Révisions Maths Terminale S - Cours

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1 Révisions Maths Terminale S - Cours M. CHATEAU David 24/09/2009 Résumé Les résultats demandés ici sont à connaître parfaitement. Le nombre de réponses attendues est parfois indiqué entre parenthèses. Les démonstrations à connaître feront l objet d un autre document de synthèse, un jour... 1

2 Table des matières 1 Formules de Trigonométrie, Identitées remarquables 3 2 Suites 3 3 Fonctions 4 4 Exponentielle et Logarithme népérien Exponentielle Logarithme népérien Un peu des deux Equations différentielles 5 6 Complexes 5 7 Intégration 6 8 Probabilités Lois discrètes Lois continues Produit scalaire Dans le plan Dans l espace Droites et Barycentre de l espace 9 11 Puissances et racines Nièmes. 9 2

3 1 Formules de Trigonométrie, Identitées remarquables cos(a + b) =... cos(a b) =... sin(a + b) =... sin(a b) =...? cos(2a) =... sin(2a) =... cos 2 + sin 2 =...? cos( π 2 x) =... sin( π 2 x) =...? cos(x + 2π) =... sin(x + 2π) =...? cos(π + x) =... sin(π + x) =...? cos(π x) =... sin(π x) =...? cos( x) =... sin( x) =...? tan =... tan(x + π) =...? sin 2 (x) =... cos 2 (x) =...? (a + b) 2 =... (a b) 2 =... a 2 b 2 =... a 2 + b 2 =...? 2 Suites Expression de U n+1 U n S n pour une suite arithmétique? Expression de U n+1 U n S n pour une suite géométrique? Comment étudier les variations d une suite? (4) Etapes d une récurrence? lim n q n? Quelles sont les formes indéterminées? Comment les lever? (2) Théorèmes de comparaison? (5) Théorème de la convergence monotone? Définition et théorème des suites adjacentes? Etude d une suite récurrente U n+1 = au n + b 3

4 3 Fonctions Signification de f dérivable en a? (2 expressions) Signification de f continue en a? Lien entre dérivabilité et continuité? Equation de la tangente en a? Théorème des Valeurs Intermédiaires? Théorème de la Bijection? Quelle est la limite en ± d une fonction rationnelle? ( u v ) (v u) (u n ) (uv) sin cos tan? Plan d étude d une fonction? Comment repérer un extrémum local? Approximations en x 0 de (1 + x) n cos(x)... e x...? 1 + x... sin(x) 4 Exponentielle et Logarithme népérien 4.1 Exponentielle Définition de exp? Premières propriétés? (2) Bijection? Allure graphique? Définition du nombre e? Expression en terme de limite? exp(0)? exp(a + b) =... exp(a b) =... exp(na) =... exp( a n ) =...? Equation de la tangente en 0? exp (u) =...? Qu est-ce que la méthode d Euler? Expliquer son principe? 4.2 Logarithme népérien Définition de ln? Domaine de définition? Bijection? Allure graphique? ln(1)? 4

5 ln(ab) =... ln( a b ) =... ln(an ) =... ln( n a) =...? Equation de la tangente en 0? ln (u) =...? 4.3 Un peu des deux ln(e x ) =... e ln(x) =... ln(e 1 ) =... e ln(1) =...? Croissance comparée? Qui gagne sur qui? Définir exponentielle de base a et logarithme de base a. Pour exponentielle de base a, donner sa dérivée, ses varitations, et une propriété de symétrie. 5 Equations différentielles Solution de y = ay? Solution de y = ay + b? Donner un exemple de phénomène physique associer à ce type de relation. 6 Complexes Définir nombre complexe, sa partie réelle, sa partie imaginaire, son module, son argument. Définir la notation e iθ ; e iθ =...? Donner les écritures possibles d un nombre complexe. (3) Dessiner le cercle trigonométrique avec les valeurs connues. i 2 =... i 3 =... 1 i =...? z z =... Re(z) =... Im(z) =...? z + z =... z z =... z n =...? 5

6 z z =... z =... z =... z n =...? arg(z z ) =... arg( z z ) =... arg(zn ) =... arg( z) =... arg( z) =...? Inégalité triangulaire? Affixe de AB? ( CD; AB) =... (AB)//(CD)... (AB) (CD)...? Relation entre z et z pour une translation de w? Relation entre z et z pour une homothétie de centre Ω(w) et de rapport k? Relation entre z et z pour une roration de centre Ω(w) et d angle θ? Traduire le fait que M med[ab]. Traduire le fait que M C Ω,r. Formules de Moivre et formule d Euler? Soit P un polynôme à coefficients réels, si z est racine, alors...? Résoudre z 2 = a avec a<0. Résoudre az 2 + bz + c = 0. 7 Intégration Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral? Intégration par partie? Combien de primitives admet une fonction continue? Comment sont-elles liées? Combien vérifie une condition initiale y 0 = x 0? Inégalité de la moyenne? Relation de Chasle? Linéarité? a =......? u u n =... u u =... u e u =... au =... u +v = 6

7 u 2 u =... sin(x) =... cos(x) =... sin(x)cos(x) =... ln(x) =...? Si f est paire? Si f est impaire? Si f est positive? Si f est plus grand que g? Expliquer le calcul de volume à l aide d une formule avec intégrale. 8 Probabilités 8.1 Lois discrètes Définir expérience aléatoire, variable aléatoire, probabilité, univers, évènement, évènement élémentaire. P (A) =... P (A B) =... P (Ā) =... P A(B) =...? A B =... A B =... Ā =...? E(X) =... V ar(x) =... σ(x) =...? Formule des probas totales? Définir évènements indépendants, évènements incompatibles. P A (B) = P (B)...? ( n p ) en fonction des factorielles? ( n n p ) =...? Triangle de Pascal? Relation de Pascal? Théorème de l expérience de Bernouilli? Théorème du schéma de Bernouilli? Exprimer la linéarité de l espérance. 8.2 Lois continues Définir la fonction f de densité et P [α; β] =... 7

8 Définir la fonction F de répartition de X et F (x) = P (...) =... Sous quelle condition X suit la loi de densité F? loi uniforme : graphe + f(t) =... F (t) =... P [α; β] =...? loi exponentielle : graphe + f(t) =... F (t) =... P [α; β] =...? loi exponentielle : P X t [X t + k] =...? loi normale : graphe. 9 Produit scalaire 9.1 Dans le plan u. u =...? u. v =...? u + v 2 =... ; Conséquences? En repère orthonormé, u. v =...? Condition d orthogonalité? Point de vue géométrique : u. v =...? Lien entre produit scalaire et projection orthogonale? Relation dans un parallélogramme? Relation dans un triangle? (4) [surface, sinus, al-kashi, médiane] Distance point-droite? 9.2 Dans l espace Définir le produit scalaire dans un repère d espace orthonormé : u. v =...? Que signifie que le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique? Les propriétés géométriques sont-elles les mêmes que dans le plan? Caractérisation d un plan : M P...? Equation de ce plan? Cette équation est-elle unique? 8

9 P//Q...? P Q...? Distance point-plan? 10 Droites et Barycentre de l espace G = bar(a i ; α i ) i=1..n? Théorème d associativité? Si M=O, on a OG =...? Peut-on l appliquer aux coordonnées? (AB) =...? (2) [avec t puis avec α, β] [AB] =...? (2) [avec t puis avec α, β] Le plan (ABC) est...? Le triangle ABC est...? Paramétrage de (AB), (AB] et [AB]? A quoi sert la méthode de Gauss? L expliquer. Définir les demi-espaces. Intersection plan-droite, plan-plan, plan-plan-plan. 11 Puissances et racines Nièmes. Si a > 0 et b R alors a b =...? Les règles sur les puissances sont les mêmes que celles sur...? Relation entre racine et exposant? Dérivée de racine Nième de u? Relation de symétrie entre x puissance n et racine n-ième de x? 9

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