Thèse de doctorat de l Université Paris 6

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1 Thèse de doctorat de l Université Paris 6 Spécialité : Mathématiques Option : Statistiques Présentée par Emmanuel MONFRINI Sujet de la thèse Identifiabilité et Méthode des Moments dans les mélanges généralisés de distributions du système de Pearson TOME II Thèse soutenue le 4 janvier 2002, devant le jury composé de : M. M. M. M. M. M. M. Marc YOR Alain HILLION Christian ROBERT Michel BRONIATOWSKI Paul DEHEUVELS Wojciech PIECZYNSKI Daniel PIERRE-LOTI-VIAUD Université Paris 6 ENST Bretagne Université Paris Dauphine Université de Reims Université Paris 6 INT Université Paris 6 Président Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur Directeur Directeur Mme Annick VALIBOUZE Université Paris 6 Invitée Ces travaux on été, pour une large part, effectués au département CITI de l Institut National des Télécommunications.

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3 Thèse de doctorat de l Université Paris 6 Spécialité : Mathématiques Option : Statistiques Présentée par Emmanuel MONFRINI Sujet de la thèse Identifiabilité et Méthode des Moments dans les mélanges généralisés de distributions du système de Pearson TOME II Thèse soutenue le 4 janvier 2002, devant le jury composé de : M. M. M. M. M. M. M. Marc YOR Alain HILLION Christian ROBERT Michel BRONIATOWSKI Paul DEHEUVELS Wojciech PIECZYNSKI Daniel PIERRE-LOTI-VIAUD Université Paris 6 ENST Bretagne Université Paris Dauphine Université de Reims Université Paris 6 INT Université Paris 6 Président Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur Directeur Directeur Mme Annick VALIBOUZE Université Paris 6 Invitée Ces travaux on été, pour une large part, effectués au département CITI de l Institut National des Télécommunications.

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5 5 Table des matières. Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Table des matières.

6 6 Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Table des matières.

7 7 Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Table des matières.

8 8 Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Annexe Table des matières.

9 Préambule. Ce volume est entièrement consacré à la reproduction des expériences dont nous ne présentons qu un résultat succint dans le développement. Le fait de pouvoir accéder au compte-rendu complet des expériences est nécessaire pour comprendre les mécanismes des différents systèmes de moments considérés et justifier les choix de méthode d estimation que nous avons faits. Chaque annexe est introduite par la présentation du mélange théorique ou de l échantillon que nous étudions, caratérisé par ses moments et son allure graphique. Les composantes pondérées du mélange sont représentées en vert et le mélange théorique est en rouge. Nous déroulons, ensuite, les procédures d inversion des différents systèmes de moments susceptibles d être pertinents pour l exemple que nous considérons. Pour les représentation graphiques des mélanges estimés par les distributions Normales, nous avons choisi de représenter les composantes pondérée en bleu et les mélanges estimés en rouge, le mélange théorique étant présenté en jaune. Ceci permet d estimer visuellement la différence entre le mélange théorique et le mélange estimé. En effet, dans les cas de concordance idéale entre les deux courbes, et c est le cas dans les études de mélanges théoriques, la courbe rouge du mélange estimé disparaît complètement derrière la courbe jaune du mélange théorique. Pour les représentations graphiques des autres type de mélanges, nous comparons, plus simplement, le mélange estimé présenté en rouge, avec une représentation de l échantillon sous la forme d un diagramme de fréquences, en noir.

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11 11 Annexe 1. Informations sur le mélange : Propriétés de la distribution étudiée : Le mélange est composé en proportion 0.6 d'une loi Normale de moyenne 5. et de variance 3. à laquelle on ajoute, en proportion 0.4 une loi Normale de moyenne 1. et de variance 1. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : Le test de proximité théorique avec V 2 donne : Le test de proximité théorique avec V 4 donne : Le graphique du mélange théorique est : Moments théoriques de l'échantillon : Moyenne : 3.4 Moment théorique centré d'ordre 2 : 6.04 Moment théorique centré d'ordre 3 : Moment théorique centré d'ordre 4 : Moment théorique centré d'ordre 5 : Moment théorique centré d'ordre 6 : Annexe 1

12 12 Résultatsde l'estimationpar P σ : Les racines de P σ sont : R1 = R2 = 3.84 Les paramètres issus de R1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Ce n'est pas une solution au problème des moments. Les paramètres issus de R2 sont : m 1= 5. et Var 1= 3., p = 0.6 m 2= 1. et Var 2= 1. > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : 0. === = > On retient la solution : R2. m 1= 5. et Var 1= 3., p = 0.6 m 2= 1. et Var 2= 1. Graphique du mélange estimé par P σ : Annexe 1

13 Informationssur le mélange : Annexe 2. Propriétés de la distribution étudiée : Le mélange est composé en proportion 0.7 d'une loi Normale de moyenne 1. et de variance 1. à laquelle on ajoute, en proportion 0.3 d'une loi Normale de moyenne 3. et de variance 1. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : 0.4 Le test de proximité théorique avec V 2 donne : 1. Le test de proximité théorique avec V 4 donne : Le graphique du mélange théorique est : Moments théoriques de l'échantillon : Moyenne : 1.6 Moment théorique centré d'ordre 2 : 1.84 Moment théorique centré d'ordre 3 : Moment théorique centré d'ordre 4 : Moment théorique centré d'ordre 5 : Moment théorique centré d'ordre 6 :

14 14 Résultatsde l'estimationpar P σ : Les racines de P σ sont : R1 = R2 = 0.84 Les paramètres issus de R1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Ce n'est pas une solution au problème des moments. Les paramètres issus de R2 sont : m 1= 1. et Var 1= 1., p = 0.7 m 2= 3. et Var 2= 1. > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : 0. === = > On retient la solution : R2. m 1 = 1. et Var 1 = 1., p = 0.7 m 2= 3. et Var 2= 1. Graphique du mélange estimé par P σ : Annexe 2

15 15 Résultatsde l'estimationpar P varégales : Les racines de P varégales sont : z1 = 0.84 Les paramètres issus de z1 sont : m 1= 1. et Var 1= 1., p = 0.7 m 2= 3. et Var 2= 1. > Solution potentielle au problème des moments. Le test T6 donne : 0. Le test T5 donne : 0. Graphique du mélange estimé par P varégales : Annexe 2

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17 17 Informationssur le mélange : Annexe 3. Propriétés de la distribution étudiée : Le mélange est composé en proportion 0.5 d'une loi Normale de moyenne 1. et de variance 1. à laquelle on ajoute, en proportion 0.5 d'une loi Normale de moyenne 2. et de variance 1. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : Le test de proximité théorique avec V 2 donne : 1. Le test de proximité théorique avec V 4 donne : 0. Le graphique du mélange théorique est : Moments théoriques de l'échantillon : Moyenne : 1.5 Moment théorique centré d'ordre 2 : 1.25 Moment théorique centré d'ordre 3 : 0. Moment théorique centré d'ordre 4 : Moment théorique centré d'ordre 5 : 0. Moment théorique centré d'ordre 6 : Annexe 3

18 18 Résultatsde l'estimationpar P σ : Les racines de P sont : σ R1 = 5 R2 = R3 = Les paramètres issus de R1 sont : m 1= 1. et Var 1= 1., p = 0.5 m 2= 2. et Var 2= 1. > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : 0. Les paramètres issus de R2 sont : m 1= et Var 1= , p = 0.5 m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : Les paramètres issus de R3 sont : m 1= et Var 1= , p = 0.5 m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : === = > On retient la solution : R1. m 1= 1. et Var 1= 1., p = 0.5 m 2 = 2. et Var 2 = 1. Annexe 3

19 19 Graphique du mélange estimé par P σ : Résultatsde l'estimationpar P varégales : Les racines de P varégales sont : z1 = 5 Les paramètres issus de z1 sont : m 1= 1. et Var 1= 1., p = 0.5 m 2= 2. et Var 2= 1. > Solution potentielle au problème des moments. Le test T6 donne : 0. Le test T5 donne : Le test n'est pas calculable Graphique du mélange estimé par P varégales : Annexe 3

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21 21 Informationssur le mélange : Annexe 4. Propriétés de la distribution étudiée : Le mélange est composé en proportion 0.5 d'une loi Normale de moyenne et de variance 3. à laquelle on ajoute, en proportion 0.5 une loi Normale de moyenne et de variance 1. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : Le test de proximité théorique avec V 2 donne : 0. Le test de proximité théorique avec V 4 donne : 1. Le graphique du mélange théorique est : Moments théoriques de l'échantillon : Moyenne : 1. Moment théorique centré d'ordre 2 : Moment théorique centré d'ordre 3 : Moment théorique centré d'ordre 4 : Moment théorique centré d'ordre 5 : Moment théorique centré d'ordre 6 : Annexe 4

22 22 Résultatsde l'estimationpar P σ : Les racines de P σ sont : R1 = R2 = Les paramètres issus de R1 sont : m 1= et Var 1= 3., p = 0.5 m 2= et Var 2= 1. > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : Les paramètres issus de R2 sont : m 1= et Var 1= 1., p = 0.5 m 2= et Var 2= 3. > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : === = > On retient la solution : R1. m 1= et Var 1= 3., p = 0.5 m 2= et Var 2= 1. Graphique du mélange estimé par P σ : Annexe 4

23 Informationssur le mélange : Annexe 5. Propriétés de la distribution étudiée : Le mélange est composé en proportion 0.5 d'une loi Normale de moyenne et de variance 3. à laquelle on ajoute, en proportion 0.5 d'une loi Normale de moyenne et de variance 1. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : Le test de proximité théorique avec V 2 donne : Le test de proximité théorique avec V 4 donne : Le graphique du mélange théorique est : Moments théoriques de l'échantillon : Moyenne : 1. Moment théorique centré d'ordre 2 : Moment théorique centré d'ordre 3 : Moment théorique centré d'ordre 4 : Moment théorique centré d'ordre 5 : Moment théorique centré d'ordre 6 :

24 24 Résultatsde l'estimationpar P σ : Les racines de P σ sont : R1 = R2 = Les paramètres issus de R1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : Les paramètres issus de R2 sont : m 1= et Var 1= 1., p = 0.5 m 2= et Var 2= 3. > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : 0. === = > On retient la solution : R2. m 1 = et Var 1 = 1., p = 0.5 m 2= et Var 2= 3. Graphique du mélange estimé par P σ : Annexe 5

25 Informationssur le mélange: Annexe 6. Propriétés de la distribution étudiée : Le mélange est composé en proportion 0.6 d'une loi Normale de moyenne et de variance 5. à laquelle on ajoute, en proportion 0.4 une loi Normale de moyenne 1. et de variance 1. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : E-7 Le test de proximité théorique avec V 2 donne : 1. Le test de proximité théorique avec V 4 donne : 1. Le graphique du mélange théorique est : Moments théoriques de l'échantillon : Moyenne : Moment théorique centré d'ordre 2 : Moment théorique centré d'ordre 3 : Moment théorique centré d'ordre 4 : Moment théorique centré d'ordre 5 : Moment théorique centré d'ordre 6 :

26 26 Résultatsde l'estimationpar P σ : Les racines de P sont : σ R1 = R2 = Les paramètres issus de R1 sont : m 1= et Var 1= 5., p = 0.6 m 2= 1. et Var 2= 1. > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : Les paramètres issus de R2 sont : m 1= et Var 1= , p = 1. m 2= et Var 2= > Ce n'est pas une solution au problème des moments. === = > On retient la solution : R1. m 1= et Var 1= 5., p = 0.6 m 2= 1. et Var 2= 1. Graphique du mélange estimé par P σ : Annexe 6

27 Annexe 7. Informationssur le mélange : Propriétés de la distribution étudiée : Le mélange est composé en proportion 0.6 d'une loi Normale de moyenne et de variance à laquelle on ajoute, en proportion 0.4 une loi Normale de moyenne 1. et de variance 1. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : E-9 Le test de proximité théorique avec V 2 donne : E-8 Le test de proximité théorique avec V 4 donne : E-37 Le graphique du mélange théorique est : Moments théoriques de l'échantillon : Moyenne : Moment théorique centré d'ordre 2 : Moment théorique centré d'ordre 3 : Moment théorique centré d'ordre 4 : Moment théorique centré d'ordre 5 : Moment théorique centré d'ordre 6 :

28 28 Résultatsde l'estimationpar P σ : Les racines de P sont : σ R1 = R2 = Les paramètres issus de R1 sont : m 1= et Var 1= , p = 0.6 m 2= 1. et Var 2= 1. > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : Les paramètres issus de R2 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : === = > On retient la solution : R1. m 1= et Var 1= , p = 0.6 m 2= 1. et Var 2= 1. Graphique du mélange estimé par P σ : Annexe 7

29 Annexe 8. Informations sur le mélange : Propriétés de la distribution étudiée : Le mélange est composé en proportion 0.6 d'une loi Normale de moyenne 5. et de variance 3. à laquelle on ajoute, en proportion 0.4 une loi Normale de moyenne 1. et de variance 1. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : Le test de proximité théorique avec V 2 donne : Le test de proximité théorique avec V 4 donne : Le graphique du mélange théorique est : Moments théoriques de l'échantillon : Moyenne : 3.4 Moment théorique centré d'ordre 2 : 6.04 Moment théorique centré d'ordre 3 : Moment théorique centré d'ordre 4 : Moment théorique centré d'ordre 5 : Moment théorique centré d'ordre 6 :

30 30 Résultatsde l'estimationpar P 12 : Les racines de P 12 sont : r1 = 3.84 Les paramètres issus de r1 sont : m 1= 5. et Var 1= 3., p = 0.6 m 2= 1. et Var 2= 1. > Solution potentielle au problème des moments. Le test T5 donne : 0. === = > On retient la solution : r1. m 1= 5. et Var 1= 3., p = 0.6 m 2= 1. et Var 2= 1. Graphique du mélange estimé par P12: Annexe 8

31 Informationssur le mélange : Annexe 9. Propriétés de la distribution étudiée : Le mélange est composé en proportion 0.7 d'une loi Normale de moyenne 1. et de variance 1. à laquelle on ajoute, en proportion 0.3 d'une loi Normale de moyenne 3. et de variance 1. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : 0.4 Le test de proximité théorique avec V 2 donne : 1. Le test de proximité théorique avec V 4 donne : Le graphique du mélange théorique est : Moments théoriques de l'échantillon : Moyenne : 1.6 Moment théorique centré d'ordre 2 : 1.84 Moment théorique centré d'ordre 3 : Moment théorique centré d'ordre 4 : Moment théorique centré d'ordre 5 : Moment théorique centré d'ordre 6 :

32 32 Résultatsde l'estimationpar P 12 : Les racines de P 12 sont : r1 = 0.84 Les paramètres issus de r1 sont : m 1= 1. et Var 1= 1., p = 0.7 m 2= 3. et Var 2= 1. > Solution potentielle au problème des moments. Le test T5 donne : 0. === = > On retient la solution : r1. m 1= 1. et Var 1= 1., p = 0.7 m 2= 3. et Var 2= 1. Graphique du mélange estimé par P12: Annexe 9

33 33 Résultatsde l'estimationpar P varégales : Les racines de P varégales sont : z1 = 0.84 Les paramètres issus de z1 sont : m 1= 1. et Var 1= 1., p = 0.7 m 2= 3. et Var 2= 1. > Solution potentielle au problème des moments. Le test T6 donne : 0. Le test T5 donne : 0. Graphique du mélange estimé par P varégales : Annexe 9

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35 35 Informationssur le mélange : Annexe 10. Propriétés de la distribution étudiée : Le mélange est composé en proportion 0.5 d'une loi Normale de moyenne 1. et de variance 1. à laquelle on ajoute, en proportion 0.5 d'une loi Normale de moyenne 2. et de variance 1. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : Le test de proximité théorique avec V 2 donne : 1. Le test de proximité théorique avec V 4 donne : 0. Le graphique du mélange théorique est : Moments théoriques de l'échantillon : Moyenne : 1.5 Moment théorique centré d'ordre 2 : 1.25 Moment théorique centré d'ordre 3 : 0. Moment théorique centré d'ordre 4 : Moment théorique centré d'ordre 5 : 0. Moment théorique centré d'ordre 6 : Annexe 10

36 36 Résultatsde l'estimationpar P 12 : Les racines de P 12 sont : r1 = 5 Les paramètres issus de r1 sont : m 1= 1. et Var 1= 1., p = 0.5 m 2= 2. et Var 2= 1. > Solution potentielle au problème des moments. Le test T5 donne : Le test n'est pas calculable === = > On retient la solution : r1. m 1 = 1. et Var 1 = 1., p = 0.5 m 2= 2. et Var 2= 1. Graphique du mélange estimé par P12: Annexe 10

37 37 Résultatsde l'estimationpar P varégales : Les racines de P varégales sont : z1 = 5 Les paramètres issus de z1 sont : m 1 = 1. et Var 1 = 1., p = 0.5 m 2= 2. et Var 2= 1. > Solution potentielle au problème des moments. Le test T6 donne : 0. Le test T5 donne : Le test n'est pas calculable Graphique du mélange estimé par P varégales : Annexe 10

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39 39 Informationssur le mélange : Annexe 11. Propriétés de la distribution étudiée : Le mélange est composé en proportion 0.5 d'une loi Normale de moyenne et de variance 3. à laquelle on ajoute, en proportion 0.5 une loi Normale de moyenne et de variance 1. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : Le test de proximité théorique avec V 2 donne : 0. Le test de proximité théorique avec V 4 donne : 1. Le graphique du mélange théorique est : Moments théoriques de l'échantillon : Moyenne : 1. Moment théorique centré d'ordre 2 : Moment théorique centré d'ordre 3 : Moment théorique centré d'ordre 4 : Moment théorique centré d'ordre 5 : Moment théorique centré d'ordre 6 : Annexe 11

40 40 Résultatsde l'estimationpar P 12 : Les racines de P 12 sont : r1 = Les paramètres issus de r1 sont : m 1= et Var 1= 1., p = 0.5 m 2= et Var 2= 3. > Solution potentielle au problème des moments. Le test T5 donne : 0. === = > On retient la solution : r1. m 1= et Var 1= 1., p = 0.5 m 2= et Var 2= 3. Graphique du mélange estimé par P12: Annexe 11

41 Informationssur le mélange: Annexe 12. Propriétés de la distribution étudiée : Le mélange est composé en proportion 0.6 d'une loi Normale de moyenne et de variance 5. à laquelle on ajoute, en proportion 0.4 une loi Normale de moyenne 1. et de variance 1. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : E-7 Le test de proximité théorique avec V 2 donne : 1. Le test de proximité théorique avec V 4 donne : 1. Le graphique du mélange théorique est : Moments théoriques de l'échantillon : Moyenne : Moment théorique centré d'ordre 2 : Moment théorique centré d'ordre 3 : Moment théorique centré d'ordre 4 : Moment théorique centré d'ordre 5 : Moment théorique centré d'ordre 6 :

42 42 Résultatsde l'estimationpar P 12 : Les racines de P 12 sont : r1 = r2 = r3 = Les paramètres issus de r1 sont : m 1= et Var 1= , p = 1. m 2= et Var 2= > Ce n'est pas une solution au problème des moments. Les paramètres issus de r2 sont : m 1= et Var 1= 5., p = 0.6 m 2= 1. et Var 2= 1. > Solution potentielle au problème des moments. Le test T5 donne : Les paramètres issus de r3 sont : m 1= et Var 1= , p = 1. m 2= et Var 2= > Ce n'est pas une solution au problème des moments. Annexe 12

43 43 === = > On retient la solution : r2. m 1 = et Var 1 = 5., p = 0.6 m 2= 1. et Var 2= 1. Graphique du mélange estimé par P12: Annexe 12

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45 45 Annexe 13. Informationssur le mélange : Propriétés de la distribution étudiée : Le mélange est composé en proportion 0.6 d'une loi Normale de moyenne et de variance à laquelle on ajoute, en proportion 0.4 une loi Normale de moyenne 1. et de variance 1. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : E-9 Le test de proximité théorique avec V 2 donne : E-8 Le test de proximité théorique avec V 4 donne : E-37 Le graphique du mélange théorique est : Moments théoriques de l'échantillon : Moyenne : Moment théorique centré d'ordre 2 : Moment théorique centré d'ordre 3 : Moment théorique centré d'ordre 4 : Moment théorique centré d'ordre 5 : Moment théorique centré d'ordre 6 : Annexe 13

46 46 Résultatsde l'estimationpar P 12 : Les racines de P 12 sont : r1 = r2 = r3 = Les paramètres issus de r1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Ce n'est pas une solution au problème des moments. Les paramètres issus de r2 sont : m 1= et Var 1= , p = 0.6 m 2= 1. et Var 2= 1. > Solution potentielle au problème des moments. Le test T5 donne : Les paramètres issus de r3 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments. Le test T5 donne : Annexe 13

47 47 === = > On retient la solution : r2. m 1 = et Var 1 = 1., p = 0.6 m 2= et Var 2= 1. Graphique du mélange estimé par P12: Annexe 13

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49 49 Informationssur l'échantillon: Annexe 14. Propriétés de l'échantillon étudié : L'échantillon est composé de individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 5. et de variance 3.auxquels on ajoute individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 1. et de variance 1. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : Le test de proximité théorique avec V 2 donne : Le test de proximité théorique avec V 4 donne : Le graphique du mélange théorique est : Moments empiriques de l'échantillon : Moyenne : Moment empirique centré d'ordre 2 : Moment empirique centré d'ordre 3 : Moment empirique centré d'ordre 4 : Moment empirique centré d'ordre 5 : Moment empirique centré d'ordre 6 : Annexe 14

50 50 Résultatsde l'estimationpar P σ : Les racines de P σ sont : R1 = R2 = Les paramètres issus de R1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Ce n'est pas une solution au problème des moments. Les paramètres issus de R2 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : === = > On retient la solution : R2. m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= Graphique du mélange estimé par P σ : Annexe 14

51 51 Résultatsde l'estimationpar P 12 : Les racines de P 12 sont : r1 = Les paramètres issus de r1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments. Le test T5 donne : === = > On retient la solution : r1. m 1 = et Var 1 = , p = m 2= et Var 2= Graphique du mélange estimé par P12: Annexe 14

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53 53 Annexe 15. Informationssur l'échantillon: Propriétés de l'échantillon étudié : L'échantillon est composé de individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 1. et de variance 3.auxquels on ajoute individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 3. et de variance 1. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : 0.4 Le test de proximité théorique avec V 2 donne : Le test de proximité théorique avec V 4 donne : Le graphique du mélange théorique est : Moments empiriques de l'échantillon : Moyenne : Moment empirique centré d'ordre 2 : Moment empirique centré d'ordre 3 : Moment empirique centré d'ordre 4 : Moment empirique centré d'ordre 5 : Moment empirique centré d'ordre 6 : Annexe 15

54 54 Résultatsde l'estimationpar P σ : Les racines de P σ sont : R1 = R2 = Les paramètres issus de R1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : Les paramètres issus de R2 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : === = > On retient la solution : R1. m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= Graphique du mélange estimé par P σ : Annexe 15

55 55 Résultatsde l'estimationpar P 12 : Les racines de P 12 sont : r1 = Les paramètres issus de r1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments. Le test T5 donne : === = > On retient la solution : r1. m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= Graphique du mélange estimé par P12: Annexe 15

56

57 57 Annexe 16. Informationssur l'échantillon: Propriétés de l'échantillon étudié : L'échantillon est composé de individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 1. et de variance 3.auxquels on ajoute individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 3. et de variance 1. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : 0.4 Le test de proximité théorique avec V 2 donne : Le test de proximité théorique avec V 4 donne : Le graphique du mélange théorique est : Moments empiriques de l'échantillon : Moyenne : Moment empirique centré d'ordre 2 : Moment empirique centré d'ordre 3 : Moment empirique centré d'ordre 4 : Moment empirique centré d'ordre 5 : Moment empirique centré d'ordre 6 : Annexe 16

58 58 Résultatsde l'estimationpar P σ : Les racines de P σ sont : R1 = R2 = Les paramètres issus de R1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : Les paramètres issus de R2 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : === = > On retient la solution : R2. m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= Graphique du mélange estimé par P σ : Annexe 16

59 59 Résultatsde l'estimationpar P 12 : Les racines de P 12 sont : r1 = Les paramètres issus de r1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments. Le test T5 donne : === = > On retient la solution : r1. m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= Graphique du mélange estimé par P12: Annexe 16

60

61 61 Informationssur l'échantillon: Annexe 17. Propriétés de l'échantillon étudié : L'échantillon est composé de individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 1. et de variance 3.auxquels on ajoute individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 3. et de variance 1. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : 0.4 Le test de proximité théorique avec V 2 donne : Le test de proximité théorique avec V 4 donne : Le graphique du mélange théorique est : Moments empiriques de l'échantillon : Moyenne : Moment empirique centré d'ordre 2 : Moment empirique centré d'ordre 3 : Moment empirique centré d'ordre 4 : Moment empirique centré d'ordre 5 : Moment empirique centré d'ordre 6 : Annexe 17

62 62 Résultatsde l'estimationpar P σ : P σ n'a pas de racine positive. La méthode échoue Résultatsde l'estimationpar P 12 : Les racines de P 12 sont : r1 = Les paramètres issus de r1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments. Le test T5 donne : === = > On retient la solution : r1. m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= Graphique du mélange estimé par P12: Annexe 17

63 Annexe 18. Informationssur l'échantillon: Propriétés de l'échantillon étudié : L'échantillon est composé de individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 1. et de variance 4.auxquels on ajoute individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 5. et de variance 4. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : Le test de proximité théorique avec V 2 donne : 1. Le test de proximité théorique avec V 4 donne : Le graphique du mélange théorique est : Moments empiriques de l'échantillon : Moyenne : Moment empirique centré d'ordre 2 : Moment empirique centré d'ordre 3 : Moment empirique centré d'ordre 4 : Moment empirique centré d'ordre 5 : Moment empirique centré d'ordre 6 :

64 64 Résultatsde l'estimationpar P σ : Les racines de P σ sont : R1 = R2 = Les paramètres issus de R1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Ce n'est pas une solution au problème des moments. Les paramètres issus de R2 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : === = > On retient la solution : R2. m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= Graphique du mélange estimé par P σ : Annexe 18

65 65 Résultatsde l'estimationpar P 12 : Les racines de P 12 sont : r1 = Les paramètres issus de r1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments. Le test T5 donne : === = > On retient la solution : r1. m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= Graphique du mélange estimé par P12: Annexe 18

66 66 Résultatsde l'estimationpar P varégales : Les racines de P varégales sont : z1 = Les paramètres issus de z1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments. Le test T6 donne : Le test T5 donne : Graphique du mélange estimé par P varégales : Annexe 18

67 Annexe 19. Informationssur l'échantillon: Propriétés de l'échantillon étudié : L'échantillon est composé de individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 1. et de variance 5.auxquels on ajoute individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 5. et de variance 5. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : Le test de proximité théorique avec V 2 donne : 1. Le test de proximité théorique avec V 4 donne : Le graphique du mélange théorique est : Moments empiriques de l'échantillon : Moyenne : Moment empirique centré d'ordre 2 : Moment empirique centré d'ordre 3 : Moment empirique centré d'ordre 4 : Moment empirique centré d'ordre 5 : Moment empirique centré d'ordre 6 :

68 68 Résultatsde l'estimationpar P σ : Les racines de P σ sont : R1 = R2 = Les paramètres issus de R1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : Les paramètres issus de R2 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : === = > On retient la solution : R2. m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= Graphique du mélange estimé par P σ : Annexe 19

69 69 Résultatsde l'estimationpar P 12 : Les racines de P 12 sont : r1 = Les paramètres issus de r1 sont : m 1 = et Var 1 = , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments. Le test T5 donne : === = > On retient la solution : r1. m 1= et Var 1= , p = m 2 = et Var 2 = Graphique du mélange estimé par P12: Annexe 19

70 70 Résultatsde l'estimationpar P varégales : Les racines de P varégales sont : z1 = Les paramètres issus de z1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments. Le test T6 donne : Le test T5 donne : Graphique du mélange estimé par P varégales : Annexe 19

71 Annexe 20. Informationssur l'échantillon: Propriétés de l'échantillon étudié : L'échantillon est composé de individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 1. et de variance 6.auxquels on ajoute individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 5. et de variance 6. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : Le test de proximité théorique avec V 2 donne : 1. Le test de proximité théorique avec V 4 donne : Le graphique du mélange théorique est : Moments empiriques de l'échantillon : Moyenne : Moment empirique centré d'ordre 2 : Moment empirique centré d'ordre 3 : Moment empirique centré d'ordre 4 : Moment empirique centré d'ordre 5 : Moment empirique centré d'ordre 6 :

72 72 Résultatsde l'estimationpar P σ : Les racines de P σ sont : R1 = R2 = Les paramètres issus de R1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : Les paramètres issus de R2 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : === = > On retient la solution : R2. m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= Graphique du mélange estimé par P σ : Annexe 20

73 73 Résultatsde l'estimationpar P 12 : Les racines de P 12 sont : r1 = Les paramètres issus de r1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments. Le test T5 donne : === = > On retient la solution : r1. m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= Graphique du mélange estimé par P12: Annexe 20

74 74 Résultatsde l'estimationpar P varégales : Les racines de P varégales sont : z1 = Les paramètres issus de z1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments. Le test T6 donne : Le test T5 donne : Graphique du mélange estimé par P varégales : Annexe 20

75 Annexe 21. Informationssur l'échantillon: Propriétés de l'échantillon étudié : L'échantillon est composé de individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 1. et de variance 7.auxquels on ajoute individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 5. et de variance 7. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : Le test de proximité théorique avec V 2 donne : 1. Le test de proximité théorique avec V 4 donne : Le graphique du mélange théorique est : Moments empiriques de l'échantillon : Moyenne : Moment empirique centré d'ordre 2 : Moment empirique centré d'ordre 3 : Moment empirique centré d'ordre 4 : Moment empirique centré d'ordre 5 : Moment empirique centré d'ordre 6 :

76 76 Résultatsde l'estimationpar P σ : Les racines de P σ sont : R1 = R2 = Les paramètres issus de R1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : Les paramètres issus de R2 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : === = > On retient la solution : R2. m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= Graphique du mélange estimé par P σ : Annexe 21

77 77 Résultatsde l'estimationpar P 12 : Les racines de P 12 sont : r1 = Les paramètres issus de r1 sont : m 1 = et Var 1 = , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments. Le test T5 donne : === = > On retient la solution : r1. m 1= et Var 1= , p = m 2 = et Var 2 = Graphique du mélange estimé par P12: Annexe 21

78 78 Résultatsde l'estimationpar P varégales : Les racines de P varégales sont : z1 = Les paramètres issus de z1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments. Le test T6 donne : Le test T5 donne : Graphique du mélange estimé par P varégales : Annexe 21

79 Annexe 22. Informationssur l'échantillon: Propriétés de l'échantillon étudié : L'échantillon est composé de individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 1. et de variance 7.auxquels on ajoute individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 5. et de variance 7. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : Le test de proximité théorique avec V 2 donne : 1. Le test de proximité théorique avec V 4 donne : Le graphique du mélange théorique est : Moments empiriques de l'échantillon : Moyenne : Moment empirique centré d'ordre 2 : Moment empirique centré d'ordre 3 : Moment empirique centré d'ordre 4 : Moment empirique centré d'ordre 5 : Moment empirique centré d'ordre 6 :

80 80 Résultatsde l'estimationpar P σ : Les racines de P σ sont : R1 = R2 = Les paramètres issus de R1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : Les paramètres issus de R2 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : === = > On retient la solution : R2. m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= Graphique du mélange estimé par P σ : Annexe 22

81 81 Résultatsde l'estimationpar P 12 : Les racines de P 12 sont : r1 = Les paramètres issus de r1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments. Le test T5 donne : === = > On retient la solution : r1. m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= Graphique du mélange estimé par P12: Annexe 22

82 82 Résultatsde l'estimationpar P varégales : Les racines de P varégales sont : z1 = Les paramètres issus de z1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments. Le test T6 donne : Le test T5 donne : Graphique du mélange estimé par P varégales : Annexe 22

83 Informationssur l'échantillon: Annexe 23. Propriétés de l'échantillon étudié : L'échantillon est composé de individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 1. et de variance 8.auxquels on ajoute individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 5. et de variance 8. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : Le test de proximité théorique avec V 2 donne : 1. Le test de proximité théorique avec V 4 donne : Le graphique du mélange théorique est : Moments empiriques de l'échantillon : Moyenne : Moment empirique centré d'ordre 2 : Moment empirique centré d'ordre 3 : Moment empirique centré d'ordre 4 : Moment empirique centré d'ordre 5 : Moment empirique centré d'ordre 6 :

84 84 Résultatsde l'estimationpar P σ : Les racines de P σ sont : R1 = R2 = Les paramètres issus de R1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : Les paramètres issus de R2 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : === = > On retient la solution : R2. m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= Graphique du mélange estimé par P σ : Annexe 23

85 85 Résultatsde l'estimationpar P 12 : Les racines de P 12 sont : r1 = Les paramètres issus de r1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments. Le test T5 donne : === = > On retient la solution : r1. m 1 = et Var 1 = , p = m 2= et Var 2= Graphique du mélange estimé par P12: Annexe 23

86 86 Résultatsde l'estimationpar P varégales : Les racines de P varégales sont : z1 = Les paramètres issus de z1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments. Le test T6 donne : Le test T5 donne : Graphique du mélange estimé par P varégales : Annexe 23

87 Annexe 24. Informationssur l'échantillon: Propriétés de l'échantillon étudié : L'échantillon est composé de individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 1. et de variance 8.auxquels on ajoute individus tirés suivant une loi Normale de moyenne 5. et de variance 8. Evaluation des risques de défaillance de la méthode : Le test de proximité théorique avec V 1 donne : Le test de proximité théorique avec V 2 donne : 1. Le test de proximité théorique avec V 4 donne : Le graphique du mélange théorique est : Moments empiriques de l'échantillon : Moyenne : Moment empirique centré d'ordre 2 : Moment empirique centré d'ordre 3 : Moment empirique centré d'ordre 4 : Moment empirique centré d'ordre 5 : Moment empirique centré d'ordre 6 :

88 88 Résultatsde l'estimationpar P σ : Les racines de P σ sont : R1 = R2 = Les paramètres issus de R1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : Les paramètres issus de R2 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments.le test T6 donne : === = > On retient la solution : R2. m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= Graphique du mélange estimé par P σ : Annexe 24

89 89 Résultatsde l'estimationpar P 12 : Les racines de P 12 sont : r1 = Les paramètres issus de r1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments. Le test T5 donne : === = > On retient la solution : r1. m 1 = et Var 1 = , p = m 2= et Var 2= Graphique du mélange estimé par P12: Annexe 24

90 90 Résultatsde l'estimationpar P varégales : Les racines de P varégales sont : z1 = Les paramètres issus de z1 sont : m 1= et Var 1= , p = m 2= et Var 2= > Solution potentielle au problème des moments. Le test T6 donne : Le test T5 donne : Graphique du mélange estimé par P varégales : Annexe 24

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