THEME 1 : STATUT DE L EGALITE

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1 Ce document a été élaboré par des enseignants des collèges Romée de Villeneuve, Jules Verne de Cagnes sur Mer et du lycée Renoir (par ordre alphabétique : Mme Aicart, M. Crézé, Mme Faraud, M. Pascal, Mme Turki) Ce petit cahier de vacances a pour objectif de te permettre d aborder au mieux ton année de seconde si tu consacres un peu de temps à la recherche de ces exercices allant de l assez facile au plus difficile (* pour «assez facile», ** pour «difficulté moyenne» et *** pour «plus difficile») Tu pourras remettre ton travail à ton professeur à la rentrée. Celui-ci se chargera de nous le donner pour qu on puisse le corriger et te le retourner. THEME 1 : STATUT DE L EGALITE Objectifs : Revoir les méthodes permettant de démontrer des égalités de la forme m = p où m et p sont deux nombres ou deux expressions. * Exercice 1 Méthode 1 : On transforme par étapes successives un membre de l égalité à démontrer pour obtenir le second. 1. Démontrer que ( ) 2 = Établir que pour tout nombre a, on a : a 1 = (a 1)(a 2 + a + 1). * Exercice 2 Méthode 2 : On transforme m et p pour démontrer que m et p sont deux quantités égales à une même troisième r. Établir que pour tout nombre x, on a : (2 x 1) 2 (x 4) 2 = ( x 2)(x + 2) 11. ** Exercice Méthode : On prouve que la différence m p est égale à 0. Prouver, à l aide de la méthode décrite, l égalité des nombres ** Exercice et Méthode 4 : Sous réserve d existence, deux quotients a b et c d sont égaux si, et seulement si les «produits en croix» a d et b c le sont. Prouver, à l aide de la méthode décrite, l égalité des nombres 5 2 et 5 + 2

2 THEME 2 : CALCUL LITTERAL Objectifs Reconnaitre la forme d une expression. Développer et réduire une expression. Factoriser une expression * Exercice 5 : Reconnaitre la forme d une expression Méthode pour reconnaitre une somme ou un produit En imaginant que l on substitue un nombre à une lettre de l expression, on identifie la dernière opération que l on est amené à effectuer en respectant les règles de priorités opératoires. Si cette dernière opération est une addition (ou une soustraction), alors l expression est une somme. Si cette dernière opération est une multiplication (ou une division ou une élévation à une puissance), alors l expression est un produit. Les expressions suivantes sont-elles des sommes ou des produits? Expression 5 x + 5 (x + ) 5 + x (5 x + )(x + ) 5 (x + ) + 7 (5 x + ) 2 (5 x) (9 + 9 x) Somme ou produit * Exercice 6 : Réduire une expression Réduire une expression Réduire une expression, c est l écrire sous la forme la plus simple possible appelée forme réduite. 1. Réduire un produit : 1 x = - 1 x = 0 x = (5 x) 2 = (- 5 x) 2 = - 5 x = - 5 x (- x) = 2. Réduire ces sommes lorsque c est possible : A = 2 x + x B = 2 x + C = 5 x + x D = 15 5 x x + 6 x 2 + x 10. Dans chaque cas, traduire la phrase par une expression, puis réduire cette expression. a. Le double de 7 x. b. Le produit de 4 x par x. c. Le produit de x par x 2. d. Le carré de 7 x

3 ** Exercice 7 : Développer une expression Développer un produit, c est le transformer en une somme. Développer une expression, c est développer chacun des produits (ou carrés) qui s y trouvent. Pour cela, on utilise les règles de distributivité (simple et double) ainsi que les identités remarquables. Distributivité simple Distributivité double Identités remarquables. k (a + b) = k a + k b (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d (a + b) 2 = a a b + b 2 (a b) 2 = a 2 2 a b + b 2 (a b) (a + b) = a 2 b 2 1. a. Développer en utilisant la distributivité A =(x 4) B = (x + 7)(4 x ) C = (x + 7) (4 x ) b. Soit l expression D = (2 x + 1)( x 4) (6 x² 15 x 4).Calculer D pour x = 974,27. Soyez judicieux! 2. Développer en utilisant l identité remarquable qui convient : D = (5 x + 6)(5 x 6) E = (4 8 x)² F = ( + 4 x) 2. Développer puis réduire : G = ( x)² + (x + 5)² H = (2 x )² + ( x + 4)( x 4) I = (x 5)² (2 x 7)(x 5) * Exercice 8 1. Calculer l aire du carré ci-contre en fonction de x. 2. Calculer le périmètre de ce carré en fonction de x. x + 2 * Exercice 9 Une salle de concert peut contenir 600 places. Il y a x places assises et les autres sont debout. Les places debout coûtent 15 et les places assises coûtent Déterminer en fonction de x le nombre de places debout. 2. Exprimer en fonction de x la recette totale en euros si toutes les places sont prises. Réduire l'expression.. Calculer la recette s'il y a 200 places assises et si toutes les places sont prises. ** Exercice 10 : Voici un programme de calcul Choisir un nombre Lui soustraire 2. Élever le résultat au carré. Ajouter le quadruple du nombre choisi au départ. 1. Si le nombre choisi est 5, quel résultat donne ce programme? 2. Appliquer ce programme à deux autres nombres de votre choix.. Quelle conjecture peut-on faire sur le lien entre le nombre choisi et le résultat du calcul? La démontrer. Soustraire 4

4 ** Exercice Développer et réduire l'expression : E = (x 1) 2 + x 2 + (x + 1) Application : Déterminer trois nombres entiers positifs consécutifs, (x 1), x et (x + 1) dont la somme des carrés est ** Exercice 12 : Défendre son patrimoine Voici la proposition faite par une commune au propriétaire d'un terrain de forme carrée : «Comme vous le voyez sur le plan ci-joint, le passage de l'autoroute nous oblige à diminuer un côté de votre terrain de 5 m; en contrepartie la longueur de l'autre côté sera augmentée de 5 m». Cette proposition est-elle équitable? ** Exercice 1 : Factoriser une expression Factoriser une expression, c est l écrire sous forme d un produit de facteurs. Méthodes On cherche un facteur commun (qui peut être une expression) et on le met en facteur en appliquant les règles de distributivité. k a + k b = k (a + b) Ici, le facteur commun était k. S il n y a pas de facteur commun, peut-être qu une identité remarquable se dissimule derrière l expression. a a b + b 2 = (a + b) 2 a 2 2 a b + b 2 = (a b) 2 a 2 b 2 =(a b) (a + b) qui est la plus fréquente 1. Factoriser en utilisant la distributivité (on souligne le facteur commun dans l expression) : A = 5 x + 10 B = 6 x² 24 x C = (x + 2)(x + 1) + (x + 2)(7 x 5) D = ( x 4)(2 x) ( x 4)² 2. Factoriser en utilisant une identité remarquable E = x x + 25 F = 9 x 2 24 x + 16 G = 49 x H = (x + 5) 2 4 I = ( x + 2) 2 (x 5) 2 * Exercice 14 On considère les expressions : E = 4 x (x + ) et F = x² + 6 x a. Factoriser F. b. Développer E. 2. a. Réduire E F. b. Factoriser E + F. ** Exercice 15 On considère les expressions : E = x 2 4 et F = (x + 2)( x + 1) (x + 2)(2 x + ) 1. a. Calculer E pour x = 0 puis pour x =1. b. Calculer F pour x = 0, puis pour x = En factorisant E et en factorisant F, prouver que E = F quelle que soit la valeur de x. ** Exercice 16 On considère l expression : E = 9 x ( x 5)(2 x + 15) 1. Développer et réduire E. 2. a. Factoriser 9 x b. En déduire une factorisation de E.

5 THEME : Fonctions affines * Exercice 17 : Fonction affine et représentation graphique Dans le repère ci-dessous, on veut tracer la représentation graphique de la fonction g : x x 4. a. Pour cela compléter le texte suivant : La fonction g est une fonction Sa représentation graphique est b. Compléter le tableau suivant : x g(x) Coordonnées du point de la représentation graphique correspondant ( ; ) ( ; ) c. Tracer la représentation graphique de la fonction g dans le repère ci-contre * Exercice 18 : Affine et/ou linéaire? Compléter le tableau ci-dessous : d 2 6 Droite Nature de la fonction représentée Signe du coefficient directeur Ordonnée à l origine d d 1 d 2 2 d d - -4

6 ** Exercice 19 : Expression algébrique d'une fonction affine à partir de sa représentation graphique Sont représentées ci-contre deux droites D et Δ représentant respectivement les fonctions f et h. a. Détermination de la fonction f. L'image de est... L'antécédent de est... L'ordonnée à l'origine est... Le coefficient directeur de D est... La fonction f est donc définie par f (x) = Δ D b. Détermination de la fonction h. L'image de 4 est... L'antécédent de 0 est... L'ordonnée à l'origine est... Le coefficient directeur de Δ est... La fonction h est donc définie par h (x) = ** Exercice 20 : calcul d'images et d'antécédents On considère les deux fonctions f : x x 2 et g : x x + 5 (2 x 4). a. Écrire plus simplement l expression de g(x). b. La fonction g est-elle représentée graphiquement par une droite? Justifier. c. La fonction f est-elle affine? Est-elle linéaire? d. Quelle est l image de par f? e. Calculer le (ou les) antécédent(s) de 0 par g. f. Le nombre 4 a-t-il plusieurs antécédents par f? Si oui, lesquels? Justifier.

7 THEME 4 : GENERALITES SUR LES FONCTIONS Objectifs Revoir comment peut être définie une fonction. Déterminer des images et des antécédents. Qu est-ce qu une fonction? Une fonction est une «sorte de machine» à qui on donne des nombres (appelés arguments en programmation) et qui nous en retourne d autres. * Exercice 21 : Fonction déterminée par une courbe. On donne ci-contre la représentation graphique de la fonction f, notée C f. 1. Déterminer graphiquement : a. L'image de - 4, puis de 6 par la fonction f. b. f (5) et f (0). c. Les antécédents de 2 par la fonction f. d. Les antécédents de -2 par la fonction f Le nombre - 4 a-t-il un antécédent par la fonction f?. Trouver un nombre qui a un seul antécédent par la fonction f. 4. Compléter les égalités f (2) =... et f (...) = 4. * Exercice 22: Fonction déterminée par un tableau de valeurs On considère ci-dessous le tableau de valeurs d une fonction g : x g(x) Quelle est l'image de - par g? 2. Donner un antécédent de - 4 par g.. Quel nombre a pour image 2 par g? 4. Quel nombre a pour antécédent 0 par g? 5. Donner deux nombres qui ont la même image par g. 6. Compléter les égalités g(4) =... et g(...) = 0. * Exercice 2 : Fonction déterminée par une formule algébrique Soit la fonction f définie par f (x) = x 2 pour tout nombre x. 1. Calculer f () et f (-1). 2. Calculer l'image de 0 par f, puis l'image de par f.

8 ** Exercice 24 On donne le programme de calcul suivant : Choisir un nombre Multiplier ce nombre par 6 Ajouter le carré du nombre choisi Ajouter 9 à la somme obtenue 1. Montrer que, si on choisit le nombre 5, alors le résultat obtenu est Calculer la valeur du résultat obtenu lorsque le nombre choisi est 2.. On note x le nombre choisi. Exprimer alors le résultat obtenu en fonction de x. 4. Démontrer que ce résultat obtenu est aussi égal à (x + ) 2 (penser aux identités remarquables) ** Exercice 25 On considère un rectangle WEST et un carré NORD tracés ci-dessous. W E N O 2 x x + 2 T 8 x S D R 1. Montrer que l'aire du rectangle WEST peut s'écrire sous forme développée et réduite : 16 x x Exprimer en fonction de x l'aire du carré NORD sous forme développée et réduite.. Pour quelle valeur de x l'aire du rectangle WEST est-elle égale à celle du carré NORD? Justifier

9 THEME 5 : PROBLEMES D OPTIMISATION Objectifs : découvrir l importance de bien manipuler les expressions algébriques pour résoudre des problèmes d optimisation. *** Exercice 26 ABC est un triangle rectangle isocèle en B dont le côté [AB] mesure 6 cm. On place un point M quelconque sur le côté [AB] et on se pose la question de savoir où le positionner pour que le rectangle MNPB construit comme indiqué sur la figure ci-contre ait une aire maximale. On pose BM = x. Partie A : Conjecture a. Montrer que MN = 6 x. b. En déduire l aire du rectangle MNPB en fonction de x. x c. Compléter le tableau de valeurs de l aire de MNPB ci-dessous : x 0 0,5 1 1,5 2 2,5,5 4 4,5 5 5,5 6 Aire À l aide de ce tableau, conjecturer la position de M sur le segment [AB] rendant l aire de MNPB maximale. Une conjecture est une proposition que vous faites et qui vous semble vraie sans avoir de certitude car vous n en avez pas encore apporté la preuve. On rédige ainsi : «il semble que l aire de MNPB soit maximale lorsque M se situe à unités de B» Partie B : Démonstration a. On note A(x) l aire du rectangle MNPB. Montrer que A(x) = 9 (x ) 2. b. En déduire une preuve de la conjecture faite en partie A. *** Exercice 27 Un glacier (fabricant et marchand de glace ) a une capacité de production de l équivalent de 600 boules de glace par jour, mais pour optimiser son chiffre d affaire, il souhaite ajuster sa production ainsi que le prix de vente de ses boules de glace. Actuellement, il vend en moyenne 500 boules de glace au prix unitaire de 0,60. Après une étude de marché, il a établi que pour chaque baisse de 0,01 sur le prix d une boule de glace, il parviendrait à vendre 10 boules de glace supplémentaires par jour. On note x le nombre de baisses de 0,01 par boule de glace. Partie A : Conjecture a. Montrer que sa recette quotidienne en euros est donnée par R(x) = - 0,1 x 2 + x b. A l aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant : x R(x) Conjecturer le prix de vente d une boule de glace rendant la recette maximale. Partie B : Démonstration a. Montrer que R(x) = 02, (x 5)2. b. Expliquer pourquoi la recette ne peut dépasser 02,5 et donner le prix de vente d une boule de glace permettant cette recette.

10 *** Exercice 28 C est un demi-cercle de diamètre [AB] et de centre O. On donne AB = 10 cm. M est un point mobile sur le segment [OA] et on construit comme le montre la figure cicontre le rectangle MNPQ. Le but de l exercice est de déterminer la position de M rendant l aire de MNPQ maximale. C On pose AM = x. Partie A : Conjecture a. Expliquer pourquoi MQ = 10 2 x. b. En considérant le triangle MON, montrer que MN = 10 x x 2 x c. En déduire l aire du rectangle MNPQ en fonction de x. d. A l aide d un tableur ou de la calculatrice, déterminer la valeur de x rendant l aire de MNPQ maximale. Partie B : Démonstration a. On pose f (x) = [ Aire(MNPQ) ] Montrer que f (x) = - 4 x x 500 x x 625. b. Montrer que f (x) = - (2 x 2 20 x +25) 2 c. Expliquer pourquoi l aire maximale de MNPQ est 25 unités d aire et que cette aire est obtenue lorsque 2 x 2 20 x + 25 = 0. d. Montrer que 2 x 2 20 x + 25 = 2 x x et conclure sur la valeur exacte de x cherchée.