Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions

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1 Cours de Mathématiques Seconde Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 16 avril 007 Document diffusé via le site de Gilles Costantini 1 frederic.demoulin (chez) voila.fr gilles.costantini (chez) bacamaths.net

2 Table des matières 1 Définition, vocabulaire et notations 1 Ensemble de définition 3 Tableau de valeurs 4 Courbe représentative 3 5 Résolution graphique d équations et d inéquations Résolution d équations de la forme f (x)=k Résolution d inéquations de la forme f (x) k Résolution d équations de la forme f (x)= g (x) Résolution d inéquations de la forme f (x) g (x) Variations Sens de variation Fonction croissante Fonction décroissante Fonction constante Fonction monotone Exemple d études de variation Tableau de variation Extrema Minimum Maximum Extremum Exemples d études d extrema Parité Domaine centré en zéro Fonction paire Définition Conséquence graphique Conséquence sur le sens de variation Fonction impaire Définition Conséquence graphique Conséquence sur le sens de variation Conséquence sur l image de 0 (si elle existe) Exemples d études de parité Périodicité Définition Périodicité et courbe représentative Périodicité et variations

3 Seconde 1 Définition, vocabulaire et notations Définition 1.1 Une fonction est un procédé qui, à un élément d un ensemble de départ, associe au plus un élément d un ensemble d arrivée. On peut illustrer ce procédé par un diagramme «en patates». Ensemble de départ Ensemble d arrivée L ensemble de départ regroupe les antécédents, notés x. L ensemble d arrivée regroupe les images, notées f (x) ou encore y. On note f : x f (x) et on lit «f la fonction qui à x associe f (x)». Comme on peut le voir sur le diagramme, une image peut n avoir aucun antécédent, en avoir un ou bien plusieurs. Remarques. En seconde, ces ensembles seront des parties de R (intervalles ou réunion d intervalles). On veillera à ne pas confondre f qui désigne la fonction et f (x) qui désigne un réel, l image de x par f. Voyons un premier exemple. Soit f la fonction qui, à tout nombre réel x, associe le nombre y défini comme étant le double de x auquel on ajoute 3. Cette fonction peut être décrite par une expression algébrique. On a, pour tout x de R, f (x)=x+ 3. On peut alors calculer l image par f de n importe quel réel. Il suffit de remplacer x par une valeur numérique dans l expression algébrique de l image f (x). Par exemple, l image de 1 est f ( 1)=( 1)+3=1, l image de 0 est f (0)=0+3=3. Calculer une image connaissant un antécédent, c est donc facile! Par contre, connaissant une image, comment remonte-t-on à l antécédent? Est-il unique? Prenons un deuxième exemple. Soit g la fonction définie, pour tout réel x, par l expression algébrique de l image g (x)= x 1. Cherchons le (ou les) antécédent(s) par g de. Les candidats potentiels sont tels que, lorsque l on remplace x par cet antécédent dans g (x), on trouve. On a : g (x)= x 1= x = 1 Le carré d un nombre réel étant toujours positif, n a pas d antécédent par g. Cherchons, maintenant, le (ou les) antécédent(s) par g de 1. On a : 0 est l unique antécédent de 1. g (x)= 1 x 1= 1 x = 0 x= 0 Cherchons, enfin, le (ou les) antécédent(s) de 0 par g. On a : g (x)=0 x 1=0 x = 1 x= 1 ou x = 1 1 et 1 sont les deux antécédents de 0 par g. On voit donc que pour déterminer tous les antécédents éventuels de l image k, on résout l équation f (x)=k. Remarque. On parle de l antécédent s il est unique, d un antécédent s ils sont plusieurs. 1

4 D f est encore appelé domaine de définition de f ou domaine de f. Ensemble de définition Par définition d une fonction, un élément de l ensemble de départ peut ne pas avoir d image, on dit alors que c est une valeur interdite. Définition.1 L ensemble des réels possédant une image par une fonction est appelé ensemble de définition de la fonction. On le note D f. Seconde Ces deux règles sont à connaître par coeur. Lorsqu une fonction est définie par une expression algébrique, le calcul d une image doit satisfaire aux deux règles suivantes : on ne divise pas par zéro ; on prend toujours la racine carrée d une quantité positive ou nulle. Quand on devra déterminer l ensemble de définition d une fonction, on commencera toujours par se poser les deux questions suivantes : dans l expression algébrique de l image, y a-t-il un quotient? Si oui, par quoi divise-t-on? dans l expression algébrique de l image, y a-t-il une racine carrée? Si oui, de quelle quantité prend-on la racine carrée? Si on répond non à ces deux questions, il n y a pas de valeurs interdites et la fonction sera définie sur R. Exemples. ➀ Soit f la fonction définie par f (x)=x + x+1. f (x) ne comporte ni quotient ni racine carrée, il n y a donc pas de valeurs interdites. D f = R. ➁ Soit g la fonction définie par g (x)= 1 x+4. On a : x D g x+ 4 0 x 4 4 est la seule valeur interdite (celle qui annule le dénominateur). D g = R { 4}. ➂ Soit h la fonction définie par h(x)= x+ 1. On a : x D h x+ 1 0 x 1 On peut donc calculer une image pour tous les réels inférieurs ou égaux à 1. D h =] ; 1]. 3 Tableau de valeurs On peut associer à une fonction un tableau de valeurs. Il comporte deux lignes : la première regroupe les antécédents et la seconde leurs images respectives par cette fonction. f est la fonction carré. Exemple. Le tableau de valeurs ci-dessous est associé à la fonction f : x x. On passe des valeurs de la première ligne (les antécédents) à celles de la deuxième ligne (les images) en élevant au carré. x f (x) Réciproquement, un tableau de valeurs peut définir une fonction. Le tableau suivant donne le nombre de candidats reçus (en milliers) au baccalauréat général en France métropolitaine (session de juin). Année Nombre de reçus 50, 6 49, 9 59, 8 53, 5 64, 3 74, 4 On peut introduire la fonction f qui, à l année, associe le nombre de candidats reçus (en milliers). On a f (001)=50,6, f (00)= 49,9, etc.

5 Seconde On sait jusqu à présent qu une fonction peut être définie par l expression algébrique de l image d un réel ou par un tableau de valeurs. Elle peut également l être par une représentation graphique. Définition 4.1 Dans un repère, l ensemble des points M de coordonnées ( x ; f (x) ) où x décrit D f est appelé courbe représentative (ou encore représentation graphique) de la fonction f. On la note. On dit que la courbe a pour équation y = f (x). 4 Courbe représentative Remarque. L équation de la courbe permet de décider si un point A ( x A ; y A ) appartient ou pas à cette courbe. En effet, un point appartient à une courbe si, et seulement si, ses coordonnées vérifient l équation de la courbe. Mathématiquement, on a : A y A = f (x A ) Exemple. Soit f la fonction définie sur R par f (x)=4x 3 3x+1. Les points O(0; 0), A ( 1 ; 0) et B(1; 1) appartiennent-ils à? On a : f (x O )= f (0)= = 1 y O donc O. f (x A )= f ( ( 1 ) = 4 1 ) = = = 0= y A donc A. f (x B )= f (1)= = 4 3+1= y B donc B. En pratique, on esquisse la représentation graphique d une fonction définie par l expression algébrique de l image en établissant un tableau de valeurs. On se propose, par exemple, de représenter graphiquement sur [ ; ] la fonction f définie par f (x)=x 3 3x+ 1. Pour cela, on décide (plus ou moins arbitrairement) de placer les points de d abscisses : ; 3 ; 1 ; 1 ; 0 ; 1 ; 1 ; 3 et. On calcule les images par f de ces différents antécédents. On a : f ( )=( ) 3 3( )+1= 8+6+1= 8+7= 1. f ( 3 ) ( ) = 3 3 ( ) = = = f ( 1)=( 1) 3 3( 1)+1= 1+3+1=3. etc. On regroupe alors ces résultats dans un tableau de valeurs : les antécédents dans la première ligne, leurs images dans la seconde : x f (x) On place alors les neuf points de coordonnées de la forme ( x ; f (x) ) et on esquisse «au mieux» la courbe représentative de f. On obtient la courbe suivante : Il est intéressant de prévisualiser la courbe sur sa calculatrice graphique avant de la tracer «à la main». 3 y = f (x) O 1 i 1 3

6 Remarque. Évidemment, plus on placera de points et plus le tracé sera précis mais plus le calcul (à la main) des images sera long! L usage de la fonction tableur d une calculatrice est alors fortement conseillé. Une fonction peut donc être représentée graphiquement. Inversement, une courbe représente-telle toujours une fonction? La réponse est... non. Pour s en assurer, on s appuie sur le fait que tout élément de l ensemble de définition possède une image unique. Toute droite parallèle à l axe des ordonnées coupe donc la courbe représentative d une fonction en au plus un point. Exemple. La courbe C suivante ne représente pas une fonction puisque la droite D la coupe en plus d un point. En effet, quelle image choisir pour x 0 : y 1 ou y? D y C x 0 O y 1 i 5 Résolution graphique d équations et d inéquations 5.1 Résolution d équations de la forme f (x) = k On a vu, précédemment, que déterminer, par le calcul, tous les antécédents éventuels d une image k par une fonction f revenait à résoudre l équation f (x) = k. La courbe représentative d une fonction permet de déterminer graphiquement des images ou des antécédents, on peut donc aborder la résolution de ce type d équation graphiquement. Pour résoudre graphiquement, sur un intervalle I, l équation f (x)=k, on trace, sur I, la courbe d équation y = f (x) et la droite D d équation y = k. Les solutions de l équation sont les abscisses des éventuels points d intersection de D et de. D x 1 O i x I Dans l illustration ci-dessus, l équation f (x)=k possède, sur I, deux solutions : x 1 et x. 4

7 5. Résolution d inéquations de la forme f (x) k Pour résoudre graphiquement, sur un intervalle I, l inéquation f (x) k, on trace, sur I, la courbe d équation y = f (x) et la droite D d équation y = k. Les solutions de l inéquation sont les abscisses des éventuels points de la courbe se trouvant en dessous de D et sur D. En reprenant l exemple ci-dessus, les solutions, sur I, de l inéquation f (x) k sont tous les réels de [x 1 ; x ]. Remarque. On résout de la même manière une équation de la forme f (x) k. 5.3 Résolution d équations de la forme f (x) = g (x) Pour résoudre graphiquement, sur un intervalle I, l équation f (x) = g (x), on trace, sur I, dans un repère orthogonal, les courbes d équation y = f (x) et C g d équation y = g (x). Les solutions de l équation sont les abscisses des éventuels points d intersection de et de C g. C g x 1 O i x I Dans le graphique ci-dessus, l équation f (x)= g (x) possède, sur I, deux solutions : x 1 et x. 5.4 Résolution d inéquations de la forme f (x) g (x) Pour résoudre graphiquement, sur un intervalle I, l inéquation f (x) g (x), on trace, sur I, les courbes d équation y = f (x) et C g d équation y = g (x). Les solutions de l inéquation sont les abscisses des éventuels points de la courbe se trouvant en dessous de C g et sur C g. En reprenant l exemple ci-dessus, les solutions, sur I, de l inéquation f (x) g (x) sont tous les réels de [x 1 ; x ]. Remarque. On résout de la même manière une équation de la forme f (x) g (x). 6 Variations 6.1 Sens de variation Fonction croissante Définition 6.1 Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est croissante (resp. strictement croissante) sur I si, pour tous réels a et b de I, on a : si a< b, alors f (a) f (b) ( resp. si a< b, f (a)< f (b) ) 5

8 Antécédents et images sont rangés dans le même ordre, on dit qu une fonction croissante conserve l ordre. f (b) f (a) a O i b I 6.1. Fonction décroissante Définition 6. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est décroissante (resp. strictement décroissante) sur I si, pour tous réels a et b de I, on a : si a< b, alors f (a) f (b) ( resp. si a< b, f (a)> f (b) ) Antécédents et images sont rangés dans des ordres différents, on dit qu une fonction décroissante renverse l ordre. f (a) f (b) Fonction constante I a Définition 6.3 Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est constante sur I si, pour tous réels a et b de I, on a : f (a)= f (b) O i b Remarque. Dans un repère, la représentation graphique d une fonction constante est une droite parallèle à l axe des abscisses, son équation est de la forme y = a où a est un réel Fonction monotone Définition 6.4 Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est monotone (resp. strictement monotone) sur I si f est croissante (resp. strictement croissante) ou décroissante (resp. strictement décroissante) sur I. Remarque. On ne parle de fonction croissante ou décroissante que sur un intervalle. 6

9 6.1.5 Exemple d études de variation On note, par habitude, ces deux réels a et b. On ne se place pas dans un cas particulier pour démontrer une propriété. Pour étudier les variations d une fonction sur un intervalle I, on se donne deux réels a et b de cet intervalle tels que a < b. On compare alors leurs images f (a) et f (b). Deux situations se présentent : si f (a) f (b), alors l antécédent le plus petit des deux a l image la plus petite, la fonction est croissante sur I ; si f (a) f (b), alors l antécédent le plus petit a l image la plus grande, la fonction est décroissante sur I. Remarque. Pour montrer qu une fonction est croissante ou décroissante, on ne posera jamais de valeurs numériques pour a et b. En pratique, pour comparer f (a) à f (b), on peut soit revenir aux définitions 6.1 ou 6., soit procéder par encadrements successifs. Exemple. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x 4x + 1. Montrons que f est strictement croissante sur [;+ [. Méthode 1 : on revient à la définition. Soient a et b deux réels de [;+ [ tels que a< b. On a : Comparer deux nombres revient à étudier le signe de leur différence. f (b) f (a)=(b 4b+1) (a 4a+1)=b a 4b+4a = (b a)(b+a) 4(b a)= (b a)(a+b 4) { a D une part, a< b donc a b< 0. D autre part,, d où a+ b 4<0. <b On en tire f (b) f (a)> 0, soit f (a)< f (b). f est donc strictement croissante sur [;+ [. Méthode : on procède par encadrements successifs. L utilisation de cette méthode nécessite un changement d écriture de f (x). Rien de difficile, il suffit de se souvenir des identités remarquables... On remarque que x 4x est le «début» du développement de (x ). En effet : (x ) = x 4x+ 4, d où x 4x = (x ) 4 On dit que l on met f sous forme canonique. On remplace alors, dans l expression de f (x), x 4x par (x ) 4. On en tire : f (x)=(x ) 4+1, soit f (x)=(x ) 3 Soient a et b deux réels de [;+ [ tels que a< b. On a : Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. a< b d où 0 a <b d où 0 (a ) < (b ) d où (a ) 3<(b ) 3 soit f (a)< f (b) f est donc strictement croissante sur [;+ [. On peut montrer, de l une ou l autre de ces deux manières, que f est strictement décroissante sur ] ; ]. 6. Tableau de variation Étudier les variations d une fonction consiste donc à dire sur quel(s) intervalle(s) cette fonction est monotone. On regroupe les résultats dans un tableau appelé tableau de variation. Sur l intervalle en question, ր indique que la fonction est strictement croissante, ց qu elle est strictement décroissante et qu elle est constante. 7

10 Exemple. x 1 1 f (x) 3 1 Ce tableau indique que f est croissante sur [ ; 1], décroissante sur [ 1; 1] et constante sur [1; ]. On peut y lire également que f prend pour valeurs 1 en, 3 en 1 et sur [1; ]. 6.3 Extrema Minimum Définition 6.5 Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 I. On dit que f admet un minimum en x 0 sur I si, pour tout x de I : f (x) f (x 0 ) Si le minimum existe, alors c est la plus petite valeur prise par f (x) sur I. Graphiquement, cela signifie qu il existe un point de qui a une ordonnée plus petite que celles de tous les autres points de. f (x 0 ) O i x 0 I Exemple. La fonction f : x x admet 0 comme minimum sur R. Propriété 6.1 Soient a, b et c trois réels rangés dans cet ordre et f une fonction définie sur l intervalle [a ; c]. Si f est décroissante sur l intervalle [a ; b] et croissante sur l intervalle [b ; c], alors f admet sur l intervalle [a ; c] un minimum égal à f (b). Preuve. f est décroissante sur [a ; b] donc, pour tout x de [a ; b], comme x b, il vient f (x) f (b). De même, f est croissante sur [b ; c] donc, pour tout x de [b ; c], comme x b, il vient f (x) f (b). On en tire donc que, pour tout x de [a ; c], f (x) f (b). Ce qui prouve que f (b) est le minimum de f sur [a ; c]. 8

11 f (b) O a i b c 6.3. Maximum Définition 6.6 Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x 0 I. On dit que f admet un maximum en x 0 sur I si, pour tout x de I : f (x) f (x 0 ) Si le maximum existe, alors c est la plus grande valeur prise par f (x) sur I. Graphiquement, cela signifie qu il existe un point de qui a une ordonnée plus grande que celles de tous les autres points de. f (x 0 ) f est la fonction sinus. Exemple. La fonction f : x sin x admet 1 comme maximum sur R. Propriété 6. Soient a, b et c trois réels rangés dans cet ordre et f une fonction définie sur l intervalle [a ; c]. Si f est croissante sur l intervalle [a ; b] et décroissante sur l intervalle [b ; c], alors f admet sur l intervalle [a ; c] un maximum égal à f (b). I O i x 0 Preuve. f est croissante sur [a ; b] donc, pour tout x de [a ; b], comme x b, il vient f (x) f (b). De même, f est décroissante sur [b ; c] donc, pour tout x de [b ; c], comme x b, il vient f (x) f (b). On en tire donc que, pour tout x de [a ; c], f (x) f (b). Ce qui prouve que f (b) est le maximum de f sur [a ; c]. 9

12 f (b) Extremum O a i b c Définition 6.7 Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f admet un extremum sur I si f admet un minimum ou un maximum sur I. f est la fonction cube. Remarque. Il existe des fonctions ne possédant pas d extremum, cette notion est liée à l intervalle considéré. On peut prendre, comme exemple, la fonction f : x x 3 sur R Exemples d études d extrema Pour montrer qu une fonction admet un extremum sur un intervalle [a ; b], on peut soit revenir aux définitions 6.5 ou 6.6, soit étudier les variations en s appuyant ensuite sur les propriétés 6.1 ou 6.. Exemple. Soit f la fonction définie sur R par f (x)= x +4x. Montrons que f admet sur R un maximum en. Méthode 1 : on revient à la définition. Montrer que f admet sur R un maximum en revient à montrer que, pour tout x de R, f (x) f (), soit f (x) f () 0. On a : pour tout x de R, f (x) f ()= x + 4x ( + 4)= x + 4x 4= (x 4x+ 4)= (x ) 0. On en tire : pour tout x de R, f (x) f (). f admet sur R un maximum en. Méthode : on passe par les variations de f. Montrons que f est strictement croissante sur ] ; ]. Soient a et b deux réels de ] ; ] tels que a< b. On a : f (b) f (a)=( b + 4b) ( a + 4a)= a b + 4b 4a= (a b)(a+ b) 4(a b)= (a b)(a+ b 4) { a< D une part, a< b donc a b< 0. D autre part,, d où a+ b 4<0. b On en tire f (b) f (a)> 0, soit f (a)< f (b). f est donc strictement croissante sur ] ; ]. On démontre de même que f est strictement décroissante sur [;+ [. D après la propriété 6., f admet sur R un maximum en. 10

13 7 Parité 7.1 Domaine centré en zéro On entend par domaine un intervalle ou une réunion d intervalles. Définition 7.1 Soit I un domaine. On dit que I est centré en zéro (ou symétrique par rapport à zéro) si, pour tout x de I, ( x) I. Autrement dit, un domaine est centré en zéro si tout élément de ce domaine a son opposé dans ce domaine (0 a pour opposé lui-même). Exemples. ➀ I = R. On a : R est centré en zéro. ➁ I =] ; ] [;+ [. On a : x R x 0 x 0 ( x) R x ] ; ] [;+ [ { x x { x x ( x) ] ; ] [;+ [ ] ; ] [;+ [ est centré en zéro. O 0 ➂ I = R {1}. ( 1) R {1} mais 1 R {1} donc R {1} n est pas centré en zéro. 7. Fonction paire 7..1 Définition Définition 7. Soit f une fonction définie sur un domaine I. On dit que f est paire si : (i) I est centré en zéro. (ii) pour tout x de I, f ( x)= f (x). Par une fonction paire, un réel et son opposé ont même image. Exemples. Les fonctions x x, x x et x cos x sont paires. 7.. Conséquence graphique La courbe représentative d une fonction paire possède des éléments de symétrie, c est l objet de la propriété suivante. Propriété 7.1 Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d une fonction paire est symétrique par rapport à l axe des ordonnées. Preuve. Soit x 0 D f. Comme f est paire, ( x 0 ) D f et on a f ( x 0 ) = f (x 0 ). Soient M 0 et M 0 les points de d abscisses respectives x 0 et x 0. M 0 et M 0 ont donc pour ordonnées respectives f (x 0) et f ( x 0 ). Deux points de d abscisses opposées ont même ordonnées, est donc symétrique par rapport à l axe des ordonnées. 11

14 M 0 f ( x 0 )= f (x 0 ) M 0 x 0 O i x Conséquence sur le sens de variation Propriété 7. Soient f une fonction paire définie sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que a< b. 1. Si f est croissante (resp. strictement croissante) sur l intervalle [a ; b], alors f est décroissante (resp. strictement décroissante) sur [ b ; a].. Si f est décroissante (resp. strictement décroissante) sur l intervalle [a ; b], alors f est croissante (resp. strictement croissante) sur [ b ; a]. Preuve. Soient x et y deux réels de [ b ; a] tels que x < y. On a b x < y a, d où, puisque 1<0, a y < x b. Si f est strictement croissante sur [a ; b], alors f (a) f ( y)< f ( x) f (b). De plus, si f est paire, alors f ( x)= f (x) et f ( y)= f (y), d où f (y)< f (x). f est donc strictement décroissante sur [ b ; a]. Si f est strictement décroissante sur [a ; b], alors f (b) f ( x)< f ( y) f (a). De plus, si f est paire, alors f ( x)= f (x) et f ( y)= f (y), d où f (x)< f (y). f est donc strictement croissante sur [ b ; a]. Les autres cas se démontrent de manière analogue. 7.3 Fonction impaire Définition Définition 7.3 Soit f une fonction définie sur un domaine I. On dit que f est impaire si : (i) I est centré en zéro. (ii) pour tout x de I, f ( x)= f (x). Par une fonction impaire, un réel et son opposé ont des images opposées. Exemples. Les fonctions x x 3, x 1 x et x sin x sont impaires Conséquence graphique La courbe représentative d une fonction impaire possède, elle-aussi, des éléments de symétrie, c est l objet de la propriété suivante. Propriété 7.3 Dans un repère, la courbe représentative d une fonction impaire est symétrique par rapport à l origine du repère. Preuve. Soit x 0 D f. Comme f est impaire, ( x 0 ) D f et on a f ( x 0 ) = f (x 0 ). Soient M 0 et M 0 les points de d abscisses respectives x 0 et x 0. M 0 et M 0 ont donc pour ordonnées respectives f (x 0 ) et f ( x 0 ). Deux points de d abscisses opposées ont des ordonnées opposées, est donc symétrique par rapport à l origine du repère. 1

15 M 0 f ( x 0 )= f (x 0 ) x 0 O i x 0 f (x 0 ) M Conséquence sur le sens de variation Propriété 7.4 Soient f une fonction impaire définie sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que a< b. 1. Si f est croissante (resp. strictement croissante) sur l intervalle [a ; b], alors f est croissante (resp. strictement croissante) sur [ b ; a].. Si f est décroissante (resp. strictement décroissante) sur l intervalle [a ; b], alors f est décroissante (resp. strictement décroissante) sur [ b ; a]. Preuve. Soient x et y deux réels de [ b ; a] tels que x < y. On a b x < y a, d où, puisque 1<0, a y < x b. Si f est strictement croissante sur [a ; b], alors f (a) f ( y)< f ( x) f (b). De plus, si f est impaire, alors f ( x)= f (x) et f ( y)= f (y), d où f (y)< f (x), soit f (x)< f (y). f est donc strictement croissante sur [ b ; a]. Si f est strictement décroissante sur [a ; b], alors f (b) f ( x) < f ( y) f (a). De plus, si f est impaire, alors f ( x) = f (x) et f ( y) = f (y), d où f (x) < f (y), soit f (y) < f (x). f est donc strictement décroissante sur [ b ; a]. Les autres cas se démontrent de manière analogue Conséquence sur l image de 0 (si elle existe) Propriété 7.5 Soit f une fonction impaire définie sur un domaine I. Si f est définie en 0, alors f (0) = 0. Preuve. Si f est impaire, alors, d après la définition 7.3, pour tout x de I, f ( x) = f (x). En particulier, si x= 0, alors il vient f ( 0)= f (0), d où f (0)=0. Exemple. La fonction x x 3 est définie en 0 et impaire, elle vérifie bien f (0)= Exemples d études de parité Pour étudier la parité d une fonction, on teste la première condition (domaine centré en zéro), si elle n est pas vérifiée, on conclut en disant que la fonction n est ni paire ni impaire. Si elle est vérifiée, on teste alors la seconde condition en comparant f ( x) à f (x) et on conclut. Exemples. ➀ Soit f la fonction définie sur R par f (x)= 1 x +1. Pour tout x de R, ( x) R donc R est centré en zéro. 1 Pour tout x de R, f ( x)= ( x) +1 = 1 x +1 = f (x). 13

16 f est donc paire. Inutile, dans ce cas, d exprimer g ( x). ➁ Soit g la fonction définie sur R { 1} par g (x)= x+3 x+1. 1 R { 1} mais ( 1) R { 1} donc R { 1} n est pas centré en zéro. g n est donc ni paire ni impaire. Pour montrer qu une fonction n est ni paire ni impaire, on peut exhiber un contre-exemple bien choisi. ➂ Soit h la fonction définie sur [ ; ] par h(x)=x 4 x. On a : x [ ; ] x x ( x) [ ; ] [ ; ] est centré en zéro. Pour tout x de [ ; ], h( x)= x 4 ( x) = x 4 x = h(x). h est donc impaire. ➃ Soit i la fonction définie sur R par i (x)= x + x+ 1. i (1)= =3 ; i ( 1)=( 1) + ( 1)+1=1. On remarque, d une part, que i ( 1) i (1) donc i n est pas paire, et, d autre part, que i ( 1) i (1) donc i n est pas impaire. 8 Périodicité 8.1 Définition Définition 8.1 Soit f une fonction définie sur R et T un réel non nul. On dit que f est périodique de période T (ou T -périodique) sur R si, pour tout x de R : f (x+ T )= f (x) T est appelé une période de f. Sur le graphique ci-dessous, les points M et M de d abscisses x et x+ T ont même ordonnée. f (x) M M O x i x+ T Remarque. On démontre que si T est une période de f, alors tout multiple de T (de la forme kt, k Z) est une période de f. En particulier, T est une période de f. En effet, pour tout x de R : f (x)= f (x T + T )= f ((x T )+T )= f (x T ) Parmi toutes ces périodes, on convient d appeler la période la plus petite période strictement positive (lorsqu elle existe). f est la fonction cosinus. Exemples. ➀ La fonction f : x cos x est π-périodique. En effet, pour tout x de R : 14

17 f (x+ π)=cos(x+ π)=cos x = f (x) On aurait très bien pu dire également que 4π était une période de f. En effet, pour tout x de R : f (x+ 4π)=cos(x+ 4π)=cos[(x+ π)+π]=cos(x+ π)=cos x= f (x) De même avec 6π, 8π, etc. π (plus petite période strictement positive) est donc la période de f. T = π y = cos x 3π π π O i π π 3π 1 On montre, de même, que la fonction sinus définie sur R par f (x)=sin x est π-périodique. ➁ Soit f la fonction définie sur R par f (x) = cos(x + π). Montrons que f est π-périodique. On a, pour tout x de R : f (x+π)=cos[(x+π)+π]=cos (x+ π+π)= cos[(x+π)+π] La fonction cosinus est π-périodique donc, pour tout x de R : cos[(x+π)+π]= cos(x+π) Il vient donc : f est doncπ-périodique. f (x+π)=cos (x+π)= f (x) 8. Périodicité et courbe représentative Pour tracer la courbe représentative d une fonction périodique, on commence par représenter un «motif» correspondant à un intervalle d amplitude T. On complète alors le tracé de la courbe, dans le sens des x positifs, en construisant l image de ce motif dans la translation de vecteur T i. Si besoin, on construit ensuite l image de ce second motif par cette même translation. On réitère ce procédé autant de fois que nécessaire. On complète la courbe, dans le sens des x négatifs, en construisant l image du motif initial dans la translation de vecteur T i. On construit ensuite l image de ce second motif par cette même translation, etc. 8.3 Périodicité et variations Propriété 8.1 Soient f une fonction T -périodique (T > 0) définie sur R, a et b deux réels rangés dans cet ordre. 1. Si f est strictement croissante sur [a ; b], alors f est strictement croissante sur [a + T ; b + T ].. Si f est strictement décroissante sur [a ; b], alors f est strictement décroissante sur [a+t ; b+t ]. 15

18 Preuve. Soient x et y deux réels de [a+ T ; b+ T ] tels que x < y. On a : a+ T x < y b+ T, d où a x T < y T b Autrement dit, x T et y T sont deux réels de [a ; b] tels que x T < y T. 1. Supposons f strictement croissante sur [a ; b]. On a : x T < y T, d où f (x T )< f (y T ) Comme f est T -périodique, pour tout x de R, f (x T )= f (x). On en tire donc f (x)< f (y). f est donc strictement croissante sur [a + T ; b + T ].. Supposons f strictement décroissante sur [a ; b]. On a : x T < y T, d où f (x T )> f (y T ) Comme f est T -périodique, il vient f (x)> f (y). f est donc strictement décroissante sur [a + T ; b + T ]. Cette propriété permet donc de restreindre l étude des variations d une fonction périodique à un intervalle d amplitude égale à la période. 16

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