Chapitre 2 : Configurations et transformations.

Transcription

1 hapitre 2 : onfigurations et transformations. I Droites remarquables d un triangle. 1 Hauteurs et orthocentre. Dans un triangle, la hauteur issue de est la droite passant par et perpendiculaire à (). L orthocentre, H, du triangle est le point de concours des trois hauteurs du triangle. 2 édianes et centre de gravité. Dans un triangle la médiane issue de est la droite passant par et le milieu de []. Le centre de gravité, G, du triangle est le points de concours des trois médianes du triangle. Proposition 1 Le centre de gravité est situé aux 2 de chaque médiane en partant du sommet. 3 G =... G =... G =... Seconde

2 3 édiatrices et cercle circonscrit. 3.1 édiatrice d un segment. La médiatrice d un segment [] est la droite perpendiculaire à () passant par son milieu. Proposition 2 Un point appartient à la médiatrice du segment [b] si et seulement si ercle circonscrit à un triangle. Le centre du cercle circonscrit, O, d un triangle est le point de concours de trois médiatrices du triangle. Proposition 3 O = O = O 3.3 ercle circonscrit à un triangle rectangle. Proposition 4 est un triangle. est rectangle en si et seulement si [] est un diamètre du cercle circonscrit à. Seconde

3 4 issectrices et cercle inscrit. 4.1 issectrice d un angle. La bissectrice d un angle est la droite passant par et partageant l angle en deux angles égaux. Proposition 5 Un point situé sur la bissectrice D d un angle est équidistant des deux côtés de l angle. 4.2 ercle inscrit à un triangle. D Q = R Le centre du cercle inscrit, I, du triangle est le point de concours des trois bissectrices du triangle. Seconde

4 II Les théorèmes de Pythagore et de Thalès. 1 Théorème de Pythagore Théorème 1 (Théorème de Pythagore) Théorème direct Si est rectangle en alors 2 = 2 2. Théorème réciproque Si 2 = 2 2 alors est rectangle en. 2 Théorème de Thalès Théorème 2 (Théorème de Thalès) Les points, et sont alignés et les points, N et sont alignés. Si les droites (N) et () sont parallèles alors : = = N N Théorème 3 (Réciproque du théorème de Thalès) Les points, et sont alignés et les points, N et sont alignés dans le même ordre. Si = alors les droites (N) et () sont parallèles. 3 as particulier : théorème des milieux dans un triangle Théorème 4 (Théorème des milieux) La droite qui joint les milieux des deux côtés d un triangle est paralèles au troisième côté. I J Théorème 5 (Réciproque du théorème des milieux) Si une droite passe par le milieu du côté d un triangle et est parallèle à un autre côté alors cette droite coupe e troisième côté en son milieu. I J Seconde

5 III alculs de grandeurs : angles et longueurs. 1 ngles inscrits et angles au centre Théorème 6 (ngle inscrit et angle au centre) Un angle inscrit dans un cercle mesure la moitié de l angle au centre qui intercepte le même arc de cercle : Â = 1 2ÂO O N onséquence : Pour tous et N du même arc, Â = ÂN Exemple : est un triangle isocèle en inscrit dans un cercle. I est un point de l arc ne contenant pas. Démontrer que (I) est la bissectrice de l angle I Trigonométrie Théorème 7 (Formules de trigonométrie) Dans un triangle rectangle en : côté adjacent cos(α) = hypoténuse = côté opposé sin(α) = hypoténuse = côté opposé tan(α) = côté adjacent = Exemple : Sur la figure ci-contre, le cercle de centre O est inscrit dans le triangle. 1. alculer les arrondis au dixième des mesures des angles du triangle alculer les arrondis à l unité des longueurs et, en cm Seconde

6 IV Les transformations usuelles dans le plan. Dans cette partie, est un point quelconque et on note son image par la transformation considérée. Transformations aractérisation Figure Points invariants Translation de vecteur Symétrie centrale de centre O... O... Symétrie axiale d axe (D)... (D)... Rotation de centre O et d angle α... O... Proposition 6 Les translations, les symétries centrales, les symétries axiales et les rotations sont des transformations qui conservent les distances et les angles. e sont des isométries. onséquence : Si et alors =. Proposition 7 On note et les images respectives des points et par une transformation. Une droite () a pour image la droite ( ) Deux droites parallèles ont pour image deux droites parallèles. Deux droites perpendiculaires ont pour image deux droites perpendiculaires. L image d une intersection est l intersection des images. Un segment [] a pour image le segment [ ]. Le milieu de [] a pour image le milieu de [ ]. as particulier : Par une symétrie centrale ou une translation, une droite a pour image une droite qui lui est parallèle. Image de par la translation de vecteur u : u Seconde