UNE ANNEE DE RECHERCHE EN MATHEMATIQUES

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1 UNE ANNEE DE RECHERCHE EN MATHEMATIQUES CE2 DE Ph. MOREL - SOLLIES-TOUCAS - 93/94 Ce document est un extrait des recherches en mathématiques réalisées enfants du CE 2 de l'année 93/94. Chaque recherche a été choisie librement par les enfants qui s'y sont attachés avec passion. Ces recherches, qu'elles aient abouties ou non, sont le fait de longues heures de travail, de plaisir, de doute et parfois aussi de souffrance. on s'est beaucoup creusé les méninges, parfois on a découvert des choses auxquelles on ne s'attendait pas, parfois on a cherché et rien découvert, mais l'essentiel est d'avoir été un vrai chercheur! Merci donc à Laurence, Benoît, Sophie, Clément, Estelle, Alexandre, Stéphane, Fanny, Séverine, Benjamin, Marie-Cécile, Nadège, Cédric, Cindy, Marie, Franck, Kévin et Kévin, Emilie, Roman, Jennifer, Rachel, et ne vous arrêtez pas de chercher!

2 Loi de Séverine: Quand on divise un nombre par lui-même, on obtient toujours 1. Loi de Kevin-L: Il y a une infinité de soustractions qui ont 5 comme résultat. Loi de Benoît: Il y a 6 façons différentes d'assembler 3 cubes de couleurs différentes sur une ligne. Loi de Franck: Sur une calculatrice, la touche X² sert à multiplier un nombre par lui-même. Loi de Benoît n 2: Il y a 24 façons d'assembler 4 cubes de couleurs différentes sur une ligne. Loi de Séverine n 2: Pour chaque multiplication, on peut écrire deux divisions. Loi de Jennifer: Pour chaque multiplication, on peut écrire une addition de mêmes nombres. Loi de Kévin.C: Dans la suite d'opérations 2+2=4, 4+4=8, 8+8=16, 16+16=32, 32+32=64, 64+64= on trouve toujours aux unités des résultats, la suite 4,8,6,2. (à l'infini) Loi d'estelle: X=9, Y=l, Z=8 est une solution de l'opération XXXX+YYYY+ZZZZ=YXXXZ. Loi de Roman: On peut remplir une surface plate en n'utilisant que des carrés, ou que des rectangles, ou que des hexagones, ou que des triangles, ou que des losanges identiques. Loi d'alexandre: Il n'existe que 49 façons différentes d'ajouter 3 nombres pour trouver 25. Loi de Fanny: En lançant deux dés aux couleurs de faces identiques, on ne peut obtenir que 21 combinaisons différentes.

3 Loi de Stéphane: Un carré peut se déformer en losange. Un carré est un losange qui a un angle droit. Loi de Cédric: Voici les 7 morceaux d'un tangram; ils forment un carré. Par rapport à ce carré: a c d b e g f a&b=l/2 (un demi) a=1/4 (un quart) b=l/4 g=1/8 e=l/8 d=1/16 (un seizième) f=l/l6 et on peut écrire: 1/2 > 1/4 >l /8 > 1/16 1/2 veut dire un carré partagé en 2 1/4 " " " " " " 4 1/8 " " " " " " 8 1/16 " " " " " " 16 Loi de Clément: Il n'y a que 12 façons d'assembler 5 carrés.

4 Recherche de Jennifer: J'ai assemblé des trapèzes, pour en construire de plus grands. 1er Pour construire le deuxième trapèze, j'ai assemblé 4 petits trapèzes. Pour construire le troisième trapèze, j'ai assemblé 9 petits trapèzes. Voici le tableau des résultats: numéro du trapèze nombre de petits trapèzes utilisés remarques 1 er 1 1 x l = 1 2 ème 4 2 x 2 = 4 3 ème 9 3 x 3 = 9 4 ème 16 4 x 4 =16 5 ème 25 5 x 5 =25 etc Pour construire le 11 ème trapèze, il faudra 11x11 trapèzes, c'est à dire 121 trapèzes. Cette construction peut se faire jusqu'à l'infini, et on peut toujours calculer le nombre de trapèzes utilisés. 2ème Recherche de Sophie: J'ai assemblé deux trapèzes pour construire un hexagone. 1er 2ème Pour construire le deuxième hexagone, j'ai utilisé,8 trapèzes. Pour construire le troisième hexagone, j'ai utilisé 18 trapèzes. etc... Voici un tableau de résultats: numéro d'hexagone nombre d'hexagones utilisés calculs 1 er 2 2x(1xl) = 2 2 ème 8 2x(2x2) =8 3ème 18 2x(3x3) = 18 4 ème 32 2x(4x4) =32 etc-. etc... etc... Pour le 11 ème hexagone, on calculera le nombre de trapèzes utilisés en faisant: 2 x (11x11) = 242. Cela peut continuer comme ça jusqu'à l'infini.

5 Recherche de Roman et de Franck: Nous avons assemblé des cubes pour former des cubes plus gros. Pour construire le premier cube, il a fallu 1 cube; pour faire le deuxième cube, il a fallu 8 cubes; pour faire le troisième cube, il a fallu 27 cubes... Voici un tableau de résultats: numéro de cube 1 er 2 ème 3 ème 4 ème 5 ème 6 ème 7 ème 8 ème nombre de cubes utilisés nombre de cubes cachés Les cubes cachés sont ceux que l'on ne voit pas du tout dans l'assemblage : ils sont à l'intérieur du cube. Pour trouver le nombre de cubes cachés, il suffit de suivre les flèches. Pour calculer le nombre de cubes utilisés, il faut multiplier le nombre trois fois par lui-même: 1 = 1 x 1 x 1 8 = 2 x 2 x 2 27 = 3 x 3 x 3 64 = 4 x 4 x 4... Pour le 18ème cube, il faudrait calculer 18 x 18 x 18 réponse: 5832 cubes 1 Recherche de Séverine: J'ai utilisé 2 roues, dentées de Meccano, je les ai assemblées en engrenage. J'ai remarqué que quand la grande roue faisait 1 tour, la petite faisait 3 tours. J'ai fait un tableau: grande roue petite roue 1 tour 3 tours Ensuite, j'ai compté les dents des roues: la grande roue en a 54, la petite en a 18. J'ai remarqué que 18 x 3 = 54. La petite roue va trois fois plus vite parce qu'elle a trois fois moins de dents.

6 Recherche de Kévin C.: Pour multiplier par 11, il faut faire: - si le nombre est inférieur à 10: 8 x 11 = 88 - si le nombre est supérieur à 1 0: 23 x 11 = attention: 49 x 11 = 539 (on ne peut pas mettre 4 au début parce que 4+9=13, donc on met le 3 de 13 au milieu et on ajoute la dizaine de 13 à 4). - si le nombre est supérieur à 100: 234 x 11 = 2574 Recherche de Clément et Alexandre: Nous avons cherché combien il y avait de façons différentes d'assembler 6 carrés. Voici les solutions que nous avons trouvées: Nous avons trouvé 35 solutions différentes; il y en a peut-être d'autres. (on ne compte pas les solutions que l'on peut obtenir en tournant ou en retournant les objets.)

7 Recherche de Benoît et Stéphane Nous avons cherché combien il existait de patron du cube. (le patron du cube est un assemblage de ses faces mises à "plat"). Il n'en existe que 11. Recherche de Marie et d'estelle: Nous avons cherché tous les chemins possibles pour se déplacer sur un cube en suivant les arêtes et sans passer deux fois par le même sommet. Nous avons essayé de dessiner toutes les solutions que nous avions trouvées, mais on se mélangeait tout. ex: A B C D H G F E A ou A B F E H G C D A. Puis nous avons fait un arbre. Voici les différentes solutions que nous avons trouvées. On peut continuer l'arbre pour en trouver d'autres: