Potentiels ponctuels en dimension 1

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1 0 mon exe Poenies poncues en dimension 1 Séminaire du Maser 2 Recherche de Mahémaiques Universié de Rennes 1 mon exe Suje proposé par Dimiri Yafaev Lauren Paer janvier 2009

2 Cadre physique du probème On souhaie éudier ineracion fore (nucéaire) que peu subir un neuron afin de pouvoir réger un éa d énergie comme i peu êre nécessaire de e faire pour raier des umeurs par exempe. Par exempe, pour obenir un faisceau de neurons via fission e spaaion, un peu pacer des aomes ourds dans un réaceur puis par bombardemen par un proon excié, séparer es neurons du noyau e es récupérer dans différenes direcions e différens éas d énergie. C es a manière don seron diffusés es neurons soumis au proon e au rese du noyau don i es issu qui va nous inéresser par inermédiaire du poenie qui s exprimera sous a forme suivane : V ( r) = h m n b δ( r r 0 ) où m n es a masse du neuron, h a consane de Panck e b une consane (compexe en oue généraié) appeée pseudo-poenie de Fermi. La foncion d onde du neuron dépendane du emps Ψ() vérifie équaion de Schrödinger (avec es noaions de veceur d éa : ce qui s écri : H Ψ() = i d d p2 Ψ() = Ψ() + V ( r, ) Ψ() 2m Ψ(, r) i = 2 2 Ψ(, r) + V ( r, )Ψ(, r) 2m Nous nous pacerons en régime saionnaire : Ψ( r) + V ( r)ψ( r) = 0 2m En normaisan équaion, nous obenons finaemen : 2 Ψ( r) + λ δ( r r 0 )Ψ( r) = 0 On va réussir, en paramérisan es exensions auo-adjoines du Hamionien, à obenir une dépendance de λ de a forme ε + αε 2 où α es une ongueur de diffusion. On commence par réduire e probème. Réducion du probème Considérons opéraeur : H : D(H) L 2 (R 3 ) Ψ Ψ + λ δ(. r 0 )Ψ ce opéraeur coïncide avec sur C 0 (R3 \ {r 0 }). On va donc éudier dans a suie C 0 (R 3 \{r 0 }). Commençons par changer de repère en ransaan a foncion Ψ en r 0 via opéraeur T r0 : T r0 : C 0 (R3 \ {r 0 }) C 0 (R3 \ {0}) Ψ Ψ(. + r 0 ) 1

3 Ce opéraeur commue avec e Lapacien donc : T r0 ( C 0 (R 3 \{r 0 }))T r 0 = C 0 (R 3 \{0}) que on noera H dans a suie. On dispose de opéraeur H : C0 (R3 \ {0}) C0 (R3 \ {0}) e C0 (R3 \ {0}) es dense dans L 2 (R 3 \ {0}) pour a norme de L 2 (R 3 \ {0}). On va rouver a fermeure dans L 2 (R 3 \ {0}) de H, puis adjoin de cee fermeure H = H dans a suie. On prend donc adhérence du graphe de H pour a norme dans L 2 (R 3 \ {0}) L 2 (R 3 \ {0}). Ceci nous donne : par réguarié eipique. Puis on a : D( H) = H 2 0 (R 3 \ {0}) H = e D(H ) = H 2 oc (R3 \ {0}) L 2 (R 3 ) {g L 2 (R 3 ) g L 2 (R 3 )}. C es ce opéraeur que on va chercher à paramériser mais i va d abord êre pus simpe de décomposer L 2 (R 3 ) en coordonnées sphériques. On a : L 2 (R 3 ; λ) = L 2 (]0, [ ; r 2 dr) L 2 (S 2 ; sin θ dθ dφ) où e produi ensorie es pris au sens de a compéion hiberienne e S 2 es a sphère unié de R 3. On simpifie encore un peu e premier espace en remarquan que. L 2 (]0, [ ; r 2 dr) = U. L 2 (]0, [ ; dr) avec (Uf)(r) = rf(r). Pour e second espace, on uiise des foncions propres pour e Lapacien sur a sphère : es harmoniques sphériques. I exise, pour oue foncion g : (θ, φ) g(θ, φ) de L 2 (S 2 ) de a sphère unié S 2 dans R, des foncions Y m avec m N e m; m forman une base orhonormae de L 2 (S 2 ; sin θ dθ dφ) ees que : g(θ, φ) = m=0 m= c m, Y m avec égaié au L 2 (es c m, son appeés coefficiens de Fourier généraisés).on obien ainsi expression (oujours en ermes de compéion hiberienne) : L 2 (R 3 ; λ) = L 2 (]0, [ ; r 2 dr) m=0 m = m Connaissan expression du Lapacien en coordonnées sphériques : R.Y m f(r, θ, φ) = 2 f r 2 (r, θ, φ) + 2 f r r (r, θ, φ) f r 2 θ 2 (r, θ, φ) + 1 f r 2 an θ θ (r, θ, φ) f r 2 sin 2 (r, θ, φ) θ φ2 appiquons e à image d une foncion Ψ(r, θ, φ) de a forme f(r)y m (θ, φ) (un monôme du produi ensorie) par opéraeur U : (U 1 Ψ) = d2 f dr 2 (r)y m (θ, φ) + 1 r 2 f(r) LBY m (θ, φ) où LB es opéraeur de Lapace-Berami sur a sphère unié S 2 qui se défini par : LB f(θ, φ) = 2 f 1 (θ, φ) + θ2 an θ 2 f 1 (θ, φ) + θ sin 2 θ 2 f (θ, φ). φ2

4 Les harmoniques sphériques son des foncions propres pour opéraeur de Lapace-Berami : LB Y m = (+1)Y m ce qui nous perme finaemen d éudier es opéraeurs H = ( d2 + (+1) ) 1 r 2 r 2 pour N e premier erme agissan sur a coordonnée r e a seconde sur (θ, φ) e finaemen : h = d2 ( + 1) + dr2 r 2 qui es a fermeure dans L 2 (]0, [) de opéraeur h C 0 (]0, [) défini sur C0 es domaines : (]0, [) ce qui donne D(h 0 ) = H 2 0 (]0, [) D(h ) = {f L 2 (]0, [) r f (r) + ( + 1)r 2 f(r) L 2 (]0, [)} > 0 Pour a suie i va faoir disinguer deux cas puisque si > 0 es opéraeurs h son auoadjoins ce qui n es pus e cas pour = 0. Caracère auo-adjoin e paramérisaion de h 0 L équaion φ (r) + (+1) φ(r) = 0 possède deux souions inéairemen indépendanes x α 1 e r 2 x α 2 avec α 1 α 2 = ( + 1) > 1 orsque n es pas nu. Ainsi dans ous es cas une des deux souions n es pas un éémen de L 2 (]0, [). Ceci signifie que e poenie es quasi-poncue en zéro e en infini. Ceci es une condiion suffisane pour que es h soien auo-adjoins comme nous aons e voir. Eudions es opéraeurs h C 0 (]0, [) pour > 0 e monrons qu is son essenieemen auoadjoins c es à dire que es h son auo-adjoins. Si L(x)(f, g) = f(x)g (x) f (x)g(x) avec f, g C0 (]0, [), L(x) es coninue e par inégraion par paries : L(b)(f, g) L(a)(f, g) = b a ((H f)g f(h g)). e L( )(f, g) L(0)(f, g) = ((H f), g) (f, (H g)) e on voudrai que ce erme soi nu. On prend ensuie c ]0, [ puis si on considère opéraeur h c défini par h sur espace C0 (]0, c]) (es foncions nues sur un voisinage de 0 mais avec seuemen nues en c), ce opéraeur es une exension propre de h c défini sur C0 (]0, c[). Or espace des souions dans L2 (]0, c[) de φ (r)+ (+1) φ(r) = ±iφ(r) r 2 es de dimension 1. Ainsi es indices de défau de h c son (1, 1). Tous es opéraeurs commuen avec a conjugaison compexe donc es indices de défau son égaux égaemen pour h c mais c es un exension propre de h c donc ses indices de défau son sricemen décroissans e donc égaux à (0, 0) c es à dire que h c es auo-adjoin. Si on prend mainenan f, g D(H ) e en choisissan f 1, g 1 C0 (]0, [) ees que f 2 = f + f 1 e g 2 = g + g 1 son nues en c, aors on obien L(0)(f, g) = L(c)(f 2, g 2 ) L(0)(f 2, g 2 ) = 0. On fai que parei en pour concure que es h son auo-adjoins. 3

5 On peu mainenan démonrer e héorème fondamena de paramérisaion : Théorème 1 Toues es exensions auo-adjoines de H se paramérisen par α ], ] sous a forme : ( ) α = U 1 h α 0 U U 1 h U 1 avec D(h α ) = {f H 2 (]0, [) f (0+) = 4παf(0+)} pour α <.Le cas α = correspondan au Lapacien dans H 2 (R 3 ) (exension de Friedrichs). Eémens de démonsraion La héorie des indices de défau nous donne (puisque opéraeur es fermé) D(h 0 ) = D(h 0) h0 ker(h 0 + i) h0 ker(h 0 i) ce qui nous donne h 0 = h 0 sur D(h 0 ) e e domaine de h 0. On a, en cacuan (puisque es foncions doiven reser de carré inégrabe), si φ + () = e ( i) : ker(h 0 + i) =< φ + > e ker(h 0 i) =< φ + >. I exise donc une unique isomérie de ker(h 0 i) sur ker(h 0 + i) : a conjugaison. Ainsi i exise un unique paramère α e que f (0+) = 4παf(0+). On peu faire une inerpéaion physique du phénomène via opéraeur T = i d dx en remarquan que on peu considérer a famie d opéraeur des ransaions d un paque d onde se propagean sur ]0, [ e par e héorème de Sone, T sera son généraeur infiniésima. Or ceci n es possibe que si es ransaions ne son pas rop proches de 0 pour reser dans H0 2 (]0, [). La paramérisaion correspond à donner ce qui se passe orsque e paque ouche e bord : on doi préciser a nouvee phase ors de a superposiion des différenes ondes. Les différenes exensions auo-adjoines corresponden à des siuaions physique différenes : 1 es une ongueur de diffusion. On précise mainenan a résovane, simpifie e domaine e donne es propriéés specraes de ce nouve opéraeur α. Résovane, simpificaion du domaine Posons G k (x x ) = eik x x 4π x x avec Ik > 0, x, x R 3 e x x e noyau inégra de a résovane G k = ( k 2 ) 1. Théorème 2 La résovane de α es donnée par : =1 ( k 2 ) 1 = G k + (α ik 4π ) 1 (G k (.),.)G k Eémens de démonsraion On appique a seconde formue de a résovane (ou formue de Krein) e on peu cacuer e erme muipicaif en considéran quasimen opéraeur appiqué à une foncion η de L 2.On pose f(k, x, x ) = 1 k sin(kx)eikx pour x x e en reournan es variabes dans aure cas (a foncion de Green de exension de Friedrichs). En cacuan : f α = on rouve : f α D( α ) e η = f α k 2 f α. 0 4πα dx f(k,., x )η(x ) + (4πα ik) 1 dx e ikx η(x )e ik. 0 4

6 Théorème 3 Le domaine de α es consiué des éémens de a forme ψ = φ k + (α ik 4π ) 1 φ k (0)G k (.) où φ k es un éémen de H 2 (R 3 ) e k un éémen de ensembe résovan de α. La décomposiion es unique e perme d écrire : ( α k 2 )ψ = ( k 2 )φ k Eémens de démonsraion Pour obenir e domaine on appique a résovane précédene au domaine du Lapacien sur H 2 (R 3 ). L unicié de a décomposiion découe du fai que si on prend ψ nue on obien une foncion coninue égae à a foncion de Green qui, ee, n es pas coninue pour φ k non nue. L égaié suivane résue du même cacu que pour e domaine. Propriéés specraes Théorème 4 Le specre essenie de α es puremen absoumen coninu, pus précisémen : σ ess ( α ) = σ ac ( α ) = [0, [ Pour α < 0, e specre poncue de α es consiué d une unique vaeur propre (4πα) 2 don : x α e4πα x x es un veceur propre. Pour α 0 e specre poncue de α es vide. Eémens de démonsraion Le cacu du specre essenie e absence de specre singuièremen coninu résue du héorème de Wey puisque a différence enre e Lapacien e son exension paramérisée es de rang 1. Le fai que es vaeurs propres soien sricemen négaives provien de expression de a résovane. 5

7 Références [1] S. Abeverio, F. Geszesy, R. Høegh-Krohn, H.Hoden Sovabe Modes in Quanum Mechanics, Springer-Verag, 1988 [2] M. Reed, B. Simon, Fourier Anaysis, Sef Adjoinness, Academic Press, 1975 [3] M. Reed, B. Simon, Funciona Anaysis, Academic Press, 1975 [4] D. Lairez, J. Pea Diffusion de neurons, hp ://www-b.cea.fr,