[ édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. b) On suppose rga + rgb n. Montrer qu il existe U, V GL n (K) tels que

Transcription

1 [ édité le 0 juillet 204 Enoncés Rang d une matrice Exercice [ 0070 ] [correction] Soit A M n K une matrice carrée de rang. a Etablir l existence de colonnes X, Y M n, K vérifiant A X t Y. b En déduire l existence de λ K tel que A 2 λa. Exercice 2 [ ] [correction] Soit A une matrice carrée de rang. Montrer qu il existe λ K tel que A 2 λa. Exercice 3 [ ] [correction] Soit H M n C une matrice de rang. a Montrer qu il existe des matrices U, V M n, K telles que H U t V. b En déduire H 2 trhh c On suppose trh. Montrer que I n + H est inversible et I n + H I n + trh H d Soient A GL n K telle que trha. Montrer que A + H est inversible et A + H A + trha A HA Exercice 4 [ ] [correction] Soient A M 3,2 R et B M 2,3 R telles que 0 0 AB a Déterminer les rangs de A et B. b Calculer BA en observant AB 2 AB. Exercice 5 [ ] [correction] Soient A M 3,2 R et B M 2,3 R matrices de rang 2 vérifiant AB 2 AB. Montrer BA I 2. Exercice 6 [ ] [correction] Soit A M n R une matrice de rang r. Déterminer la dimension de l espace {B M n R/ABA O n } Exercice 7 [ 0602 ] [correction] Soient A, B M n K. a Justifier qu il existe U, V GL n K tels que UA + BV minn, A + B b On suppose A + B n. Montrer qu il existe U, V GL n K tels que UA + BV GL n R Exercice 8 [ 0334 ] [correction] Soient A, B, C, D M n K. a On note A B M n,2n K la matrice obtenue en accolant les colonnes de B à droite de celles de A. Montrer A B A U M n K, B AU A b On note M C 2n,n K la matrice obtenue en accolant les lignes de C en dessous de celles de A. Montrer A A V M C n K, C V A c En déduire A B A B A U, V M n K, Exercice 9 [ 0070 ] [correction] Soit G un groupe multiplicatif formé d éléments de M n R. Montrer que les éléments de G ont tous le même rang. A AU V A V AU

2 [ édité le 0 juillet 204 Enoncés 2 Exercice 0 [ ] [correction] a Montrer que si C M n R vérifie : X M n R, detc + X det X alors elle est nulle on pourra étudier le rang de C. b Montrer que si A et B de M n R vérifient : alors A B. X M n R, deta + X detb + X

3 [ édité le 0 juillet 204 Corrections 3 Corrections Exercice : [énoncé] a A est équivalente à la matrice J diag, 0,..., 0 donc il existe P, Q GL n K vérifiant A P J Q. Pour C t, 0,..., 0, on a J C t C donc A X t Y avec X P C et Y t QC. b A 2 X t Y X t Y. t Y X est un scalaire λ donc A 2 Xλ t Y λx t Y λa. Exercice 2 : [énoncé] Il existe une colonne X telle que AX 0 et alors ImA VectAX. A 2 X ImA donc il existe λ K tel que A 2 X λax. De plus pour Y ker A, A 2 Y 0 λay. Enfin ker A et VectX sont supplémentaires dans M n, K donc A 2 λa. Exercice 3 : [énoncé] a Soit U une colonne non nulle de l image de H. Pour tout j p, la colonne C j de H peut s écrire C j λ j U avec λ j K. La matrice colonne V t λ... λ n vérifie alors H U t V. b On a alors H 2 U t V U t V avec λ t V U un scalaire donc H 2 λh et c En développant I n + H I n λ t V U tr t V U tr U t V trh + trh H I n + H + trh H + trh H2 I n Par le théorème d inversibilité des matrices, on obtient I n + H est inversible et I n + H I n + trh H d On a HA H car on ne modifie pas le rang en multipliant par une matrice inversible. On en déduit que I n + HA est inversible et In + HA In + trha HA En multipliant par la matrice inversible A, on obtient A + H I n + HA A inversible et A + H A I n + HA A n + trha A HA Exercice 4 : [énoncé] a On a donc AB 2 mina, B 2 A B 2 b On a ABAB AB donc ABA I 2 B O 3. On en déduit Im BA I 2 B ker A {0} donc BA I 2 B O 2,3. Par suite ImB kerba I 2 or B est surjective donc BA I 2 O 2 puis BA I 2 Exercice 5 : [énoncé] On a ABA I 2 B 0. Or puisque A est de rang 2, ker A {0} et donc BA I 2 B 0. De plus, puisque B est de rang 2, ImB M 2 R et donc BA I 2 0. Exercice 6 : [énoncé] La matrice est équivalente à la matrice J r I r O r,n r O n r,r O n r et donc il existe des matrices P, Q inversibles vérifiant A QJ r P. Par suite ABA O n J r P BQJ r O n. Via l isomorphisme B P BQ, l espace {B M n R/ABA O n } est isomorphe à {M M n R/J r MJ r O n }. En écrivant la matrice M par blocs, on vérifie que les matrices M vérifiant Or J r MJ r O n sont les matrices de la forme dim {B M n R/ABA O n } n 2 r 2.. On en déduit Exercice 7 : [énoncé] a Posons r A et s B. Les matrices A et B sont respectivement équivalentes aux matrices J r Ir O r,n r O n r,t O n r et J s Il existe donc P, Q, R, S GL n R telles que et alors P AQ J r et RBS J s P AQ + RBS J r + J s On s O n s,s O s,n s I s

4 [ édité le 0 juillet 204 Corrections 4 qui est une matrice de rang minn, r + s. On peut aussi écrire En raisonnant comme en b, il existe une matrice V M n K telle que V A V B R P A + BSQ R J r + J sq et en posant U R P et V SQ, on obtient U, V GL n R telles que UA + BV minn, r + s b Si r + s n alors minn, r + s n et ce qui précède conduit à une matrice inversible. On en déduit A B Inversement, supposons A AU V A V AU A B A AU V A V AU Exercice 8 : [énoncé] a Supposons A B A r. Rappelons que le rang d une matrice est le rang de la famille de ses colonnes. Puisque A r, la matrice A possède r colonnes indépendantes. Puisque A B r, les colonnes de A B sont toutes combinaisons linéaires des colonnes précédentes. En particulier les colonnes de B sont combinaisons linéaires des colonnes de A. Ceci permet de former U M n K vérifiant B AU. Supposons B AU. Les colonnes de B sont combinaisons linéaires des colonnes de A et donc par opérations sur les colonnes A B A O n A b Il suffit de transposer le raisonnement qui précède en raisonnant sur les lignes et en exploitant que le rang d une matrice est aussi le rang de la famille des ses lignes. c Supposons A B A Puisque on a A A A A B A B B A B et En vertu de a il existe une matrice U M n K telle que B AU A A B Les n dernières lignes étant combinaisons linéaires des n premières, on a A B A AU A AU puis A B O n O n A AU A O n O n Exercice 9 : [énoncé] Commençons par noter que le neutre multiplicatif de G n est pas nécessairement I n. Par exemple, G {O n } est un groupe multiplicatif formé d éléments de M n R. Notons J le neutre du groupe G. Soit A G. D une part AJ A donc A AJ J. D autre part, il existe B M n R tel que AB J donc J AB A. Finalement A G, A J. Exercice 0 : [énoncé] a Posons r C. On peut écrire C QJ r P avec P, Q inversibles et Ir 0 J r 0 O n r Posons alors X QJ rp avec J r Or 0 0 I n r Puisque A + X QI n P QP, la matrice A + X est inversible et donc det X deta + X 0.

5 [ édité le 0 juillet 204 Corrections 5 On en déduit que la matrice J r est l identité et donc r 0 puis A O n. b Quand X parcourt M n R alors Y B + X parcourt M n R et en posant C A B, on obtient Ce qui précède permet alors de conclure. Y M n R, detc + Y det Y