Lycée Pierre de Fermat 2018/2019. Calcul intégral
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- Olivier Bouffard
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1 Lycée Pierre de Ferma 8/9 MPSI TD Calcul inégral Calculs d inégrales par primiivaion direce Exercice Calcul d inégrales primiives usuelles Calculer les inégrales ci-dessous en déerminan direcemen une primiive de la foncion à inégrer I 5 I I + I + I e + 7 I 7 + I 8 I 8 sin + 9 Exercice Calcul d inégrales reconnaissance de dérivées composées Calculer les inégrales ci-dessous en déerminan direcemen une primiive de la foncion à inégrer I 5 I 5 9 I 9 ln + I + I 8e e I + I 5 e + 7 I 7 I ln I e 9 ln 8 I 8 e + e e + e I Exercice Calcul d inégrales reconnaissance de dérivées composées Calculer les inégrales ci-dessous en déerminan direcemen une primiive de la foncion à inégrer I 5 I 5 9 I 9 I cos sin I sin I an cos I + I e ln cos e sin I cos ln 7 I 7 cos an I e + e 5 I 5 an I an 8 I 8 + an an I Arcsin I ln e e ln ln cos sin an cos sin Arcsin Exercice Calcul d inégrales après manipulaions algébriques linéarisaion, formules rigonomériques, Calculer les inégrales ci-dessous après avoir procédé à une manipulaion algébrique permean de faire apparaîre des foncions que l on «sai»inégrer I 5 I 5 cos I sin + sin I cos sin I sin cos 7 I 7 sin I sin cos 8 I 8 8 sin sin Exercice 5 Calcul d inégrales après manipulaions algébriques décomposiion en élémens simples, Calculer les inégrales ci-dessous après avoir procédé à une manipulaion algébrique permean de faire apparaîre des foncions que l on «sai»inégrer I 5 I 5 9 I 9 I + + I + I + I I + I I 7 + I 5 I 5 I + 8 I 8 + I I
2 Inégraion par paries Praique de l inégraion par paries Exercice Calculer les inégrales ci-dessous en uilisan la echnique de l inégraion par paries I 5 I 5 e ln I ln + I sin I + Arcsin I Exercice Iéraion de l inégraion par paries Calculer les inégrales ci-dessous en uilisan une ou des inégraions par paries successives I x ln x R + I x e x R I x e sin x R Exercice Calcul de primiives Déerminer les primiives à valeurs réelles de la foncion f sur son ses inervalles de coninuié f ln f ln 5 f 5 e f 9 f 9 lnln f ln f ln 7 f 7 sin 8 f 8 sin Exercice Inégraion par paries e asuce algébrique pour calculer F n x n N Calculer, pour ou x R, F x On pourra écrire que x + e F x e inégrer par paries le erme + Pour n N, obenir une relaion de récurrence enre F n+ x ef n x En déduire F x + Applicaion En uilisan un changemen de variable ad hoc, déerminer, pour ou x R, G x en foncion de Arcan, F e F Suies d inégrales + +, G x + + e G x Exercice 5 Suie définie par des inégrales Inégrales de Wallis Considérons la suie I n n N définie pour ou n N par I n Monrer que I n n N es bornée Monrer que la suie I n n N es décroissane sin n n, Trouver, à l aide d une inégraion par paries, une relaion de récurrence enre I n e I n+ puis en déduire l expression exace de I n en foncion de n Inégrales calculables car elles réapparaissen après ransformaion Exercice Calculer, pour ou x R, Fx e sin On pourra procéder à deux inégraions par paries successives On pourra ensuie proposer une soluion permean de conourner les inégraions par paries en passan par les foncions à valeurs complexes
3 Changemen de variable Praique du changemen de variable Exercice Calculer les inégrales ci-dessous en procédan au changemen de variable proposé I x, x ], +, u I x + ln, x ], +, u ln I x e, x ], +, u e ] I x ln, x e, e, u ln 5 I 5 x, x ], +, u + + I x ch, x R, u e Exercice Inégraion de fracions raionnelles en les foncions circulaires règles de Bioche Donner le changemen de variable suggéré par les règles de Bioche puis calculer l inégrale en effecuan ce changemen de variable I x I x I x I x 5 I 5 x cos + cos, x R, s sin + sin, x R, s ] cos, x,, s, x ],, s + cos ] + sin cos, x,, s Exercice Inégraion de fracions raionnelles en les foncions hyperboliques règles de Bioche Donner le changemen de variable suggéré par les règles de Bioche puis calculer l inégrale en effecuan ce changemen de variable I x I x I x I x 5 I 5 x h, x R, s + ch ch + ch, x R, s sh + ch, x R, s x R, s + ch, ch, x R, s La fracion raionnelle obenue s inègre par paries voir l exercice Inégrales calculables car elles réapparaissen après ransformaion Exercice Effecuer le changemen de variable affine qui permue les bornes de I À l aide d une inégraion par paries, calculer J Arcan + Exercice 5 Effecuer le changemen de variable s dans l inégrale I en déduire la valeur de I ln+an pour calculer I + Arcan puis
4 Correcion des exercices Corrigé de l exercice I I I + ln + ] ln donc I ln + ] + + donc I + + ] donc I 5 I sin cos ] cos donc I 8 5 I ] donc I 5 I 7 I 7 8 I 8 e ] e+ e e donc I sh ] Arcsin ] + Arcan Arcsin donc I 7 Arcan donc I 8 Corrigé de l exercice I ] + ln + ln donc I ln I + ] donc I I 5 ] 5 9 donc I I ] donc I 9 5 I 5 I ] + ln + ln donc I 5 ln + + ] + 5 donc I 5 7 I 7 8 I 8 9 I 9 e e 9 ln ] e ln donc I 7 e ln ] e 9 ln 9 donc I 8 e ln 8e e e ] ln + donc I 9
5 I ] donc I 7 I I ln ln ln e + e e + e ln e + e ] ln ln + ln + donc I ln 5 e e Corrigé de l exercice I cos sin ] ln ln e ln + e ln donc I ] cos + donc I I cos e sin e sin ] e e donc I e e sh I an sin cos sin cos ln cos ] ln + ln ln donc I 5 I 5 I I ln e cos sin sin cos cos sin ] ln sin ] ln + ln ln donc I ln cos + cos donc I 5 ] e cos ln sin ln sin donc I 7 I 7 an + an an ] an donc I 7 8 I 8 an an + an an ] an + ln cos + ln donc I 8 ln 9 I 9 I I an ] cos an donc I 9 cos an ] an donc I + an an an ] + donc I I cos sin sin ] donc I I + ] + Arcan Arcan 8 donc I 8 I ln e ln + e e + e Arcane ] ln Arcan Arcan donc I
6 5 I 5 I ] Arcsin Arcsin Arcsin ln ln donc I ln Corrigé de l exercice I I cos cos sin + cos cos cos + cos 8 8 I sin Arcsin donc I5 7 Arcsin ln Arcsin ] + sin ] donc I sin + + sin + cos cos sin donc I ln Arcsin ln Arcsin sin + sin cos cos ] 8 cos + ] cos cos + cos + donc I I sin 5 sin + sin + sin 5 }{{} }{{}}{{} donc + cos ] + cos ] cos ] 5 + I 5 I 5 I sin + sin sin cos ln ln ln donc I ln sin cos + sin ln + sin ] ln ln donc I 5 ln cos + sin cos sin cos sin + sin ln sin ln cos ] cos ln an ] 7 I 7 sin cos sin + cos sin cos sin + cos coan + an ] an + an ] an + an + an an an an donc I 7
7 8 I 8 8 sin cos + sin sin cos 8 cos sin + sin cos 8 ln sin ln cos ] ln an 8 ] 8 ln an an ln donc I 8 8 ln Corrigé de l exercice 5 I I I I 5 I 5 I ln donc I + ln 7 I ln ] +ln + donc I + ln + ln ] ln 8 + donc I ln ] ] ln donc I 7 5 ln 8 I 8 + donc I ln donc I 8 + donc I 5 ln + ] ln donc I 5 ln + ] + ln ] + + ln I 7 ] I ln 9 I ] + ln + Arcan ln donc I 9 ln
8 I I I ln ] ln + ln donc + + ln + + ] ln + + donc I ln I ] donc I 7 8 I + or donc I + + ln ] ] ln + ln + ln donc I ln I ln ] + ln donc I + ln ln 5 I 5 or donc +, I 5 donc I 5 ln I or donc I ln ] ln + +, ln + + ln ln ] 9 ln ln + 9 ln 9 ln donc I + ln 9 ln 5
9 Corrigé de l exercice I e ln I e ln ] e e ln e ] e e e e + e + e I Ainsi, I e + sin I cos ] cos cos sin ] + cos I I Ainsi, I Arcsin Ainsi, I e I ] Arcsin Arcsin + Arcsin + + I e e ] e e e e e ] e e +
10 Ainsi, I 5 I 5 ln + I 5 ln + ] ln ln ln ln Arcan] ln + Arcan + Ainsi, I 5 ln + I + I + + ] ] 7 + Ainsi, I 7 Corrigé de l exercice I x ln Soi x ], + fixé quelconque I x x ln ] x ln ln x ln ] x x ln x ln + x ln x x ln x + + x ln x x x ln x + Ainsi, x ], +, I x x ln x x x ln x + 7
11 I x e x R Soi x R fixé quelconque I x e ] x x e x + + e e x e x + e ] x e x e x x e x + + e x e x x e x + e ] x e x e x x e x xe x + + x e x x e x xe x + e ] x x e x x e x xe x e x + e Ainsi, x R, I x x x x e x + I x sin x R Soi x R fixé quelconque I x cos ] x cos x cos x + + cos x cos x + sin ] x sin x cos x + x sin x x cos x + x sin x cos ] x x cos x + x sin x + cos x sin Ainsi, x R, I x x + cos x + x sin x Corrigé de l exercice f ln Soi x ], + fixé quelconque Ainsi, les primiives de f ln son f ln ln ln ] x x ln x ln ln x ln x ln ] x + x ln x x ln x + x { R + R x x ln x x ln x + x + λ 8 } λ R
12 Soi x ], + fixé quelconque ln ln ] x ln x x + + ln x x + ] x ln x x x + Ainsi, les primiives de f ln son { R + R x ln x x x + λ } λ R f ln Soi x ], + fixé quelconque ln ] x ln x ln x x ln x ] x x ln x x + Ainsi, les primiives de f ln { R son + R x x ln x x + λ f ln Soi x ], + fixé quelconque } λ R ln x ln ] x ln x x ln x x ] x ln x x + Ainsi, les primiives de f ln son R + R x x ln x x + λ λ R 5 f 5 e 9
13 Ainsi, les primiives de f 5 e son f e e ] x e x e x e x e x e ] x + e x e x xe x + x e x xe x + e ] x x e x xe x + e x e { R R x x x + e x + λ } λ R Ainsi, les primiives de f ] x x x + x x + ] x x x x + { ], R son x x x x x + λ } λ R 7 f 7 sin sin sin cos ] x x cosx + x cosx + cos cos sin x cosx + sinx ] x Ainsi, les primiives de f 7 sin son R x x cosx + sinx + λ R λ R 8 f 8 sin
14 sin cos cos ] x sin ] x sin x x sinx x x sinx + cos ] x x x cosx sinx sin Ainsi, les primiives de f 8 sin son R x x x sinx 8 cosx + λ R λ R 9 f 9 lnln Aenion : le domaine de définiion de f 9 es ], + lnln x lnln ln ] x ln ln lnlnx ln x lnln ln lnlnx ln x lnln ln ln ] x lnlnx ln x lnln ln ln x + ln Ainsi, les primiives de f 9 lnln sur ], + son { ], + R x ln x lnlnx ln x + λ } λ R Corrigé de l exercice Par inégraion direce, x R, F x Soi x R fixé quelconque + Arcanx F x + Ainsi, x R, F x Arcanx + x + x ] x + Arcanx + Arcanx + x + x Arcanx Arcanx + x + x +
15 Soi n N fixé quelconque Soi x R fixé quelconque donc F n+ x F n+ x F n x + n + n+ + + n+ + n + ] x F n x n + n + F n x + x n + x n n F nx x n + x n Ainsi, n N, F n+ x n n F x nx + n + x n On en dédui que x R, F x F x + Applicaions Soi x R fixé quelconque n+ n + n x + x 8 Arcanx + x 8 + x + x + x G x en posan le changemen de variable affine u + u,, x + ] ] x + ou, ϕ : u u du donc Par conséquen, du + u, x] ou x, ] u C, x + ] ou ] x +,,R x R, G x x + F F x + Arcan Arcan }{{} Ainsi, x R, G x x + Arcan 9
16 Soi x R fixé quelconque G x du + u en posan le même changemen de variable affine que pour calculer G x si bien que G x 8 x + F 8 F Ainsi, x R, G x 8 x + F 8 F On monre de même que x R, G x x + 9 F 9 F Corrigé de l exercice 5 Soi n N fixé quelconque donc en inégran sur Ainsi, I n n N es bornée Soi n N fixé quelconque I n+ I n, ], I n, ] sin n+ sin n, sin n sin n sin }{{} sur, ] Ainsi, I n n N es décroissane Soi n N fixé quelconque I n+ sin sin n+ cos sin n+] cos n + sin n cos + n + n + si bien que I n+ n + n + I n cos sin n sin sin n n + I n n + I n+
17 Ainsi, n N, I n+ n + n + I n À parir de cee relaion, pour ou p N, I p p p I p p p p p p p I p+ p p I p p p I p p I p p I pp pp p p p pp I p! p p! I p p + I p p p + p p I p p p + p p I pp p + p 5 I pp p + pp p p 5 I p p! p +! I Par ailleurs, I e I sin cos ] si bien que p N, I p p! p p! e I p+ p p! p +! Corrigé de l exercice Procédons à deux inégraions par paries successives : ] e x Fx sin e cos ex sinx e cos ex sinx ] e x cos e sin ex sinx e x cosx + Fx donc + 9 Fx ex ex sinx cosx + d où Fx e x ex sinx cosx +
18 Fx Im e e i Im e e i Im e +i e +i ]x Im + i e x e ix Im + i ie x e ix i Im en muliplian par le conjugué de + i + 9 ie x e ix i Im Im car Im es un morphisme de C, + dans R, + ex Im ieix Im i car λ, z R C, Imλz λimz ex sinx cosx + Ainsi, x R, Fx ex sinx cosx + Corrigé de l exercice I x, x ], +, u u u,, x] ou x, ], x] ou x, ] ϕ : u u C, x] ou x, ],R u donc udu, I x x x udu u u du u x ln u ] ln x x Ainsi, x ], +, I x ln I x + ln, x ], +, u ln u ln e u,, ln x] ou ln x, ], x] ou x, ] ϕ : u e u C, ln x] ou ln x, ],R e u donc e u du, 5
19 I x ln x ln x e u du e u + u du + u ln x du + u ] ln x u Arcan ln x Arcan Ainsi, x ], +, I x ln x Arcan I x e, x ], +, u e u e lnu +, e, e ϕ : x ] ou e x, e ], x] ou x, ] u lnu + lnu + donc udu u +, C e, e x ] ou e x, e ],R I x e x e e x e e x u udu u + u + du u + e u + ex Arcanu] e du e x e Arcan e x Arcan e Ainsi, x ], +, I x e x e Arcan e x Arcan e I x ln, x u ln e u, ϕ : ] e, e, u ln, ln x] ou ln x, ], x] ou x, ] u e u C, ln x] ou ln x, ],R e u donc e u du, Ainsi, x 5 I 5 x ] e, e, I x Arcsinln x I x +, x ], +, u + ln x ln x e u du e u u du u Arcsinu] ln x Arcsinln x
20 u + u,, + x] ou + x, ], x] ou x, ] ϕ : u u C, + x] ou + x, ],R u donc u du I 5 x Ainsi, x ], +, I 5 x + x + x + x u du uu du u u ] + x + x I x ch, x R, u e u e ln u ϕ : ln u donc du u,, e x ] ou e x, ], x] ou x, ] u ln u C, e x ] ou e x, ],R I x e x e e x e + e du u u + u du + u Arcanu] ex Arcane x Ainsi, x R, I x Arcane x Corrigé de l exercice cos I x + cos, x R, s sin On a donc cos si bien que I x sin x cos + sin sin x sin x s s s + s + s + ] sin x ln s + ln s + ln sin x + sin x 7
21 cos Ainsi, x R, I x + cos + sin x ln sin x I x sin + sin, x R, s cos On a donc sin si bien que I x Ainsi, x R, I x I x cos x cos x sin + cos s s ln s ln s + ] cos x ln cos x cos x + ln + ] cos, x,, s an On a donc + an Ainsi, x ],, I x voir calcul précéden sin + sin cos x ln + cos x ln + cos e cos I x + an an x cos s + s si bien que cos + s ] an x an x + an x cos an x + an x I x + cos, x ],, s an On a donc + an soi e + s an s s, sin s + s, cos s + s 8
22 si bien que I x an x an x + cos an x +s + s +s + s + s ] an x s Arcan an x Arcan Ainsi, x ],, I x 5 I 5 x, x R, s an + sin cos On a donc + an soi + s Ainsi, x e sin an cos s I 5 x + cos an x Arcan + s ],, I 5 x + s, cos an x an x an x si bien que + sin cos +s + s +s + s + s an x + s + s+ + ] an x s + Arcan Arcan an x + an x + Arcan ] + an donc, pour,, cos Arcan + sin cos an x + Arcan Corrigé de l exercice I x h, x R, s ch + ch 9
23 On a donc sh si bien que I x chx chx chx sh ch + ch s + s + s s s + s s + s ln s ln + s] chx ln chx + chx Ainsi, x R, I x ch I x + ch, x R, s sh On a donc ch si bien que h chx ln + ch + chx I x shx ch + + sh + s shx Arcan Arcan + s s ] shx shx Ainsi, x R, I x ch + ch shx Arcan I x sh + ch, x R Remarquons ou d abord, pour appliquer les règles de Bioche, que sh shch d où I x On pose s h donc h soi s De plus, h h ch d où I x chsh + ch hx hx ch h + s s s + s + ln s + ] hx ln + hx
24 Ainsi, x R, I x sh + ch ln + hx Remarque : on aurai pu asucieusemen évier le changemen de variable : x I x ch h + h x h + + h ln + hx + h Remarque : en reprenan différemmen la fin du calcul de la remarque, I x h x h + h + h Cee expression de I x es cohérene avec le résula rouvé car + hx chx + shx chx h x lnchx ex chx de sore que ln + hx x lnchx I x + ch, x R, s h On a donc h donc e, par ailleurs, s si bien que h s + s ch + s s sh s s I x h x h x h x + ch s + +s s + s + s h x + s ] h x s Arcan h x Arcan Ainsi, x R, I x + ch h x Arcan 5 I 5 x ch, x R, s sh On a donc ch e ch + sh + s si bien que I 5 x shx ch ch + s
25 La fracion raionnelle s + s obenue s inègre par paries voir l exercice si bien que I 5 x Arcans + ] shx s + s Arcanshx + shx + sh x Ainsi, x R, I 5 x Arcanshx + shx ch x Corrigé de l exercice Le changemen de variable affine qui permue les bornes de l inervalle On a donc d où I ln I ln + an ln + an s ln + an s + an s + an s + an s ln + an s ln ln + an s, ] es s Ainsi, I ln 8 J Arcan + ln + Arcan] ln + + ln Arcan ln + an udu en posan u Arcan an u, du + ln I 8 ln Ainsi, J ln 8 Corrigé de l exercice 5 s donc d où si bien que s s I + Arcan + s Arcan s s + s Arcan s
26 Or nous nous souvenons que, x R, Arcanx + Arcan x x, ce qui nous amène à calculer x I + Arcan + + Arcan + Arcan }{{} + ] + s + Arcan s car, ] > Ainsi, I + Arcan Remarque : une aure méhode consise à effecuer une inégraion par paries pour se ramener à l inégrale d une fracion raionnelles que l on peu alors décomposer en élémens simples voir la feuille de TD sur les fracions raionnelles
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