Cahier de textes Mathématiques

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1 Cahier de textes Mathématiques Mercredi 6 janvier : cours 2h Début du chapitre 12 - Convergence de suites réelles : 12.1 Convergence de suites : suites convergentes, limites de suites convergentes, unicité de la limite, suites divergentes, suites qui tendent vers + ou vers, suites divergentes de 1 re ou de 2 e espèce, nature d une suite, opération sur les limites (sommes, produits, quotients), formes indéterminées, composition de limites, toute suite convergente est bornée. Mardi 5 janvier : TD 3h Retour de l interrogation n o 5. Fiche méthodologique n o 11 - Manipuler des matrices : calculer le rang d une matrice rectangulaire, calculer les puissances d une matrice carrée, déterminer si une matrice est inversible, calculer l inverse d une matrice inversible. Feuille de TD n o 11 - Matrices. Vacances du nouvel an Vendredi 18 décembre : échange de cadeaux Jeudi 17 décembre : cours déplacé au lundi 14 décembre Mercredi 16 décembre : cours 2h Fin du chapitre 11 - Matrices : 11.3 Équivalents matriciels de systèmes linéaires : écritures matricielles de systèmes linéaires, rang d une matrice, méthode du pivot de Gauss pour les matrices, opérations élémentaires sur les lignes d une matrice, une matrice de M n (K) est inversible si et seulement si son rang est égal à n, calcul de l inverse d une matrice inversible à l aide de la méthode du pivot de Gauss, déterminant d une matrice de M 2 (K), une matrice de M 2 (K) est inversible si et seulement si son déterminant est non nul, inverse d une matrice de Gl 2 (K). Interrogation n o 5. Retour du DM n o 4. Mardi 15 décembre : TD 3h Distribution du DM n o 5 à rendre au plus tard le jeudi 7 janvier. Feuille de TD n o 10 - Calcul infinitésimal. Lundi 14 décembre : cours 4h Début du chapitre 11 - Matrices : 11.1 Généralités sur les matrices : définition, taille d une matrice, l ensemble M m,n (K), matrice nulle, matrices lignes, matrices colonnes, matrices scalaires, matrices carrées, matrices triangulaires supérieures, matrices triangulaires inférieures, matrices diagonales, matrice identité Calcul matriciel : multiplication par un scalaire, somme matricielle, produit matrictiel, propriétés des opérations sur les matrices, non commutativité du produit matriciel, non intégrité du produit matriciel, transposition, matrices symétriques, puissances de matrices carrées, formule du binôme de Newton pour deux matrices carrées qui commutent, matrices inversibles, l ensemble Gl n (K), unicité de la matrice inverse, propriétés des opérations sur les matrices inverses, propriétés des opérations sur les matrices diagonales. BCPST 1A lycée Hoche sur 7 Sébastien Godillon

2 Samedi 12 décembre : DS 3h DS n o 4. Jeudi 3 décembre : cours 4h Fin du chapitre 10 - Calcul infinitésimal : 10.3 Équations différentielles linéaires à coefficients constants d ordre 1 et 2 : équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants d ordre 2, détermination d une solution particulière, problème de Cauchy. Retour et corrigé du DS n o 3. Liste de dérivées et de primitives usuelles : dérivées usuelles, propriétés de calcul de dérivées, primitives usuelles, propriétés de calcul de primitives. Fiche méthodologique n o 10 - Dériver, primitiver et résoudre des EDL à coefficients constants : calculer des dérivées (dérivée d une composée, dérivée d une bijection réciproque, dérivées partielles), calculer des primitives (primitivation par parties, changement de variable), résoudre des EDL à coefficients constants (cas d une EDL homogène d ordre 1 à coefficients constants, cas d une EDL homogène d ordre 2 à coefficients constants, détermination d une solution particulière, problème de Cauchy). Mercredi 9 décembre : cours 1h (-1h de prévention de l hyperalcoolisation) Suite du chapitre 10 - Calcul infinitésimal : 10.3 Équations différentielles linéaires à coefficients constants d ordre 1 et 2 : principe de superposition, équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants d ordre 1. Mardi 8 décembre : TD 3h Retour de l interrogation n o 4. Fiche méthodologique n o 9 - Résoudre des systèmes linéaires : utiliser la méthode du pivot de Gauss, discuter de l ensemble des solutions, résoudre un système linéaire avec paramètres. Feuille de TD n o 9 - Résoudre des systèmes linéaires. Jeudi 3 décembre : cours 4h Ramassage du DM n o 4. Suite du chapitre 10 - Calcul infinitésimal : 10.1 Dérivées : principe de Lagrange, dérivées partielles d une fonction réelle de plusieurs variables Primitives : définition, notations, calcul de l aire sous une courbe représentative, théorème fondamental de l analyse, opérations sur les primitives (linéarité, primitivation par parties, changement de variables) Équations différentielles linéaires à coefficients constants d ordre 1 et 2 : définitions. Mercredi 2 décembre : cours 2h Interrogation n o 4. Début du chapitre 10 - Calcul infinitésimal : 10.1 Dérivées : nombre dérivé, notations, équation de la tangente à une courbe représentative, fonction dérivée, ensemble de dérivabilité, opérations sur les dérivées (linéarité, produit, inverse, quotient, composée, bijection réciproque), principe de Lagrange. Mardi 1 er décembre : TD 2h (-1h d exercice de confinement) Feuille de TD n o 8 - Fonctions réelles d une variable. Fiche méthodologique n o 8 - Étudier des fonctions réelles : déterminer l ensemble de définition d une fonction, restreindre l ensemble d étude d une fonction. Feuille de TD n o 9 - Résoudre des systèmes linéaires. BCPST 1A lycée Hoche sur 7 Sébastien Godillon

3 Jeudi 26 novembre : cours 4h Fin du chapitre 9 - Systèmes linéaires : 9.2 Méthode du pivot de Gauss : échelonnement d un système linéaire, pivots, inconnues principales, inconnues auxiliaires, équations principales, équations auxiliaires, rang d un système linaire, invariance du rang pour des systèmes linéaires équivalents, invariance du rang résolution d un système linéaire échelonné, invariance du rang par changement de second membre, nombre de solutions d un système linéaire, structure de l ensemble des solutions d un système linéaire, système de Cramer. Mercredi 25 novembre : cours déplacé au lundi 23 novembre Mardi 24 novembre : TD 3h Feuille de TD n o 7 - Dénombrement. Feuille de TD n o 8 - Fonctions réelles d une variable. Lundi 23 novembre : cours 2h Début du chapitre 9 - Systèmes linéaires : 9.1 Généralités sur les systèmes linéaires : écriture matricielle, coefficients, seconds membres, inconnues, solutions, système linéaire compatible, système linéaire homogène, système linéaire échelonné, systèmes linéaires équivalents, principe de superposition, opérations élémentaires sur les lignes d un système linéaire. DS n o 3. Samedi 21 novembre : DS 3h Jeudi 19 novembre : cours 4h Retour du DM n o 3. Fiche méthodologique n o 7 - Dénombrer : utiliser une bijection, dénombrer une union, dénombrer une partition, dénombrer un produit cartésien, dénombrer un complémentaire, utiliser un arbre de dénombrement. chapitre 8 - Fonctions réelles d une variable : 8.1 Généralités sur les fonctions : ensemble de définition, voisinages, courbes représentatives, ensemble symétrique, fonctions paires, fonctions impaires, fonctions périodiques, fonctions majorées, fonctions minorées, fonctions bornées, fonctions croissantes, fonctions décroissantes, fonctions strictement croissantes, fonctions strictement décroissantes, extrema globaux, extrema locaux, opérations sur les fonctions, propriétés des opérations sur les fonctions. 8.2 Fonctions usuelles : fonctions puissances (d exposants entiers et réels), logarithme népérien, exponentielle naturelle, fonctions exponentielles, fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, tangente), fonction trigonométriques réciproques (arccosinus, arcsinus, arctangente), valeur absolue, partie entière. Catalogue de courbes représentatives : fonctions puissances (d exposants entiers et réels), logarithme népérien, exponentielle naturelle, fonctions exponentielles, fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, tangente), fonction trigonométriques réciproques (arccosinus, arcsinus, arctangente), valeur absolue, partie entière. Mercredi 18 novembre : cours 2h Fin du chapitre 7 - Dénombrement : 7.2 Arrangements, permutations, combinaisons : p-listes, p-listes sans répétition, permutations, p- combinaisons. Fiche méthodologique n o 7 - Dénombrer : utiliser les modèles combinatoires usuels (arrangements avec répétition, arrangements sans répétition, permutations, combinaisons). Mardi 17 novembre : TD 3h Retour de l interrogation n o 3. Fiche méthodologique n o 6 - Manipuler des applications : étudier la bijectivité d une application (en utilisant le théorème de la bijection), calculer une bijection réciproque (à l aide d une équation, en tant qu application inverse, en reconnaissant une composition de plusieurs bijections). Feuille de TD n o 6 - Les applications. BCPST 1A lycée Hoche sur 7 Sébastien Godillon

4 Jeudi 12 novembre : cours 4h Interrogation n o 3. Distribution du DM n o 4 à rendre au plus tard le jeudi 3 décembre. Début du chapitre 7 - Dénombrement : 7.1 Cardinal d un ensemble fini : ensemble fini, cardinal d un ensemble fini, bijection entre ensembles finis, injections et surjections entre ensembles finis, opérations sur les cardinaux (cardinal d une partie, cardinal d une union (formule de Poincaré), cardinal d une partition, cardinal d un complémentaire, cardinal d un produit cartésien, cardinal de l ensemble des applications, cardinale de l ensemble des parties). Retour et corrigé du DS n o 2. Mercredi 11 novembre : férié Mardi 10 novembre : TD 3h Fiche méthodologique n o 6 - Manipuler des applications : étudier l injectivité, la surjectivité et la bijectivité d une application (à l aide de la définition ou d une équation). Feuille de TD n o 6 - Les applications. Jeudi 5 novembre : cours 4h Fin du chapitre 6 - Les applications : 6.2 Injectivité, surjectivité, bijectivité : fonctions trigonométriques réciproques (arccosinus, arcsinus, arctangente), bijection réciproque d une composée, cas des fonctions réelles d une variable, théorème de la bijection, courbe représentative de la bijection réciproque. Retour et corrigé du DM n o 2. Ramassage du DM n o 3. Mercredi 4 novembre : cours 2h Retour de l interrogation n o 2. Suite du chapitre 6 - Les applications : 6.2 Injectivité, surjectivité, bijectivité : injection, surjection, bijection, bijection réciproque, identification entre applications inverses et bijections réciproques. Mardi 3 novembre : TD 3h Fiche méthodologique n o 5 - Sommer et multiplier : calculer des sommes doubles (sommes doubles sur un rectangle d indices, sommes doubles sur un triangle d indices, sommes doubles sur un carré d indices), manipuler des factorielles et des coefficients binomiaux. Feuille de TD n o 5 - Sommes et produits. DS n o 2. Vacances d automne Jeudi 15 octobre : DS 3h Mercredi 14 octobre : cours 2h Distribution du DM n o 3 à rendre au plus tard le jeudi 5 novembre. Début du chapitre 6 - Les applications : 6.1 Applications et fonctions : applications, ensembles de départ et d arrivée, images, antécédents, graphe, fonction identité, fonctions indicatrices, l ensemble F(E, F ) = F E, fonctions, domaine de définition, images directes, parties stables, images réciproques, restrictions, prolongements, composition, propriétés de la composition (non-commutativité, associativité, élément neutre à gauche et à droite). BCPST 1A lycée Hoche sur 7 Sébastien Godillon

5 Mardi 13 octobre : TD 3h Fiche méthodologique n o 5 - Sommer et multiplier : utiliser les sommes usuelles (sommes des termes d une suite arithmétique, sommes des termes d une suite géométrique, formule du binôme de Newton, sommes des premières puissances d entiers), manipuler des sommes (décalage d indice, inversion de l ordre de sommation, sommes télescopiques, séparation des indices pairs et impairs). Feuille de TD n o 5 - Sommes et produits. Jeudi 8 octobre : cours 3h30 Interrogation n o 2. Fin du chapitre 5 - Sommes et produits : 5.1 Généralités sur les sommes et les produits : définition du symbole, factorielle!, propriétés des calculs de produits (associativité, multiplicativité, décalage d indice, inversion de l ordre de multiplication, séparation des indices pairs et impairs, produits télescopiques). 5.2 Formule du binôme de Newton : coefficients binomiaux, formule du pion, relation de Pascal, triangle de Pascal, formule du binôme de Newton. Retour et corrigé du DS n o 1. Ramassage du DM n o 2. Mercredi 7 octobre : cours 2h Début du chapitre 5 - Sommes et produits : 5.1 Généralités sur les sommes et les produits : définition du symbole, propriétés des calculs de sommes (associativité, linéarité, décalage d indice, inversion de l ordre de sommation, séparation des indices pairs et impairs, sommes télescopiques, inégalité triangulaire), sommes doubles sur un rectangle d indices, sommes doubles sur un triangle d indices. Mardi 29 septembre : TD 3h Fiche méthodologique n o 4 - Manipuler des suites : calculer le terme général d une suite récurrente (cas d une suite arithmético-géométrique, cas d une suite récurrente linéaire d ordre 2), étudier une suite récurrente du type u n+1 = f(u n ). Feuille de TD n o 4 - Suites numériques. Jeudi 1 er octobre : cours 3h30 Fin du chapitre 4 - Suites numériques : 4.2 Suites usuelles : somme des termes d une suite arithmétique, suites géométriques, somme des termes d une suite géométrique, suites arithmético-géométriques, suites récurrentes linéaires d ordre 2. Mercredi 30 septembre : cours 2h Début du chapitre 4 - Suites numériques : 4.1 Généralités sur les suites : définition, l ensemble K N, suites constantes, suites stationnaires, suites périodiques, suites pré-périodiques, opérations sur les suites, propriétés des opérations sur les suites, suites majorées, suites minorées, suites bornées, suites croissantes, suites décroissantes, suites strictement croissantes, suites strictement décroissantes, suites monotones, suites strictement monotones. 4.2 Suites usuelles : suites arithmétiques. Feuille de TD n o 3 - Trigonométrie. Mardi 29 septembre : TD 3h DS n o 1. Samedi 26 septembre : DS 3h BCPST 1A lycée Hoche sur 7 Sébastien Godillon

6 Jeudi 24 septembre : cours 3h30 Distribution du DM n o 2 à rendre au plus tard le jeudi 8 octobre. Retour et corrigé du DM n o 1. Fiche méthodologique n o 2 - Résoudre des équations et des inéquations : racines n-ièmes de l unité. Fiche méthodologique n o 3 - Trigonométrer : détermination d un argument d un complexe, simplification de a cos(θ) + b sin(θ), linéarisation de cos p (θ) sin q (θ), développement de cos(nθ) et sin(nθ). Feuille de TD n o 2 - Les nombres. Mercredi 23 septembre : cours 2h Retour de l interrogation n o 1. chapitre 3 - Trigonométrie : 3.1 Cercle trigonométrique : définition, fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, tangente), formules de trigonométrie. 3.2 Équations trigonométriques : fonctions trigonométriques réciproques (arccosinus, arcsinus, arctangente), résolution d équations trigonométriques, résolution d inéquations trigonométriques. Formulaire de trigonométrie : cercle trigonométrique, valeurs remarquables, lien avec les nombres complexes, relations algébriques, changement de variable de l arc moitié, géométrie du triangle, fonctions trigonométriques réciproques. Mardi 22 septembre : TD 3h Fiche méthodologique n o 2 - Résoudre des équations et des inéquations : équations du second degré (résolution de az 2 + bz + c = 0, relations coefficients-racines) Feuille de TD n o 2 - Les nombres. Jeudi 17 septembre : cours 3h30 Interrogation n o 1. Fin du chapitre 2 - Les nombres : 2.3 Nombres complexes : l ensemble des complexes C, écriture algébrique, partie réelle, partie imaginaire, propriétés des opérations sur les complexes, représentation géométrique, conjugué, module, argument, le cercle unité U, écriture exponentielle, exponentielle complexe, résolution des équations du second degré à coefficients réels. Ramassage du DM n o 1. Mercredi 16 septembre : cours 2h Suite du chapitre 2 - Les nombres : 2.2 Nombres réels : valeur absolue, puissances et exposants, racines n-ièmes, inégalités, majorant, minorant, plus grand élément, plus petit élément, borne supérieure, borne inférieure. Mardi 15 septembre : TD 3h Feuille de TD n o 1 - Le langage mathématique. Fiche méthodologique n o 2 - Résoudre des équations et des inéquations : résoudre une équation (par équivalences, par analyse-synthèse), résoudre une inéquation. Feuille de TD n o 2 - Les nombres. Jeudi 10 septembre : cours 3h30 Fiche méthodologique n o 1 - Démontrer, prouver, raisonner : démontrer une proposition commençant par (cas général, raisonnement pas disjonction de cas), démontrer une proposition commençant par (démonstration constructive : analyse-synthèse, démonstration non constructive, cas d une proposition commençant par!), prouver une inclusion, prouver une égalité d ensembles (démonstration par double inclusion, démonstration par égalités successives), raisonner par récurrence. Suite du chapitre 2 - Les nombres : 2.1 Nombres entiers et récurrence : principe de récurrence double, principe de récurrence forte. 2.2 Nombres réels : l ensemble des rationnels Q, l ensemble des réels R, propriétés des opérations sur les réels, intervalles, partie entière, congruence. BCPST 1A lycée Hoche sur 7 Sébastien Godillon

7 Mercredi 9 septembre : cours 2h Fin du chapitre 1 - Le langage mathématique : 1.2 Ensembles : ensembles disjoints, partition, produit cartésien, n-uplets. 1.3 Quantificateurs : quantificateur universel, quantificateur existentiel, règles d utilisation, négation de propositions quantifiées. Début du chapitre 2 - Les nombres : 2.1 Nombres entiers et récurrence : l ensemble des entiers naturels N, l ensemble des entiers relatifs Z, propriétés des opérations sur les entiers, principe de récurrence simple. Mardi 8 septembre : TD 3h Fiche méthodologique n o 1 - Démontrer, prouver, raisonner : prouver une implication (démonstration directe, démonstration par contraposition), prouver une équivalence, raisonner par déduction, raisonner par l absurde. Feuille de TD n o 1 - Le langage mathématique. Jeudi 3 septembre : cours 3h30 Suite du chapitre 1 - Le langage mathématique : 1.1 Logique : réciproque, contraposée, équivalence, propriétés des connecteurs logiques. 1.2 Ensembles : définition, appartenance, description d un ensemble, partie, inclusion, propriétés de l inclusion, ensemble des parties, complémentaire, union, intersection, différence, propriétés des opérations sur les ensembles. Mercredi 2 septembre : cours 2h Prise de contact avec la classe. Présentation de l enseignement des mathématiques et de l informatique. Distribution du DM n o 1 à rendre au plus tard le jeudi 17 septembre. Début du chapitre 1 - Le langage mathématique : 1.1 Logique : assertion, prédicat, proposition, table de vérité, négation «non», disjonction «ou», conjonction «et», implication «=». Mercredi 2 septembre : rentrée 1h30 Appel des étudiants. Présentation des enseignants. Présentation de la filière BCPST. Présentation du fonctionnement de la classe (emploi du temps, salles, groupes de rotation, planning des DS, khôlloscope, trombinoscope, etc.). BCPST 1A lycée Hoche sur 7 Sébastien Godillon