AC : y = x+ 5 5 BC : y = 1 x AA' : y = -x BB' : y = x + 3 CC' : y = 1 h : A y = x 3 h : y = 5 x+ B 4 h : C y = 1 x H 14 1 ; 9 9 mé d : AC y = 5 x mé d : BC y = x mé d : AB y = 1 x cente ; 8 9 sommets (-1;-1) (3;1) (-;6) G(0;) H ; 3 3 cente 1 8 ; 3 3 3x - 4y + 1 = 0 3x - 4y + 11 = 0 (1;1) y = 1 x = 0 (1;) et 1 ; 3 y = x +1 y = x

42 Mathématiques appliquées à la topogaphie niveau 1 3. Détemine le cente et le ayon du cecle d'équation x² + y² = 9 (0;0) 3 4. Détemine le cente et le ayon du cecle d'équation x² + y² + x - y - 4 = 0 5. Détemine le cente et le ayon du cecle d'équation x² + y² + x - 3y = 0 6. Détemine le cente et le ayon du cecle d'équation x² + y² -x + 4y - 0 = 0 7. Détemine le cente et le ayon du cecle d'équation x² + y² + x + y -3 = 0 8. Détemine le cente et le ayon du cecle d'équation 4(x² + y²) - 4x + 1y + 9 = 0 9. Détemine le cente et le ayon du cecle d'équation 4(x² + y²) - x + y - 5 = Détemine le cente et le ayon du cecle d'équation 3 x² + 3y² - 5x + 7 y - 1 = Détemine k pou que le cecle d'équation x² + y² - x + 4y + k = 0 passe pa le point (4,3); ait 4 comme ayon; soit tangent à l'axe X; soit tangent à l'axe Y. 3. Détemine k pou que le cecle d'équation x² + y² - kx + (k-1)y = 0 passe pa le point (4,3); ait 5 comme ayon; soit tangent à l'axe X; soit tangent à l'axe Y. 33.Détemine les coodonnées des points communs au cecle et à la doite d'équations x² + y² = 65 et 3x + y - 5 = Détemine les coodonnées des points communs au cecle et à la doite d'équations x² + y² + x + 3y - 4 = 0 et x + y - 1 = Détemine les coodonnées des points communs au cecle et à la doite d'équations x² + y² + x - 1 = 0 et x - y - 1 = Détemine les coodonnées des points communs au cecle et à la doite d'équations x² + y² - x + 3y - 3 = 0 et x + y + = Détemine les coodonnées des points communs au cecle et à la doite d'équations x² + y² + x + 3y - 7 = 0 et 5x + 4y + 11 = Détemine les coodonnées des points communs au cecle et à la doite d'équations x² + y² + x - 15y + 4 = 0 et x - y + 3 = 0. (-1;1) ; (1;-) ; 1 3 ; ; ; k = -9 k = -11 k = 1 k = 4 k = 19 k = 4 ou -3 k = 0 k = 1 (8;1) et (7;4) (0;1) et (:-1) (0;-1) (1;-4) et (-1:0) (1;-4) et (-3;1) (3;3) et (1;) 39. Ecie l'équation du cecle dont le cente est l'oigine et le ayon x² + y² = Ecie l'équation du cecle dont le cente est C(1,-) et le ayon Ecie l'équation du cecle dont le cente est C(1,) et qui passe pa (-,-) 4. Ecie l'équation du cecle dont le cente est C(0,-3) et qui est tangent à la doite d : 3 x + y + 1 = 0 (x-1)²+(y+)² = 5 (x-1)²+(y-)² = 5 x² + (y+3)² = Ecie l'équation du cecle passant pa (0,0), (3,3) et (4,-4) x² + y² -7x + y = Ecie l'équation du cecle passant pa (,0), (5,0) et (,-4) x² + y² -7x + 4y + 10 = Ecie l'équation des cecles tangents à d : y = x, à l'axe des y et de ayon est ( ) ( ) ( x ) y ( ) ( x ) y ( ) + + = = 4