PROGRAMME DE MATHEMATIQUES

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1 MINISTERE DE L EDUCATION NATIONALE DIRECTION DE LA PEDAGOGIE ET DE LA FORMATION CONTINUE COORDINATION NATIONALE DE MATHEMATIQUES REPUBLIQUE DE COTE D IVOIRE UNION-DISCIPLINE-TRAVAIL PROGRAMME DE MATHEMATIQUES

2 PROGRAMME DE TERMINALE A Novembre 1991

3 COMMENTAIRE GENERAL Objectifs généraux La classe de Terminale est en grande partie un moment de synthèse et de réflexion sur les connaissances que les élèves possèdent. Ces derniers seront donc amenés à utiliser de nombreuses notions mathématiques étudiées en Seconde et en Première, à les approfondir, à les consolider ou à les prolonger. On s appuiera constamment sur les acquis antérieurs pour développer les connaissances propres à la Terminale. A l exposé théorique, on préférera toujours une présentation sous forme d activités motivées par des documents, des enquêtes, des problèmes interdisciplinaires. Il convient de rappeler que le programme de mathématiques de la série A vise un double objectif : montrer aux élèves, peu tournés vers les disciplines scientifiques, que la mathématique n est pas une matière rebutante, mais qu elle fait partie de la vie de tous les jours au même titre que la philosophie ou le français ; donner aux élèves les outils mathématiques qui leur seront nécessaires. Durant le cours, les élèves doivent faire un maximum d exercices. La synthèse des résultats essentiels se fera avec l aide du manuel de la collection IRMA, sur le cahier de cours qui sera contrôlé régulièrement. Le document EM donne, chaque chapitre ; les objectifs principaux accompagnés de commentaire sur la présentation des notions ; un exemple de trace écrite telle qu elle pourrait figurer dans le cahier de cours des élèves (synthèse succincte des connaissances théoriques les savoirs que l élève doit posséder) ; la liste des savoir-faire minimums que l on peut exiger des élèves à l examen. Analyse La classe de Terminale sera l occasion de faire une synthèse sur les fonctions numérique d une variable réelle, vues antérieurement. Ces résultats seront utilisés dans des exercices variés puis complétés (dans les limites du programme) par l étude de fonctions polynômes autres que celles de degré un ou deux, et de fonctions rationnelles dont le signe de la dérivée est facilement déterminable. On introduira la notion d asymptote horizontale ou oblique à la courbe représentative d une fonction rationnelle f, sur des exemples, en passant par l écriture «f(x) = ax + b + q(x)* où l on fera constater à l aide de la calculatrice que q(x) est «négligeable» lorsque x est «grande» puis, toujours sur des exemples de fonctions rationnelles, celle d asymptote verticale. A cette occasion, on introduira les symboles - et = qui seront utilisés dans l écriture des intervalles non bornés tels que [π, + [,]-, 2[, L introduction des fonctions logarithme népérien et exponentielle népérienne se fera à partir de l exploration des touches de la calculatrice et permettra à la fois d enrichir la liste des fonctions élémentaires dont disposent les élèves et de compléter l étude des suites numériques abordée dans les classes précédentes. L approche de la notion de limite se fera graphiquement ou à l aide de la calculatrice, à partir d exemples de suites arithmétiques ou géométriques. A cette occasion, on introduira les notions : lim v = -, lim u = Enfin, l étude des suites donnera l occasion d initier les élèves au raisonnement par récurrence. Organisation de données En ce qui concerne les quatre exemples d algorithmes au programme, il est seulement question, à travers ceux-ci, d apprendre aux élèves à analyser une situation, à organiser des données et à réaliser des tâches. Il n est pas question de faire apprendre par cœur un organigramme, mais plutôt de montrer l utilité de cet outil pour organiser un travail de la façon la plus «économique possible en manipulations.

4 Pour atteindre progressivement ces objectifs : on familiarisera les élèves avec le déroulement séquentiel d une tâche, la notion de test, la répétition conditionnelle d une tâche ; on fera fonctionner avec les élèves. Un organigramme n est pas figé, il peut être aménagé, transformé en fonction des données ou des besoins. Ce sera d ailleurs l occasion de montrer aux élèves que l important, dans un problème, est de préciser ce qui est donné et ce que l on veut obtenir. Ces activités algorithmiques se feront tout au long de l année à l occasion de certains chapitres sans que cela ne figure explicitement dans la progression. Le dénombrement viendra en complément de l étude sur l organisation des données réalisées en Première. Son objectif est le calcul de la probabilité d un évènement élémentaire (cas d équiprobabilité) comme le quotient du " nombre de cas favorables" par le "nombre de cas possibles". En statistiques, on complétera l étude de la classe de Première par celle des caractéristiques de dispersion autres que la variance et l écarttype déjà connus et l étude conjointe de deux caractères d une série statistique pour initier à l ajustement linéaire. Remarque L introduction des symboles de logique (Ξ, А, et ) n est pas indispensable en Terminale A, même si le manuel de la classe en utilise quelques-uns par moment.

5 I- ANALYSE Rappel des règles relatives au calcul des dérivées usuelles. Dérivées d une fonction composée. Exploitation des dérivées dans l étude sur un intervalle borné : - de fonctions polynômes ; - de fonctions rationnelles : à cette occasion, on dégagera la notion d asymptote à une courbe. Problèmes se ramenant à l étude de la suite n aⁿ (a > 0). Pour les A1 seulement : Etude de la fonction x. ax (a> 0) à partir des touches de la calculatrice. Fonction logarithme népérien et fonction exponentielle (¹) ; application à l étude du comportement de quelques suites numériques. Initiation au raisonnement par récurrence. Approche de la notion de limite à partir des suites. (¹) Ces fonctions peuvent être introduites à partir des touches EXP et LN d une calculatrice. Primitive comme résultat de l opération inverse de l opération de dérivation. Calculs appropriés par encadrement. Ordre de grandeur du résultat d un calcul..intégrale d une fonction continue sur un intervalle ; interprétation graphique à l aide d une aire. Propriété de l intégrale ; technique de calcul. Exemples d algorithmes : - de la résolution d équations du second degré ; - de la résolution numérique d équations (par différentes méthodes) ; - du calcul numérique d une valeur approchée de l aire d une partie du plan (méthode des rectangles) ; - d approximation de nombres réels par des suites rationnelles. II- ACTIVITES ALGORITHMIQUES

6 III- ORGANISATION DES DONNEES Exemples ;. - de rangement d objet suivant un ordre choisi ; - de classement d objets par sous-ensembles ; - d organisation d un fichier ; notion de tri.. 1. Dénombrements Probabilités Nombre d éléments du produit cartésien de deux ensembles finis. Nombre d éléments de l ensemble Eр des p-listes d éléments d un ensemble fini E. cas ou les éléments sont distincts deux à deux (A рⁿ). Nombre de permutations d un ensemble à n éléments. Notion n!. Formules : Introduction élémentaire aux probabilités : évènements, probabilité d un évènement dans l hypothèse d équiprobabilité en utilisant le quotient du "nombre de cas favorables" par le "nombre de cas possibles". Nombre de parties à p élément choisis dans un ensemble à n éléments (Cрⁿ). 2. Statistiques Caractères qualificatifs. Représentations graphiques diverses. Mode. Caractères quantitatifs. Représentations graphiques. Etude conjointe de deux caractères d une série, nuage de points, point moyen. Initiation à l ajustement linéaire par des méthodes graphiques ou par la méthode de Mayer.. Caractéristiques de position et de dispersion : moyenne, mode, médiane, quartile, décile.

7 PROGRESSION DE TERMINALE A1 Semaine 3 heures par semaine 2 heures par semaine 1 Fonctions numériques : outils, dérivation, sens de variation heures Dénombrement Probabilités heures Fonctions polynômes 8 Fonctions rationnelles heures 12 Primitive et intégrale d une fonction continue sur un intervalle Fonction logarithme népérien Fonction exponentielle népérienne 09 heures Statistiques heures heures 21 Suites numériques 18 heures Révisions 08 heures

8 PROGRESSION DE TERMINALE A2 ET A3 Semaine 2 heures par semaine 2 heures par semaine 1 Fonctions numériques : outils, dérivation, sens de variation Fonction logarithme népérien 14 Fonction exponentielle népérienne heures Dénombrement Probabilités 15 heures 15 heures Fonctions polynômes, fonctions rationnelles Notion d asymptote à une courbe 12 heures 11 heures Suites heures Révisions heures 25

9 PROGRAMME DE TERMINALES C ET E Novembre 1999

10 I- CONFIGURATIONS DE L ESPACE ACTIVITES GEOMETRIQUES CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Configurations de l espace Toutes les configurations de l espace vues dans les classes antérieures peuvent être utilisées dans les exercices. II- CONFIGURATION PLANES CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Coniques Définitions géométriques : - définitions par foyer et directrice ; - vocabulaire : foyers, directrices, excentricité, sommets, axe focal ; - définition bifocale de l ellipse et de l hyperbole. Equations cartésiennes : - équations réduites d une parabole, d une ellipse et d une hyperbole ; - éléments remarquables : paramètre, sommets, axe focal, foyers, directrices, asymptotes, demi-distance focale. Représentation graphique des coniques. Ligne de niveau de l application M Mes (MA. MA). Définition. Propriétés. Déterminer l équation réduite d une conique : - à l aide d une définition par foyer et directrice ; - à l aide de la définition bifocale ; - par un changement de repère (l équation étant de la forme ax² + by² cx + dy + e = 0). * connaissant l équation réduite d une conique, déterminer les éléments remarquables. Représenter graphiquement une conique à l aide des éléments remarquables. Déterminer et construire une ligne de niveau de l application M Mes (MA. MA). Les représentations paramétriques des coniques sont hors programme. Les formules sur les équations de la tangente sont hors programme. On fera quelques activités sur le régionnement du plan par les coniques. Les arcs capables des angles non orientés ont été vus en seconde.

11 III- OUTILS VECTORIELS CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Calculs barycentriques dans le plan et dans l espace Réduire Barycentre de n points pondérés. Réduction de Réduction de Réduire Déterminer les lignes et surfaces de niveaux des applications du type : - M - M Construire dans le plan les lignes de niveau de l application M Il s agit de compléter l étude vue en classe de première et de l étendre à un nombre quelconque de points dans le plan et dans l espace. En pratique, on utilisera au plus 4 points. La détermination et la construction dans le plan des lignes de niveau de l application M vues en classe de première pourront être réinvesties. IV- APPLICATIONS CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Isométries planes Définition. Déterminer la nature de la composée de Décomposition d une translation et deux isométries. d une rotation en produit de symétries orthogonales. Utiliser la composée de deux isométries Composée d une rotation et d une translation. pour : - démontrer une priorité ; Composée d une rotation et d une - construire une figure ; symétrie orthogonale. Composée d une translation et d une symétrie orthogonale. Classification des isométries : - à l aide de leurs points invariants ; - en déplacements et antidéplacements. - déterminer un ensemble de points. Mettre en œuvre la décomposition des isométries pour déterminer les éléments caractéristiques de la composée de deux isométries. Déterminer la nature d une isométrie connaissant l ensemble de ses points invariants

12 CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Déterminer l écriture complexe d une transformation donnée. Déterminer les éléments caractéristiques d une transformation dont on connaît l écriture complexe. Complexes et géométrie plans Ecriture complexe des transformations : - Translation. - Symétrie centrale. - Symétrie orthogonales par rapport aux axes du repère. - Homothétie de centre Ώ et de rapport λ Rotation de centre Ώ et d angle θ - Similitude directe de centre Ώ, de rapport λ (λ > 0) et d angle θ. Similitudes directes du plan Définition : une similitude directe de rapport λ (λ > 0) est la composée d une homothétie de rapport λ et d un déplacement. Forme réduite et éléments caractéristiques d une similitude directe. Propriétés de conservation. Propriété : toute similitude directe multiplie les distances par le rapport. La composée d une homothétie de rapport k et d un déplacement est une. k similitude de rapport Utiliser l écriture complexe d une transformation pour résoudre des problèmes/ Déterminer et construire l image d un point, d une droite, d un segment, d un cercle par une similitude directe définie par : - son centre, son angle et son rapport ; - son centre, un point et son image ; - son rapport, son angle, un point et son image. Utiliser une similitude directe du plan pour : - résoudre des problèmes de construction ; - calculer les distances et des aires ; - déterminer des lieux géométriques ; - démontrer des propriétés (parallélisme, orthogonalité, contact )..il ne s agit pas de faire une théorie sur les transformations et leur écriture complexe, mais d utiliser ces écritures. Les similitudes indirectes ne sont pas au programme. On fera remarquer que les translations, les rotations et les homothéties sont des cas particuliers de similitudes directes. Similitude directe déterminée par deux points et leurs images. Déterminer les éléments caractéristiques d une similitude directe définie par : - son centre, un point et son image ; - deux points et leurs images. Pour la recherche du centre d une similitude directe qui n est pas un déplacement, l élève sera guidé.

13 ACTIVITES NUMERIQUES I- CALCUL NUMERIQUE CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Déterminer la partie réelle, la partie imaginaire d un nombre complexe. Calculer la somme, le produit et le quotient de deux nombres complexes. Déterminer me conjugué d un nombre complexe. Nombres complexes Ensemble des nombres complexes : - partie réelle (Re), partie imaginaire ; ( m ) - forme algébrique ; - somme, produit, quotient de deux nombres complexes ; - conjugué d un nombre complexe, propriétés ; - égalité de deux nombres complexes. Une construction formelle de l ensemble des nombres complexes. N est pas à envisager. Ce nouvel ensemble s intègre naturellement dans le prolongement de IR. Il offre de plus un domaine d activités numériques riches. Forme trigonométrique d un nombre complexe : - module et argument d un nombre complexe ; - module et argument du produit, de l inverse, du quotient et de la puissance entière d un nombre complexe. Déterminer le module et un argument d un nombre complexe non nul. Passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique et inversement. Forme exponentielle (r e e). Représentation géométrique d un nombre complexe : - affixe d un point, d un vecteur ; - point image et vecteur image d un nombre complexe. Applications géométriques : - mes (DC, BA) = arg - caractérisations complexes : - d un cercle, - d une droite. Représenter graphiquement un nombre complexe. Démontrer que des points sont alignés. Démontrer que des points sont cocycliques. Déterminer des lieux géométriques à l aide des nombres complexes. On alternera les situations algébriques et géométriques afin d entraîner les élèves au passage de l une à l autre.

14 CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Arithmétique (spécifique à la série C) Divisibilité dans Ζ. - Multiples d un entier relatif ; - Notation n Z ; - Diviseurs d un entier relatif. Division euclidienne : - dan IN ; - dans Z. Démontrer qu un entier est divisible par un entier donné. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne d un entier relatif par un entier naturel non lul. L arithmétique est.spécifique à la terminale C et n est pas au programme de terminale E. Congruence modulo n : - définition ; - propriété de conformité avec les opérations. Utiliser les propriétés des congruences pour résoudre des problèmes de divisibilité. Les congruences permettent de donner une justification des critères de divisibilité vus au premier cycle. Nombres premiers. - Définition ; - L ensemble des nombres premiers est infini ; - Décomposition d un entier naturel en produit de facteurs premiers. PGCD, PPCM. - Définitions et propriétés. - Algorithme d Euclide. - Théorème de Bézoul. - Théorème de Gauss. Numération décimale et binaire - Existence et unicité de la décomposition d un nombre. Démontrer qu un nombre est premier. Décomposer un entier en produit de facteurs premiers. Déterminer l ensemble des diviseurs d un entier nature non nul. Déterminer le PGCD de deux nombres : - à l aide de l algorithme d Euclide ; - à l aide de la décomposition en produit de facteurs premiers. Déterminer la PPCM de deux nombres : - à l aide de la décomposition en produit de facteurs premiers ; - à l aide du PGCD. Utiliser le théorème de Bézoul pour démontrer que des entier sont premiers entre eux.. Utiliser le de Gauss pour résoudre des problèmes d arithmétique. Ecrire en base 2 un nombre donné en base 10 et réciproquement. L existence et l unicité de la décomposition d un entier naturel en produit de facteurs premiers seront admises. Le système binaire a son application en informatique.

15 II- CALCUL LITTERAL CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Applications des nombres complexes à la trigonométrie Formule de Moivre. Utiliser les formules de Moivre et Formule d Euler. d Euler pour retrouver des formules Equations dans C : Racines carrées d un nombre complexe non nul. Equations du second degré dans C. Racines nième de l unité ; interprétation graphique. Racines nième d un nombre complexe non nul. Equations différentielles : Equation différentielle du type f = k f. Equation différentielle du type f'= 0. Equation différentielle du type f' = m f. trigonométriques. Linéariser des puissances de cos x et sin x à l aide des nombres complexes. Déterminer les racines carrées d un nombre complexe donné sous forme algébrique. Résoudre des équations dans C. Déterminer sous forme trigonométrique les racines nièmes d un nombre complexe et les représenter graphiquement. Résoudre une équation différentielle du type f = k f. Equation différentielle du type f'= 0. Equation différentielle du type f' = m f. On se limitera à des exposants peu élevés. Les formules trigonométriques obtenues ne sont pas à apprendre par cœur. On utilisera beaucoup d exemples tirés des sciences physiques pour consolider les acquis de ce chapitre. La résolution des équations différentielles du type a f' + b f + c f = g où a, b et c sont des nombres réels non nuls et la théorie qui l accompagne sont hors programme.

16 III- ORGANISATIONS DES DONNEES Suites numériques Suites monotones. CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Suites majorées, minorées, bornées. Suites convergentes. - Notion de convergence. - Unicité de la limite (admis). - Toute suite décroissante et minorée converge. - S f est une fonction numérique telle que lim f(x) f(n) alors la suite définie par Un = = x +. converge ver - Si (Un) est une suite convergeant vers a et f une fonction continue en a alors la suite vn ) f(un) converge vers f(a). Convergence des suites géométriques et des suites du type nª. Suite divergentes. * théorèmes de comparaison. Soient les suites (vn) et Un) 1) Si à partir d un certain rang, Vn Un et si (vn) tend vers +, alors (Un) tend vers +. 2) Si à partir d un certain rang, Vn Un et si (Un) tend vers -, alors (vn) tend vers -. 3) Si à partir d un certain rang, VN 6 Un et. si (Un) tend vers 0, alors (vn) tend vers 4) Si à partir d un certain rang, Vn Un Wn et si (vn) et (wn) tendent vers, alors (Un). tend vers 5) Si à partir d un certain rang, Vn Un et (Un). alors, tend vers et (vn) tend vers Démontrer qu une suite est monotone : - par comparaison de deux termes consécutifs ; - par l étude des variations dune fonction ; - par un raisonnement par récurrence. Démontrer qu une suite est majorée et/ou minorée : - par un calcul direct ; - par l étude des variations d une fonction - par un raisonnement par récurrence. Démontrer qu une suite est convergente ou divergente : - Par l étude du comportement d une fonction ; - par l utilisation des opérations sur les limites ; - par l utilisation des théorèmes de comparaison. Les occasions d utiliser le raisonnement par récurrence sont nombreuses dans le programme (suites, intégrales, arithmétique). On apprendra donc aux élèves à mettre en œuvre ce type de raisonnement. Lorsque ce raisonnement est indispensable, l énoncé le suggèrera. De même qu en première, la notion de limite de fonction a été introduite de façon intuitive, on pourra s appuyer sur l utilisation de la calculatrice et des graphiques pour l introduction de la notion de convergence d une suite.

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18 CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Suite (aⁿ) et nª) Croissance comparée. - Limites et comportements asymptotiques comparés des suites (In n) ; (aⁿ), a > 0 et (nª), a réel. O, traitera sur des exemples guides quelques méthodes de recherche de solutions approchées d une équation numérique (dichotomie, tangente, interpolation linéaire ) et du calcul approché d une intégrale. Dans le cas de l approximation d un point fixe a de f, on soulignera l intérêt (théorique et numérique) d une inégalité. f(x) a x, a où 0 < k < 1. Suites récurrentes définies par une relation du type Un+1 = f(un). - Soit (Un) une suite définie par Un+1 = f(un). Si (Un) converge vers et si f est continue en alors. = ) f Conjecturer à partir d une représentation graphique le comportement d une suite récurrente. Toute étude de suite du type Un+1 = f(un) devra comporter des indications sur la méthode à suivre.

19 CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Dénombrement Formule du binôme. Développer (a + b)ⁿ. Sur des exercices, on consolidera des acquis de la classe de première sur le dénombrement. Probabilités Vocabulaire. Définition d une probabilité dans l hypothèse d équiprobabilité. Evènements indépendants : - définition ; - propriétés. Variable aléatoire : - définition ; - loi de probabilité ; - fonction de répartition ; - espérance mathématique ; - variance ; écart-type. Schéma de Bemoulli. Probabilité d obtenir k succès dans une suite de n épreuves de Bemoulli ( 0 k n). Loi bonômiale : - V(X) = np(1 p) ; - E(X) = np. Calculer la probabilité d un évènement. Démontrer que deux évènements sont indépendants. Une variable aléatoire étant donnée : - déterminer sa foi de probabilité et sa fonction de répartition ; - construire sa fonction de répartition ; - calculer son espérance mathématique ; - calculer sa variance et son écart-type. Calculer la probabilité d obtenir k succès dans une suite de n épreuves de Bemoulli ( 0 k n). Pour le développement de (a + b)ⁿ, on se limite à des valeurs raisonnables de n. Toute situation de non-équiprobabilité est hors programme. On apprendra aux élèves à reconnaître un évènement élémentaire d une expérience aléatoire. * on choisira des situations concrètes simples, pour mettre en place le vocabulaire des probabilités. On fera le lien entre la fréquence en statistique et la probabilité de l évènement correspondant. L utilisation des outils combinatoires (arrangement, combinaison) se fera sans difficultés techniques. Probabilité conditionnelle (spécifique à la série E) - p(a/b) = Calculer la probabilité conditionnelle d un évènement par rapport à un évènement de probabilité non nulle. La probabilité conditionnelle est spécifique à la terminale E et n est pas au programme de terminale C.

20 CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Limites, continuité et dérivabilité Limites. -Limite d une fonction composée. Déterminer la limite d une fonction : - en utilisant les limites de référence ; La propriété sur la limite d une fonction monotone sur un intervalle ouvert sera - Limite d une fonction monotone sur un - en utilisant une expression conjuguée ; utilisée dans les suites et les fonctions intervalle ouvert. - en ayant recours à la définition d un définies par intégrales. Fonctions continues sur un intervalle. - Opérations, composée (propriétés admises). - Image d un intervalle. - Fonction continue et strictement monotone sur un intervalle : Théorème 1 : Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle, alors f est une bijection de sur f( ). Sa bijection réciproque f ¹ est continue et de même sens de variation que la fonction f. nombre dérivé. Déterminer la limite d une fonction composée. Déterminer l image d un intervalle par une fonction continue : - en utilisant le tableau de variations ; - en utilisant une méthode algébrique. Démontrer qu une fonction f est une bijection d un intervalle sur un intervalle J dans le cas où f est continue. et strictement monotone sur En outre dans des cas simples où f est donnée par une formule explicite, déterminer f ¹(x). La détermination de l image d un intervalle par une fonction continue par une méthode algébrique ne sera proposée qu à travers des exercices guidés. On n abordera pas le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas général. Théorème 2 : Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle, alors pour tout m de f( ), l équation f( x) = m admet. une unique solution dans Prouver l existence d une unique solution, de l équation f(x) = m sur un intervalle f étant continue et strictement monotone. sur On habituera les élèves à donner une valeur approchée d une solution d une équation. Corollaire : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a, b]. Si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors l équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l intervalle ouvert ]a, b[. On ne demandera pas de justifier la continuité d une fonction sur un intervalle. CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Toute fonction dérivable sur un intervalle est

21 continue sur cet intervalle. Fonction dérivées. - Dérivées successives ; nouvelles notations - Dérivée d une fonction composée (admis) ; application à la dérivation des fonctions de la forme Uⁿ (NεZ*), In u, exp o u, uª (u ε k*), u. Démontrer qu une fonction composée est dérivable en un point et savoir calculer le nombre dérivé en ce point. On ne s attardera pas à une utilisation générale de la dérivée d une fonction composée. - Existence de la dérivée d une fonction réciproque (admis), formule de la dérivée de la fonction réciproque. - Inégalité des accroissements finis (2 formes). - Nombre dérivé à droite (à gauche) d une fonction en un point. - Demi- tangente. Préciser l ensemble des éléments où la fonction réciproque d une fonction donnée est dérivable. Déterminer le nombre dérivé de la fonction f ¹ en un point x. Utiliser l inégalité des accroissements finis pour : - démontrer une inégalité ; - établir un encadrement. Etudier la dérivabilité d une fonction définie par intervalles en un point de raccordement. Interpréter graphiquement la dérivabilité à droite (resp. à gauche) d une fonction en un point x. On se limitera à l utilisation de la formule donnant la dérivée d une fonction réciproque uniquement en un point x et cela pour des exemples ne présentant pas de difficulté particulière. On ne demandera pas de justifier la dérivabilité d une fonction sur un intervalle.

22 CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Etude et représentation graphique de fonctions Branches paraboliques de direction (OI) ou (OJ) Interpréter graphiquement lim dans un repère (O, I, J). x + Représentation graphique des fonctions du type : -x ⁿ x (n ε IN*) ; -x x' (r ε θ, x ε IR * ). - Définitions ; notation x p/q. - Propriétés des puissances d exposants rationnels, dérivée et représentation graphique. Démontrer qu une courbe admet une branche parabolique de direction (OI) (resp. (OJ) ). L étude générale des branches infinies est hors programme. Fonctions logarithme népérien et fonction exponentielle népérienne ; - définitions, propriétés, représentation graphique ; - limites de référence. Logarithme décimal : définition. Définition de la fonction exponentielle de base a (a ε IR * \ { 1}). Définition de la fonction puissance d exposant réel non nul. Croissance comparée des fonctions logarithme népérien, exponentielle et puissances. Fonctions du type In u, exp u, uª (a ε IR*). Résoudre des équations ou inéquations faisant intervenir des fonctions exp ou In. Etant donnée une fonction définie par une formule explicite, l étudier et la représenter. Utiliser les limites sur la croissance comparée pour calculer d autres limites. Aucune étude des propriétés de la fonction logarithme décimal ne sera faite mais on l utilisera dans des exercices. Toute étude de fonction doit être guidée. On n abusera pas des fonctions définies par raccordement.

23 Primitives Définition d une primitive. CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Existence de primitives d une fonction continue sur un intervalle (admis). Les fonctions considérées sont toutes continues sur un intervalle et les primitives sont définies sur un intervalle. Ensemble des primitives d une fonction continue. Unicité de la primitive d une fonction prenant une valeur donnée en un point donné. Primitives des fonctions de référence. Primitives de u + v, Déterminer les primitives d une fonction en utilisant les primitives des fonctions de référence. Déterminer les primitives d une fonction du type : - au+ ß v, (a ; ß) ε IR². - v'x (u' v) ; - v' x um (m ε IR - { -1}). - u'x eu. Déterminer la primitive qui prend une valeur donnée en un point donné, d une fonction.

24 CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Calcul intégral Définition de l intégrale d une fonction continue f : b f(t) dt = F(b) F(a) où F est une primitive a de f. Calculer une intégrale : - en utilisant les primitives des fonctions usuelles ; - en utilisant une intégration par parties ; - en utilisant un changement de variable affine. La fonction x s f(t) dt est l unique primitive de f qui s annule en a. Interprétation graphique de l intégrale d une fonction continue positive. Les fonctions considérées sont toutes continues sur l intervalle d intégration. On pourra calculer sur des exemples la valeur approchée d une intégrale par la méthode des rectangles. Propriétés : - linéarité ; - relation de Chasles ; - positivité ; - si f g sur [a, b] alors b f(t)dt b g(t)dt ; - inégalité de la moyenne -si m f M sur [a, b] alors M (b a) b f(t)dt M (b a) ; - si f M, alors. a b M b f(t)dt - valeur moyenne d une fonction ; - intégration par parties ; - changement de variable affine. Application au calcul d aire. Fonction du type F : x x f(t) dt. Utiliser la relation de Chasles pour effectuer un calcul intégral. Connaissant un encadrement d une fonction f sur [a, b], trouver un encadrement de b f(t) dt. Calculer l aire d une partie du plan limitée par : - la courbe représentative d une fonction, l axe des abscisses et les droites d équation x = a et x = b ; Etant donné la fonction F : x x f(t) dt : -à partir d une majoration ou d une minoration donnée, déduire l existence ou non des limites de F aux bornes de son ensemble de définition ; - étudier les variations de F ; - donner une allure de la représentation graphique L unité d aire attendue doit être précisée dans l énoncé. L étude de la fonction x x f(t) dt sera guidée.

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26 PROGRAMME DE TERMINALE D

27 ACTIVITES GEOMETRIQUES I- APPLICATIONS CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Complexes et géométrie plane Ecriture complexe des transformations : - Translation. - Symétrie centrale. -Symétries orthogonales par rapport aux axes du repère. - Homothétie de centre Ω et de rapport λ. - Rotation de centre Ω et d angle θ. - Similitude directe de centre Ω, de rapport λ (λ > 0) et d angle θ. Déterminer l écriture complexe d une transformation donnée. Déterminer les éléments caractéristiques d une transformation dont on connait l écriture complexe. Utiliser l écriture complexe d une transformation pour : - démontrer une propriété ; - Construire une figure ; - recherche un ensemble de points. * il ne s agit pas de faire une théorie sur les transformations et leur écriture complexe, mais d utiliser ces écritures. Les similitudes indirectes ne sont pas au programme.

28 ACTIVITES NUMERIQUES I- CALCUL NUMERIQUE CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Nombres complexes Ensemble des nombres complexes : m (, - partie réelle (Re), partie imaginaire ( m rbémlai mmofeuqi - somme, produit, quotient de deux nombres complexes ; - conjugué d un nombre complexe, propriétés ; - égalité de deux nombres complexes. Déterminer la partie réelle, la partie imaginaire d un nombre complexe. Calculer la somme, le produit et le quotient de deux nombres complexes. Déterminer le conjugué d un ombre complexe. Une construction formelle des nombres complexe n est pas à envisager. Ce nouvel ensemble s intègre naturellement dans le prolongement de IR. Il offre de plus un domaine d activités numériques riche. Forme trigonométrique d un nombre complexe : - module et argument d un nombre complexe ; - module et argument du produit, de l inverse, du quotient et de la puissance entière d un nombre complexe. Forme exponentielle (r e'θ). Représentation géométrique d un nombre complexe : - affixe d un point, d un vecteur ; - point image d un nombre complexe ; - vecteur image d un nombre complexe. Déterminer le module et un argument d un nombre complexe non nul. Passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique et inversement. Représenter graphiquement un nombre complexe. On alternera les situations algébriques et géométriques afin d entrainer les élèves au passage de l une à l autre. Applications géométriques : - mes (DC, BA) = arg - caractérisations complexes : - d un cercle, - d une droite. Démontrer que des points sont alignés. Démontrer que des points sont cocycliques ; Déterminer des lieux géométrique à l aide des nombres complexes.

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30 II- CALCUL LITTERAL CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Equations dans : Racines carrées d un nombre complexe. Equations du second degré à coefficients complexes. Racines nièmes de l unité. Racines nièmes d un nombre complexe non nul, interprétation graphique. Applications à la trigonométrie Formule de Moivre. Formule d Euler. Equations différentielles : Equation différentielle du type f = k f. Equation différentielle du type f' m f. Résoudre une équation du second degré à coefficients complexes ainsi que des équations s y ramenant. Placer sur le cercle trigonométrique les images des racines nièmes d un nombre connaissant l une d elles. * déterminer les racines nièmes d un nombre complexe. Linéariser des puissances de cos x et sin x. Utiliser les formules de Moivre et d Euler pour transformer des produits en somme dans des expressions trigonométriques. Résoudre une équation différentielle du type f = k f. Résoudre une équation différentielle du type f' = 0. Résoudre une équation différentielle du type f' = m f. On se limitera à des exposants peu élevés. Les formules trigonométriques obtenues ne sont pas à apprendre par cœur. On utilisera beaucoup d exemples tirés des sciences physiques pour consolider les acquis de ce chapitre. La résolution des équations différentielles du type a f' + b f + c f = g où a, b et c sont des nombres réels non nuls et la théorie qui l accompagne sont hors programme.

31 III- ORGANISATION DES DONNEES Suites numériques Suites monotones. Suites convergentes. - Notion de convergence. - Unicité de la limite (admis). CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES = f(x) - S f est une fonction numérique telle que lim alors la suite définie par Un = f(n) x + ºº. convergence ver - Suite majorée : Toute suite croissante et majorée converge (admis). - convergence des suites géométriques et arithmétiques. Suites divergentes. Statistiques Séries statistiques à deux caractères. - Nuage de points. - Point moyen. - Ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés. - Covariance. - Droite de régression. - Coefficient de corrélation linéaire. Démontrer qu ne suite est monotone par : - une comparaison de deux termes consécutifs quelconques ; - l étude des variations d une fonction ; - un raisonnement par récurrence. Démontrer qu une suite est convergente ou divergente en utilisant : - les opérations sur les limites ; - une suite géométrique ou arithmétique ; - les théorèmes sur la convergence. Résoudre des problèmes concrets (biologie, économie), utilisant principalement les suites arithmétiques ou géométriques. * utiliser un tableau à double entrée représentant une série à deux caractères pour reconstituer les séries marginales. Calculer la covariance. Calculer le coefficient de corrélation linéaire Déterminer une équation d une Droite d ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés. Les occasions d utiliser le raisonnement par récurrence sont nombreuses dans le programme (suites, intégrales). On apprendra donc aux élèves ce type de raisonnement. Lorsque ce raisonnement est indispensable, l énoncé le suggérera. L étude des suites est volontairement réduite. On s attachera surtout à la résolution de problèmes concrets se ramenant principalement à l étude des suites géométriques et arithmétiques. Dans l énoncé des exercices, une méthode d étude sera obligatoirement suggérée. De même qu en première, la notion de limite de fonction a été introduite de façon intuitive, on pourra s appuyer sur l utilisation de la calculatrice et des graphiques pour l introduction de la notion de convergence d une suite. Les notions de suites majorées ou minorées sont définies essentiellement dans le but de donner des outils complémentaires pour la convergence des suites. Ainsi, il ne sera pas nécessaire de multiplier les exercices et les méthodes autour de ces notions. Interpréter le coefficient de corrélation linéaire.

32 Dénombrement Triangle de Pascal. CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Formule du binôme. Développer ( a + b)n. Probabilités Vocabulaire. Définition d une probabilité. Propriétés. Probabilité conditionnelle. -p(a/b) = - Evènements indépendants. Dénombrer, dans le cas d une expérience conduisant à un nombre fini d éventualités : - les cas possibles d une expérience ; - les cas favorables d un évènement. Calculer la probabilité d un évènement. Calculer la probabilité conditionnelle d un évènement par rapport à un évènement de probabilité non nulle. Justifier que deux évènements sont indépendants ou non. On consolidera les acquis de la classe de première sur le dénombrement. On apprendra à reconnaître un évènement élémentaire d une expérience aléatoire. On fera le lien entre la fréquence en statistique et la probabilité de l évènement correspondant. L utilisation des outils de l analyse combinatoire (arrangement, combinaison) se fera sans rechercher des difficultés techniques. On présentera des applications des probabilités conditionnelles en biologie et en économie. Variable aléatoire. - Définition. - Loi de probabilité. - Fonction de répartition. - Espérance mathématique. - Variance ; écart-type. Une variable aléatoire étant donnée : - déterminer sa loi de probabilité et sa fonction de répartition ; - construire sa fonction de répartition ; - calculer son espérance mathématique ; - calculer sa variance et son écart-type. Loi binômiale : - E(X) = np ; - V(X) = np(1 p) Calculer la probabilité d obtenir k succès dans une suite de n épreuves de Bemoulli (0 k n).

33 Limite et continuité Limites. - Limites d une fonction composée. CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Déterminer la limite d une fonction : - en utilisant les limites de référence ; - en utilisant une expression conjuguée ; - en ayant recours à la définition d un nombre dérivé. Déterminer la limite d une fonction composée. Fonctions continues sur un intervalle. - Opérations composées (propriétés admises). - Image d un intervalle. Déterminer l image d un intervalle par une fonction continue : - en utilisant le tableau de variations ; - en utilisant une méthode algébrique. La détermination de l image d un intervalle par une fonction continue par une méthode algébrique ne sera proposée qu à travers des exercices guidés. - Fonction continue et strictement monotone sur un intervalle : Théorème 1 : Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle, alors f est une bijection de sur f( ). Sa bijection réciproque f ¹ est continue et de même sens de variation que la fonction f. Théorème 2 : Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle, alors pour tout m de f( ), l équation f( x) = m admet une unique. solution dans Démontrer qu une fonction f est une bijection d un intervalle sur un intervalle J dans le cas où. f est continue et strictement monotone sur En outre dans des cas simples où f est donnée par une formule explicite, déterminer f ¹(x). Prouver l existence d une unique solution de l équation f(x) = m sur un intervalle, f étant. continue et strictement monotone sur On n abordera pas le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas général. On habituera les élèves à donner une valeur approchée d une solution d une équation. On ne demandera pas de justifier la continuité d une fonction sur un intervalle. Corollaire : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a, b]. Si f(a) et f(b) sont de signes contraires, alors l équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l intervalle ouvert ]a, b[. - Prolongement par continuité. Continuité et dérivabilité Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. Prolonger par continuité une fonction en un point.

34 Fonctions dérivées CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Dérivées successives ; nouvelles notations Dérivée d une fonction composée (admis) ; application à la dérivation des fonctions de la forme Uⁿ (NεZ*), In u, exp o u, uª (u ε k*), u. Démontrer qu une fonction composée est dérivable en un point et savoir calculer le nombre dérivé en ce point. On ne s attardera pas à une utilisation générale de la dérivée d une fonction composée. Existence de la dérivée d une fonction réciproque (admis), formule. Nombre dérivé à droite (à gauche) d une fonction en un point. Préciser l ensemble des éléments où la fonction réciproque d une fonction donnée est dérivable. Déterminer le nombre dérivé de la fonction f ¹ en un point x. On se limitera à l utilisation de la formule donnant la dérivée d une fonction réciproque uniquement en un point x et cela pour des exemples ne présentant pas de difficulté particulière. Demi- tangente. Etudier la dérivabilité d une fonction définie par intervalles en un point de raccordement. Interpréter graphiquement la dérivabilité à droite (resp. à gauche) d une fonction en un point x. On ne demandera pas de justifier la dérivabilité d une fonction sur un intervalle.

35 CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Etude et représentation graphique de fonctions Branches paraboliques de direction (OI) ou (OJ) Interpréter graphiquement lim dans un repère (O, I, J). x + Représentation graphique des fonctions du type : -x ⁿ x (n ε IN*) ; -x x' (r ε θ, x ε IR * ). * Fonctions : -x ⁿ x (n ε IN*) ; -x x' (r ε θ, x ε IR * ). Démontrer qu une courbe admet une branche parabolique de direction (OI) (resp. (OJ) ). L étude générale des branches infinies est hors programme. - Définitions ; notation x p/q. - Propriétés des puissances d exposants rationnels, dérivée et représentation graphique. Résoudre des équations ou inéquations faisant intervenir des fonctions exp ou In. Fonctions logarithme népérien et fonction exponentielle népérienne ; - définitions, propriétés, représentation graphique ; - limites de référence. Logarithme décimal : définition. Définition de la fonction exponentielle de base a (a ε IR * \ { 1}). Définition de la fonction puissance d exposant réel non nul. Croissance comparée des fonctions logarithme népérien, exponentielle et puissances. Fonctions du type In u, exp u, uª (a ε IR*). Etant donnée une fonction f définie par une formule explicite : - trouver les limites de f aux bornes de son ensemble de définition ; - étudier les variations de f ; - représenter graphiquement f. Aucune étude des propriétés de la fonction logarithme décimal ne sera faite mais on l utilisera dans des exercices. On n abusera pas des fonctions définies par raccordement. L étude des familles de fonctions n est pas au programme. Utiliser les limites sur la croissance comparée pour calculer d autres limites.

36 Primitives Définition d une primitive. CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Existence de primitives d une fonction continue sur un intervalle (admis). Les fonctions considérées sont toutes continues sur un intervalle et les primitives sont définies sur un intervalle [a ; b].. Ensemble des primitives d une fonction continue. Unicité de la primitive d une fonction prenant une valeur donnée en un point donné. Primitives des fonctions de référence. Primitives de u + v, Déterminer les primitives d une fonction en utilisant les primitives des fonctions de référence. Déterminer la primitive qui prend une valeur donnée en un point donné, d une fonction. Déterminer les primitives d une fonction du type : - au+ ß v, (a ; ß) ε IR². - v'x (u' v) ; - v' x um (m ε IR - { -1}). - u'x eu.

37 CONTENU SAVOIR-FAIRE NOUVEAUX COMMENTAIRES Calcul intégral Définition de l intégrale d une fonction continue f : b f(t) dt = F(b) F(a) où F est une primitive a de f. Calculer une intégrale : - en utilisant les primitives des fonctions usuelles ; - en utilisant une intégration par parties ; - en utilisant un changement de variable affine. La fonction x s f(t) dt est l unique primitive de f qui s annule en a. Les fonctions considérées sont toutes continues sur l intervalle d intégration [a, b]. On ne fera pas l étude des formations de la forme x. Interprétation graphique de l intégrale d une fonction continue positive. Propriétés : - linéarité ; - relation de Chasles ; - positivité ; - si f g sur [a, b] alors b f(t)dt b g(t)dt ; Techniques de calcul d une intégrale - utilisation des primitives ; - intégration par parties. Utiliser la relation de Chasles pour effectuer un calcul intégral. Connaissant un encadrement d une fonction f sur [a, b], trouver un encadrement de b f(t) dt. On pourra, en travaux dirigés sur des exercices, calculer une valeur approchée d une intégrale par la méthode des rectangles. Application au calcul d aire. Calculer l aire d une partie du plan limitée par : - la courbe représentative d une fonction, l axe des abscisses et les droites d équation x = a et x = b ; - les courbes représentatives de deux fonctions et les droites d équation x = a et x = b. L unité d aire attendue doit être précisée dans l énoncé..