147 exercices de mathématiques pour Terminale S

Transcription

1 5 décembre exercices de mathématiques pour Terminale S Stéphane PASQUET

2 Sommaire Disponible sur http: // www. mathweb. fr 5 décembre 05 I Continuité & dérivabilité I. Calculs élémentaires en I. En + avec des formes indéterminées I.3 En un nombre fini avec des formes indéterminées I.4 Règle de l Hôpital I.5 Fonctionf : x x x x I.6 Fonctionsf : x x + x et g : x x I.7 Prolongement par continuité def : x x 4 x en x I.8 Prolongement par continuité def : x +x+ en x 3 I.9 Étude de la fonctionf : x x x x I.0 Approximation d un angle par la longueur d un segment II Fonction exponentielle II. Produits, quotients et puissances II. Simplification d expressions II.3 Équations II.4 Équations avec changement de variable II.5 Inéquations II.6 Inéquations avec changement de variable II.7 Fonctionf : x e x (x + )e x II.8 Courbe de Gauss II.9 Fonctionf : x e x x II.0 Fonctionf : x xe x II. Fonctionf k : x ln (e x + kx) x II. Fonctionf : x (x ) ( e x ) II.3 Fonctionf(x) = (x + )e x II.4 Fonction f : x ex e x e x +e x III Logarithme népérien III. Simplification d écritures III. Équations III.3 Inéquations III.4 Limites III.5 Limites x + ii

3 ln x III.6 Démonstration de cours : lim x + x III.7 Calculs de dérivées III.8 Fonctionf : x ln(x +) sans consignes x + III.9 Fonctionf : x ln ( ) x III.0 Fonctionf : x (x + ) ln(x x + ) III. Comparaison de π e et e π III. Concentration de bactéries dans le corps III.3 Fonction f : x (x + ) ln x x III.4 Fonctionf : x avec intégrale à la fin ln x x[(ln x) +] III.5 Équation e x ln x = IV Suites IV. Suite définie par u n+ = u n + n IV. Suite définie par u n+ = u n IV.3 Suite définie par u n+ = f(u n ) avec f(x) = x+ x IV.4 Suite définie par u n+ = f(u n ) avec f(x) = x+6 x IV.5 Suite définie par u n+ = f(u n ) avec f(x) = 4x 4x IV.6 Suite définie par u n+ = u n + n n n(n + )(n + ) IV.7 Démonstration par récurrence : k = k= IV.8 Étude générale des suites de la forme u n+ = λu n + P(n) IV.9 Suite définie par u n+ = u n IV.0 Calcul de la limite de n+cos(n) n IV. Suites imbriquées IV. Des suites dans les probabilités IV.3 Étude d une fonction ln et suite extraite IV.4 Étude générale des suites imbriquées IV.5 Suite définie par u n+ = ku n ( u n ) IV.6 Suite (α n ) de solution d équations IV.7 La puce (probabilités et suites) IV.8 Équation e x = x IV.9 Suite de points, suites imbriquées IV.0 Méthode de Newton IV. L escargot de Gardner V Trigonométrie V. Équations trigonométriques V. Équations avec changement de variable V.3 Inéquations avec changement de variable V.4 Inéquations trigonométriques V.5 Calcul de limites V.6 Encadrement de cos x V.7 Étude de la fonction x cos x +sin x V.8 Fonction x cos 3 x cos(3x) V.9 Fonction x sin 3 x cos(3x) V.0 D après un sujet de bac, Nouvelle Calédonie iii

4 VI Probabilités VI. Une histoire de QCM, Amérique du Sud VI. Sacs défectueux, La Réunion VI.3 MP3 défectueux, Polynésie VI.4 Une école à trois classes VI.5 Agence LOCAR VI.6 Urne et variable aléatoire VI.7 Urne et fonction rationnelle VII Nombres complexes VII. Ensemble de points VII. Application complexe f(z) = z +i z+i VII.3 Racines n-ièmes de l unité VII.4 Calcul des valeurs exactes decos π, cos π et cos 4π VII.5 Théorème de Von Aubel VII.6 Point de Vecten VII.7 Théorème de Napoléon VII.8 Équation à coefficients complexes et application VII.9 Construction d un pentagone régulier VII.0 Application z z i z VII. Cocyclicité VII. Application z z z VIII Intégrales VIII. Décomposition en éléments simples de f(x) = x 3 x 5x+6 VIII. Trouver le cercle VIII.3 Volume d un bouchon de pêche VIII.4 Suite et intégrale : I n = e nx 0 dx e x + VIII.5 Intégrale et suite définie par u n = ln(n!) ln(n n ) VIII.6 Suite définie par une intégrale VIII.7 π 0 e nx sin x dx et π VIII.8 φ(x) = x 0 e nx cos x dx ln t dt (+t) 3 VIII.9 Approximation d une aire VIII.0 Intégrale et fonction exponentielle IX Loi uniforme IX. Paradoxe de Bertrand IX. La rencontre IX.3 L aiguille de Buffon X Loi exponentielle X. Polynésie, X. Liban, X.3 Amérique du sud, X.4 Le chauffe-eau (avec loi normale et intervalle de fluctuation) iv

5 XI Géométrie dans l espace XI. Équation paramétrique de droites XI. Intersection de plans XI.3 Droites confondues XI.4 Dans un cube XI.5 Polynésie, XI.6 ROC et équations de plans et droites XII Enseignement de spécialité : arithmétique XII. Critère de divisibilité XII. Avec une somme géométrique XII.3 Divisibilité par et XII.4 Divisibilité par XII.5 Reste de la division euclidienne par XII.6 Critère de divisibilité par 7 sans calculatrice XII.7 Divisibilité par 0 et XII.8 Calcul d un maximum XII.9 Nombres premiers entre eux XII.0 Nombres premiers entre eux XII. Nombre premier XII. Nombres premiers XII.3 3x 8y = XII.4 08x + 55y = XII.5 Trouver le nombre d hommes et de femmes XII.6 Avec la notion de pgcd XII.7 Nombres premiers entre eux XII.8 Avec une équation diophantienne XII.9 Divisibilité XII.0 Divisibilité de a 6 b 6 par XII. Reste d une division par XII. Reste d une division par 7 (bis) XII.3 Reste d une division par XII.4 Reste d une division par 7 (ter) XII.5 Nombre premier et congruences XII.6 Divisibilité et congruences XII.7 PGCD et congruences XII.8 Combo de congruences XII.9 Équationx mod XII.30 Par récurrence XII.3 n + 5n modulo XII.3 Suites et congruences n XII.33 p 3 et pgcd p= XII.34 Théorème des restes chinois XII.35 Le «petit» théorème de Fermat v

6 Règles de navigation Disponible sur http: // www. mathweb. fr 5 décembre 05 Bonjour. J ai souhaité créé ici un document dans lequel il est facile de naviguer. C est la raison pour laquelle : À chaque énoncé d exercices, vous pouvez cliquer sur le numéro de la page où se trouve le corrigé pour vous y rendre directement ; À tout moment, vous pouvez retourner au sommaire en cliquant sur le petit carré qui se trouve devant chaque titre. D autre part, il se peut que quelques erreurs se soient glissées dans les énoncés ou corrections ; si vous avez un doute, n hésitez pas à me contacter via le formulaire qui se trouve sur mon site ( afin d aboutir à un document tendant vers la perfection... Je vous remercie par avance et vous souhaite un bon travail! Stéphane Pasquet N.B. Ce document n est pas nécessairement complet à l heure actuelle (je pense surtout aux chapitres de spécialité). En fonction de mes cours, je le compléterai au fil du temps. vi

7 Compilation LATEX ε de ce document Disponible sur http: // www. mathweb. fr 5 décembre 05 Ce document repose sur trois extensions personnelles : pas-exos.sty pas-echant.mod.tex pas-algo.sty tous les trois disponibles gratuitement sur la page : de mon site. Il fait aussi appel à tkz-euclide.sty, mais il faut modifier ce fichier afin qu il n y ait pas d erreur de compilation : ouvrez ce fichier sty, puis ajoutez les lignes (si elles ne sont pas déjà écrites) : \input{tkz-obj-angles} \input{tkz-obj-sectors} avant la ligne : \endinput Il a été initialement rédigé sous Ubuntu, mais dernièrement compilé sous Windows 0. Vous aurez besoin de GIAC Xcas pour les calculs sur les échantillonnages, ainsi que Gnuplot pour certains tracés de courbes. Utilisateurs de Windows : vérifiez que C:\xcas\ et C:\Program Files (x86)\gnuplot \ apparaît bien dans le PATH (tapez «invite de commandes» dans la barre de recherche, lancez le terminal, puis tapez «path» et validez. Si ce chemin ne figure pas dans le PATH, tapez «variables d environnement» dans la barre de recherche et sélectionnez «Modifier les variables d environnement système» cliquez ensuite sur le bouton «Variables d environnement» en bas de la fenêtre qui apparaît ; sous «variables système», il y a une fenêtre dans laquelle apparaît une ligne commençant par «Path» : sélectionnez-là puis cliquer sur le bouton «Modifier» ; ajoutez «C :\xcas\ ;C :\Program Files (x86)\gnuplot \» en fin de ligne. Il vous faudra redémarrer le système pour que ce changement soit pris en compte. vii

8 viii

9 Continuité & dérivabilité Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion 5 décembre 05 Calculs de limites Exercice. Calculs élémentaires en + R Calculer la limite des fonctions suivantes en +. f(x) = x 3 + 4x 5x + ( 3 h(k) = sin x) Corrigé page 5 g(x) = x + x k(x) = x + sin x Exercice. En + avec des formes indéterminées R Corrigé page 5 Calculer les limites suivantes. x 5x + 3 lim x + 3x + 4x ) lim x + ( x + x + 3 ( 3 lim x + 3 x + ) x + ( 4 lim x + 3 x + ) x + Exercice 3. En un nombre fini avec des formes indéterminées R Calculer les limites suivantes. Corrigé page 7 lim x lim x x x x + x x cos x + 3 x π lim x π 4 lim x x + x

10 Exercice 4. Règle de l Hôpital R Corrigé page 8 Soient f et g deux fonctions définies et dérivables en un nombre réel a telles que f(a) = g(a) = 0 et g (a) 0. f(x) Montrer que x a lim g(x) = f (a) g (a). On pourra considérer le taux d accroissement des fonctions f et g en x = a. Application : calculer lim x 0 cos(5x) cos(3x) sin(4x) sin(3x) Étude générale de fonctions Exercice 5. Fonctionf : x x x + x R On considère la fonction f définie sur [0 ; + [ par : Calculer lim x + f(x). f(x) = x x + x. a. Montrer que sa dérivée est définie sur ]0 ; + [ par : f (x) = x + 4 x x ( + x). Corrigé page 9 b. Résoudre l équation : X + 4X = 0, puis en déduire le signe de f (x) ainsi que les variations de f sur [0 ; + [. Dresser alors un tableau de variations complet de la fonction f sur [0 ; + [. On veillera notamment à calculer la valeur de l extremum de f. Exercice 6. Fonctionsf : x x + x et g : x x x + R Corrigé page 0 On considère les fonctions f et g définies sur R par : f(x) = x + x ; g(x) = Montrer que g (x) = (x + ) x +. En déduire le sens de variations de g sur R. Calculer lim g(x) et lim g(x). x x + x x +.

11 3 Montrer que f (x) = g(x). En déduire le signe de f (x) puis les variations de f sur R. 4 Monter que l équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur [0 ; ], puis déterminer une valeur approchée de α à 0 près. Exercice 7. Prolongement par continuité def : x On considère la fonction f définie sur D = ] ; 0[ ]0 ; 4] par : f(x) = La fonction f est-elle continue en 0? La fonction f est-elle continue en? f() = 0 3 Étudier la dérivabilité de la fonction f sur D. x 4 x 4 Interpréter graphiquement les résultats des questions et 3. x 4 x en A Corrigé page Exercice 8. Prolongement par continuité def : x x +x+ x en A Corrigé page 3 On considère la fonction f définie par : x + x + f(x) = x f() = 3 4 si x f est-elle continue en? f est-elle dérivable en? 3 Justifier que f est dérivable pour tout x. Exercice 9. Étude de la fonctionf : x x x x A On considère la fonction f définie sur ] ; [ par : f(x) = x x. x Corrigé page 4 La fonction f est-elle continue en? La fonction f est-elle continue en? 3 La fonction f est-elle dérivable en? 3

12 4 La fonction f est-elle dérivable en? 5 La fonction f est-elle dérivable en? 6 a. Montrer que, sur ] ; [, la dérivée de f s exprime par : f (x) = x3 + 3x ( x ) x. b. En déduire le signe de f (x), puis les variations de f sur ] ; 7 a. Montrer que, sur ] [ ;, la dérivée de f s exprime par : f (x) = x3 3x + ( x ) x. b. En déduire le signe de f (x), puis les variations de f sur ] [ ;. 8 Dresser un tableau de variations complet de f sur ] ; [. Tracer alors la courbe représentative de f en mettant en valeur les tangentes et asymptotes caractéristiques. [. Exercice 0. Approximation d un angle par la longueur d un segment R On se propose ici de trouver une méthode pour donner une valeur approchée d un angle (en degrés) sans le rapporteur. On considère donc un angle géométrique ÂOB, puis un point M sur (OB) tel que OM = 60 mm et un point N sur (OA) tel que OA = 60 mm. On considère alors le point I, projeté orthogonal de O sur (MN). Justifier que OAB est isocèle en O. Montrer que : ( ) π sin 360 α où MN est exprimée en mm. = MN 0, 3 On considère la fonction f définie sur O 0 [ 0 ; π ] par f(x) = x sin x. 0 0 α Corrigé page N 50 I A 60 M B a. Calculer la dérivée f (x) de f(x). [ b. En déduire que sur 0 ; π ], f(x) c. Expliquer alors pourquoi, pour x de commettre une erreur inférieure à. [0 ; π ]. [ 0 ; π ], on peut remplacer sin x par x au risque 4 En déduire que l on peut assimiler α (en degrés) à MN (en mm). Il suffit donc de mesurer MN pour avoir une approximation de α en degrés. 5 À l aide de la formule d Al-Kashi, exprimer l expression de la fonction g qui représente la longueur MN en fonction de α. On pose alors d(α) = g(α) α. 6 Tracer la courbe représentative de d dans un repère orthogonal. Que conclure? 4

13 Corrigés 5 décembre 05 Corrigé de l exercice. f(x) = x 3 + 4x 5x + = x 3 ( + 4 x 5 x + x 3 ) Or, pour tout entier naturel n non nul, De plus, lim x + lim x + x3 = + donc par produit, g(x) = x + x + 3 x ( + x + 3x ) 3 4 = = x + x + 3 x pour x > 0 Or, pour tout entier naturel n non nul, Donc, par produit, lim x + x = 0 lim sin X = 0 X 0 lim x + x + = + lim x + sin x = 0+ lim g(x) = + x + lim sin x + x = 0 par quotient : lim lim x + x n = 0 donc lim f(x) = + x + x n = 0 donc k(x) = + x + ( lim + 4 x + x 5 x + ) =. x 3 ( lim + x + x + 3 ) =. x Corrigé de l exercice. ( 5 x + 3 ) x x 5x + 3 x 3x + 4x = x ( x x ) = 5 x + 3 x x x pour x > 0 5

14 Or, pour tout entier naturel non nul n, (3 + 4 x ) = 3. x lim x + Ainsi, par quotient, x ( + x ) lim x + x 5x + 3 lim x + 3x + 4x = 3 = 0 donc lim ( 5 xn x + x + 3 ) x = et x + x + 3 = = ( x x + 3 ) x x + x ( x + 3 ) pour x > 0 x = + x ( + 3 ) x Or, pour tout entier naturel non nul n, lim x + x = 0 donc lim n x + ( lim + 3 ) =. x + x x + Par quotient, on a donc lim x + x + 3 = ( x + 3 x + ) ( x x + ) 3 x + 3 x + = x x + = x + 3 (x + ) x x + = x x + lim x + 3 = lim x + = + donc par somme : x + x + ( lim x x + ) = +. x + Ainsi, par quotient, ( lim x + 3 x + ) = 0 x + 4 ( x + 3 x + ) = x ( + 3x ) ( x x + x ) = x + 3 x x x + pour x > 0 x = x + 3 x x + x + x = = et 6

15 Or, lim x + lim x = et lim x x x x + =. x x + = 0 donc par somme : x Ainsi, par produit, ( lim x + 3 x + ) = + x + Corrigé de l exercice 3. x (x )(x + ) = x x (x ) (x + ) = ( ) x = lim(x + ) = x (x ) = 0+ lim x x + x pour x x + = x x Notons que le domaine de définition de la fonction x est ] ; ] ] ; + [ x x donc quand on parle de la limite de en, il est sous-entendu que x >. x x + parf quotient : lim x x = + Or, lim X = + donc lim X + x x + x x = = = x = + x ( x + x )( x + x + ) (x ) ( x + x + ) x + x 4 (x ) ( x + x + ) x + x 6 (x + ) ( x + x + ) On factorise x + x 6 en calculant son discriminant et on arrive à : = = (x )(x + 3) (x + ) ( x + x + ) x + 3 x + x + pour x lim x x + 3 x + x + = = 5 4. Ainsi, lim x x + x x = 5 4 7

16 3 On pose u(x) = cos x. Alors, u (x) = sin x et : cos x + lim x π x π Ainsi, lim x π cos x + x π = 0 4 On pose u(x) = x +. Alors, u (x) = = lim u(x) u(π) x π x π x + et : = u (π) = sin π = 0. lim x x + x = lim x u(x) u() x = u () =. Ainsi, lim x x + x = Corrigé de l exercice 4. On peut écrire : car f(a) = g(a) = 0. Or, lim x a f(x) f(a) x a g(x) g(a) De même, x a lim x a g (a) 0). Ainsi, et donc : f(x) g(x) = f(x) f(a) x a x a g(x) g(a) = f (a) d après la définition du nombre dérivé (vue en classe de re ). = g x a (a) donc x a lim g(x) g(a) = g (a) f(x) f(a) x a lim x a x a g(x) g(a) = f (a) g (a) f(x) lim x a g(x) = f (a) g (a) Posons f(x) = cos(5x) cos(3x) et g(x) = sin(4x) sin(3x). (quotient qui existe car Alors, f (x) = 5 sin(5x) + 3 sin(3x) et g (x) = 4 cos(4x) 3 cos(3x). Ainsi, f (0) = 0 et g (0) =. f et g vérifient toutes les conditions nécessaires pour utiliser la règle de l Hôpital donc : cos(5x) cos(3x) lim x 0 sin(4x) sin(3x) = 0 8

17 Corrigé de l exercice 5. On peut écrire f(x) sous la forme : Or, lim x + ( x ) = + lim x + x = 0 donc lim x + f(x) = x ( x ) ( x x + ) = x x + ( ) x + = Ainsi, par quotient, lim f(x) = + x + a. f est de la forme u v avec : u(x) = x x u (x) = x v(x) = + x v (x) = x D où : f (x) = u v uv (x) ( v ) x ( + x) (x x) x = ( + x) = (4 x ) ( + x) (x x) x( + x) f (x) = 8 x + 4x x x + x x( + x) = x + 8 x x( + x) f (x) = x + 4 x x( + x) en simplifiant par b. Le discriminant du polynôme X + 4X est : = b 4ac = 4 4 ( ) = 0. Les deux racines du polynôme sont donc : 9

18 X = 4 0 = 4 5 = 5 X = = = + 5 D où le tableau de signe suivant : X X + 4X X X f (x) est du signe de x + 4 x, c est-à-dire de X + 4X en posant X = x. Ainsi, X > 0 et x = X ; de plus, d après le tableau de signes précédent, D où le tableau suivant : x + 4 x > 0 x > + 5 x > ( + 5 ) x > x f (x) f f ( ) = ( ) = ( + 5 ) ( + 5 ) = = = Je précise que = + 5 d après les calculs faits précédemment. Corrigé de l exercice 6. g est de la forme u v, avec u(x) = x et v(x) = x +. Ainsi, g = u v uv D où : v, avec u (x) = et v (x) = x x + = x x +. 0

19 g (x) = x + x x + x x + = = g (x) = x + x + ( x +) x x + x + x x + (x + ) x + (x + ) > 0 et x + > 0 donc g (x) > 0 sur R. Ainsi, g est strictement croissante sur R. Notons que la fonction g est impaire car g( x) = g(x) et que son domaine de définition est centré en 0. Donc lim g(x) = lim g(x). x x + On peut écrire : Or, lim x + Par conséquent, x = 0 donc 3 f x (x) = x + x = x + f (x) = g (x) lim x + x g(x) = ( ) x + x x = x + x = pour x > 0. + x + x = =. lim g(x) = et donc lim x + g(x) =. x Nous avons dit que g était strictement croissante sur R et que g(x) < sur R. Par conséquent, g(x) < 0 sur R, donc f (x) < 0 sur R. f est donc strictement décroissante sur R. 4 f(0) = et f() = < 0. lim g(x) =. Donc x + Or, f est strictement décroissante et continue sur [0 ; ]. Donc, d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation f(x) = 0 admet une unique solution α sur [0 ; ].

20 On trouve α 0, 58. Corrigé de l exercice 7. Calculons lim x 0 f(x). Pour cela, on écrit : x 4 x + f(x) = 4 x 4 x + = (x ) ( ) 4 x + 4 x 4 = (x ) ( ) 4 x + x [ ( )] lim (x ) 4 x + = 8. x 0 lim( x) = 0, donc lim x 0 x>0 x 0 x>0 f(x) =. lim( x) = 0 +, donc lim f(x) = +. x 0 x<0 x 0 x<0 lim f(x) lim f(x) donc f n est pas continue en 0. x 0 x<0 x 0 x>0 Calculons lim x f(x). lim( x) = x lim (x ) ( ) 4 x + = 0 x Ainsi, f() = lim x f(x). La fonction f est donc continue en 0. lim x f(x) = 0 3 La fonction x x est dérivable sur R. La fonction x 4 x est dérivable partout où 4 x > 0, donc pour x < 4, et s annule pour x = 0. La fonction X est dérivable pour tout X non nul. X Ainsi, f est dérivable sur ] ; 0[ et sur ]0 ; 4[. Dérivabilité en 4. Le taux d accroissement de f en 0 est : τ(h) = f(4 h) f(4) h = h h h = h h h h + h + = h ( h) ( ) h + h 4 Ainsi, lim τ(h) =. La fonction f n est donc pas dérivable en 4. h 0 h>0

21 Dérivabilité en 0. La fonction f n est pas continue en 0, donc elle n est pas dérivable en 0. 4 lim f(x) = ± donc la droite d équation x = 0 est une asymptote à la courbe représentative de la fonction f (notée C x 0 ). De plus, lim τ(h) = donc C admet une tangente verticale dirigée par le bas en 4. h 0 h>0 Corrigé de l exercice 8. x + x + x + x + + f(x) = x x + x + + x + x = (x ) ( x + x + + ) = = (x )(x + ) (x ) ( x + x + + ) x + x + x + + si x Ainsi, lim x f(x) = 3 4 = f(). Donc, f est continue en. Le taux d accroissement de f en est : Ainsi, f(x) f() τ(x) = x x +x+ 3 x = 4 x = 4 x + x + (3x + 5) 4 x + x + + (3x + 5) 4(x ) 4 x + x + + (3x + 5) = 6x + 6x + 3 9x 30x 5 ( 4(x ) 4 x + x + + (3x + 5) ) = = = 7x 4x + 7 4(x ) ( 4 x + x + + (3x + 5) ) 7(x ) 4(x ) ( 4 x + x + + (3x + 5) ) 7 4 ( 4 x + x + + (3x + 5) ) lim τ(x) = 7 x 6. La limite du taux d accroissement de f en étant une valeur finie, f est dérivable en. f( + h) f() N.B. Je n ai pas pris l expression τ(h) = car les modifications d écriture h étaient plus longues que celles faites ci-dessus. Vous pouvez toujours essayer... 3

22 3 La fonction x x + x + est dérivable pour tout x où le radicant est strictement positif, ce qui est toujours le cas car le discriminant de x + x + est strictement négatif. Ainsi, la fonction x x + x + est dérivable sur R. La fonction X est dérivable sur ] ; 0[ et sur ]0 ; + [ donc la fonction x X x est dérivable pour x. Par conséquent, la fonction f est dérivable pour x comme produit de deux fonctions dérivables pour x. Corrigé de l exercice 9. Considérons le polynôme P (x) = x x. Son discriminant est : Il a donc deux racines : = 4 ( ) = 9. x = 3 4 = x = = D où le tableau de signes suivant : x P (x) Ainsi, sur ]0 ; [, f(x) = + x x x = (x ) ( x + x + x ( ) x + ( x) + x x = ( ) x + x + x ) Ainsi, lim x f(x) = 0. La fonction f est donc continue en. lim x x x = 4 et lim x = 0 +. x Ainsi, par quotient, lim f(x) = +. x La fonction f n est donc pas continue en. 4

23 3 Le taux d accroissement de la fonction f en est : τ(x) = f(x) f() x (x )(x+ ) x = x = x x lim( x ) = 3 et lim x = 0 + donc, par quotient, lim τ(x) =. x x x Ainsi, f n est pas dérivable en. 4 f n étant pas continue en, elle n est pas dérivable en. 5 Si x <, f(x) = x x x ( (x ) x + ) =. x Ainsi, le taux d accroissement de f en par valeurs inférieures est : D où : τ(x) = f(x) f ( x ( ) (x ) = x lim x x< Si x > + x x, alors f(x) = x τ(x) = ) = 6 3 = (x ) ( x + x ). Donc, le taux d accroissement de f en par valeurs supérieures est : τ(x) = (x ) x et donc lim τ(x) = 6. x 3 x> Ainsi, lim τ(x) lim τ(x). x x x> x< Par conséquent, f n est pas dérivable en. ] 6 a. Sur ; [, P (x) > 0 donc f(x) = x x. x Ainsi, f est de la forme u v, avec : 5

24 u(x) = x x u (x) = 4x v(x) = x v (x) = x x = x x D où : f (x) = u v uv (x) v = (4x ) x x(x x ) x x = (4x )( x ) + x(x x ) ( x ) x f (x) = x3 + 3x ( x ) x b. est une racine évidente du polynôme x 3 + 3x. Ainsi, ce dernier peut se factoriser sous la forme (x )(ax + bx + c). Il faut donc que : x 3 + 3x = (x )(ax + bx + c) x 3 + 3x = ax 3 + bx + cx ax bx c x 3 + 3x = ax 3 + (b a)x + (c b)x c D où a =, c = et donc b =. Ainsi, f (x) = (x )( x x + ) ( x ) x. Le dénominateur de f (x) étant toujours strictement positif sur ] ; [, f (x) est du signe de son numérateur. Le discriminant de x x+ est =, donc ce dernier a deux racines réelles distinctes : x = 3 4 = + 3 et x = 3. x < et x >. D où le tableau suivant : x x x x + f (x) f f ( ) = 7 a. Sur ] [ ;, P (x) < 0 donc f(x) = x + x +. x Ainsi, f est de la forme u v, avec : = = 0 ( ) ( ) ( ) u(x) = x + x + u (x) = 4x + v(x) = x v (x) = x x = x x 6

25 D où : f (x) = u v uv (x) v = ( 4x + ) x x( x +x+) x x = ( 4x + )( x ) + x( x + x + ) ( x ) x f (x) = x3 3x + ( x ) x b. est une racine évidente du polynôme x 3 3x +. Ainsi, ce dernier peut se factoriser sous la forme (x )(ax + bx + c). Il faut donc que : x 3 3x + = (x )(ax + bx + c) D où a =, c = et donc b =. Ainsi, f (x) = (x )(x + x ) ( x ) x. = ax 3 + bx + cx ax bx c = ax 3 + (b a)x + (c b)x c Le dénominateur de f (x) étant toujours strictement positif sur ] ; [, f (x) est du signe de son numérateur. Le discriminant de x +x est =, donc ce dernier a deux racines réelles distinctes : x = 3 = 3 et x = x < et x ] [ ;. D où le tableau suivant : x x x + x f (x) f f (x ) = 5 ( ) Le tableau de variations complet de f est : x f On a alors la courbe suivante : 7

26 0 + 3 Corrigé de l exercice 0. Par construction, OM = ON = 60 mm, donc OAb est isocèle en O. AOM est isocèle en O donc le pied de la hauteur issue de O est le milieu de [MN]. Dans le triangle OIM rectangle en I, on a : soit : ou encore : sin MOI = IM OM, ( ) α sin = MN 60, ( ) α sin = MN 0. [ 3 a. f (x) = cos x. Or, x 0 ; π ] 0 cos x, donc 0 f (x). f (x) est [ donc positive, ce qui implique que f est croissante sur 0 ; π ]. ( ) π f(0) = 0 sin 0 = 0 et f [ 0 ; π ], f(x) Ainsi, sur = π. [0 ; π ]. [ 0 ; π ], la différence entre, soit approximativement 0, 57, ce qui est relativement b. De la question précédente, on peut déduire que pour x x et sin x est inférieure à π peu. [ On peut donc remplacer sin x par x en ne commettant qu une erreur faible si x 0 ; π ]. 4 De la question précédente, on peut écrire : et donc, d après la question : ( ) π sin 360 α π 360 α MN 0. π 360 α 8

27 Or, d où : π 3 α MN. 5 La formule d Al-Kashi nous donne : MN = cos α, soit : g(α) = 60 cos α. 6 La courbe représentative de la fonction d est : α On constate que pour α [0 ; 70], d(α), ce qui signifie que la différence entre α et (g(α)) ne diffère pas plus de. De plus, pour α [70 ; 90], cette différence n excède pas 5, ce qui n est pas énorme. L approximation peut donc être considérée comme satisfaisante. 9

28 Fonction exponentielle Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion 5 décembre 05 Propriétés algébriques Exercice. Produits, quotients et puissances A Corrigé page 7 Simplifier les nombres suivants en donnant le résultat sous la forme d une seule exponentielle. e 5 e 3 e 9 e 7 3 ( e ) 3 4 e3 e 4 e 5 e e e 6 (e e ) 3 Exercice. Simplification d expressions A Corrigé page 7 Simplifier les expressions suivantes en donnant le résultat sous la forme d une seule exponentielle. e x e x+3 3 ( e x+ e x ) e3x e 4x 4 ( e x+3 e 3x e 4 ) Équations inéquations Exercice 3. Équations A Résoudre dans R les équations suivantes : Corrigé page 7 e x+ = 0 e x5 +x+ = 3 e x+3 = e x 5 4 e 5x+ = e 3x+ 5 e x = e x +3x 6 5 e 3x+ = e x = e 5x 3 = 3 0

29 Exercice 4. Équations avec changement de variable A Résoudre dans R les équations suivantes : e x e x + = 0 e x + e x = 0 Les équations suivantes nécessitent le logarithme népérien. 3 e x 7e x + 3 = 0 4 6e x + e x = 0 Corrigé page 8 Exercice 5. Inéquations A Résoudre dans R est inéquations suivantes. Corrigé page 9 e 3x > e x+4 e x+5 e 4x+7 3 e x < e 4 4e 5x e x e 47x 5 > 70 Exercice 6. Inéquations avec changement de variable R Résoudre dans R les inéquations suivantes : e x + e x 0 e x e x + 0 Les inéquations suivantes nécessitent le logarithme népérien. 3 6e x + e x 0 4 e x 7e x + 3 < 0 Corrigé page 30 Études de fonctions Certaines questions des exercices suivants font appel à la notion de logarithme népérien. Pour les élèves qui n auraient pas encore abordé cette notion, il suffit d accepter qu il existe une fonction, notée ln, qui vérifie l équivalence suivante : e x = y x = ln y, avec y > 0. Exercice 7. Fonctionf : x e x (x + )e x R Partie A : Démonstration de cours Corrigé page 3 Démontrer que pour tout réel positif ou nul x : e x x. e x En déduire lim x + x.

30 On considère la fonction g définie sur R par : Partie B : Étude d une fonction auxiliaire g(x) = e x x. Déterminer la limite de g en puis en +. Étudier le sens de variation de g puis dresser son tableau de variations. 3 a. Montrer que x = 0 est solution de l équation g(x) = 0. b. Montrer que l équation g(x) = 0 admet une deuxième solution α sur l intervalle ], 6 ;, 5[. On considère la fonction f définie sur R par : Partie C : Étude de la fonction principale f(x) = e x (x + )e x. Déterminer la limite de f en puis en +. Calculer f (x). Déduire de la partie B le signe de f (x) sur R. 3 Montrer que : f(α) = α + α 4 où α est définie dans la partie précédente. En déduire un encadrement de f(α). 4 Dresser un tableau de variations de f. 5 Tracer la courbe C, représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : cm). Exercice 8. Courbe de Gauss A Soit k un réel strictement positif. On définit alors la fonction g k par : Étudier la parité de la fonction g k. g k (x) = e kx. Démontrer que g k est dérivable et donner sa dérivée g k. 3 Étudier le signe de g k(x) puis dresser le tableau de variation de g k. 4 Exprimer g k(x) et résoudre l équation g k(x) = 0. 5 Tracer la courbe de g, g et g. Corrigé page 34 6 Démontrer que, sur R : h g g h g k.

31 7 Dans cette question, k =. Soit α la solution positive de l équation g k(x) = 0. Déterminer une équation de la tangente (T ) à la courbe g k au point d abscisse α. Tracer (T ). Exercice 9. Fonctionf : x e x x A On considère la fonction f définie sur [0 ; + [ par : f(x) = e x x. Tracer la courbe représentative de f sur [0 ; 0] sur votre calculatrice. Conjecturer alors le sens de variation de f sur [0 ; + [. Calculer lim x + f(x). 3 Calculer f (x) puis étudier son signe sur [0 ; + [. Dresser alors le tableau de variations complet de f. La conjecture faite à la question était-elle correcte? Corrigé page 36 Exercice 0. Fonctionf : x xe x A Soit f la fonction définie sur R + par : Calculer lim x + f(x). Déterminer f (x). f(x) = xe x. 3 En déduire les variations de f sur R +. Dresser un tableau de variations complet de f. Corrigé page 37 Exercice. Fonctionf k : x ln (e x + kx) x R Corrigé page 37 Pour tout réel k strictement positif, on considère la fonction f k définie sur [0 ; + [ par : f k (x) = ln (e x + kx) x. On note C k la courbe représentative de la fonction f k dans le plan muni d un repère orthogonal (O ; #» ı, #» j ). En étudiant le sens de variation d une fonction convenablement choisie, démontrer que pour tout réel positif x, ln( + x) x. Calculer f k(x) pour tout réel x appartenant à l intervalle [0 ; + [ et en déduire le sens de variation de la fonction f k. 3

32 3 Montrer que pour tout réel positif x, En déduire la limite de f k en +. f k (x) = ln 4 a. Dresser le tableau de variations de f k. b. Montrer que pour tout réel positif x, ( + k x e x ). f k (x) k e. 5 Déterminer une équation de la tangente T k à la courbe C k au point O. Exercice. Fonctionf : x (x ) ( e x ) A Soit f la fonction définie sur l intervalle [0 ; + [ par : f(x) = (x ) ( e x). Sa courbe représentative C est tracée dans le repère orthonormal ci-dessous. y Corrigé page x a. Étudier la limite de f en +. b. Montrer que la droite d équation y = x est asymptote à C. c. Étudier la position relative de C et. 4

33 a. Calculer f (x) et montrer que f (x) = xe x + ( e x ). b. En déduire que, pour tout réel x strictement positif, f (x) > 0. c. Préciser la valeur de f (0) puis donner les variations de f. Exercice 3. Fonctionf(x) = (x + )e x R Corrigé page 39 Soit ϕ la fonction définie sur R par : Partie A : étude d une fonction auxiliaire ϕ(x) = ( x + x + ) e x. a. Déterminer les limites de ϕ en et en +. b. Étudier le sens de variations de ϕ puis dresser son tableau de variations sur R. Démontrer que l équation ϕ(x) = 0 admet deux solutions dans R, dont l une dans l intervalle [ ; + [, qui sera notée α. Déterminer un encadrement d amplitude 0 3 de α. 3 En déduire le signe de ϕ(x) sur R et le présenter dans un tableau. Partie B : étude de la position relative de deux courbes Les fonctions f et g sont définies sur R par : f(x) = (x + )e x et g(x) = x + x + x +. Leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal (O ; #» ı, #» j ) sont notées respectivement C f et C g et sont représentées ci-dessous : y C g x C f Démontrer que les deux courbes passent par le point A de coordonnées (0 ; ) et admettent en ce point la même tangente. 5

34 a. Démontrer que, pour tout nombre réel x, f(x) g(x) = où ϕ est la fonction étudiée dans la partie A. b. Étudier le signe de f(x) g(x) pour x R. (x + )ϕ(x) x + x + c. En déduire la position relative des courbes C f et C g. Exercice 4. Fonction f : x ex e x e x +e x R On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = ex e x e x + e x. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé. Montrer que f est impaire. Calculer lim x + f(x). 3 Montrer que f (x) = 4 ( ex + e x ). En déduire les variations de f sur R. 4 Déterminer une équation de la tangente à C au point d abscisse 0. Corrigé page 40 6

35 Corrigés 5 décembre 05 Corrigé de l exercice. e 5 e 3 = e 5+( 3) = e. e 9 e 7 = e 9 7 = e 6. 3 ( e ) 3 = e 3 = e 6. 4 e3 e 4 e = e 3 4 ( ) = e = e. 5 e e e = e + = e. 6 (e e ) 3 = e ( ) 3 = e 9. Corrigé de l exercice. e x e x+3 = e x x+3 = e x+. e3x e 4x = e3x (4x ) = e x+. 3 ( e x+ e x ) = e ( x++x ) = e 0 =. 4 ( e x+3 e 3x ) = e (x+3 3x+) ( ) = e x 5. e 4 Corrigé de l exercice 3. Une exponentielle étant toujours strictement positive, l équation e x+ = 0 n admet aucune solution. S = Une exponentielle étant toujours strictement positive, l équation e x5 +x+ = n admet aucune solution. S = 3 e x+3 = e x 5 x + 3 = x 5 4x = 8 x = L ensemble solution de l équation e x+3 = e x 5 est donc S = { } 4 e 5x+ = e 3x+ 5x + = 3x + x = x = 7

36 { L ensemble solution de l équation e 5x+ = e 3x+ est donc S = } 5 e x = e x +3x x = x + 3x x + 3x = 0 Le discriminant de x + 3x est = = 3 donc il y a deux solutions : Donc S = { 3 3 x = 3 3 ; 3 + } 3 et x = e 3x+ = 3 e 3x+ = e 3x+ = e 3x+ = e 0 3x + = 0 x = 3 L ensemble solution de l équation 5 e 3x+ = 3 est donc S = { } e x = 5 3e x = 3 e x = e x = e 0 x = 0 x = 0 L ensemble solution de l équation + 3e x = 5 est donc S = {0} 8 7 4e 5x 3 = 3 4e 5x 3 = 4 e 5x 3 = e 5x 3 = e 0 5x 3 = 0 x = 3 5 L ensemble solution de l équation 7 4e 5x 3 = 3 est donc S = { 3 } 5 Corrigé de l exercice 4. e x e x + = 0. On pose X = e x. Ainsi, comme e x = ( e x), l équation est équivalente à : X X + = 0 (X ) = 0 X = e x = x = 0. L ensemble solution est donc S = {0} 8

37 e x + e x = 0. On pose X = e x et l équation devient : X + X = 0. Le discriminant du polynôme X + X est = 9 donc il admet deux racines : Ainsi, X = 3 = et X = + 3 e x = et e x =. =. Une exponentielle étant strictement positive, e x = est impossible. e x = x = 0 donc l ensemble solution est S = {0} 3 e x 7e x + 3 = 0 X 7X + 3 = 0 avec X = e x. Le discriminant de X 7X + 3 est = = 5 > 0 donc il admet deux racines : X = 7 5 = 4 = ex x = ln = ln et X = L ensemble solution est donc S = { ln ; ln 3} = 3 = e x x = ln e x + e x = 0 6X + X = 0 avec X = e x. Le discriminant de 6X + X est = 5 donc le polynôme admet deux racines : et X = 5 = = ex impossible car e x > 0 pour tout réel x X = + 5 L ensemble solution est donc S = { ln 3} = 3 = ex x = ln 3 = ln 3. Corrigé de l exercice 5. e 3x > e x+4 3x > x + 4 x > 5. L ensemble solution est donc S = ]5 ; + [ e x+5 e 4x+7 x + 5 4x + 7 6x x 3. L ensemble solution est donc S = [ [ 3 ; + 3 e x < e x < x < 0. x admet pour racines et, et est négatif entre ses racines, donc l ensemble solution de l inéquation est S = ] ; [ 9

38 4 4e 5x+ 8 4e 5x+ 4 e 5x+ e 5x+ e 0 5x + 0 x 5 L ensemble solution est donc S = ] ; ] e x+3 3e x+3 3 e x+3 e x+3 e 0 x x 3 x 3 [ [ 3 L ensemble solution est donc S = ; e 47x 5 > 70 4e 47x 5 > 4 e 47x 5 > 47x 5 > 0 x > 5 47 ] [ 5 L ensemble solution est donc S = 47 ; + Corrigé de l exercice 6. e x + e x 0 X + X 0 avec X = e x (X )(X + ) 0 (voir exercice 4 pour les racines) ( e x )( e x + ) 0 e x 0 car e x + > 0 pour tout réel x e x x 0 L ensemble solution est donc S = [0 ; + [ e x e x + 0 X X + 0 avec X = e x (X ) 0 (X ) = 0 car (X ) est toujours positif ou nul X = e x = x = 0 L ensemble solution est donc S = {0} 30

39 3 6e x + e x 0 6X + X 0 avec X = e x (3X )(X + ) 0 (voir exercice 4 pour les racines) ( 3e x )( e x + ) 0 3e x 0 car e x + > 0 pour tout réel x e x 3 x ln 3 L ensemble solution est donc S = ] ; ln 3] 4 e x 7e x + 3 < 0 X 7X + 3 < 0 avec X = e x (X )(X 3) < 0 (voir exercice 4 pour les racines) ( e x )( e x 3 ) < 0 De plus, e x > 0 e x > et e x 3 > 0 e x > 3, d où le tableau x > ln x > ln 3 page suivante. x e x e x 3 ( e x )( e x 3 ) ln ln L ensemble solution de l inéquation e x 7e x + 3 < 0 est donc S = ] ln ; ln 3[ Corrigé de l exercice 7. Partie A : Démonstration de cours Posons h(x) = e x x. Alors, h est dérivable sur R comme somme de deux fonctions dérivables sur R ; on a alors h (x) = e x x et h (x) = e x. Or, x 0 donc e x e 0 = donc h (x) 0, ce qui signifie que h est croissante. Or, h (0) = donc h (x) > 0, ce qui implique que h est croissante. Or, h(0) = donc h(x). De l inégalité précédente, on en déduit que pour x > 0, on a : soit en divisant par x : e x + x e x x > x + x. Or, ( lim + ) x x + x = +. Ainsi, par comparaison, on a : e x lim x + x = + 3

40 Partie B : Étude d une fonction auxiliaire On a : lim x ex = 0 ( x ) = + lim x = ( On peut écrire : g(x) = x ex x ). Donc : x lim g(x) = + x lim x + lim x + e x x = + ( ) = x = lim g(x) = + x + g est dérivable sur R comme somme de fonctions dérivables sur R. On a : Ainsi : D où le tableau de variations suivant : g (x) = e x. g (x) > 0 e x > e x > x > ln x ln + g (x) g g ( ln ) = e ln ln = + ln = ln ln 3 a. g(0) = e 0 0 = = 0 donc x = 0 est bien une solution de l équation g(x) = 0. b. g est continue sur ] ; ln [ donc a fortiori sur ], 6 ;, 5[. De plus, g(, 6) 0, 004 > 0 et g(, 5) 0, 054 < 0. Ainsi, d après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution (appelée α) à l équation g(x) = 0 sur l intervalle ], 6 ;, 5[. De même, l équation admet une unique solution sur ] ln ; + [, qui est x = 0 d après la question précédente. L équation n admet donc que deux solutions sur R. Partie C : Étude de la fonction principale On peut écrire f(x) sous la forme : f(x) = e x ( x e x e x ). 3

41 Donc : De plus : ( ) x lim = 0 (Partie A) x + e ( x ) lim = 0 x + e x lim x + ex = + lim x ex = 0 lim x (xex ) = 0 = = lim f(x) = + x + lim f(x) = 0 x f est dérivable sur R comme somme de deux fonctions dérivables sur R, et on a : Ainsi, f (x) est du même signe que g(x). f (x) = e x (e x + (x + )e x ) = e x (x + )e x = e x (e x x ) = e x g(x) 3 On sait que g(α) = 0, c est-à-dire que e α α = 0, soit e α = α +. Ainsi : ( α + f(α) = = α + 4α ) (α + ) α + α + 3α + = α + 4α + 4 α 6α 4 4 = α + α 4 On sait que : Donc :, 6 α, 5, 5 = (, 5) α (, 6) =, 56 et 3, α 3, d où : 0, 95 = 3, +, 5 α + α, 56 3 = 0, 44. En multipliant par 4 chaque membre de cet encadrement, on obtient : 0, f(α) 0,

42 4 On a alors : x f (x) α f f(α) On a : y α f(α) x Corrigé de l exercice 8. x R, g k ( x) = e k( x) = e kx = g k (x). Donc g k est paire. g k est la composée d une fonction polynôme (u : x kx ) et d une fonction exponentielle. Par conséquent, elle est dérivable sur R comme la composée de deux fonctions dérivables sur R. g k(x) = ( e u(x)) = u (x)e u(x) g k(x) = kxe kx 3 x R +, e kx > 0 et kx < 0. Ainsi, g k(x) < 0 sur R +. La fonction g k est donc strictement décroissante sur R +. Par parité, g k est donc croissante sur R. On a lim x + ( kx ) = et lim X ex = 0 donc lim g k(x) = 0. x + 34

43 De plus, g k (0) = e k 0 = e 0 =. On a donc le tableau suivant : x g k(x) g k g k(x) = ke kx kx ( kx)e kx. = ke kx ( kx ) Ainsi : g k(x) = 0 kx = 0 x = k x = k ou x = k (k > 0) 5 Nous avons les courbes suivantes : g g e g (T ) 6 h k k h kx hx car x 0 e kx e hx g k (x) g h (x) car la fonction exponentielle est strictement croissante 7 Une équation de la tangente (T ) à C g au point d abscisse α est : y = g (α)(x α) + g (α) y = e (x ) + e y = e x + e. 35

44 Corrigé de l exercice 9. On a : On peut alors conjecturer que f est croissante sur [0 ; + [. ( ) f(x) = e x x (. lim x + Or, 3 f (x) = x ) =. Par conséquent, lim x + x lim X + ex = + donc : lim f(x) = +. x + ( ) x = x x x ex e x x ( x ) = +. f (x) > 0 x > 0 x > x > 4 x f (x) f(x) e 4 + D où le tableau ci-contre. La conjecture faite à la question n était donc pas correcte. 36

45 Corrigé de l exercice 0. lim x = + et lim x + x + ex = +. Par produit, on déduit que lim f(x) = +. x + f (x) = ( x + ) x e x, soit f (x) = ( ) + x e x. x 3 f (x) > 0 + x > 0 x > d où le tableau suivant : x f (x) f(x) Corrigé de l exercice. Posons ϕ : x ln( + x) x. Alors, ϕ (x) = + x = x < 0 sur [0 ; + [. + x Par conséquent, ϕ est décroissante sur [0 ; + [. Or, ϕ(0) = 0 donc ϕ(x) 0 sur [0 ; + [. On en déduit donc que pour tout réel x positif, ln( + x) x 0, soit ln( + x) x. f k(x) = ex + k e x + kx = k kx e x + kx e x + kx > 0 pour x > 0. = k( x) e x + kx. Ainsi, f k (x) 0 x 0 x. Donc f k est croissante sur [0 ; ] et décroissante sur [ ; + [. 3 f k (x) = ln (e x + kx) x = ln [e ( x + k x )] x e x = ln e x + ln ( + k x ) x e x = x + ln ( + k x ) x e x f k (x) = ln ( + k x ). e x e x D après le cours, lim x + x Ainsi, lim f k(x) = ln = 0. x + = + donc lim x + x e x = 0. 37

46 4 a. On a le tableau suivant : x f k(x) f k ln(e + k) b. D après la question précédente, f k (x) ln(e + k). Or, 0 f k (0) = ln(e 0 + k 0) 0 = ln = 0 [ ( ln(e + k) = ln e + k )] e ( = ln e + ln + k ) e ( = ln + k ) e k e d après la question car k e > 0 Ainsi, f k (x) k e. 5 Une équation de la tangente à C k au point d abscisse a est : y = f k(a)(x a) + f k (a). Donc, au point O (a = 0), on a : y = f k(0)(x 0) + f k (0) y = kx Corrigé de l exercice. a. lim (x ) = + x + lim x + e x = 0 donc lim x + e x ) = Ainsi, par produit, lim f(x) = +. x + b. f(x) = x + xe x + e x donc f(x) (x ) = x e + x e x. x Or, lim = 0 (cours) et x + e lim x x + e x = 0 donc lim [f(x) (x )] = 0, ce qui x + signifie que la droite d équation y = x est asymptote à C en +. c. f(x) (x ) = ( x)e x > 0 si x > 0, soit x <. Ainsi, C est au-dessus de sur [0 ; ] et au-dessous sur [ ; + [. 38

47 a. f est de la forme uv avec u(x) = x et v(x) = e x. Ainsi, f = u v + uv avec u (x) = et v (x) = e x. D où : f (x) = e x + (x )e x = e x + xe x e x f (x) = xe x + ( e x b. Si x > 0, alors e x > et e x > 0. De plus, xe x > 0 donc, par somme de termes positifs, f (x) > 0. c. f (0) = 0. De la question précédente, on déduit que f est strictement croissante sur [0 ; + [. Corrigé de l exercice 3. Partie A : étude d une fonction auxiliaire a. ϕ(x) = x e + x x e + x e. x x n Or, lim = 0, avec n N. x + ex Par conséquent, lim ϕ(x) =. x + De plus, Par produit, ( lim x + x + ) = + et lim x x e x = +. ϕ(x) = +. lim x b. ϕ (x) = x( x)e x d où le tableau de variations suivant : x ϕ (x) ϕ(x) e D après le tableau ci-dessus, «0» est une solution à l équation ϕ(x) = 0. Celle-ci n admet pas de solution sur ] ; [ puisque 0 est un minimum sur cet intervalle. f() 0, > 0 et ϕ(x) < 0. De plus, ϕ est continue et strictement décroissante lim x + sur ] ; + [ donc d après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l équation ϕ(x) = 0 admet une unique solution α sur ] ; + [. On trouve, 793 α, x ϕ(x) 0 α

48 Partie B : étude de la position relative de deux courbes f(0) = et g(0) = donc les deux courbes passent par A(0 ; ). De plus, f (x) = ( x)e x et g (x) = x x + (x + x + ) donc f (0) = et g (0) = ; ainsi, les deux courbes ont la même tangente en A. a. f(x) g(x) = (x + )e x x + x + x + ( (x + x + )e x ) = (x + ) x + x + f(x) g(x) = b. x ϕ(x) x + f(x) g(x) (x + )ϕ(x) x + x + 0 α ] [ ; α, donc que C f est c. De ce dernier tableau, on déduit que f(x) > g(x) sur au-dessus de C g sur cet intervalle. Corrigé de l exercice 4. Le domaine de définition de f est centré en 0. De plus, pour tout réel x, f( x) = e x e x e x + e = e x x ex = f(x). e x + e x f est donc impaire. ( ) f(x) = ex e x ( ) = e x e x + e x + e. x lim ( x) = x + lim X ex = 0 lim f(x) =. x + 3 f est de la forme u v avec u(x) = ex e x et v(x) = e x + e x. Ainsi, f = u v uv v avec u (x) = e x + e x = v(x) et v (x) = e x e x = u(x). 40

49 On a alors : [ v(x) ] [ u(x) ] f (x) = [ v(x) ] [ v(x) u(x) ][ v(x) + u(x) ] = [ v(x) ] f (x) = = e x e x ( ex + e x ) 4 ( ex + e x ) Ainsi, f (x) > 0 sur R, ce qui signifie que f est strictement croissante sur R. 4 f 4 (0) = = et f(0) = 0 donc l équation réduite de la tangente à la courbe ( + ) représentative de f au point d abscisse 0 est y = x. 4

50 Logarithme népérien Énoncés Disponible sur http: // www. mathweb. fr A R Exercices d application du cours Exercices de réflexion 5 décembre 05 Opérations algébriques Exercice. Simplification d écritures A Simplifiez au maximum : Corrigé page 49 ln 8 ln ln 6 + ln 3 4 ln 50 + ln ln ln 4 ln 56 7 ln e x 8 ln e x 4 ln e x+4 3 ln 5 ln 30 + ln 0 6 ln ln 6 + ln ln ex+ ln e x Exercice. Équations A Résoudre les équations suivantes : Corrigé page 49 ln(3x 4) = ln(x + ) ln(4 x) = ln(x ) 3 ln(x + x + ) = ln(x x + ) 4 ln(x 0x + 8) = ln(3x 3x 8) 5 (ln x) 3 ln x + = 0 6 (ln x) 5 ln x 3 = 0 Exercice 3. Inéquations A Résoudre les inéquations suivantes : Corrigé page 5 ln(5x + 0) > ln(3x 9) ln(8 x) ln(5x 5) 3 ln(x + ) < ln(x + x + ) 4 ln(x 3x + ) > ln( 5x + 8x 3) 5 ln(x 5x 4) ln(x 0x + 8) 6 ln(x + x 6) > ln( x + 4x + 6) 4

51 Calculs de limites Exercice 4. Limites R Pour cet exercice, il ne faudra pas hésiter à prendre des initiatives. On considère la fonction f définie sur R par : Calculer lim x 0 f(x). Calculer lim x + f(x). f(x) = x x ln ( x + ). Corrigé page 53 Indice : on pourra démontrer que, pour tout réel x positif, ln( + x) x en étudiant la fonction g(x) = ln( + x) x. Cela pourra nous servir dans notre raisonnement. 3 Calculer lim x f(x). Exercice 5. Limites A Corrigé page 54 Calculer les limites suivantes : ( ) ln x lim. x x ( ln (x ) x + ) lim. x (x ) ln ( ) 3 lim x x + ( ln + ). x ( ) ln ( + x) 4 lim x 0. x + ln x Exercice 6. Démonstration de cours : lim x + x R Corrigé page 56 On considère la fonction f définie par : Étudier les variations de f sur [ ; + [. En déduire que pour x, 0 ln x < x. f(x) = ln x x. 3 Déduire alors que pour x, 0 ln x x <. x ( ) ln x 4 Calculer alors lim. x + x 43