Mathématiques Exercices pour le soutien

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1 Mathématiques 5-6 Exercices pour le soutien Ma9 UVSQ Exercice. Exercice 6. Calculer les dérivées des fonctions suivantes : f : x 3x g : x 4 x +x h : x x x+ k : x (3x +) 9 m : x 3 x +4 j : x 5(x )(x ) l : x x3 +3x 7 n : x 6x p : x 4 x 3x u : x 3 x + Déterminer des primitives des fonctions données par f(x) = ( x ) 5 etg(x) = (x x)e x/3. Exercice 7. Calculer les intégrales suivantes. xsinxdx, J = ex dx. Exercice. Dériver les fonctions suivantes. Exercice 3. Dériver : f : x x ln(x), h : x ln(x) x, g : x ex x 3, u : x e v : x (+3x) x, w : x x x. d : x 3 x x +, e : x 5 x3 x+ f : x (x3 x+) 3 g : x e x 3 h : x j : x 3x ( 3x) 3 k : x ln(x +) l : x exp ( 3 x ) m : x x + n : x 3 x x Exercice 8. Calculer K = 4 xcosxdx, J = dx x+. ( e x ) dx, (Indication : PourK on pourra poseru = x ; on présentera le résultat sous la forme la plus réduite possible.) Exercice 9. Résoudre Exercice. (E) : xy y +x =. Résoudre le problème de Cauchy (E) : y +5y e x =, y() =. Exercice. Exercice 4. Sans calculatrice et en utilisant la dérivée, donner des valeurs approchées de 99; e. ; ; 5. Dans chaque cas spécifier si votre approximation est plus grande ou plus petite que la valeur exacte. Exercice 5. Déterminer les fonctions f : R + R dérivables vérifiant x,y R + : f(xy) = f(x)f(y). Résoudre le problème de Cauchy (E) : y (x+)y = e x, y() = 3. Exercice. Résoudre cos(t)y sin(t)y =, y() =. Exercice 3. Résoudre le problème de Cauchy (E) : x 3 y x y = x, y(4) =.

2 Exercices pour le soutien Ma9 UVSQ 5-6 Exercice 4. Soitf(x) = x. Laquelle des expressions suivantes est celle de la dérivéef? ln()f(x) x x x x aucune des précédentes Exercice 5.. SoitH = dx. H =. H =. Les deux affirmations précédentes sont fausses. 3π/. Soit xsinxdx... 3π/. 3. SoitJ = ex dx. Cette intégrale n existe pas. J = 3 4. SoitK = x x 3 +3x +x dx. ( e 3 e 3). J = e. e K =. K =. Les deux affirmations précédentes sont fausses.

3 Exercices pour le soutien Ma9 UVSQ 5-6. Solutions Solution. f(x) = 3x f (x) = 3 g(x) = 4x +x g(x) = 4x + h(x) = x x+ j(x) = 5(x )(x ) ou j(x) = 5(x 3 x x+) h (x) = (x+) (x ) 5 = (x+) (x+) j (x) = 5[(x )+(x )x] = 5(3x 4x ) j (x) = 5(3x 4x ) k(x) = (3x +) 9 k (x) = 9(3x +) 8 6x = 54x(3x +) 8 l(x) = 7 (x3 +3x ) m(x) = 3(x +4) l (x) = 7 (3x +6x) m(x) = 3( )(x +4) 6x x = (x +4) n(x) = 6x n (x) = 3x p(x) = 4x 3x p (x) = x 6x u(x) = (x +) 3 u (x) = 3 (x +) 3x = x 3 (x +) Solution. f (x) = xln(x)+x x = x(+ln(x)) g (x) = e x x 3 3e x x 4 = ex (x 3) x 4 h (x) = x x / ln(x)x 3/ = ln(x) x 3 u (x) = xe x + x + v(x) = exp ( x ln(+tx) ), v (x) = exp ( x ln(+3x) )( ) Å x ln(+3x)+x t = (+3x) x 3 +3x x(+3x) ln(+3x) ã x ( w(x) = exp(xln(x)), w (x) = exp (xln(x)) ln(x)+x ) = (+ln(x))x x. x Solution

4 Exercices pour le soutien Ma9 UVSQ 5-6 d(x) = 3 x e(x) = 5 x3 x+ d (x) = ln(3)3 x e (x) = ln(5)5 x3 x+ (6x ) f(x) = 3 (x3 x+) 3 f (x) = (x 3 x+) (6x ) g(x) = e x g (x) = xe x h(x) = (3x ) h (x) = (3x ) 3 3 = (3x ) j(x) = ( 3x) 3 j (x) = 3( 3x) 4 9 ( 3) = ( 3x) 4 k(x) = ( ln(x +) ) k (x) = ( ln(x +) ) 4x x + = x (x +) ln(x +) Ä ä Ä ä l(x) = exp ( x) 3 l (x) = exp ( x) 3 3( ) 3 ( x) = e 3 x 3 3 ( x) m(x) = (x +) m (x) = (x +) 3 4x = x (x +) 3 n(x) = e ln(3)x x n (x) = ln(3)e ln(3)x x+e ln(3)x = (ln(3)x+)3 x Solution 4. On considère la fonctionf : x x. On fait l approximation de la courbe par la tangente. Pourxproche de on a f(x) f()+f ()(x ) = + (x ). Puisque 99 peut être considéré comme proche de, on a 99 + ( ) = La valeur exacte de 99 est un peu plus petite car la courbe est située en dessous de la tangente (fonction concave). Pourxproche de on a exp(x) exp()+exp ()(x ) = +x. Donc e,,. La valeur exacte de e, est un peu plus grande car la courbe est située en dessus de la tangente (fonction convexe). On considère la fonction g : x x 4. Pour x proche de 5 on a Donc g(x) g(5)+g (5)(x 5) = (x 5) = = 645. La valeur exacte de est un peu plus grande car la courbe est située en dessus de la tangente (fonction convexe). On considère la fonction h : x x. Pour x proche de 5 on a Donc h(x) h(5)+h (5)(x 5) = (x 5) = = =.4.6 =.384. La valeur exacte de /5 est un peu plus petite car la courbe est située en dessous de la tangente (fonction concave). Solution 5. Soit f : R + R une fonction vérifiant les conditions de l énoncé. En dérivant la relation de l énoncé par rapport à x, on obtient : x,y R + : yf (xy) = f (x)f(y). Fixons ensuite x = dans cette dernière relation ; on a donc, en posanta = f (), y R +, f (y) = a y f(y). C est une équation linéaire de premier ordre dont on sait que les solutions dont de la forme y ce ϕ(y), où c R et où ϕ est une primitive de y a (par exemple ϕ(y) = y aln(y)). On trouve donc f(y) = cx a, c R. En injectant cela dans l équation de l énoncé, on trouve, x,y R + : c(xy) a = cx a cy a. 4

5 Exercices pour le soutien Ma9 UVSQ 5-6 En particulier pour x = y = on a c = c, d où c = ou c =. Conclusion : si une fonction f vérifie les conditions de l énoncé, alors f = ou il existe a R tel que f(x) = x a pour tout x >. Réciproquement, on vérifie facilement que toute fonction de ce type vérifie bien les conditions de l énoncé. Ce sont donc exactement les fonctions recherchées. Solution 6. On a Äx ä 5dx = 3 Ä x ä 6 +C. Par intégration par parties (x x)e x/3 dx = 3(x x)e x/3 3 (x )e x/3 dx ï = 3(x x)e x/3 3 3(x )e x/3 3 ò e x/3 dx. Solution 7. Pour la première intégrale on utilise une intégration par parties. Solution 8. J = xsinxdx = [ xcosx ] π/ + e x/ dx = îe x/ó = ( e ). cosxdx = [ sinx ] π/ =. xcosxdx = [ xsinx ] π/ = π +[ cosx ] π/ = π. ï ò J = e x e x dx = = e. sinxdx Changement de variable u = x. Donc x = u et dx = udu. On obtient : K = = 4 dx x+ = ( u+ = [ u ln(u+) ] udu u+ = ) du = 4( ln). u+ u+ du Solution 9. Résolvons d abord l équation homogène associée : y = y. Une primitive dex estx ln(x). Les solutions de x x l équation homogène sont donc les fonctions de la formex λe ln(x) = λx avec λ R. Cherchons maintenant une solution de(e) sous la formeg(x) = λ(x)x où λ est une fonction («variation de la constante»). g est solution de(e) x R : xg (x) g(x)+x = x R : x[λ (x)x +λ(x)x] λ(x)x +x = x R : λ (x) =. Donc avec λ(x) = x la fonctiong(x) = xe x est une solution de (E). L ensemble de toutes les solutions de(e) est constitué des fonctions de la formex xe x +λe x = (x+λ)e x avec λ R. L unique solution qui vérifie la condition initiale y() = estx (x )e x. 5

6 Exercices pour le soutien Ma9 UVSQ 5-6 Solution. L équation homogène associéey = 5y a pour solutions les fonctions de la formex λe 5x avec λ R. Cherchons une solution de(e) sous la formeϕ(x) = λ(x)e 5x oùλest une fonction («variation de la constante»). ϕ est solution de(e) x R : ϕ (x)+5ϕ(x) = e x x R : λ (x)e 5x 5λ(x)e 5x +5λ(x)e 5x = e x x R : λ (x) = e 4x. Donc avec λ(x) = 4 e4x la fonctionϕ(x) = 4 e x est une solution de(e). L ensemble de toutes les solutions de(e) est constitué des fonctions de la formex 4 e x +λe 5x avec λ R. Pour satisfaire la condition initiale y() = il faut choisirλ = 7 4. Solution. Résolvons d abord l équation homogène associée : y = (x+)y. Une primitive dex x+estx x +x. Les solutions de l équation homogène sont donc les fonctions de la formex λe x +x avec λ R. Cherchons maintenant une solution de(e) sous la formeg(x) = λ(x)e x +x où λ est une fonction («variation de la constante»). g est solution de(e) x R : g (x) (x+)g(x) = e x x R : λ (x)e x +x +λ(x)(x+)e x +x λ(x)(x+)e x +x = e x x R : λ (x) = e x. Donc avec λ(x) = e x la fonctiong(x) = e x est une solution de(e). L ensemble de toutes les solutions de (E) est constitué des fonctions de la formex λe x +x e x = e x (λe x ) avec λ R. L unique solution qui vérifie la condition initiale y() = 3 estx e x (4e x ). Solution. L équation est équivalente à y tan(t)y = cos(t) définie sur ] π, π [ + πz. A cause de la condition initiale y() = on travaille dans l intervalle ] π, π [. Résolvons d abord l équation homogène associée : cos(t)y sin(t)y = y = tan(t)y. Une primitive de tan sur l intervalle ] π, π [ est ln cos. Les solutions de l équation homogène sont donc les fonctions ó π, π î Solution 3. R, t λe ln(cost) = λ cost, λ R. Cherchons une solution de l équation inhomogène sous la forme g = λ avec une fonction λ (variation de la cos constante). On remplace dans l équation, = cos g sin g = cos λ cos+µsin cos sin λ cos = λ. Donc on peut prendre λ(t) = t. Les solutions de l équation différentielle sont donc les fonctions î ó π, π R, t t+λ cost, λ R. La solution vérifiant la condition initiale y() = est ó π, π î R, t t+ cost, λ R. L équation différentielley y = x x 5/ est définie seulemennt surr +. Résolvons d abord l équation homogène associée :y = y. Une primitive dex estx ln(x). Les solutions de l équation homogène sont donc les x x fonctions de la formex λe ln(x) = λ x avec λ R. Cherchons maintenant une solution de(e) sous la forme g(x) = λ(x) x oùλest une fonction λ («variation de la constante»). g est solution de(e) x R : x 3 g (x) x g(x) = x Å x R : x 3 λ (x) x+ λ(x) ã x λ(x) x = x x x R : λ (x) = x 3. Donc avec λ(x) = 4 x la fonctiong(x) = x est une solution de(e). L ensemble de toutes les solutions de(e) est 4x constitué des fonctions de la formex x +λ x avec λ R. 4x L unique solution qui vérifie la condition initiale y(4) = est celle où λ = /

7 Exercices pour le soutien Ma9 UVSQ 5-6 Solution 4. La première. f(x) = e ln()x = f (x) = f(x)ln() x. Solution 5..a.a 3.c 4.a J = 3π/ xsinxdx = [ xcosx ] 3π/ + e x/ dx = îe x/ó = (e e ). 3π/ cosxdx = [ sinx ] 3π/ D après le théorème de décomposition en éléments simples il existe des réelsa,b,c tels que On obtient a = etb = c =. Donc K = x x(x+)(x+) = a x + b x+ + c x+. =. x x 3 +3x +x dx = [ ln x +ln x+ +ln x+ ] =. 7