Corrigé du TD n 4. x e x (x 3 3x 2 + 7x 7).

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1 Corrigé du TD n 4 Eercice. Nous allons calculer à chaque fois une primiive. Connaissan une primiive, les primiives son les foncions égales à la primiive calculée à une consane près (la consigne éan de donner LES primiives).. Cela peu se faire par parie, par eemple en inégran e e en dérivan cos(). On peu aussi dire que i e(+i)= e+i es une primiive de e +i. On en dédui une +i primiive de e cos() en prenan la parie réelle de cee foncion. On obien : e cos() e sin().. La forme de cee foncion fai penser à la dérivée de an. On consae qu en dérivan coan, on rouve. On en dédui qu une primiive de es coan. sin sin. On a an = sin = cos. Une primiive es donc ln cos(). cos cos 4. Par définiion (noez ou de même que anh n es pas au programme), anh = sinh. De plus, cosh sinh = cosh. On en dédui qu une primiive de anh es ln cosh (cosh > ). 5. Pour les deu suivanes, on pense au cas des foncions circulaires. Essayons de dériver anh : anh = cosh sinh =. Une primiive de es anh. cosh sinh cosh 6. De même, on rouve qu une primiive de es cosh. sinh sinh 7. Une primiive de coan es ln sin. 8. Une primiive de cosh es ln sinh. sinh 9. Une primiive es cos( + π). 6. On reconnaî une foncion du ype u. Une primiive es donc ln u Une primiive es ln e +.. Une primiive es On reconnaî sin sin. Une primiive es donc sin (). On pouvai évenuellemen uiliser une formule de rigonomérie pour se ramener à une primiive de sin() (pourquoi la primiive cos(4) ne semble pas êre celle calculée précédemmen?) cos () =. cos () 6. On peu faire une inégraion par parie (en inégran ep e en dérivan la foncion polynômiale). On peu rouver comme primiive : e ( + 7 7). Eercice. Pour rouver les primiives, il suffi à nouveau d en rouver une. Les primiives seron alors les foncions qui diffèren de la primiive rouvée d une consane.. En inégran par parie, on rouve cos()d = [sin()] sin()d = sin() + cos().

2 Une primiive es donc sin() + cos() (ou oue foncion qui diffère de celle-ci d une consane).. De même, en effecuan une inégraion par paries, on rouve comme primiive : sin()d = cos() +. Toujours en inégran par paries, e d = [ e ] + cos()d = cos() + sin() + cos(). e d = e e. 4. Une primiive de / cos es an. On a donc, pour e dans un même inervalle ] kπ π, kπ + π [ avec k Z, cos () d = [ an()] an()d = an() + ln cos() + C. 5. En inégran par paries, on rouve 6. De même, e ln()d = [ ln()] e e d = ln() e + e = ln(). arcan()d = [ arcan()] + d = arcan() ln( + ). Eercice. A nouveau, on se conenera de rouver une primiive (les aures seron obenues par addiion d une consane).. Pour ], [, d = [ ] d = + On en dédui que. Pour R, cosh() d =. Pour ou R, = d + d = e e e + d = d e + e + = e d = + d. + arcsin(). du = [ arcan(u)]e + u = arcan(e ) π. e e e + e + d = du u u + u +. + d

3 Rese à rouver une primiive de R : u. Commençons par décomposer R en élémens u u +u+ simples. Soien (a, b, c) R. Alors, pour ou u, a u + bu + c u + u + = (a + b)u + (a + c)u + a. u(u + u + ) Posons donc a =, c = e b =. Alors a + b = = a + c e a = donc u + u u + u +. Une primiive de u u es ln.. De plus, u + u + u + = u + u + u + + / u + u +. Enfin, u + u + = (u + ) + ( ). On en dédui qu une primiive de u arcan( u+ / ). On en dédui qu une primiive de R es R elle que u +u+ es u R(u) = ln u ln(u + u + ) arcan( u + ). Une primiive de e +e + es donc ln(e + e + ) arcan( e + ). 4. sinh es injecive donc sinh() sinh() ne s annule que lorsque =, soi lorsque =. Pour ou, on a sinh() sinh() d = d = e e e + e Il nous rese à calculer une primiive de R : u e e e 4 e + e d = e u. Facorisons déjà le dénominaeur : u 4 u +u u 4 u + u = (u )(u + ) = (u )(u + )(u u + ). u u 4 u + u du. La foncion polynômiale u u u + n adme pas de zéros (on di que le polynôme X X + es irréducible). Cherchons à écrire R sous la forme R(u) = a u + b u + + pour des réels (a, b, c, d) R 4. Ecrivons que pour ou u R, a u + b u + + cu + d u u + cu + d u u + = (a + b + c)u + ( b + d)u + (b c)u + a + b d. u 4 u + u +

4 On consae que le sysème linéaire a + b + c = b + d = b c = a + b d = possède une soluion (unique) qui es a =, b =, c =, d =. On en dédui que pour ou u,, R(u) = / u + / u + + u + u u +. Enfin, u + u u + = u u u + + / u u +. e u u + = (u ) + (. ) On en dédui qu une primiive de R es u ln u + ln u + ln(u u + ) + arcan( u / ) puis on peu conclure qu une primiive de sinh() sinh() es ln e + ln(e + ) ln(e e + ) + arcan( u ). 5. Pour, dans le même inervalle ], [ ou ], + [ on a d = [ ] d On a égalemen = C d = d d. = [ ] d d d. On a égalemen =. Nous avons déjà vu qu une primiive de +4+4 (+) ln( + ). On en dédui qu une primiive de + es +4+ es ln( + + ( + ) ). On en dédui qu une primiive de es ln( + + ( + ) ). 4

5 6. On a = ( + ) +. Pour ou R, on a d = d + ( + ) + d = [ ] u + du. Une primiive de + es ln(+ + ). On en dédui qu une primiive de es donc ln( + + ( + ) + ). 7. On a + = ( + ) + ( ). On a donc Une primiive de + + = ( + ) + ( ). es donc arcan( ) = arcan( ). / / 8. On a e dans le même inervalle du ype ]kπ, (k + )π[ d sin () = sin() sin 4 () d = Essayons d écrire la foncion R : u pour ou u,, sin() ( cos ()) d = cos() cos( ) ( u ) sous la forme u a ( u) + ( u ) du. b + (+u) c + u d. On a +u a ( u) + b ( + u) + c u + d + u = a( + u) + b( u) + c( u)( + u) + d( + u)( u) ( u ) = ( c + d)u + (a + b c d)u + (a b + c d)u + a + b + c + d ( u ). Cee foncion es égale à R si e seulemen si c = d, a = b, a = c, 4a =. On a donc, pour ou u,, ( u ) = /4 u + /4 + u + /4 ( u) + /4 ( + u). Une primiive de R es donc u 4 ln u 4 On en dédui qu une primiive de / sin es ln + u + /4 u + /4 + u. 4 ln( cos()) 4 ln( + cos()) 4( cos()) 4( + cos()). 5

6 Eercice 4. Il suffi de linéariser chacune des foncions.. cos () = (cos() + ). Donc une primiive de cos es. D après la formule d Euler, 4 sin() +. cos () = ( ei + e i ) = 8 (ei + e i + e i + e i ) = 4 cos() + 4 cos(). On en dédui qu une primiive de cos es sin() + 4 sin().. On a cos() sin () = cos() cos (). A l aide de la quesion précédene, on en dédui qu une primiive de cos sin es 4. Pour ou π mod π, sin() sin() 4 sin() = 4 sin() sin(). an 5 () = an ()( + an ()) an (). De plus, an () = an()( + an ()) an(). On en dédui qu une primiive de an es an () On en dédui qu une primiive de an 5 es an4 () 4 Eercice 5.. On vérifie que pour ou,,. Une primiive de es donc an () + ln cos(). ln cos(). / / + =. ln ln +.. On a 4. Pour,, on a d = [ ln + ] = ln /4 ln() ln() ln / =. a+b+ c + d + = (a + b)( + 6) + c + c + d d + 6 = a + (b + a) + (b 6a + c + d) 6b

7 Choisissons a =, b = a = e cherchons (c, d) el que 6 + c + d = e 6 + c d =. Pour cela, on voi que { { c + d = 8 c = c d = 5 d = 7 5 On a donc = + /5 + 7/5 +. On en dédui qu une primiive de es + 7 ln + ln Eercice 6.. On a + + = ( + /) + ( /). Une primiive de ++. Pour ou R, on a / arcan( + / / ) = arcan( + ). a + b + c + d + e + + = a4 + b + c + d + e. + + En posan a =, b =, c =, d =, e =, on obien bien, pour ou R,. On peu écrire que, pour ou, Une primiive de = = / + + es donc Eercice 7.. Une primiive de es arcan. +. Soi e deu nombres réels. Alors d ( + ) n = [ ( + ) n ] = + ln( + + ) + arcan( + ). ( + ) + n n n ( + ) d = n+ d ( + ) n n ( + ) + n n d ( + ) n+. Si R n es une primiive de (+ ) n, une primiive de (+ ) n+ ( n)r n () = ( + ) n nr n+() 7 es donc d + C ( + ) n+ sera R n+ définie par

8 c es-à-dire R n+ () = n R n n() + n. Une primiive de es (+ ) R () = 4. Une primiive de (+ ) On en dédui que. (+ ) n arcan() + + = arcan() + +. es R () = 4 R () + 4 ( + ) = 8 arcan() ( + ). d ( + ) = R () R () = π = 4 + π On a = + / +. D aure par, + + = ( + ( ++) ( ++) ( ++) ) +. On en dédui 4 qu une primiive de + es ( ++) On en dédui que R ( ( + )). On en dédui que + d = R ( ) + 6 R ( ). R ( ) = π + 8 = π R ( ) = π d = + 6 (π = π π 8 ) = + π 64. Eercice 8. Monrer par récurrence sur n que pour oue foncion coninue f, la foncion ( ) n f()d n! es dérivable (n+) fois de dérivée (n+) la foncion f. On aura alors auomaiquemen que cee foncion es de classe C n+ car sa dérivée (n + )-ème es une foncion coninue. Pour n =, il s agi du fai, bien connu, suivan : la foncion f()d es dérivable, de dérivé f. Ce résula es appelé le héorème fondamenal de l analyse. Supposons le résula à démonrer vraie pour un enier n. Soi f une foncion coninue e F sa primiive nulle en (auremen di, F () = f()d pour ou ). Alors, en faisan une inégraion par parie, on a ( ) n+ ( )n+ f()d = [ F ()] (n + )( ) n ( ) n n! (n + )! F ()d = + F ()d. (n + )! n! 8

9 D après l hypohèse de récurrence la foncion ( ) n F ()d es n fois dérivable de dérivée n! n-ème F. Or F es dérivable de dérivée f. On en dédui que ( ) n F ()d es dérivable n! (n + ) fois de dérivée (n + )-ème f, ce qui perme de conclure la récurrence e l eercice. Eercice 9. Soi f() = la foncion e dérivée e d. Cee foncion es définie pour. Soi F une primiive de sur R +. Alors >, f() = F () F (). D aure par, F es dérivable de. On en dédui que f es dérivable e e >, f () = F () F () = e e = e e. De même, pour <, on monre que f es dérivable de dérivée f elle que <, f () = e e. Soi g() = d pour > e. On procéder comme avec la foncion f. On monre que ln() g es dérivable sur R +\{} e >,, g () = ln( ) ln() ( ) =. ln() Eercice. Il s agi en quelque sore d une inéquaion différenielle. L idée es de généraliser la démonsraion faie de la résoluion d une équaion différenielle d ordre un. Si l on considère l équaion différenielle y + a()y = b(), on peu la résoudre en consaan que, si A es une primiive de a, ep( A)(y ep(a)) = ep( A)y ep(a) + ep(a)ay ep( A) = y + ay. On pourrai donc écrire que l équaion y + ay = b (où a e b son des foncions) équivau à (y ep(a)) = b ep(a). Nous allons adaper cee idée au cas présen. On pose z() = y()d pour. Alors z () A + Bz(). Noons z () = z() ep( B) (il s agi de l équivalen de la foncion y ep(a) considérée quelques lignes plus hau). Alors z () = z () ep( B) Bz() ep( B) = (z () Bz()) ep( B) A ep( B). En inégran enre e cee inégalié (nous verrons plus ard que l inégrale es posiive au sens où elle préserve les relaions d ordre lorsque les bornes son ordonnées de façon croissane) on obien z () z () A ep( B)d = A (ep( B) ). B En consaan que z () = e en muliplian par ep(b) l inégalié précédene, on obien z() = y()d A (ep(b) ). B Comme y() A + Bz() pour ou, on a donc, pour ou, y() A + A(ep(B) ) = A ep(b). Ce résula es un cas pariculier de ce qu il convien d appeler le lemme de Gronwall. Il s agi d un résula qui perme de conrôler une soluion d une équaion différenielle (non nécessairemen linéaire). 9

10 Eercice. A priori, nous savons que chacune de ces équaions possède une unique soluion d après le héorème de Cauchy-Lipschiz.. Considérons dans un premier emps l équaion différenielle. Cee équaion revien à rouver les primiives de e ( + ). En inégran par paries, on rouve qu une primiive de cee foncion es e ( + ) e = e ( ). Les soluions son donc les foncions y elles qu il eise λ R el que y() = λ + e ( ). La soluion du problème de Cauchy es donc la foncion y elle que = λ, soi λ =. La soluion es donc e ( ) +. Les soluions de l équaion homogène son les foncions pour lesquelles il eise λ R el que λe. Cherchons une soluion pariculière de l équaion avec second membre sous la forme y : λ()e. Alors, y () + y() = λ ()e λ()e + λ()e = λ ()e. Ainsi, y es soluion si e seulemen si R, λ () = e cosh() = e +. En pariculier, si λ() = e +, 4 λ()e es soluion pariculière de l équaion différenielle avec second membre. Une soluion pariculière de l équaion différenielle es donc e + e. 4 Les soluions de l équaions différenielles avec second membre son donc LES foncions f elles qu il eise λ R el que R, f() = λe + e 4 + e. La soluion du problème de Cauchy es la soluion de l équaion différenielle pour laquelle λ+ 4 =, c es-à-dire qu il s agi de 4 e + e 4 + e.. Les soluions de l équaion homogène son les foncions y elles qu il eise λ R el que R, y() = λe. Cherchons une soluion pariculière sous la forme y : λ()e. Alors y () y() = λ ()e + λ()e λ()e = λ ()e. On en dédui que y soluion si e seulemen si R, λ () = sin()e. Auremen di, si la foncion λ es une primiive de sin()e, λ()e sera une soluion pariculière de l équaion différenielle. Cherchons une primiive de e +i. En inégran par paries, on rouve par eempe y : + i e +i (i ) e +i = i e +i i e +i = e +i ( + i ). Alors, comme Im(y ) = Im(y ). On en dédui qu une primiive de sin()e es e sin() + e cos().

11 Les soluions de l équaion différenielles son donc les foncions f elle qu il eise λ R el que R, f() = λe sin() + cos(). La soluion du problème es la foncion parmi les précédenes pour laquelle π = λe + sin( ) + cos( ), c es-à-dire celle pour laquelle λ = eπ + e sin() e cos(). Eercice. Commençons par résoudre l équaion homogène y (+)y = sur les inervalles R + e R. Une primiive de + = es ln. Les soluions de l équaion homogène son donc les foncions y elles qu il eise λ R el que >, y() = λ ep(). De même, les soluions de l équaion homogène sur R son les foncions y elles qu il eise µ R el que <, y() = µ ep(). Cherchons une soluion pariculière sous la forme y p () = λ() ep(). Alors y p() = λ () ep()+ λ() ep() + λ() ep(). Donc y p() + y p() = λ () ep(). On en dédui que y p es soluion si e seulemen si λ () ep() = e ( + ), c es-à-dire si e seulemen si λ () = +. On en dédui que si λ() = + ln, la foncion λ() ep() = ep() + ln ep() es soluion pariculière sur R + e sur R. Les soluions sur R + son les foncions y elles qu il eise une consane λ R elle que >, y () = λ ep() + ep() + ln() ep(). De même, sur R, les soluions son les foncions y elles qu il eise une consane µ R elle que <, y () = µ ep() + ep() + ln( ) ep(). Ces deu foncions n admeen pas de limies finies en donc il n y a pas de soluion sur R. Eercice.. Si n =, l équaion es =. On suppose donc n. Sur R +, l équaion es équivalene à y + n y =. Une primiive de n es n ln. On en dédui, en uilisan que ep( n ln()) =, que les n soluions sur R + son les foncions y elles qu il eise λ R el que >, y() = λ n.

12 De même sur R, les soluions son les foncions y elles qu il eise µ R el que y : µ n. Les soluions sur R sonlesfoncionsellesqu ileise ( λ, µ) R el que >, y() = λ n, <, y() = µ n. Les soluions du R son... la foncion nulle!. R, +. L équaion es donc équivalene à y + y = +. Une primiive de + es arcan. Les soluions de l équaion homogène associée son donc les foncions λ ep(arcan()) avec λ R. Cherchons une soluion pariculière. On pourrai appliquer la méhode de la variaion de la consane. Mais consaions que es souien pariculière. On en dédui que les soluions de l équaion son les foncions y elles qu il eise une consane λ R elle que. Cee équaion es équivalene à y() = + λ ep(arcan()). (sin y) = On en dédui que, sur chaque inervalle de définiion I de y, les soluions son les foncions y elles qu il eise une consane λ I, sin()y() = λ +. On en dédui que les soluions sur I k =] + kπ, π + kπ[ (k un enier) son les foncions elles qu il eise λ k R el que I k, y() = λ k sin() + sin(). 4. Noons P () =. On a alors y + y = e (P y) = e. Les soluions y son donc les foncions elles que pour chaque inervalle de définiion I de y, il eise une consane λ R elle que I, y() = e + λ. Les soluions sur R + son donc les foncions y elles qu il eise λ R el que >, y() = e + λ. De même les foncions sur R son les foncions où µ es une consane réelle. y() = e + µ

13 Eercice 4. Soi f : R R une foncion dérivable elle que Comme f es dérivable, f es dérivable. On a R, f () = f(π ). R, f () = f (π ) = f(π (π )) = f(). On en dédui que f es soluion de f + f =. On en dédui qu il eise des consanes λ e µ réelles elles que R, f() = λ cos() + µ sin(). Réciproquemen, si f() = λ cos() + µ sin(), alors f es dérivable e f () = λ sin() + µ cos(). D aure par, f(π ) = λ cos(π ) + µ sin(π ) = λ cos() + µ sin(). Pour f soi soluion, il fau e il suffi que R, λ cos() + µ sin() = λ sin() + µ cos(). En prenan =, on voi que pour que si f es soluion, λ = µ. On en dédui que f() = λ(cos() sin()) pour une consane λ R. Réciproquemen, on vérifie que si f() = λ(cos() sin()), alors f () = λ( sin() cos()) e f(π ) = λ(cos(π ) sin(π )) = λ( cos() sin()) = f (). On en dédui que les foncions f : R R dérivable vérifian R, f () = f(π ) son les foncions elles qu il eise une consane λ R elle que R, f() = λ(cos() sin()). Eercice 5. Supposons que f : R R une foncion deu fois dérivables vérifian f ()+f( ) = pour ou R. Soien g, h : R R les foncions g() = f() f( ) e h() = f()+f( ). Alors g es une foncion impaire e h es une foncion paire. De plus, g e h son deu fois dérivables e g () = f () ( ) f ( ) = f () f ( ), h () = f ()+f ( ). On a donc g () g() = f () + f( ) f ( ) + f() = =, h () + h() = f () + f( ) + f ( ) + f() = =. g es donc soluion de y y =. Cherchons à résoudre l équaion y +y =. Une soluion pariculière es la foncion. Donc les soluions son les foncions λe + µe où (λ, µ) R son des consanes. On en dédui qu il eise des consanes (λ, µ) R elles que R, g() = λe + µe. De plus, g es une foncion impaire donc, λe + µe = λe µe + ( ). Donc, en prenan =, on rouve que λ = µ. On en dédui que R, g() = λ sinh().

14 En oure, h es soluion de y + y = e h es paire donc il eise une consane µ elle que h = µ cos. On en dédui que, comme f = g + h, que R, f() = λ sinh() + µ cos(). Réciproquemen, si f() = λ sinh() + µ cos(), alors f () = λ sinh() µ cos(), donc, pour ou R, f () + f( ) = λ sinh() µ cos() + λ sinh( ) + µ cos( ) ( ) =. Eercice 6.. D après le héorème de Cauchy-Lipschiz, ce problème de Cauchy possède une unique soluion. Les soluions réelles de l équaion homogène sous-jacene son les foncions y elles qu il eise (λ, µ) R el que R, y() = (λ + µ)e. D aure par, la foncion consane es soluion pariculière. Les soluions de l équaion différenielle 4 y 4y + 4y = son donc les foncions y elles qu il eise (λ, µ) R el que R, y() = (λ + µ)e + 4. La soluion du problème de Cauchy es la soluion pour laquelle c es-à-dire qu il s agi de la foncion. On a λ + 4 =, λ + µ = e e. r + 4r 5 = r = + = ou r = = 5. On en dédui que les soluions de y +4y 5y = son les foncions y elles qu il eise (λ, µ) R el que R, y() = λe + µe 5. Nous allons considérer l équaion avec second membre ep e puis appliquer le principe de ep superposiion. Lorsque le second membre es ep, cherchons une soluions pariculière sous la forme y p : Ae. Alors y p() = Ae +Ae e y p() = Ae +Ae. On en dédui que y p es soluion si e seulemen si R, (A + A + 4A + 4A 5A)e = e On en dédui que 6 e es soluion pariculière de l équaion avec second membre ep. Cherchons une soluion pariculière z p sous la forme z p () = Be lorsque le second membre. Alors ep z p() = Be e z p() = Be. Donc z p es soluion pariculière si e seulemen si R, (B 4B 5B)e = e. 4

15 On en dédui que 8 e es soluion pariculière de l équaion avec second membre. D après ep le principe de superposiion, on en dédui qu une souien pariculière de l équaion y + 4y 5y = cosh() es 8 e + 6 e. On en dédui que les soluions de l équaion son les foncions y elles qu il eise (λ, µ) R el que. On a R, y() = 8 e + 6 e + λe + µe 5. r + r = r = + ou r = Les soluions de l équaion y + y y = son les foncions y elles qu il eise (λ, µ) R el que R, y() = λe ( + ) + µe ( ). Cherchons une soluion pariculière de l équaion avec second membre sous le forme y p () = Ae 7. Alors y p es soluion pariculière si e seulemen si (49A + 4A A)e 7 = πe 7. On en dédui que π 6 e7 es soluion pariculière, puis que les soluions de l équaion y + y y = πe 7 son les foncions elles qu il eise (λ, µ) R el que R, π 6 e7 + λe ( + ) + µe ( ). 4. Les soluions (réelles) de l équaion homogène associée son les foncions elles qu il eise (λ, µ) R el que λe + µe. Cherchons une soluion pariculière de l équaion avec second membre sous la forme y p () = A sin(5). Alors y p() 5A sin(5) donc y p es soluion pariculière si e seulemen si ( 5A + A) sin(5) = sin(5). On en dédui que sin(5) es soluion pariculière de l équaion. On en dédui que les 8 soluions de l équaion avec second membre son les foncions y elles qu il eise (λ, µ) R el que R, y() = 8 sin(5) + λe + µe. 5. Lorsque ω =, les soluions de l équaion homogène son les foncions affines. Lorsque ω, une soluion pariculière es donnée par ω e ω e les soluions de l équaion son : λ + µ + ω eω avec (λ, µ) R. Lorsque ω =, une soluion pariculière es donnée par + λ + µ 5 e les soluions son

16 avec (λ, µ) R. Supposons désormais ω. Les soluions de l équaion homogène son les foncions y elles qu il eise (λ, µ) R el que Lorsque ω ω, une soluion pariculière es On en dédui que les soluions son les foncions R, y() = λe ω + µe ω. e ω. ω ω λe ω + µe ω + e ω. ω ω Lorsque ω = ±ω, cherchons une soluion pariculière de l équaion avec second membre sous la forme y p : Ae ω. Alorsy p() = Aωe ω + Aω e ω. Ainsi, y p es soluion si e seulemen si Aωe ω = e ω On en dédui qu une soluion pariculière es y p () = ω eω. Les soluions de l équaion son dans ce cas : λe ω + µe ω + ω eω Eercice 7. Si (, y) es un couple de foncions soluion, alors = ωy donc es deu fois dérivables. On a donc = ωy = ω(ω + y) = ω + = ( + ω ). On en dédui que es soluion de + ( + ω ) =. De même y = ω + y = y + ω( ωy) = y + y y ω y. On en dédui que y es soluion y y + ( + ω )y =. Les soluions de r r + + ω = son r = + iω e r = iω. On en dédui qu il eise des consanes (λ, µ) R elles que De même il eise (α, β) R el que Si () e y() son de cee forme, () = e (λ cos(ω) + µ sin(ω)). y() = e (α cos(ω) + β sin(ω)). () = e ((λ + ωµ) cos(ω) + (µ ωλ) sin(ω)), 6

17 () ωy() = e ((λ ωα) cos(ω) + (µ ωβ) sin(ω)). Donc () = () ωy() si e seulemen si µ = α e λ = β. De même, y () = e ((α + ωβ) cos(ω) + (β ωα) sin(ω)), ω() + y() = e ((ωλ + α) cos(ω) + (ωµ + β) sin(ω)). Donc y () = ω() + y() si e seulemen si β = λ e µ = α. Les soluions son donc les couples de foncions (, y) els qu il eise (λ, µ) R el que pour ou R, () = e (λ cos(ω) + µ sin(ω)), y() = e ( µ cos(ω) + λ sin(ω)).. On pose z = + iy. Alors z = + iy. Si (, y) es un couple soluion, alors z = + iy ωy + iω = z + iω( + iy) = ( + iω)z. Réciproquemen, si z = ( + iω)z. Alors, on a Re(z ) = e Re(( + iω)z) = Re(z) + Re(iωz) = ωy e Im(z ) = y e Im(( + iω)z) = y + ω. On en dédui que si z = ( + iω)z, = ωy e y = ω + y. Ainsi (, y) es soluion si e seulemen si z = ( + iω)z. Les soluions z son les foncions z() = αe (+iω) où α = α + iα es une consane complee e (α, α ) R. Les soluions e y son donc les foncions elles qu il eise (α, α ) R el que, pour ou R, () = e (α cos(ω) α sin(ω)), y() = e (α cos(ω) + α sin(ω)). 7