Corrigé du devoir n 22 du 2 avril 2018

Transcription

1 Ercic : rcic avc pris d initiativ. () () k ln ln(k) ln k ln k (ln k) ln k k ln(k) ln k ln k k ln(k) ln k ln(k) donc A k ln(k) ; ln(k) Si ln(k) alors y.. A k ln(k) ; ln(k) : y donc ls points A k sont alignés La droit st facil à dvinr par lctur graphiqu. L ordonné à l origin st t la pnt st. Corrigé du dvoir n du avril 8 Mais pour un trmum, il n suffit pas qu la dérivé s annul, ll doit changr d sign (voir cours d prmièr) () k ln k ln(k) car ln st croissant Cu qui ont drssé l tablau dvaint aussi justifir l sign d la dérivé t pas sulmnt son zéro. Ercic :. a. B( ; ) donc () la tangnt n B st horizontal donc (). b. si, () a b ln b (a b ln ) si, () () b a b ln, pour, () (b a) b ln c. () a t st dérivabl sur ] ; [ t d après () b b a b d. si alors () ( ) ln ln comm alors () a l mêm sign qu ln. on connaît l sign d ln() avc l cours u uv uv v v facultatif comm lim( ln ) lim > comm, pour, () ln t alors lim () lim lim ln alors lim (). Pag

2 Sign d la dérivé () ln ln on n déduit l tablau ds variations d () + () a. () ln pour justifir un air il faut trois hypothèss ln ln (p croissant) continu Comm donc positiv sur (voir tablau) ls borns sont croissants (ls trois hypothèss du cour)s () d rprésnt l air du domain limité par la courb l a () t la droit d équation. L air d OABC vaut OAOC. L air vaut donc la moitié d l air d OABC soit b. () ln donc un primitiv d sur ] ; [ st F défini par F() ln (ln ). () d F() F() F ln (ln ) ln ln ( ). () d. La courb partag l rctangl OABC n du partis d'airs égals à Ercic 3 : Parti A - Étud graphiqu. Comm X alors n (). On a n continu n positiv (ls trois hypothèss) (borns croissants) Alors st l air du domain limité par la courb n, l a () t ls droits d équation t. Comm n+ st n dssous d n, on conjctur qu st décroissant L air sous n smbl tndr vrs, on conjctur qu la suit convrg vrs. Pag

3 3. Avc un tll précision, on n put pas utilisr la méthod ds rctangls, c st l occasion d fair du découpag. On découp n triangls t rctangls hachurés sur ls du figurs Valur approché par défaut En prnant l carré,, comm unité ,5,5 donc,5, soit,5 Valur approché par cès En prnant l carré,, comm unité , ,5 donc 6,5, soit,65 On a donc,5,65 Donc,,5 ncadrmnt d amplitud,5 Parti B - Étud théoriqu. u () d d. Bin rcopir ls hypothèss Pour un primitiv, on rconnaît (ln u) u u avc u(). u ln u ln ln u ln ln u ln. u u d () u u d d u u + u u d u u u u d Bin rcopir ls hypothèss d par linéarité d (air d un carré d côté ) Donc u u u ln 3. On l a v A.., st un air donc pour tout ntir naturl n,. Pag 3

4 4. On pos pour tout ntir naturl n t pour tout rél, () n+ () n (). a. pour tout nombr rél, () n+ () n () n () (n) () n n n () n () n n () n pour tout nombr rél, () n. b. comm X alors l sign d () st l mêm qu clui d Or puisqu [ ; ] donc la fonction st négativ sur l intrvall [ ; ]. 5. pour tout [ ; ], () n+ () n () donc n+ () n () n+ () d n () d par compatibilité avc l ordr, borns croissants donc + donc la suit st décroissant. Or la suit st minoré par Donc la suit st convrgnt. 6. On not la limit d la suit. a. pour tout ntir n supériur ou égal à mêm méthod qu pour dn() + n () d d n (n) n+ () d Bin rcopir ls hypothèss n n d n ( ) d n d + + n n n n + n n n n d pour tout ntir n supériur ou égal à, on a : + n. n Pag 4

5 b. Comm Par aillurs lim alors lim ( + ) n n lim n donc n On n déduit qu t donc. lim n n puis (opérations sur ls limits) lim n n n c. K U ln Dmandr à l utilisatur la valur d N Tant qu K N U K U K K K + Fin Tant qu Affichr U + n n Ercic 3 : just pour cu qui dmandnt un prépa scintifiqu. b b u(t)v(t) dt u(t)v(t)a a a b u(t)v(t) dt d d d d d + d. ln() dln() d d ln() d ln() ln() ln() d ln() ln() d ln() ln() d ln() Pag 5