DOSSIER N 01. Exemples simples de problèmes de dénombrement dans différentes situations.

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1 DOSSIER N 01 Question : Présenter un choix d exercices sur le thème suivant : Exemples simples de problèmes de dénombrement dans différentes situations. Consignes de l épreuve : Pendant votre préparation (deux heures), vous devez rédiger sur les fiches mises à votre disposition, un résumé des commentaires que vous développerez dans votre exposé et les énoncés de vos exercices. La qualité de ces fiches interviendra dans l appréciation de votre épreuve. Le terme exercice est à prendre au sens large ; il peut s agir d applications directes du cours, d exemples ou contre-exemples venant éclairer une méthode, de situations plus globales ou plus complexes utilisant éventuellement des notions prises dans d autres disciplines. Vous expliquerez dans votre exposé (25 minutes maximum) la façon dont vous avez compris le sujet et les objectifs recherchés dans les exercices présentés : acquisition de connaissances, de méthodes, de techniques, évaluation. Vous analyserez la pertinence des différents outils mis en jeu. Cet exposé est suivi d un entretien (20 minutes minimum). Annexes : Vous trouverez page suivante, en annexe, quelques références aux programmes ainsi qu une documentation conseillée. Ces indications ne sont ni exhaustives, ni impératives ; en particulier, les références au programme ne constituent pas le plan de l exposé. 1

2 2 ANNEXE DU DOSSIER N 01 Références aux programmes : Contenu Capacités attendues Commentaires Première L : Combinatoire Introduction des combinaisons par le triangle de Pascal. Notation ( n. Formule du binôme. Les calculs de ( n pour des valeurs de n inférieures à 10 seront faits à partir du triangle de Pascal. On introduira la formule : ( n n! = p!(n!. On proposera des dénombrements utilisant les combinaisons et des arbres. On pourra utiliser le triangle de Pascal pour : - le décompte des parties de p éléments d un ensemble à n éléments, - le calcul des coefficients de la décomposition de (a + b) n. Le symbole ( n sera désigné par la locution p parmi n. Terminale S : Introduction des combinaisons, notées ( n. Formule du binôme. On introduira la notation n!. L élève devra savoir retrouver les formules : ( n ( = n 1 ) ( + n 1 ) p 1 ( n ( = n ) n p p ( Le symbole n ) p peut être désigné par la locution p parmi n. Pour les dénombrements intervenant dans les problèmes, on en restera à des situations élémentaires résolubles à l aide d arbres, de diagrammes ou de combinaisons. Documentation conseillée : Manuels de Premières, de Terminales S, ES, L. Annales de baccalauréats.

3 3 Il ne s agit en aucun cas d une correction, mais seulement de mon point de vue sur le sujet. Les problèmes de dénombrement sont souvent ressentis comme difficiles par les élèves, mais aussi les enseignants. Pour les premiers, cette difficulté provient immanquablement du fait que, si l énoncé est souvent élémentaire, il ne suggère aucune méthode ; comment aborder le problème? Pour les second, c est l angoisse d une autre solution proposée par un élève et qu il faudra savoir valider ou infirmer : est-ce que c est faux si je dis... Ces activités de dénombrement sont pourtant présentes de la sixième à la terminale. Elle peuvent avoir un caractère ludique et permettent de mettre en valeur le raisonnement. On ne dispose cependant que de peu d outils pour les aborder. I. Les méthodes de dénombrement. La première méthode utilisée et ce dès le primaire est l énumération. Cette méthode nécessite une organisation précise (en ordre croissant) des objets à dénombrer. Pour mener à bien cette organisation, on dispose d outils de représentation : arbres, tableaux... Cette méthode échoue dès que l ensemble à dénombrer dépend d un paramètre (ensemble des combinaisons). Vient ensuite la méthode de partitionnement. C est une généralisation de l énumération qui est un partitionnement par des singletons. Elle s appuie sur l additivité du cardinal : Card(A B) = Card(A) + Card(B) Card(A B) On utilise le fait que le cardinal du produit cartésien de deux ensembles est le produit de leurs cardinaux : Card(E F ) = Card(E) Card(F ) Les trois outils précédents sont les seuls dont on dispose dans le secondaire avant la classe de Terminale. On introduit en Première L et en Terminale S quelques outils de combinatoire : les combinaisons. La résolution d un exercice de dénombrement consistera donc en une application directe ou une combinaison de ces différentes méthodes pour arriver au résultat. On sera souvent amener à effectuer une partition de l ensemble à dénombrer en parties dont le cardinal et plus accessible. II. Sur la difficulté des problèmes de dénombrement. La résolution d un problème de dénombrement nécessite deux modélisations. La première consiste à mathématiser le problème, à donner un sens mathématique à l énoncé. Il s agit de proposer un modèle mathématique adapté. Il faut alors

4 4 bien comprendre l énoncé, quelques fois lire entre les lignes pour débusquer des hypothèses implicites. La deuxième modélisation est, par nature, plus mathématique. Un fois l ensemble à dénombrer défini mathématiquement, il faut le mettre en bijection avec un ensemble dont le cardinal est plus accessible. Il s agit donc de trouver un modèle de notre ensemble construit par union et produit cartésien d ensembles dont le cardinal est connu. C est dans ces deux modélisation que réside la difficulté d un exercice de dénombrement. Dans chacun des cas, on doit s assurer de la correction du modèle utilisé. Pour le première modélisation, la bonne compréhension de l énoncé est en général suffisante. Pour la deuxième, il faut souvent faire preuve d imagination et être d une rigueur sans faille pour être sur de ne rien avoir oublier et de ne rien compter deux fois. Ce deuxième modèle, n a, de plus, aucune raison d être unique, d où la multiplicité des solutions proposées. III. Choix des exercices. A travers le choix de mes exercices, j ai essayé d illustrer les différentes méthodes mentionnées ci-dessus, de donner un aperçu de la diversité des exercices que l ont peut rencontrer et de la mutiplité des solutions qu ils peuvent avoir. Le premier exercice consiste à faire une énumération après avoir organiser les éléments de l ensemble à dénombrer dans une arborescence. Le deuxième utilise la partition de l ensemble total à l aide de trois parties en position générale. Le troisième illustre la diversité des modélisations possibles en ramenant le problème initial à des dénombrements de points entiers dans des triangles de R 2. Le quatrième montre la limite de la méthode énumérative qui, dès que la complexité augmente, reste sans voix face à la question Êtes-vous sur de ne rien avoir oublié et de ne rien avoir compter deux fois?. Le cinquième montre la force du raisonnement (ici par récurrence) qui permet d aboutir à un résultat inaccessible à toute méthode énumérative. Le dernier est un exemple de la diversité des situations mathématiques donnant lieu à des problèmes de dénombrement.

5 5 EXERCICES : Exercice 1 : Un arbre pour compter. Un livreur de lait doit livrer 4 maisons différentes A, B, C et D. Il est hésitant sur son trajet. De combien de manières différentes peut-il organiser ses livraisons? Exercice 2 : Réunions et intersections. Bréal Tle S, TP 2 page 276. Les élèves d une classe pratiquent tous au moins une des trois langues vivantes suivantes : allemand, anglais ou espagnol. On sait de plus que : deux d entre eux pratiquent les trois langues, quinze suivent les cours d allemand et d anglais, sept suivent les cours d allemand et d espagnol, dix suivent les cours d anglais et d espagnol, vingt-deux suivent les cours d allemand, vingt-six suivent les cours d anglais, seize suivent les cours d espagnol. 1-) Combien d élèves pratiquent l anglais et l allemand sans l espagnol? Combien d élèves pratiquent l anglais et l espagnol sans l allemand? 2-) Combien d élèves étudient seulement l allemand? l espagnol? 3-) Combien y-a-t il d élèves dans la classe? Exercice 3 : Horodateur, inéquations et dénombrements. Terracher Tle S, TP 1.1. page 272. A un horodateur, on doit s acquitter de la somme de 1 Euro 80. La machine ne rend pas la monnaie et accepte les pièces de 1 Euro, 50, 20, et 10 centimes d Euro. De combien de manières différentes peut-on payer? Exercice 4 : Des triangles dans tous leurs états. Terracher Tle S, n 63 page 280. Combien de triangles non aplatis dont les cotés sont tracés sur la figure ci-dessous peut-on compter? A B C

6 6 Exercice 5 : Initiation à la récurrence. On considère un polygone convexe à n sommets. Combien possède-t il de diagonales (droites joignant deux sommets distincts non voisins)? Exercice 6 : Point entiers sur une courbe. Combien y-a-t il de points à coordonnées entières sur la courbe représentative de la fonction définie sur R + par x 2x/(1 + x).