Similitudes directes

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1 Similitudes directes Cours maths Terminale S Similitudes directes : Après de brefs rappels concernant les similitudes en général, on choisit dans ce module de s intéresser exclusivement au cas des similitudes directes. Sommaire cours maths Terminale S A voir aussi : Sommaire par thèmes Sommaire par notions 1/ Rappels On appellesimilitude( plane ) toute transformation du plan qui conserve les rapports de distances. Une transformation du plan est une similitude si et seulement si elle multiplie les distances par un réel k,strictement positif. Ce réel k est appeléle rapport de la similitude. L identité, les translations, les homothéties, les rotations, les symétries centrales les symétries axiales, encore appelées réflexions, sont des similitudes. Attention! Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport l k l Une similitude de rapport 1 conserve les distances, elle est appelée isométrie. L identité, les translations, les rotations, les réflexions sont des isométries La symétrie centrale est un cas particulier de rotation, c'est donc une isométrie. Les similitudes conservent les angles géométriques. On appellesimilitude directetoute similitude qui conserve les angles orientés. Une isométrie directe est appeléeun déplacement. L identité, les translations, les homothéties, les rotations, les symétries centrales sont des similitudes directes. On appellesimilitude indirectetoute similitude qui transforme tout angle en son opposé. Une isométrie indirecte est appeléeun anti-déplacement. Les réflexions sont des similitudes indirectes. 2/ Angle d une similitude directe Propriété : Si s est unesimilitude directe alors :

2 quels que soient les points distincts A et B du plan, d images respectives A et B, l angle est constant. Cet angle est appelé l angle de la similitude. Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan, d images respectives A, B, C et D. Or, s similitude directe conserve les angles orientés, donc : On a donc : L angle entre un vecteur et son vecteur image est bien constant. - les translations, l identité et les homothéties de rapport k >0 sont des similitudes d angle nul. - les homothéties de rapport k < 0 et les symétries centrales sont des similitudes d angle. - les rotations d angle 0 sont des similitudes d angle0. Réciproque : Si s est une similitude telle que : pour tous points distincts A et B du plan d images respectives A et B, l angle est constant, alors s est une similitude directe. Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan, d images respectives A, B, C et D. Or, l angle orienté entre un vecteur et son image est constant, donc: On a donc : s est une similitude ilitude qui conserve les angles orientés, elle est donc directe. 3/ Écriture complexe d une similitude directe Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé de sens direct soit f transformation du plan. Si f est unesimilitude directede rapport k et d angle 0 alors : alors f admet une écriture complexe de la forme : z' = az + b aveca a = ke io Soit fsimilitude directe de rapport k et d angle 0. Il est à remarquer que si f a pour écriture : z' = az + b alors O a pour image O d affixe b. Appelons donc b l affixe de O image de O par f et soit M (z ) image de M(z) par f.

3 Alors : O M = k OM donc : Soit : De plus : Donc : arg (z' - b) - arg (z - 0) = 0 Soit : est le nombre complexe de module k et d argument 0 donc : D où f s écrit : z' = az + b aveca a = ke io Et k 0 donc a 0. Réciproque : soient a et b nombres complexes. Toute transformation f admettant une écriture de la forme : z' = az + b avec a 0 est une similitude directe de rapport k = l a l et d angle 0=arga Soient M et N points quelconques du plan d images respectives M et N par s. Alors : D où :, donc : M' N' = l a l xmn Et a 0, donc f est une similitude de rapport l a l De plus, comme a 0, son argument existe et arg (z N - z M) = arg a + arg(z N - z M) Donc : D où : f est une similitude et l angle entre un vecteur et son image est constant donc : f est une similitude directe et son angle vaut cette constante : arga En résumé : s, transformation du plan, est une similitude directe si et seulement si s a une écriture complexe de laforme : z' = az + bavec a 0 Le rapport k de s vaut alors : et son angle 0vaut : arga a s écrivant donc : a = ke i 0 Cas particuliers : - les translations sont des similitudes directes de rapport 1 et d angle nul. - une homothétie de rapport k > 0 est une similitude directe de rapport k et d angle 0.

4 - une homothétie de rapport k < 0 est une similitude directe de rapport (-k) et d angle. - une rotation d angle 0 est une similitude directe de rapport 1 et d angle 0 4/ Existence et unicité d une similitude directe Soient A, B, A et B quatre points du plan tels que A B et A B. Alors, il existe une unique similitude directe s telle que : s(a) = A et s(b) = B. Si une telle similitude s existe alors il existe a et b complexes, avec a 0 tels que: z A' = az A + b et z B' = az B + b alors : z B' - z A' =a(z B -za) soit : auquel cas : b = z A' - az A Si s existe, le couple ( a ; b ) est unique et s est donc elle aussi unique. Soit s dont l écriture complexe est z' = az + b avec: et b =z A' - az A B étant différent de A, a est défini. z A' = az A + b et z B' - z A' = az B - az A Donc z B' = azb - az A + z A' = az B + b De plus, comme B A, a est non nul et s est donc définie. D où : s(a) = A et s(b) = B. Une similitude directe transformant A en A et B en B existe donc et est unique. Remarques : - la démonstration de ce théorème fait souvent l objet d un R.O.C au BAC. - s a pour rapport : et pour angle - il est nécessaire d avoir A B et A B mais il est possible d avoir A = A ou B = B auquel cas, les points sont invariants par s. 5/ Forme réduite d une similitude directe soit s similitude directe d écriture complexe : z' = az + b avec a 0. - si a = 1 : s est la translation de vecteur d affixe b. (le vecteur n'a aucun rapport avec le vecteur de base. il s'agit seulement d'une notation) aucun rapport avec le vecteur de base. il s'agit - si a 1 : alors s admet un unique point invariant d affixe : et s est la composée : - de l homothétie de centre et de rapport l a l (rapport de s) et - de la rotation de centre et d angle : arg a(angle de s) est appelé lecentre de la similitude directe. Et une écriture complexe de s est alors : Remarques : - si l a l = 1 et a 1, l homothétie est l identité et s est alors une simple rotation.

5 - si arg a = 0 + 2k, la rotation est l identité est s est alors une homothétie. - comme nous le démontrerons, l ordre de composition n a pas d importance. - cette décomposition en rotation et homothétie est unique et appelée forme réduitede s. Toute similitude directe, différente d une translation, s écrivant de façon unique comme la composée d une rotation et d une homothétie : elle est donc entièrement définie par la donnée de son centre, de son rapport et de sonangle. On les appelle leséléments caractéristiques de la similitude directe. Et l on notera s de la sorte : s ( Soit M(z) d image M (z ) par s. ; k ; 0) Si a = 1 : z' - z = b donc : avec d affixe b. s est donc la translation de vecteur Remarque : si b = 0, alors s est l identité et tout point est alors invariant par s. - si a 1 alors M(z) invariant par s car : a 1 s admet donc un unique point invariant d affixe : M (z ) image de M(z) par s est donc équivalent à : * Or, l écriture complexe de h homothétie de centre et de rapport l a l est * Et l écriture complexe de r rotation de centre et d angle argaest L écriture de h o r est donc : L écriture de r o h est donc : Dans les deux cas, il s agit de l écriture de s, qui est donc égale à h o r et r o h. 6/ Déplacements Si une transformation f est un déplacement alors : f est soit une translation soit une rotation d angle non nul. f déplacement est une similitude directe de rapport 1, donc f s écrit : z' = az + b avec l a l = 1 Et nous avons montré que : - si a = 1 : alors f est la translation de vecteur d affixe b.

6 Et il est à remarquer que : - si b 0 : f n admet aucun point fixe. - si b = 0 : f = Id et tout point du plan est fixe. - si a 1 : alors a s écrit a = e i0 avec 0 non nul car a 1. f admet alors ununique unique point fixe d affixe f = r o h avec r = r ( ; 0) et h = h ( ; l a l ). Or : h = Id donc f = r. Dans ce cas là, f est doncune rotation d angle non nul. Conséquence : Un déplacement admettant un point fixe est soit l identité, soit une rotation d angle non nul. En effet, d après le listage fait lors de la démonstration du théorème : - soit f est un déplacement admettant un unique point fixe auquel cas il s agit d une rotation d angle non nul. - soit f est un déplacement avec plus d un point fixe auquel cas il s agit de l identité. 7/ Composition de similitudes directes Soit fsimilitude directe de rapport k et d angle0 et soit g similitude directe de rapport k et d angle 0. Alors, f o g et g o f sont des similitudes directes de rapport kk et d angle 0+0. Démonstration : Soit f d écriture complexe : z'= az +b avec a = ke i0 0 Et soit g d écriture complexe : z' = cz + d avec c = k' e i0 0 Alors : f o g a pour écriture : z' = a (cz + d) + b = (ac)a + (ad + b) L écriture de f o g est du type : z' = Az + B, avec A = ac = ke i0 k'e i0 = kk'e i(0+0') 0 similitude directe de rapport : l A l = kk' et d angle arg A = Donc, f o g est une similitude directe de rapport : g o f a pour écriture : z' = c(az + b) + d = (ac)z + (cb + d) Donc, g o f est également une similitude directe de rapport kk et d angle 0+ 0 Attention! en général f o g et g o f ne sont as égales En effet : f o g a pour écriture : g o f a pour écriture : Donc, à moins que ad + b soit égal à cb + d, f o g et g o f nesont pas égales. En particulier, si ac 1, fog et gofposs&eg 0.