Partie I - Valeurs propres de AB et BA
|
|
- Aurélien Legaré
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 SESSION 9 Concours commun Centrale MATHÉMATIQUES. FILIERE PSI Partie I - Valeurs propres de AB et BA I.A - Cas de la valeur propre. I.A.) Sp(AB) Ker(AB) {} AB / G L n (R) det(ab) =. I.A.) Sp(AB) det(ab) = det(a) det(b) = det(b) det(a) = det(ba) = Sp(BA). I.B - I.B.) Puisque λ et X, ABX = λx. Ensuite, comme ABX, on ne peut avoir BX = et donc BX. I.B.) (BA)(BX) = B(ABX) = B(λX) = λbx et puisque BX, BX est vecteur propre de BA associé à la valeur propre λ. I.B.) D après I.A.) et I.B.), si λ est un réel valeur propre de la matrice AB, alors λ est valeur propre de la matrice BA. En échangeant les rôles de A et B, on a montré que pour tout réel λ, λ est valeur propre de la matrice AB si et seulement si λ est valeur propre de la matrice BA et donc que (A, B) (M n (R)), les matrices AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles. I.C - I.C.) det(a) det(ba xi) = det(a(ba xi)) = det(aba xa) = det((ab xi)a) = det(a) det(ab xi) et puisque det(a), après simplification par det(a), on obtient det(ba xi) = det(ab xi). I.C.) Ainsi, les matrices AB et BA ont même polynôme caractéristique ou encore les matrices AB et BA ont les mêmes valeurs propres réelles ou complexes avec le même ordre ordre de multiplicité. II.A - Partie II - Valeurs singulières d une matrice II.A.) a) Soit X M n, (R). AX = t A AX = t A t AAX =. b) Soit X M n, (R). t X t AAX = t (AX)AX = AX et donc t AAX = t X t AAX = AX AX =. c) D après les questions a) et b), x R n, x Ker(f) f(x) = g(x) x Ker(g). Par suite, Ker(f) = Ker(g). Mais alors d après le théorème du rang, rg(a) = rg(f) = n dim(ker(f)) = n dim(ker(g)) = rg(g) = rg( t AA). II.A.) t ( t AA) = t A t ( t A) = t AA et donc t AA S n (R). Puis en appliquant ce résultat à la matrice t A, A t A S n (R). II.A.) Les matrices t AA et A t A sont symétriques réelles. D après le théorème spectral, ces matrices sont orthogonalement semblables à une matrice diagonale réelle. De plus, d après la question I.C-, les matrices t AA et A t A ont les mêms valeurs propres réelles avec le même ordre de multiplicité. Par suite, ces matrices sont orthogonalement semblables à une même matrice diagonale réelle. Donc D D n (R), (P, Q) (O n (R)) / t AA = PD t P et A t A = QD t Q. II.A.4) Le nombre de termes diagonaux non nuls de D est le rang de D. Puisque deux matrices semblables ont même rang et d après la question II.A.)c), rg(d) = rg( t AA) = rg(a) = r et donc D possède exactement r termes diagonaux non nuls. II.A.5) a) D = P t AA( t P) = t P t AAP = t (AP)AP et en posant M = AP, A = t MM. b) Soient i, n puis X i un vecteur propre de M associé à la valeur propre λ i. On a t X i DX = λ i t X i X i = λ X i mais aussi t X i DX i = t X i t MMX i = t (MX i )MX i = MX i. Comme X i, X i > et donc λ i = MX i X i. i, n, λ i [, + [. http :// c Jean-Louis Rouget, 9. Tous droits réservés.
2 II.A.) Soient U et V deux matrices orthogonales puis A = UAV. Alors t A A = t V t A t UUAV = V ( t AA)V. Ainsi, les matrices t A A et t AA sont semblables. On en déduit que les matrices t A A et t AA ont la même famille de valeurs propres ou encore que les matrices A et A ont les mêmes valeurs singulières. II.A.7) A est symétrique réelle et donc ses valeurs propres sont toutes réelles. Posons Sp(A) = (µ,..., µ n ). Alors Sp( t AA) = Sp(A ) = (µ,..., µ n) et les valeurs singulières de A sont les µ i = µ i. Les valeurs singulières d une matrice symétrique réelle sont les valeurs absolues de ses valeurs propres. II.B - II.B.) L endomorphisme g est symétrique et d après le théorème spectral, l endomorphisme g est diagonalisable dans une base orthonormée. Soit (e,...,e n ) une base orthonormée de vecteurs propres de g associée à la famille de valeurs propres (λ,..., λ n ) de valeurs propres de g. Pour i, n, on pose X i = (e i ) B où B désigne la base canonique (orthonormée) de R n. Alors, i, ρ, t AAX i = λ i X i, la famille (X ρ+,...,x n ) est une famille orthonormée de Ker(g) = Ker(f) et puisque d autre part, dim(ker(f)) = n ρ = card(x ρ+,...,x n ), la famille (X ρ+,..., X n ) est une base orthonormée de Ker(f). II.B.) D après la question I.B.), i, ρ, AX i et donc AX i est un vecteur non nul de Im(f). Ensuite, soit (i, j), ρ tel que i j. Alors AX i, AX j = t (AX i )AX j = t X i ( t AAX j ) = t X i (λ j X j ) = λ j X i, X j =. Donc, la famille (AX,..., AX ρ ) est une famille orthogonale de vecteurs tous non nuls et en particulier une famille libre de Im(f). Enfin, card(ax,...,ax ρ ) = ρ = dim(im(f)) et on a montré que la famille (AX,...,AX ρ ) est une base orthogonale de Im(f). II.B.) Soit i, ρ. Le calcul de la question précédente fournit AX i = AX i, AX i = λ i X i, X i = λ i X i = λ i et donc AX i = λ i = σ i. i, ρ, AX i = σ i. II.B.4) Pour i, ρ, on pose Y i = σ i AX i. D après ce qui précède, la famille (Y,..., Y ρ ) est une famille orthonormée de R n. On complète cette famille en B = (Y,...,Y n ) base orthonormée de R n. Par construction, si i, ρ, alors AX i = σ i Y i et si i ρ +,..., n, AX i = = σ i Y i. Finalement, B est une base orthonormée de R n telle que i, n, AX i = σ i Y i ou encore telle que Mat B,B (f) = Diag(σ,..., σ n ). II.B.5) Posons P = P B B et P = P B B. Puisque P et P sont deux matrices de passage d une base orthonormée à une autre, P et P sont deux matrices orthogonales et de plus les formules de changement de bases fournissent II.C - A = Mat B (f) = P B B Mat B,B (f) P B B = P Diag(σ,..., σ n )P. II.C.) D après la question II.B.5), si σ,..., σ n sont les valeurs singulières de A, alors il existe deux matrices orthogonales telles que A = Q Diag(σ,..., σ n )Q. Réciproquement, supposons qu il existe deux matrices orthogonales Q et Q telles que A = Q Diag(σ,..., σ n )Q. D après la question II.A.), les valeurs singulières de A sont les valeurs singulières de Diag(σ,..., σ n ) c est-à-dire les σ i = σ i, i n. II.C.) Si (R, R ) (O(n)), A = R BR alors A et B ont les mêmes valeurs singulières d après la question II.A.). Réciproquement, soient A et B deux matrices réelles ayant les mêmes valeurs singulières. On note σ,..., σ n ces valeurs singulières communes. D après la question précédente, il existe des matrices orthogonales P, P, Q et Q telles que A = P Diag(σ,..., σ n )P et B = Q Diag(σ,..., σ n )Q. Mais alors A = P Diag(σ,...,σ n )P = (P t Q )B(Q P ). http :// c Jean-Louis Rouget, 9. Tous droits réservés.
3 Les matrices R = P t Q et R = Q P sont deux matrices orthogonales (en tant que produits de matrices orthogonales) telles que A = R BR. III.A - Partie III - Etude géométrique d un exemple III.A.) Notons L, L et L les lignes de A. La famille (L, L ) est libre et donc rg(a). Mais L est nulle et donc rg(a). Finalement t AA = III.A.) χt AA = X X X rg(a) =. Les valeurs propres de t AA sont λ =, λ = et λ =. Par suite, =. = ( X)( X) +(X )+(X ) = (X )(( X)(X )+) = X(X )(X ). les valeurs singulières de A sont σ =, σ = et σ =. III.A.) Soit X = x y R. X Ker( t AA I) On prend X =. Soit X = x y On prend X = Soit X = x y R. X Ker( t AA I). R. X Ker( t AA) x y + = x = x = x y + = x + y = x + = On prend X = III.A.4) D après la question II.B.4), on peut prendre Y = AX = σ x y + = x y = x = { x = y =. { y = x = x. = { y = x/ = x/ =. puis Y = AX = σ =. Enfin, on peut prendre Y = Y Y = = III.A.5) Ce résultat a été démontré à la question II.B.5). Vérifions le explicitement. http :// c Jean-Louis Rouget, 9. Tous droits réservés.
4 P B B Diag(σ, σ, σ ) t P B B = = = = A. III.B - On pose B = (i, j, k). III.B.) S est contenue dans Im(f) qui est un plan puisque rg(f) =. On sait que les colonnes de la matrice A fournissent une famille génératrice de Im(f). On en déduit que Im(f) Vect(i, j) puis que Im(f) = Vect(i, j) pour des raisons de dimension. Ceci montre qu une base de Im(f) est (i, j) et une équation cartésienne de Im(f) est =. S est contenue dans le plan d équation =. III.B.) Pour tout vecteur colonne X, AX = QD t PX = QDX où X = t PX. Maintenant, la matrice t P est une matrice orthogonale et on sait que l application X t PX est une bijection de la sphère unité sur elle-même. On en déduit que X décrit la sphère unité si et seulement si X décrit la sphère unité et donc que S = {QDX, X R, X = }. III.B.) Si on pose X = ui + vj + wk, (u, v, w) R, u + v + w =, alors QDX = Q( ui + vj) = u Y + vy. Soit Y un vecteur de R de coordonnées (y, y, y ) dans la base B (on prend donc B = B ). Y S (u, v, w) R / y w [, ]/ σ y = y = u y = v y = + y σ = w et u + v + w = (θ, w) [, π] [, ]/ y σ y = + y σ III.B.4) S est l intérieur d une ellipse de demi grand axe et de demi petit axe, frontière comprise. IV.A - Partie IV - Image de la sphère unité y = w σ cos(θ) y = w σ sin(θ) y = IV.A.) Puisque rg(a) =, on a encore rg( t AA) = d après la question II.A.)b) et la matrice t AA est inversible. Par suite, n est pas valeur propre de la matrice t AA. On en déduit que n est pas valeur singulière de A et puisque d autre part, les valeurs singulières de A sont des réels positifs, on a montré que les valeurs singulières de A sont trois réels strictement positifs. IV.A.) On reprend les notations de la question III.B.) et en particulier on reprend B = B. Soit Y = (y, y, y ) B. y = σ u Y S (u, v, w) R / y = σ v et u + v + w = y y = σ w σ + y σ + y σ =. Une équation cartésienne de S dans la base orthonormée B est y σ + y σ + y σ =. http :// 4 c Jean-Louis Rouget, 9. Tous droits réservés.
5 IV.A.) S est un ellipsoïde. IV.B - IV.B.) Puisque rg(a) =, rg( t AA) =. La matrice non inversible t AA admet déjà trois valeurs propres réelles, l une au moins de ces valeurs propres étant nulle. De plus, la matrice t AA étant diagonalisable car symétrique réelle, l ordre de multiplicité de la valeur propre est la dimension du sous-espace propre associé à savoir Ker( t AA). Puisque Ker( t AA) est de dimension, est valeur propre d ordre. Finalement, exactement deux des valeurs propres de la matrice t AA sont nulles et donc A admet trois valeurs singulières σ, σ et σ telles que σ > et σ = σ =. IV.B.) Toujours avec les notations de la question III.B.), en posant Y = (y, y, y ) B y = σ u Y S (u, v, w) R / y = et u + v + w = u [, ]/ y = y = σ u y = y =. S est le segment [MN] où M = ( σ,, ) B et N = (σ,, ) B. En particulier, S est un segment de longueur σ. Partie V - Pseudo-inverse d une matrice V.A - Puisque les matrices t Q et t Q sont inversibles, le rang de A est le rang de Diag,...,,,...,. On en σ σ p déduit que rg(a) = p car le rang d une matrice diagonale est le nombre de ses coefficients diagonaux non nuls. V.B - AA + = Q Diag (σ,...,σ p,,..., )Q t Q Diag,...,,,..., t Q σ σ p = Q Diag (σ,...,σ p,,..., )Diag,...,,,..., t Q = Q Diag,..., σ σ p } {{ },,..., t Q p En particulier, si A est inversible, p = n et donc AA + = Q Diag (,..., ) t Q = Q I t Q = I. Par suite, A + = A. V.C - Posons = Diag, }.{{.., },,...,. p On sait que l on peut prendre pour Q la matrice de passage de la base B à la base B. Puisque P = AA + = Mat B (h), = Q PQ = Mat B (h). Par suite, i, p, h(y i ) = Y i et i > p, h(y i ) =. Puisque la base B est orthonormée, h est la projection orthogonale sur Vect(Y,..., Y p ). Le rang de h est la dimension de Vect(Y,..., Y p ) à savoir p. V.D - Im(h) = Vect(Y,..., Y p ) = Im(f) d après la question II.B.). V.E - Dire que le système AX = Y n a pas de solution équivaut à dire que Y / Im(f). Soit X = A + Y de sorte que AX = AA + Y = PY. On sait que la distance de Y à un élément de Im(f) est supérieure ou égale à la distance de Y à son projeté orthogonal sur Im(f). Ce projeté est PY = AX d après les questions précédentes et donc X R n, Y AX Y AX. Le vecteur X = A + Y est donc un vecteur rendant minimale la norme de Y AX, X R n. http :// 5 c Jean-Louis Rouget, 9. Tous droits réservés.
Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailPROBABILITES ET STATISTIQUE I&II
PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailCHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.
CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailManipulateurs Pleinement Parallèles
Séparation des Solutions aux Modèles Géométriques Direct et Inverse pour les Manipulateurs Pleinement Parallèles Chablat Damien, Wenger Philippe Institut de Recherche en Communications et Cybernétique
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailStatistiques Descriptives à une dimension
I. Introduction et Définitions 1. Introduction La statistique est une science qui a pour objectif de recueillir et de traiter les informations, souvent en très grand nombre. Elle regroupe l ensemble des
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailThéorie et codage de l information
Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailSéquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire
Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailExercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2
Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailConstruction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailAnalyse en Composantes Principales
Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées
Plus en détailSCIENCES INDUSTRIELLES POUR L INGÉNIEUR. Partie I - Analyse système
SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L INGÉNIEUR COMPORTEMENT DYNAMIQUE D UN VEHICULE AUTO-BALANCÉ DE TYPE SEGWAY Partie I - Analyse système Poignée directionnelle Barre d appui Plate-forme Photographies 1 Le support
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détail