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1 Terminale S GEOMETRIE Ch 13 DANS L ESPACE. Soit ( O ; i, j, k ) un repère orthonormé de l espace. I) Droites et plans dans l espace : Propriété 1 : Soient A et B deux points de l espace. AB est l ensemble des barycentres de A et B ; a) La droite ( ) b) Le segment [ AB ] est l ensemble des barycentres des points A et B affectés de coefficients positifs. Preuve : a) Si M est un point de la droite ( ) AM = k AM + MB, soit : ( ) Cette égalité s écrit : ( ) des points pondérés ( A,1 k ) et (, ) AB, alors il existe un réel k tel que : AM = k AB. 1 k AM + k BM = 0, ce qui signifie que M est barycentre B k. Si M est un barycentre des points A et B, alors il existe deux réels a et b tels que : a MA + b MB = 0, avec a + b 0. b Cette égalité vectorielle s écrit aussi : a MA + b ( MA + AB) = 0, ou encore : AM = AB. a + b Le point M appartient ainsi à la droite ( AB ), qui est donc bien l ensemble des barycentres des points A et B. AB, alors AM = k AB, avec 0 k 1, et M b) Reprenant le raisonnement précédent, si M appartient au segment [ ] est barycentre des points pondérés ( A,1 k ) et (, ) B k, donc points affectés de coefficients positifs. Si M est tel que a MA + b MB = 0, avec a 0, b 0 et a + b 0, il faut que les vecteurs MA et MB soient de sens contraire, donc que M soit entre A et B. Propriété 2 : Le plan ( ABC ) est l ensemble des barycentres de trois points distincts non alignés A, B et C. ABC, alors il existe deux réels x et y tels que : AM = x AB + y AC. 1 x y AM + x MB + y MC = 0, ce qui Preuve : Si M est un point du plan ( ) AM = x AM + MB + y AM + MC, soit : ( ) Cette égalité s écrit : ( ) ( ) signifie que M est barycentre des points pondérés ( A,1 x y), ( B, x ) et (, ) C y. Si M est un barycentre des points A, B et C, alors il existe trois réels a, b et c tels que : a MA + b MB + c MC = 0, avec a + b + c 0. Cette égalité vectorielle s écrit aussi : a MA + b ( MA + MB) + c ( MA + AC ) = 0, ou encore :. Le point M appartient ainsi au plan ( ) b c AM = AB + AC a + b + c a + b + c barycentres des points A, B et C. ABC, qui est donc bien l ensemble des Propriété 3 : L intérieur d un triangle ABC (côtés compris) est l ensemble des barycentres des points A, B et C affectés de coefficients positifs. Preuve : Soit M barycentre de ( A, a ), ( B, b ) et ( C, c ), avec a 0, b 0, c 0 et a b c 0 de ( B, b ) et ( C, c ) ; alors I appartient au segment [ BC ]. Alors M est le barycentre des points pondérés (, ) ( I, b +, et les coefficients sont positifs, donc M appartient au segment [ AI ]. Ainsi M est «dans» le triangle ABC. Autre preuve : Si M un point à l intérieur du triangle, et soit H le point d intersection des droites ( AM ) et ( ) + +, et soit I barycentre alors M est barycentre à coefficient positifs des points A et H, st H est barycentre à coefficients positifs de B et C. A a et BC, M M Page 1 sur 6

2 II) Relations dans l espace : 1) Produit scalaire : Terminale S - Cours 13 - Géométrie dans l'espace Définition 2 : Soient u et v deux vecteurs de l espace. Il existe au moins trois points distincts A, B et C dans un même plan ( P ) tels que : AB = u et AC = v. Alors le produit scalaire u. v dans l espace est égal au produit scalaire u. v P : u. v = AB. AC. dans le plan ( ) Remarque : Deux vecteurs sont toujours coplanaires, d où l existence des points A, B et C. Propriété 4 : Les propriétés du produit scalaire u. v le plan ( P ). dans l espace sont celles du produit scalaire u. v dans Remarque : Pour faire la somme de trois vecteurs u, v et w non coplanaires dans l espace, il suffit de faire la somme des vecteurs u et v, puis la somme du résultat avec w (on additionne ainsi toujours des vecteurs coplanaires). Théorème 1 : Quels que soient les vecteurs u ( x, y, z) et v ( x, y, z ) de l espace, on a : u. v = x x + y y + z z et u = x + y + z. Théorème 2 : Deux vecteurs u ( x, y, z) x x + y y + z z = 0. et v ( x, y, z ) de l espace sont orthogonaux si, et seulement si : 2) Orthogonalité : Définition 3 : 1) Deux droites de l espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un point quelconque sont perpendiculaires. 2) Une droite est orthogonale à un plan si cette droite est orthogonale à deux droites distinctes de ce plan. M H Définition 4 : Soient ( ) P un plan, et M un point de l espace. Si la droite ( M ) passant par M et orthogonale à ( P ) coupe ( ) projeté orthogonal de M sur ( P ). P en H, alors on dit que H est le Définition 5 : Soient ( D ) une droite, et N un point de l espace. Si le plan ( P N ) passant par N et orthogonale à ( D ) coupe ( ) projeté orthogonal de M sur ( D ). D en N, alors on dit que N est le N N' ex : Le plan médiateur d un segment [ AB ] est le plan orthogonal à la droite ( AB ) contenant le milieu de [ AB ]. III) Applications du produit scalaire : 1) Orthogonalité : Définition 6 : Deux vecteurs u et v sont orthogonaux lorsque : - Soit l un des vecteurs est le vecteur nul ( u = 0 ou v = 0 ) ; - Soit les droites de vecteurs directeurs u et v sont orthogonales. M M Page 2 sur 6

3 Terminale S - Cours 13 - Géométrie dans l'espace Propriété 5 : - Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si : u. v = 0. - Deux droites de vecteurs directeurs u et v sont orthogonales si, et seulement si u. v = 0. Propriété 6 : Une droite ( D ) de vecteur directeur u et un plan ( P ) sont orthogonaux si, et seulement s il existe deux vecteurs non colinéaires P tels que : u. i = u. j = 0. i et j du plan ( ) 2) Vecteur normal : Définition 7 : Un vecteur non nul n est normal à un plan ( P ) lorsque toute droite de vecteur directeur n est orthogonale à ( P ). Propriété 7 : Soient ( P ) un plan, A un point de ce plan, et n un vecteur normal à ( ) ( P ) est l ensemble des points M de l espace tels que : AM. n = 0. P. Alors le plan Preuve : - Si ( D ) est la droite passant par A de vecteur directeur n, et si M est un point de ( P ), alors AM est un vecteur de ( P ), donc : AM. n = 0. - Réciproquement, soit M est un point de l espace tel que AM. n = 0 ; si H est le projeté orthogonal de M sur la droite ( D ) passant par A de vecteur directeur n, alors AH et n sont colinéaires. On a alors : AM. n = 0 = ( AH + HM ). n = AH. n + HM. n. Mais HM. n = 0 par définition de H ; donc AH. n = 0, et comme n est non nul, on a : AH = 0, soit : H = M. Définition 8 : Soient ( P ) et ( P ) deux plans, et n et n normaux à ces deux plans respectivement. Alors ( P ) et ( ) orthogonaux si, et seulement si n et n sont orthogonaux. 3) Equation cartésienne d un plan : Propriété 8 : (1) Un plan ( P ) de vecteur normal n ( a, b, ( P ) : a x + b y + c z + d = 0, où d est un réel. des vecteurs P sont a une équation de la forme : (2) Réciproquement, si a, b, c et d sont quatre réels avec a, b et c non tous nuls, l ensemble des points M x, y, z tels que : a x b y c z d 0 n a, b, c. ( ) = est un plan de vecteur normal ( ) Preuve : (1) Le point M ( x, y, z ) appartient au plan ( P ) passant par ( A, A, A ) normal n ( a, b, si, et seulement si AM. n = 0, soit a ( x x ) b ( z z ) c ( z z ) 0 a x + b y + c z + a x + b y + c z = ; s écrire : ( ) 0 Prenant d ( a x b y c z ) = + +, on obtient : a x + b y + c z + d = 0. A x y z et admettant pour vecteur + + =, ce qui peut encore d (2) Soit E l ensemble des points M cherchés ; on peut supposer a non nul. Alors A,0,0 est un point de E. a Si n est le vecteur de coordonnées ( a, b, c ), alors n n est pas le vecteur nul, et pour tout point M ( x, y, z ) de d l espace, on a : AM. n = a x + + b y + c z = a x + b y + c z + d = 0. Donc, dire que M est un point de E a équivaut à dire que AM. n = 0, et donc E est le plan passant par A et de vecteur normal n. 4) Distance d un point à un plan : u i j M M Page 3 sur 6

4 Terminale S - Cours 13 - Géométrie dans l'espace Définition 9 : Soient ( P ) un plan et M un point de l espace. La distance du point M au plan ( ) distance MH, où H est le projeté orthogonal de M sur le plan ( P ). P est la Propriété 9 : Soient, dans un repère orthonormal, le plan ( P ) d équation : a x b y c z d 0 b et c non tous nuls, et le point A de coordonnées ( x, y, z ) ; alors la distance du point A au plan ( P ) a x + b y + c z + d P. a + b + c est égale à : d ( A, ( )) = Preuve : Soit H ( xh, yh, z H ) la projection orthogonale de A sur le plan ( P ) ; on a : d ( A, ( )) AH est colinéaire à n ( a, b, vecteur normal à ( ) =, avec a, P = AH. P ; donc il existe un nombre réel λ tel que : AH = λ n. D où : xh xa = λ a, soit : xh = λ a + xa ; de même : yh = λ b + ya et zh = λ c + za ; Alors, comme H est un point de ( ) P, on a : a x + b y + c z + d = 0, soit : H H H a xa + b ya + c za + d a ( λ a + xa ) + b ( λ b + ya ) + c ( λ c + za ) + d = 0, d où : λ = ; a + b + c a xa + b ya + c za + d a xa + b ya + c za + d alors : AH = λ n = λ n = a + b + c = a + b + c a + b + c 5) Demi-espace : Définition 10 : Soit ( P ) le plan d équation a x + b y + c z + d = 0 dans un repère orthonormal. L ensemble des points M ( x, y, z ) qui vérifient a x + b y + c z + d 0 est un demi-espace délimité par le plan ( P ), appelé frontière (la frontière n appartient pas au demi-espace en cas d inégalité stricte) ; l autre demi-espace de frontière ( P ) a pour équation a x + b y + c z + d 0. IV) Equations d une droite : 1) Equation cartésienne d une droite : Propriété 10 : Toute droite ( ) de l espace est l intersection de deux plans non parallèles ( P ) et ( ) P. d équations respectives : ( P ) : a x + b y + c z + d = 0, ( ) : a x + b y + c z + d = 0 Alors la droite ( ) admet pour équation cartésienne le système : a x + b y + c z + d = 0. a x + b y + c z + d = 0 P, 2) Représentation paramétrique d une droite : Propriété 11 : Soit ( D ) une droite de vecteur unitaire u ( α, β, γ ) contenant le point A( x ; y ; z ). Alors on appelle représentation paramétrique caractérisant cette droite le système d équations : x = xa + tα y = ya + t β, avec t R. z = za + t γ V) Intersection de plans et de droites : 1) Intersection de deux plans : Propriété 12 : Soient ( P ) et ( ) P deux plans de l espace, de vecteurs normaux respectifs n et n. M M Page 4 sur 6

5 Terminale S - Cours 13 - Géométrie dans l'espace Si soit n et n sont colinéaires, alors les deux plans sont parallèles ; sinon, les deux plans sont sécants. Propriété 13 : Soient ( P ) et ( ) ( P ) : a x + b y + c z + d = 0 et ( ) : a x + b y + c z + d = 0 - S il existe un nombre réel k non nul tel que ( a, b, c ) ( k a, k b, k P deux plans de l espace, d équations respectives : P. Alors : - si d k d, alors les deux plans sont strictement parallèles ; - si d = k d, alors les deux plans sont confondus. - Si, pour tout nombre réel k, ( a, b, c ) ( k a, k b, k étant une droite d équation cartésienne : =, alors les deux plans sont parallèles :, alors les deux plans se coupent, leur intersection a x + b y + c z + d = 0. a x + b y + c z + d = 0 Preuve : (1) Les deux plans admettent le même vecteur normal n ( a, b,, ils sont donc parallèles ; - si d = k d, les deux plans ont la même équation car il suffit de multiplier celle de ( ) ( P ) ; ils sont donc confondus ; - sinon, ils sont bien strictement parallèles. (2) Dans ce cas, les deux plans ayant des vecteurs normaux non parallèles, ils ne sont pas parallèles. 2) Intersection d un plan et d une droite : Propriété 14 : Soient ( D ) droite de l espace de vecteur directeur u et ( ) P par k pour obtenir celle de P plan de vecteur normal n. Si u et n sont orthogonaux, alors la droite et le plan sont parallèles ; sinon, la droite et le plan sont sécants. Propriété 15 : Soient ( P ) un plan de l espace d équation ( P ) : a x + b y + c z + d = 0 et ( ) x = xa + tα de représentation paramétrique y = ya + t β, avec t R. z = za + t γ - Si a α + b β + c γ = 0, alors la droite et le plan sont parallèles : - si le point A( xa, ya, z A ) est un point du plan ( ) - si A( x, y, z ) n est pas un point du plan ( ) - Si a α + b β + c γ 0, alors la droite et le plan sont sécants. P, alors la droite est contenue dans le plan ; D une droite P, alors la droite et le plan sont strictement parallèles ; Preuve : (1) L égalité signifie que le produit scalaire des vecteurs u ( α, β, γ ) et n( a, b, est nul, ce qui signifie que les deux vecteurs sont parallèles. De plus, par définition de la représentation paramétrique d une droite, on voit que le point A est un point de la droite. (2) Le produit scalaire n étant pas nul, les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux, d où l existence d une intersection entre la droite et le plan. 3) Intersection de trois plans : Propriété 16 : Soient les plans ( P ), ( P ) et ( P ) d équations respectives : ( P ) : a x + b y + c z + d = 0, ( P ) : a x + b y + c z + d = 0 et ( P ) : a x + b y + c z + d = 0 l intersection de ces trois plans est l ensemble des solutions du système :. Alors a x + b y + c z + d = 0 a x + b y + c z + d = 0. a x + b y + c z + d = 0 Remarque : Dans l espace, l ensemble des solutions est soit vide, soit réduit à un point, soit une droite, soit un plan. M M Page 5 sur 6

6 Etude de l ensemble des solutions : Terminale S - Cours 13 - Géométrie dans l'espace 1) Les trois plans sont parallèles : - Soit les trois plans sont confondus, et l intersection est ce plan P P P = P. lui-même : ( ) ( ) ( ) ( ) - Soit deux au moins des trois plans sont strictement parallèles, P P P =. et l ensemble des solutions est vide : ( ) ( ) ( ) 2) Les trois plans sont sécants deux à deux (quatre cas sont possibles) : Cas 1 : deux plans sont parallèles, le troisième étant sécant à ces deux plans ; dans ce cas, l intersection des trois P P P =. plans est vide : ( ) ( ) ( ) Cas 2 : les trois plans sont sécants strictement deux à deux ; là encore, l intersection des trois plans est vide : P P P =. ( ) ( ) ( ) Cas 3 : les plans sont sécants selon une même droite ( D ) ; dans ce cas, la droites est l intersection des trois plans : ( P ) ( P ) ( P ) = ( D ). Cas 4 : les droites d intersection de chaque couple de plans sont sécantes en un même point A, et ce point est P P P = A. l unique solution du système : ( ) ( ) ( ) { } cas 1 : cas 2 : ( P ) ( P ) ( P ) = ( P ) ( P ) ( P ) = cas 3 : cas 4 : ( D) A ( P ) ( P ) ( P ) = ( D) ( P ) ( P ) ( P ) = { A } M M Page 6 sur 6

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