UE LM336 Année Feuille de TD 4

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1 Universié Pierre & Marie Curie Licence de Mahémaiques L3 UE LM336 Année Feuille de TD 4 Exercice 1 Reprendre l exercice 2 de la feuille 1 de manière rigoureuse Concrèemen, pour chacune des équaions différenielles suivanes a y ( = y(, b y ( = y(, c y ( = y 2 (, d y ( = y( indiquer, en foncion de la condiion iniiale, si un héorème de Cauchy-Lipschiz s applique, e déerminer le cas échéan la soluion maximale Soluion de l exercice 1 a L applicaion (, x x es globalemen Lipschizienne en x avec une consane de Lipschiz uniforme pour [ T, T ], T arbiraire fixé, mais pas uniformémen pour R puisqu elle es -Lipschizienne Le héorème de Cauchy-Lipschiz global donne une soluion unique sur [ T, T ] quel que soi T, donc sur ], [ Regardons le problème de Cauchy x( 0 = x 0 R Si x 0 = 0, alors on voi que la foncion ideniquemen nulle es soluion sur R Par le héorème de CL, c es donc la seule soluion de l équaion qui peu s annuler : oue soluion sur un inervalle I qui n es pas ideniquemen nulle ne s annulera pas sur I Pour x 0 R\{0} fixé, le calcul fai à la feuille 1 monre alors que la foncion x( = x 0 e 2 0 /2 e 2 /2 es là soluion locale (aour de 0 pour le problème de Cauchy x( 0 = x 0 Cee foncion es définie sur R ou enier, e elle es une soluion sur R (donc maximale du problème de Cauchy Mais mais que fai-on ici? STOP! L équaion x x = 0 renre dans la caégorie des équaion LIÉAIRES d ordre à coefficien C (donc coninu sur R Donc on sai bien qu il exise une soluion sur R ou enier pour ou problème de Cauchy, e que les soluions formen un espace vecoriel de dimension 1 b En principe, on doi éudier l équaion différenielle sur ]0, + [ e sur ], 0[ e se poser, évenuellemen, le problème de recoller des soluions IcI encore, l équaion x 1 x = 0 es une équaion linéaire à coefficien coninu sur ]0, + [ ou ], 0[ Oublions cela provisoiremen L applicaion (, x x/ n es pas définie pour = 0, elle es globalemen 1/ε-Lipschizienne en x uniformémen pour ε > 0, le héorème de Cauchy Lipschiz (global donne alors l exisence d une unique soluion sur les inervalles de la forme [ε, + [ e ], ε] E donc, cela garani l exisence de soluions maximales sur ], 0[ (respecivemen sur ]0, + [ au problème de Cauchy pour x( 0 = x 0 pour x 0 R e 0 < 0 (respecivemen 0 > 0 E comme précédemmen, comme la foncion ideniquemen nulle es soluion, c es la seule soluion qui s annule pour ou problème de Cauchy sur ], 0[ En fai, pour 0 0 e x 0 R, la foncion x( = x 0 0 es l unique soluion sur R ou enier du problème de Cauchy associé à x( 0 = x 0 Dans le cas où 0 = 0, on ne peu appliquer le héorème de Cauchy-Lipshiz Dans ce cas, il y a une infinié de soluions si x 0 = 0, e aucune si x 0 0 c Enfin un exemple non-linaire! L applicaion (, x x 2 es localemen lipschizienne en x, évidemmen uniformémen par rappor à, sur R 2 Seul le héorème de Cauchy Lipschiz local s applique Par ailleurs, la foncion ideniquemen nulle es soluion Donc si x es une soluion sur I, soi elle es ideniquemen nulle, soi elle ne s annule pas sur I, ce qui jusifie les calculs fai à la feuille 1 1

2 Donnons-nous 0 R e x 0 > 0 Alors on a vu à la feuille 1 que x( = 1 C 0 es une soluion sur ]0, C 0 [ à l équaion avec x( 0 = x 0 en prenan C 0 := 0 1 x 0 > 0 Ainsi, c es LA soluion maximale à ce problème d L applicaion (, x x n es pas localemen lipschizienne en x (sa dérivée n es pas bornée en 0, ce qui explique l exisence de deux soluions différenes au problème de Cauchy x ( = x(, x(0 = 0 (par exemple 0 e /4 Le héorème de Cauchy Lipschiz ne s applique pas pour des données iniiales nulles Par conre, (, x x es localemen lipschizienne en x uniformémen en sur ou R ]0, + [ Ainsi, pour ou 0 R e x 0 > 0, on aura une unique soluion locale auour de 0 Par conre, on a vu qu on peu consruire plusieurs soluions (maximales sur R, ce qui es dû encore une fois à l absence de héorème de CL pour x = 0 Exercice 2 On considère l équaion différenielle { x ( = e x(, x(0 = 0 (E a Peu on appliquer le héorème de Cauchy-Lipschiz global pour avoir l exisence d une soluion x : R R? b Jusifier qu on peu appliquer le héorème de Cauchy-Lipschiz global pour y ( = e y(, y(0 = 0 c Jusifier que signe(y( = signe( d En déduire que y es une soluion de (E Soluion de l exercice 2 a On va vérifier que l on a pas les hypohèse de CL global sur R Soi don c f(, x = e x C es une foncion C 1 des deux variables sur R R, par héorèmes d opéraions On a x f(x, = e x, donc la consane de Lipshiz globale en x, vau zéro (pour n impore quel fixé dans R, e a foriori, uniformémen en On ne peu donc pas appliquer un héorème de Cauchy-Lipschiz global, ni sur R, ni sur un inervalle de R b On pose g(, x = e x = e x C es une foncion coninue sur R 2, par héorème d opéraions La foncion s e s es 1-lipschizienne pour s > 0, e la foncion x x es -lipschzienne Par composiion, on voi que on voi que g es -lipschzienne en x pour fixé : g(, x g(, z x z On a pas de caracère uniformémen-lipschzien pour dans R, mais on en a pas besoin En fai, on voi que pour T > 0, la foncion g es globalemen lipschzienne en x, uniformémen en [ T, T ] On peu donc appliquer le héorème de Cauchy-Lipschiz global sur [ T, T ] On a donc une soluion du problème de Cauchy sur [ T, T ], e ceci pour ou T On a donc bien une soluion (unique sur R ou enier Exercice 3 En prenan en compe la gravié e la résisance de l air, la chue d un obje peu se modéliser par l équaion différenielle suivane mh ( = mg + α (h ( 2 a Indiquer les données de Cauchy pour un obje lâché à = 0 d une haueur h 0 sans viesse iniiale b Jusifier que le problème adme une unique soluion locale c oons h la soluion (locale maximale définie sur un inervalle [0, T [ avec T R + {+ } Démonrer, sans calculer cee soluion, que i La dérivée v := h es croissane e bornée 2

3 ii Que la foncion maximale es définie sur R + (ie T = + e que v une valeur limie en + que l on calculera d Calculer la soluion explicie e vérifier la quesion 3 Soluion de l exercice 3 a La haueur à = 0 es h 0, la viesse iniiale es nulle, les données de Cauchy son donc h(0 = h 0, h (0 = 0 b L équaion différenielle se me sous la forme du sysème ( ( y1 y = 2 g + α y2 2/m y 2 La foncion F (, y 1, y 2 = (y 2, g + αy 2 2 /m es C, donc localemen Lipschizienne (uniformémen en car indépendane de, le héorème de Cauchy-Lipschiz (local s applique donc L exisence d une soluion locale pour le sysème garani une soluion h à nore équaion sur un cerain inervalle de la forme [0, T [ avec h(0 = h 0 e h (0 = 0 c La viesse v = h es soluion de l équaion différenielle du premier ordre v ( = g + α m v(2 Le héorème de Cauchy-Lipchiz, qui s applique sur R + R, garani une soluion locale (maximale sur I = [0, T 0 [ avec v(0 = 0, e en fai T 0 T car une fois v connu, on peu rerouver h par h( = h v Cee équaion a deux soluions saionnaires v + = mg/α e v = mg/α En pariculier, par unicié (Cauchy-Lipschiz local, nore foncion v es comprise enre ces deux soluions, ie v( ]v, v + [ pour ou I On voi que sur I la foncion v es décroissane, puisque v( v + v ( 0, e comme elle es minorée, elle a une limie finie en T 0 Supposons T 0 fini ; alors on peu prolonger v par coninuié en T 0 en posan v(t 0 = lim T v R De plus, on ire de 0 l équaion que v a aussi une limie (à gauche en T 0 Il découle du héorème des accroissemens finis (poin subil que v es dérivable à gauche en T 0 avec v (T 0 = lim T v = g + α 0 m v(t 0 2 Ainsi, v es C 1 sur [0, T 0 ] e vérifie l équaion différenielle sur ce inervalle Mais, on peu aussi appliquer le héorème de Cauchy-Lipschiz (local auour de T 0 avec v(t 0 comme valeur en T 0 ; ainsi, la soluion obenue prolonge v à droie de T 0 (en effe, à gauche elle coïncide par unicié de la soluion qui vau v(t 0 en T 0 Cela conredi le fai que v éai la soluion maximale On conclu donc que T 0 = + e donc par inégraion T = + On a bien une soluion en ou emps On a donc v décroissane minorée sur R +, e donc v a une limie l [v, v(0] en + Cela enraine que v ( end vers g + α m l2 en + Le fai que v ai une limie finie implique que la suie v(n + 1 v(n end vers zero quand n + ; mais le héorème des accroissemen finis e le fai que v ai une limie enraine que v(n + 1 v(n g + α m l2 On en ire que l 2 = mg/α e donc que l = v = mg/α On a donc, en +, v mg/α e v 0 D un poin de vue physique, la viesse de chue end vers une viesse limie où l accérélaion de la gravié e le freinage de l air s équilibren parfaiemen d L équaion en v es une équaion différenielle à variables séparées, on peu l inégrer direcemen, puisqu on sai par Cauchy-Lipshiz (local que oue soluion locale avec v(0 ]v, v + [ resera, là où elle définie, dans ce inervalle Le calcul au brouillon donne ou encore v g(1 (v/v + 2 = 1 1 ( 1 v/v+ ln 2gv v/v + v = v + anh(g/v + 3 = v = v + 1 e 2g/v e 2g/v +,

4 qui es bien C 1 e définie sur R + ou enier La foncion anh es une foncion croissane de limie 1 en +, on rerouve donc bien le résula de la quesion précédene Exercice 4 On considère la foncion f définie sur ]0, + [ R par f(, y = cos(y On se donne 0 > 0 e y 0 R e on considère le problème de Cauchy suivan sur ]0, + [ : y ( = f(, y(y = cos(y(, y( 0 = y 0 (E a Monrer qu il exise une soluion globale y :]0, + [ R au problème (E b Monrer que cee soluion es bornée c Monrer que si y 0 ] π/2, π/2[, cee soluion es sricemen croissane Monrer ensuie qu elle end vers π 2 en + Soluion de l exercice 4 a La foncion f es C 1 des deux variables, ce qui perme de garanir une soluion locale pour ou problème de Cauchy Ici on a un peu mieux Soi [a, b] ]0, + [ un segmen quelconque conenan 0, alors f es lipschizienne en y uniformémen en sur [a, b] R ; en effe, on a pour [a, b] e y R, f y (, y sin(y 1 Le héorème de Cauchy-Lipshiz global garani donc une exisence d une soluion sur [a, b], pour ou [a, b] conenan 0 Ainsi, la soluion maximale es définie sur ]0, + [ b Inroduisons n 0 Z el que y 0 [ π 2 + n 0π, π 2 + n 0π[ On remarque que les foncions consanes π 2 + kπ (pour n impore quel k Z son des soluions (maximales de y ( = cos(y Par l unicié dans le héorème de Cauchy-Lipschiz, si deux soluions de y ( = cos(y, > 0, se coupen en un poin, elles son égales sur ]0, + [ ou enier Ainsi, soi y 0 = π 2 + n 0π auquel cas la soluion y es consane (donc bornée, soi y 0 ] π 2 + n 0π, π 2 + n 0π[, auquel cas on a y( ] π 2 + n 0π, π 2 + n 0π[ pour ou > 0 c Si y 0 ] π/2, π/2[, alors on sai, d après le raisonnemen fai à la quesion précédene, que la soluion y rese dans ] π/2, π/2[ Sur ce inervalle, la foncion cosinus es sricemen posiive, ce qui garani que y es sricemen posiive, e donc que la foncion y sricemen croissane sur ]0, + [ Ainsi, y adme une limie finie l ] π/2, π/2], en an que foncion croissane majorée E alors, par l équaion, y end vers 0 en + On peu dire mieux Pour > 1, on a, puisque cos(y rese posiif, e plus grand que min ( cos(l, cos(y 0, y( y(1 = 1 y = 1 cos(y(s s 1 a ds min ( cos(l, cos(y 0 ds 1 s = min ( cos(l, cos(y 0 log( 0, Mais comme y a une limie finie, elle es bornée, ce qui n es possible que si cos(l = 0, soi l = π 2 Exercice 5 Soi la foncion f définie pour (, x R 2 par ( πx 2 sin f(, x = 2 2 si 0, 0 si = 0 a Monrer que que f es coninue sur R 2 e que pour ou R, l applicaion x f(, x es globalemen lipschizienne b Déerminer deux soluions évidenes de x ( = f(, x(, x(0 = 0 Commener 4

5 Soluion de l exercice 5 a La foncion es coninue sur (R \ {0} R en an que produi/composée de foncions C Pour éudier la coninuié sur la droie {0} R, on se donne (0, x 0 R 2 ; il fau vérifier que lim (,x (0,x0 f(, x 0 = f(0, x 0 = 0 Comme sin( 1 on a f(, x 2 Si (, x (x 0, 0 en pariculier 0 donc f(, x 2 0, e donc comme demandé f(, x (0,x0 0 Pour = 0, f(x, 0 = 0 es 0-Lipschizienne en x Pour 0, comme sin es 1-Lipschizienne, on a f(, x f(, y 2 π π x y = x y, 22 la foncion x f(x, es donc π/ -Lipschizienne b Les foncion 0 e 2 son deux soluions évidenes C es un exemple de non unicié de soluions, le héorème de Cauchy-Lipschiz ne s appliquai donc pas Ici c es le défau d uniformié sur la consane de Lipschiz qui fai échouer le héorème : l applicaion f doi êre localemen Lipschizienne en x (ce qu elle es bien, uniformémen en (ce qu elle n es pas Exercice 6 Soi T > 0 fixé, on considère le problème de Cauchy y ( = y(, [0, T ], y(0 = 1 a Démonrer que le problème adme une unique soluion e rappeler commen la méhode d Euler perme d en calculer une approximaion On prendra une discréisaion uniforme h = T/ b Déerminer expliciemen les approximaions y n, n 0, e en déduire la formule y(t = lim P (T, où P (T = (1 + nt 2 c Pour quels x > 0 la foncion g(α = (1 + α x es elle convexe? En déduire le signe de f(α, x = (1 + α x 1 αx en foncion de x d En déduire l encadremen (1 + T 2 n/ 1 + nt 2 (1 2 + T 2 n 2, 0 n 1 e Déerminer lim P (T e en déduire y( f Déerminer la limie en + de la soluion de y = y(, y(0 = 1 Peu on avoir la même limie pour les approximaions ỹ n? Soluion de l exercice 6 a C es une conséquence du héorème sur les sysèmes linéaires à coefficiens consans, puisque l applicaion es bien une applicaion coninue [0, T ] M 1,1 (R La méhode d Euler consise à calculer une suie y n définie par y 0 = y(0 e la relaion de récurrence y n+1 = y n + h n y n, n = nh = n T b On a y n+1 (1 + n hy n = (1 + nh 2 y n = (1 + nt 2 y n, de sore que y n = n 1 k=0 2 (1 + kt 2 En pariculier, la convergence de la méhode d Euler implique 2 y(t = y( = lim y = lim 2 (1 + nt 2 2 5

6 c Pour 0 x 1 la foncion α (1 + α x es concave, donc f 0 Pour x > 0, la foncion es convexe, donc f 0 d En appliquan la quesion précédene avec x = n/ 1, α = T 2 /, on rouve de même avec x = n, α = T 2 / 2 e Les inégaliés précédenes donnen (1 + T 2 0 n = or 0 n = ( 1/2 d où (1 + T 2 ( n/ 1 + T 2 / 1 + n T 2 2, 1 + n T 2 (1 2 + T 2 n 2 n y (1 + T 2 n = (1 + T 2 2 (1 + T 2 (/2 y (1 + T 2 (/ n, Par développemen limié il vien (1+ T 2 (/2 ( ( 1 = exp ln(1+t 2 / = exp T 2 /2+ 2 O(1/ e T 2 /2 e de même lim (1+ T 2 (/2 2 = e T 2 /2 Par le héorème d encadremen on en ire y(t = e T 2 /2, e comme T es arbiraire la soluion es la foncion e 2 /2 f L équaion es à variables séparables, on peu calculer direcemen sa soluion y( = e 2 /2 y(0 = e 2 /2, qui end vers 0 en + On monre comme à la quesion 2 que l approximaion ỹ n vau ỹ n = n 1 k=0 (1 kt 2 Cee quanié es bien définie pour n (e pas seulemen [ 0, ] On a pour le erme général du produi 1 kt 2 / 2 k + de sore que ỹ n diverge vers +, sauf cas pahologique où il exise k el que 1 kt 2 / 2 = 0 On voi donc que pour ce exemple l approximaion numérique n a (presque jamais le même comporemen asympoique que la soluion exace 2 6