Mathématiques. BAC BLANC_corr. Calculatrice autorisée (Tous les résultats doivent être encadrés) Tstg _RH. Exercice1(4 pts) Avril A.

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1 BAC BLANC_corr Mathématiques Avril 2013 Calculatrice autorisée (Tous les résultats doivent être encadrés) Tstg _RH Exercice1(4 pts) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) voir Bac techno SESSION 2011 Pour chaque question, parmi les trois réponses proposées, une seule est correcte. Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte ou une question sans réponse n apporte ni ne retire aucun point. 1. (Un) est une suite géométrique de premier terme U 0 =1000 et de raison q =1,1. Le troisième terme de la suite est égal à : 1004, (Un) est une suite arithmétique de premier terme U 0 = 5, 2 et de raison r = 2,5 A B La formule à entrer en B3 et à recopier vers le bas pour obtenir les termes successifs de la suite (Un) est : 1 n Un 2 0 5, formule1= B2+2,5*A3 formule2= B$2+2,5 formule3= B$2+2,5*A3 3. Le prix d un produit subit une hausse annuelle de 20%. En prenant pour base 100 le prix du produit en 2006, l indice, arrondi à l unité, en 2011 sera égal à : indice1= 200 indice2= 249 on ne peut pas savoir 4. Un enseignant veut acheter 60 clés USB pour ses élèves. On lui propose deux promotions : promotion A : réduction de 30% par rapport au prix affiché pour chaque clé. promotion B : offre d une clé supplémentaire gratuite pour tout achat d un lot de 2 clés Pour effectuer son achat au prix le plus bas, l enseignant doit choisir : la promotion A la promotion B indifféremment la promotion A ou B 1

2 Corrigé détaillé de l exercice1 Rappel(excel) B2 signifie la cellule correspondante à la colonne B de la ligne 2 (la ligne 2 n'est pas fixée) Mais lorsque l'on recopie cette formule en la tirant sur la plage B2 : B11 par exemple, le numéro de la ligne prend la valeur de la ligne sur laquelle l'on se situe, càd ce sera B3, puis B4, puis B5, B$2 signifie la cellule correspondante à la colonne B de la ligne 2 (la ligne 2 est fixée) si bien que lorsque l'on recopie cette formule en la tirant sur la plage B2 : B11 par exemple, le numéro de la ligne 2 ne change pas, càd ce sera B2, puis B2, puis B2, $B2 signifie la cellule correspondante à la colonne B de la ligne 2 (la colonne B est fixée) si bien que lorsque l'on recopie cette formule en la tirant sur la plage B2 : G2 par exemple, l'alphabet de la ligne prend la valeur de la ligne sur laquelle l'on se situe, càd ce sera B2, puis B3, puis B4, 1. Rappel Si (U n ) est une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0, alors pour tout entier n, U n =q n U 0 Ici, U 0 =1000 et q = 1,1 puis n = 2 U 2 =q 2 U 0 U 2 = 1,1² 1000 = 1210 C'est donc la Réponse2 la bonne 2. Rappel : Si (u n ) est une suite arithmétique de raison a et de premier terme u 0, alors pour tout entier n, u n = u 0 + n a Ici, Le premier terme de la suite est u 0 =5,2 = B$2 (nous mettons $ pour bien signifier qu'en recopiant vers le bas, ce sera toujours la valeur de la cellule B2 qui sera pris en compte remarquons que $B$2 n'est pas faux mais puisque nous ne voulons pas recopier vers la droite, c'est inutile) Ici, la raison de la suite est a = 2,5 Ici, n = A2 car les nombres entiers n = 0, 1,2,3,4,5,...sont consignés dans les cellules A2 = 0, A3 =1, A4 = 2, A5 = 3 2

3 (nous ne mettons pas de $ pour bien signifier qu'en recopiant vers le bas, le numéro de la ligne sera incrémenté de 1 à chaque fois. Ce sera donc A2 puis A3, puis A4, Conclusion u n = u 0 + n a u n = B$2 + A2 2,5 u n = B$2 + 2,5 A2 C'est donc la formule3 la bonne. 3) Le prix d un produit subit une hausse annuelle de 20%. En prenant pour base 100 le prix du produit en 2006, l indice, arrondi à l unité, en 2011 sera égal à? L indice en 2006 est de 100 L indice en 2007 sera de 100(1+t/100)= 100(1+20/100) L indice en 2008 sera de 100(1+t/100) (1+t/100)= 100(1+20/100) (1+20/100) = 100(1+20/100)² L indice en 2011 sera de 100(1+t/100)^5 = 100(1+20/100)^5 = 249 (arrondi à l unité) 4) Posons x le prix d une clé, PromotionA : Prix total sera 60x (30/100)*60x = 0,70*60x = 42x PromotionB : Prix total sera 40x (car en achetant 40, il aura 20 gratuite) Comme 40x < 42x alors la PromotionB est la plus interessante. 3

4 Exercice2 (4 pts) Soit f une fonction définie sur [-2 ; 4] par f(x) = x² - 2x + 1 1) Calculer la dérivée de f. 2) Étudier le signe de la dérivée de f. 3) Déterminer le sens de variation de f sous forme de tableau de variation. Corrigé de l Exercice2 1) Calculer la fonction dérivée f (x) = 2x - 2 2) Étudier le signe de sous forme de tableau et en déduire le tableau de variation de. f (x) = 2x - 2 2x - 2 = 0 si et seulement si x = 1 2x - 2 < 0 si et seulement si x < 1 2x - 2 > 0 si et seulement si x > 1 Regroupons ces résultats dans le tableau ci-dessous : 3) Voici le tableau de variation : 4

5 Exercice3 (4 pts) Un établissement bancaire propose ce placement : «Si vous déposez un capital de euros, vous obtenez un capital de euros au bout de 10 ans». 1) Quel est le taux global de ce placement pour ces 10 ans? 2) Sachant que ce placement est à intérêts composés, calculer le taux annuel moyen, en pourcentage, à 0,1 % près. 3) Finalement, on place le capital de euros à 5 % d'intérêt annuel à intérêts composés. Quel capital obtiendra t-on au bout de 10 ans? Corrigé de l Exercice3 1) (1+t/100)= donc t =? 1+t/100 = / donc t/100 = 15000/ = 1,5-1 = 0,5 donc t = 0,5*100 = 50% Conclusion : Le taux global de ce placement pour ces 10 ans est de 50% sur 10 ans 2) placement est à intérêts composés donc suite géométrique de premier terme U0 = et de raison a =? avec le 11 ème terme U10 = = capital au bout de 10 ans càd au début de la 11 ème année On sait que U10 = (a^10)u0 donc a^10 = U10/U0 = / = 3/2 donc a = (3/2)^(1/10) = 1,5^0,1 = 1,041 soit un intérêt annuel de 4,1 % 3) U10 = (a^10)u0 donc U10 = (1,05^10)*1000 = 1629 euros (arrondis à l unité) 5

6 Exercice4 (4 pts) Une antenne d'une association humanitaire recueille des dons de chaussures ayant déjà été utilisées. Elle les classe en deux catégories, «hiver» et «été», puis les examine afin de mettre au rebut certaines, trop usagées. Il a été constaté que 40 % des chaussures sont classées «hiver» et 60 % «été». Dans la catégorie «hiver», 20 % sont à mettre au rebut et dans la catégorie «été», 30 %. On prélève une chaussure au hasard. On note : H : l évènement «La chaussure prélevée appartient à la catégorie hiver» R : l évènement «La chaussure prélevée est à mettre au Rebut». 1) Décrire la situation à l'aide d'un tableau statistique à 2 dimensions ou à l aide d un arbre de probabilités. 2) Calculer P(H), P( ),P(R), P( ) Corrigé de l Exercice4 Tableau statistique à 2 dimensions Rebus Non Rebus Total hivers 20% de = 8 =32 été 30% de =18 =42 Total 8+18 = = ) Notation : P(R/H) signifie : La probabilité que la chaussure prélevée soit à mettre au rebut sachant qu elle est de la catégorie Hiver On note aussi au lieu de P(R/H). Ces deux notations signifient donc la même chose. 2) P(H)= 40/100=2/5=0,4 P( ) = P(E) = 60% = = 3/5 = 0,6 P(R) = 26/100 = 13/50 = 0,26 P( ) = 1- P(R) = 1 26/100 = 74% = 1-0,26 = 0,74 6

7 Corrigé de l Exercice5(4 pts) La série des chiffres d affaires (en milliers d euros) d une entreprise parisienne sur dix ans est donnée ci-dessous : Année Chiffre d affaire ) Représenter graphiquement le nuage de points dans le repère ci-dessous : 2) Calculer les coordonnées du point moyen du nuage G(x_G, y_g). Placer le point moyen G sur le graphique ci-dessus. G(x_G, y_g) avec x_g = 19995/10 = 1999,5 y_g = 23790/10 = 2379 Donc, on a : G(1999,5, 2379) 3) Un ajustement affine apparaît-il envisageable? Pourquoi? Oui, un ajustement affine apparaît envisageable parce que les points du nuage associé sont «presque aligné». Cet ajustement affine que nous envisageons nous permettra de faire des prévisions. 4) On souhaite estimer à présent le chiffre d affaire de l entreprise pour une année donnée : a) À l aide d une calculatrice, déterminer l équation de la droite de régression de y en x. y = ax + b avec a = 155,091 et b = ,2727 En conclusion,: y = 155,091x ,2727 L équation de la droite de régression de y en par la méthode des moindres carrés à 0,001 près. b) À l aide de l équation de la droite de régression de y en x, Estimer le chiffre d affaire de l entreprise pour l année 2010 et pour l année 2020 (arrondir au milliers d euros près). y = 155,091x ,2727 Pour l année 2010, on remplace x par 2010 : Ceci donne y = 155,091x ,2727 = 155,091* ,2727= 4007,637 Conclusion En 2010, le chiffre d affaire de l entreprise est estimé à 4007,637 milliers d euros. Pour l année 2020, on remplace x par 2020 : =155,091 * ,2727 = 5558,547 Conclusion En 2020, le chiffre d affaire de l entreprise est estimé à 5558,547 milliers d euros. 7