BAC PRO 1 MATHEMATIQUES Approche Logarithme décimal LOGARITHMES L D 01

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1 BAC PRO MATHEMATIQUES Approche Logarithme décimal LOGARITHMES L D 0. ECHELLE DES TEMPS. Il y a environ 5 milliards d années, le «big bang» donnait naissance à l univers. 0 milliards d années plus tard naissaient la terre et le système solaire. Il y a environ 6 millions d années apparaissaient les premiers hominidés. Puis les australopithèques peuplèrent la terre il y a trois millions d années. Vinrent ensuite les premiers «vrais hommes» l homo habilis qui vivait il y a deu millions d années, puis l homo erectus il y a ans. L homme de néanderthal, lui succéda il y a ans, puis apparut l homo sapiens actuel dont nous faisons partie. a) Imaginons qu il soit nécessaire de représenter cette histoire de la terre sur une droite graduée, en prenant comme échelle mm = ans quelles doit être la largeur de la feuille pour tout représenter?. La question précédente montrent qu il est impossible de représenter ces dates sur une graduation régulière. Nous allons donc construire une graduation sur laquelle nous inscrirons les nombres ; ; Pour cela eprimons ces nombres sous la forme d une puissance de 0 et utilisons les eposants pour les repérer. Ainsi l année = 0 4 est repérée par la graduation 4, l année est repérée par la graduation 5 et ainsi de suite. a) En choisissant une unité graphique égale à,5 cm, construire cette droite graduée en plaçant les points correspondants au nombres 0 ; ; 0 ; 00 ;. ; , le nombre 0 correspondant à l époque actuelle. La graduation ainsi construite est une fonction qui à une puissance de 0 fait correspondre son eposant. Cette fonction eiste ; Elle est appelée logarithme décimal et elle est notée «log». On écrit par eemple : log 0 4 = 4 ; log 0 5 = 5 ; log 0 9 =.. L échelle que nous venons de construire est appelée échelle logarithmique. b) A l aide de la touche log de votre calculatrice, déterminez les graduations correspondant au différentes dates citées. Evénement Big Bang terre er hominidé Australo.. Homo habilis Homo hérectus Néanderthal Nous Dates d Log d ( 0, près ) c) Placez ces dates en rouge sur la droite graduée du paragraphe b. d) Représentez en coloriant en bleu sur ce même repère l époque jurassique ( chère au dinosaures) qui se situe entre 0 et 55 millions d années.. POPULATION. Une population augmente de 5 % par an. En 989, il y a habitants. En quelle année la population sera t elle de habitants?. Calcul de l augmentation au bout d une année : Calcul de la population au bout de la seconde année : Calcul de la population au bout de n années : Pour résoudre notre problème, il faut déterminer n pour que : (,05 ) n = Les fonctions logarithmiques permettent de décrire certaines situations de la vie professionnelle et de résoudre des équations ou l inconnue se situe en eposant d une puissance.

2 BAC PRO MATHEMATIQUES Cours Logarithme décimal LOGARITHMES L D 0. LOGARITHME DECIMAL : APPROCHE DE LA NOTION. Dans l eemple «échelle des temps», à toute date est associée, un nombre réel sur l échelle logarithmique des temps tels y que = 0. Ecrivons par eemple ( début de l homo sapiens ) sous forme de puissance de 0. On peut écrire par conséquent : = = 0 y y = log = log ,544. 4,544 log ou encore en toute rigueur : = 0. On admet que tout réel strictement positif peut s écrire sous forme de puissance de 0 : = 0 y ou y est l eposant réel. La fonction logarithme décimal, notée log, est la fonction qui à tout associe y. 4. DEFINITION. L eposant d une puissance de 0 est appelé «logarithme décimal» du nombre. On écrit : log 0,00 = - ; log 0, = - ; log 0 = ; log 000 = etc. log 0 a = a Pour trouver le logarithme décimal de tout nombre positif, on utilise la touche log de la calculatrice. Remarque : log = 0 ; log 0 = ; log 00 = : le log d un nombre supérieur à est positif. log 0, = -; log 0,0 = - ; log 0,00 = -: le log d un nombre compris entre 0 et est négatif. 5. FONCTION log. Compléter le tableau. a 0 0, 0, log a Tracer la représentation graphique de la fonction log. Echelles : abscisse cm pour une unité ordonnée cm pour une unité. Log a a La fonction logarithme est définie sur l intervalle ] ; + [ 0. Valeurs remarquables : log = 0 ; log 0 = On dit que la fonction logarithme décimal et la fonction puissance de di sont réciproques. Log ( 0 ) = ; IR et 0 log =, > 0. Le logarithme décimal transforme la suite géométrique des puissances de 0 de raison 0 en une suite arithmétique de raison. 0 ; 0 ; 0 ; ; 0 ; 0 ; 0 Suite géométrique : Suite arithmétique : - ; - ; - ; 0 ; ; ; log

3 6. PROPRIETES OPERATOIRES. a) Multiplication et division. Compléter le tableau : a b a b log a log b log ( a b ) log a + log b log a log a - log b b 0,5 4,9 4, 6, 6, On remarque que : Log ( a b ) = log a + log b ( avec a > 0 et b > 0 ). Le logarithme transforme une multiplication en addition. Log a b = log a - log b ( avec a > 0 et b > 0 ). Le logarithme transforme une division en soustraction. b) Puissance et inverse. a log a log a log a + log a log 0,5,9 6, On remarque que : log a n = n log a ( avec a > 0 ). Le logarithme transforme une puissance en multiplication. a Log = - log a ( avec b > 0 ). a Le logarithme transforme l inverse en opposé. Applications. Calculer : A = log + log 4 ( au centième près )... Calculer : B = 5 log,6 0,5 ( a 0,0 près )... Eprimez en fonction de log et de log y : log 4 = log = log ( y ) = log y..... =..

4 BAC PRO MATHEMATIQUES Eercices Logarithme décimal LOGARITHMES L D 0 EXERCICES. Eercice : Calculer log pour les valeurs de suivantes : ( au centième près par défaut ). 0,6 ;. 5 ;, ; 9 ;,8 ; Eercice : Eprimer en fonction de log a et log b : log a = log ( b 5 ) =.. log ( a² ) =.. b a log b 5 =... log ( a b ) = Eercice : Compléter le tableau ci-dessous : y log log y,4,8,56,4,6 4,6 5,54, Tracer les points de coordonnées log, log y dans le repère. (échelles : 4 cm = unité sur O et 5 cm = unité sur Oy ) log y log Vérifier que l on a une relation du type log y = a log et déterminer a.. Vérifier la relation y = a.. 4

5 BAC PRO MATHEMATIQUES Approche Logarithme népérien LOGARITHMES L n 0. ACTIVITE a) A l aide de la calculatrice, en utilisant les touches log et ln ; compléter le tableau suivant : ( arrondir au millième ) 0, 0,5 4 0 ln log ln log b) Que constate- t on?.... Le rapport ln log est constant, on admet donc que les valeurs de ln sont proportionnelles au valeurs de log. Ce rapport est égal à ln 0. On peut donc écrire ln 0 = ln log c) Représentez les fonctions ln et log dans le mène repère ci-dessous. ou encore log = ln. ln0 Ln Log d) Que constate-t on?. e) Donnez la valeur de pour laquelle ln =.. Cette valeur de est notée e, on a donc : e,88 et ln e =. f) On remarque que : ln = ln = 0. 5

6 BAC PRO MATHEMATIQUES Cours Logarithme népérien LOGARITHMES L n 0. DEFINITION. On appelle logarithme népérien la fonction notée ln ( ln ( ) ou ln ) et définie sur ] ; + [ 0. Pour trouver le logarithme népérien d un réel quelconque, on utilise la touche ln. de la calculatrice. La fonction logarithme népérien s annule pour = ; ln = 0.. REPRESENTATION GRAPHIQUE ln,5 0,5 0-0,5 - -,5-0,0,40,60,8,,4,6,8,,4,6,8 e =, La valeur de pour laquelle ln = est notée e.. On a donc : ln e =. Cette valeur de e vaut approimativement,. e =,. Remarques : Comme le nombre π, le nombre e est un nombre d une importance fondamentale en mathématiques. 4. PROPRIETES. Le nombre e est la base du logarithme népérien. Les propriétés de la fonction logarithme népérien possède les mêmes propriétés que la fonction logarithme décimal. Soit : Ln a b = ln a + ln b ; ln b a = ln a - ln b Ln b = - ln b ; ln a n = n ln a Ln a = ln b a = b ln a = ln a 5. RELATION ENTRE log ET ln. 6. DERIVEE DE LA FONCTION ln. log = ln ln0 ( log )' = Utile uniquement au métiers de l électricité.. RESOLUTION D UNE EQUATION EN UTILISANT LES LOGARITHMES. Reprenons l eemple «POPULATION» de l approche document LD 0. n n n L équation était (,05) = soit (,05) = ln,05 = ln,5 n ln,05 = ln,5 soit n = d ou n 4, 5. ln,05 La population sera de habitants 4 ans mois plus tard donc dans l année 99. on écrira donc ( ) ln, 5 soit 6

7 BAC PRO MATHEMATIQUES Eercices Logarithmes D & N LOGARITHMES L n 0 Eercice : Calculer ln pour les valeurs suivantes de : ( donner le résultat à 0,0 près par défaut). = 0,0 ; ; = ; ; =,8 ;.. = 8 ; ; = 9 ; ; = 05 ;.. Eercice : Ranger dans l ordre croissant et sans utiliser la calculatrice : ln ; ln 0, ; ln 5 ; ln 4.. Eercice : Eprimer en fonction de ln a et de ln b : ln a =. ln a y4. ( ) = ln a b e = ln =. a Eercice 4 : Soit a un réel tel que ln a < et ln a > ln. Donner l intervalle d encadrement de a à 0 près.. Eercice 5 : Résoudre les équations : = 6 ;.. = 5 ;. =,4 ;.. 0 = 6 ; 4 = 9 ; Eercice 6 : Résoudre les équations : ln ( ) = ln ( + 4 ) = ln ( ) + ln ( ) = ln ( + ) ln ( + ) - ln ( ) = ln

8 Eercice : On considère la fonction f définie sur l intervalle [,5 ; 0 ] 0 par : f ( ) = ln.. Calculer à 0,0 près : f ( 0,5 ) =. f ( ) =. f ( 5 ) =. f ( 0 ) =.. En déduire: f ( ) - f ( 0,5 ) = f ( 0 ) - f ( 5 ) =. Montrer que f ( ) - f ( ) ne dépend pas de et justifier les résultats précédents Pour cette fonction, est il utile de procéder a une étude pour déterminer sa variation?. Justifier Tracer le tableau de variation... f ( ) 6. Compléter le tableau 0,5, ln. Construire la représentation graphique de f. échelle : cm = unité sur O et cm = unités sur Oy. ln 8. Résoudre l équation d inconnue réelle : f ( ) =. 9. Vérifier graphiquement ce résultat. 8

9 8. Déterminer la hauteur pour laquelle le volume du réservoir est maimal Calculer ce volume