Brevet de technicien supérieur. Le groupement A de 2001 à 2011

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1 A. P. M. E. P. Le groupement A de 00 à 0 Métropole Métropole Métropole Métropole Métropole Métropole Métropole Métropole Techniques physiques Nouvelle-Calédonie octobre Métropole 008 A Métropole 008 A Nouvelle-Calédonie octobre Métropole Polynésie A Métropole A Nouvelle-Calédonie octobre Métropole A Métropole A Nouvelle-Calédonie octobre Métropole A Métropole A

2 Groupe A mai 00

3 BTS Groupement A session 00 EXERCICE Partie A points. On a obtenu à l aide d une calculatrice : π 0 sin t cos t dt = 0 et π 0 sin t cos(t) dt = 3. Justifier ces deux résultats en calculant les intégrales.. On considère le signal, modélisé par la fonction réelle e, de période π, définie par : { e(t) = sin t si t [0 ; π] e(t) = 0 si t ]π ; π[. a. Dans un repère orthogonal, tracer la représentation graphique de la fonction e pour t variant dans l intervalle [ π ; 4π]. b. Calculer les coefficients de Fourier a 0, a et a de la fonction e. On admettra dans la suite de l exercice que les coefficients b et b valent : b = et b = a. Calculer le carré E de la valeur efficace du signal e. Partie B b. On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne : E = a n= an + b n. Dans le cas présent, on décide de ne garder que les harmoniques de rang et. Soit P le nombre défini par : P = a0 + ( a + b + a + ) b. Calculer P, puis donner une approximation décimale à 0 3 près du rapport P E. La comparaison de E et P justifie que, dans la pratique, on néglige les harmoniques de rang supérieur ou égal à 3. On se propose dans cette partie d obtenir l intensité i du courant dans le circuit cidessous lorsqu il est alimenté par le signal d entrée e défini dans la partie A. i (t) e(t) C R Groupe A 3 mai 00

4 L équation permettant de trouver l intensité du courant est, pour t [0 ; + [, Ri (t)+ C t 0 i (u) du= e(t) (). Pour déterminer la fonction i on remplace le signal d entrée e par son développement en série de Fourier tronqué à l ordre. L équation () devient alors : Ri (t)+ C t 0 i (u) du= π + sin t cos(t) (). 3π On admet que l intensité t du courant est une fonction dérivable sur [0 ; + [. On suppose dans toute la suite de l exercice que R = 5000Ω et C = 0 4 F.. Montrer que l équation () peut alors se transformer et s écrire : di dt (t)+i (t)= ( 0 4) cos t+ t [0 ; + [ ( ) 4 5π 0 3 sin(t). Vérifier que la fonction i telle que i (t)= ( 4 0 5) cos t+ ( 0 5) sin t est une solution particulière de l équation différentielle di dt (t)+i (t)= ( 0 4) cos t t [0 ; + [ 3. Déterminer une solution particulière i de l équation différentielle ( di 4 (t)+i (t)= dt 5π 0 3 t [0 ; + [ ) sin(t) 4. Résoudre alors l équation différentielle (3). En déduire la solution particulière vérifiant la condition i (0)=0. (3). EXERCICE Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O, ı, ) j. 8 points On s intéresse dans cet exercice à deux courbes de Bézier C et C. C est définie par les quatre points de contrôle A 0 (0 ; 3), A (0 ; ), A (0 ; ), A 3 (5 ; 3) ; C est définie par les trois points de contrôle A 0 (0 ; 3), T(0 ; 8), A 3 (5 ; 3). On rappelle que la courbe de Bézier définie par les points de contrôle A i (0 i n) est l ensemble des points M(t) tels que : n OM (t)= B i, n (t) OA i où B i, n (t)=c i n t i ( t) n i avec t [0 ; ]. i=0. Construction de la courbe C. a. Développer, réduire et ordonner les polynômes B i, 3 (t), (0 i 3). b. Montrer que les coordonnées du point M(t) de la courbe C sont : { x = f (t) = 30t 5t 3 y = g (t) = 3 5t + 5t t [0 ; ]. c. Étudier les variations de f et g et dresser le tableau des variations conjointes de ces deux fonctions. Groupe A 4 mai 00

5 d. Préciser les coordonnées des points de C à tangentes parallèles aux axes de coordonnées. e. Montrer que la droite (A A 3 ) est tangente à C en A 3. f. Tracer, en exploitant les résultats précédents, la courbe C sur la feuille annexe.. Étude géométrique de la courbe C La représentation paramétrique de la courbe C est : { x = f (t) = 5t y = g (t) = 3+0t 0t La courbe C est donnée sur la feuille annexe. a. On définit, pour tout t [0 ; ], les points N (t) et N (t) par : ON (t) = ( t) OA 0 + t OT et ON (t) = ( t) OT + toa 3. Justifier que les points N (t) et N (t) appartiennent respectivement aux segments [A 0 T] et [TA 3 ]. b. Soit G(t) le point défini, pour tout t [0 ; ], par OG(t) = ( t) ON (t) + t ON (t). Montrer que G(t) appartient à C et que la droite (N (t)n (t)) est tangente à C en G(t). ( ) ( ) ( ) ( ) c. Placer les points N, N et G et la tangente à C en G Groupe A 5 mai 00

6 Feuille annexe à rendre avec la copie y T C A 0 A 3 0 x A A Groupe A 6 mai 00

7 BTS Groupement A 00 EXERCICE La fonction échelon unité U est définie par points U (t)=0 si t < 0 et U (t)= si t 0. On considère le système «entrée - sortie»représenté ci-dessous : e(t) s(t) On note s le signal de sortie associé au signal d entrée e. Les fonctions s et e sont des fonctions causales, c est-à-dire qu elles sont nulles pour t < 0. On admet que les fonctions s et e admettent des transformées de Laplace, notées respectivement S et E. La fonction de transfert H du système est définie par : S(p) = H(p) E(p). On considère le signal d entre e défini par : e(t)= tu (t) U (t ) (t )U (t ) et la fonction H définie sur ]0 ; + [ par H(p)= p+.. Tracer la courbe représentative de la fonction e dans un repère orthonormal.. Pour p > 0, déterminer E(p). 3. Déterminer tes nombres réels A, B, et C tels que, pour tout p > 0, on ait : On admet que : 4. a. Déterminer S(p) puis s(t). p (p+ ) = A p + B p + C p+ p(p+ ) = p p+ b. En déduire que la fonction s est définie par : s(t) = 0 si t < 0 s(t) = t +e t si 0 t < s(t) = t 3+e t (+e) si t < s(t) = e t ( +e e ) si t 5. On rappelle que la notation f ( a +) représente la limite de la fonction f lorsque la variable t tend vers a par valeurs supérieures : f ( a +) = lim f (t). De même, t a t>a f (a )=lim f (t). t a t<a a. Calculer s ( +), s ( ), s ( +), s ( ). Que peut-on en conclure pour la fonction s lorsque t = et t =? b. Calculer s (t) sur chacun des intervalles ]0 ; [, ] ; [ et ] ; + [. On admet que s est strictement positive sur ]0 ; [ ] ; + [. Déterminer le signe de s (t) sur l intervalle ] ; [. c. Calculer la valeur exacte de s [ln( + e)]. Déterminer lim s(t) et dresser t + le tableau des variations de la fonction s sur ]0 ; + [. Groupe A 7 mai 00

8 d. Calculer s ( +), s ( ), s ( +), s ( ). On admet que ces nombres sont respectivement les coefficients directeurs des demi-tangentes à droite et à gauche aux points d abscisse et d abscisse de la courbe Γ représentative de la fonction s. ( 6. On se place dans le plan rapporté à un repère orthogonal O, ı, ) j d unités graphiques 5 cm sur l axe des abscisses et 50 cm sur l axe des ordonnées. a. Recopier et compléter le tableau suivant dans lequel les valeurs numériques seront données à 0 près. t,,4,6,5 3 3,5 s(t) b. Tracer alors les tangentes ou demi-tangentes à la courbe Γ représentative de la fonction s aux points d abscisses 0,, et. Tracer alors la courbe Γ. EXERCICE 8 points On se propose de résoudre le système différentiel (S) suivant, puis d en déterminer une solution particulière. (S) { x (t)+y(t) = sin t (E ) x(t) y (t) = cos t (E ) Les fonctions x et y sont des fonctions de la variable réelle t, deux fois dérivables sur R. Partie A. Montrer en utilisant les équations (E ) et (E ) que la fonction x vérifie, pour tout t dans R, l équation différentielle : x (t)+4x(t)= 6cos t (E). Résoudre sur R l équation différentielle (E). En déduire les solutions du système (S). 3. Déterminer la solution particulière du système (S) vérifiant les conditions initiales x(0)= et y(0)=0. Partie B On considère la courbe (Γ) définie par la représentation paramétrique { x = f (t) = cos(t) cos t y = g (t) = sin(t) sin t où t est un réel appartenant à l intervalle [ π ; +π].. Montrer que la courbe (Γ) admet un axe de symétrie en calculant f ( t) et g ( t).. a. Calculer f (t). ( ) t Montrer que : f (t)= 4sin cos b. Établir le signe de f (t) sur l intervalle [0 ; π]. ( ) ( ) t 3t 3. On admet que g (t)= 4sin sin et que le signe de g est donné par le tableau suivant : ( 3t ). Groupe A 8 mai 00

9 t 0 π 3 π Signe de g (t) Dresser sur l intervalle [0 ; π] le tableau des variations conjointes des fonctions f et g. 4. Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe (Γ) aux points B, C et D de paramètre respectifs t B = π 3, t C = π 3 et t D = π. ( 5. Le plan P est rapporté à un repère O, ı, ) j d unité graphique cm. On admet que la tangente à la courbe (Γ) au point A de paramètre t A = 0 a pour vecteur directeur i. Tracer les tangentes aux points A, B, C et D puis la courbe (Γ). Groupe A 9 mai 00

10 BTS Groupement A 003 EXERCICE 0 points Le but de cet exercice est de déterminer les premiers coefficients de Fourier et les principales harmoniques d un signal. Partie A Pour tout entier naturel n, on considère les intégrales : π I n = π. Montrer que I n = n sin n π. π cos(nx) dx et J n = x cos(nx) dx 0. À l aide d une intégration par partie, montrer que J n = π (n n sin π )+ ( n cos n π ) n 3. Déterminer I, I et I 3, puis J, J et J 3. Partie B Soit f la fonction numérique définie sur R, paire, périodique de période π, telle que : si 0 t π, f (t)= E π t si π < t π, f (t)=e où E est un nombre réel donné, strictement positif.. Tracer, dans un repère orthogonal, la représentation graphique de la fonction f sur l intervalle [ π ; +π] (on prendra E = uniquement pour construire la courbe représentant f ).. Soit a 0 et pour tout entier naturel supérieur ou égal à, a n et b n les coefficients de Fourier associés à f. Partie C a. Calculer a 0. b. Pour tout n, donner la valeur de b n. c. En utilisant la partie A, vérifier que pour tout n, a n = E π (J n+ πi n ). Calculer a 4k pour tout entier k.. Déterminer les coefficients a, a, a 3.. Calculer F, carré de la valeur efficace de la fonction f sur une période. On rappelle que dans le cas où f est paire, périodique de période T, on a : F = T T 0 f (t) dt 3. On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne : F = a Soit P le nombre défini par P = a 0 + n= a n + b n ( a + a + ) a 3. Groupe A 0 mai 00

11 Calculer P, puis donner la valeur décimale arrondie au millième du rapport P F. Ce dernier résultat très proche de, justifie que dans la pratique, on peut négliger les harmoniques d ordre supérieur à 3. EXERCICE 0 points On note j le nombre complexe de module et d argument π. On considère la fonction H définie, pour tout nombre complexe p distinct de 0 et de, par : H(p)= p(p+ ). Dans toute la suite de l exercice on prend p = jω, où ωdésigne un réel strictement positif.. On note r (ω) le module du nombre complexe H(jω) et on considère la fonction G définie, pour tout réel ω par : G(ω)= 0 ln r (ω). ln 0 a. Montrer que G(ω)= 0 ( ln 0 ln ω +ω ). b. Déterminer les limites de la fonction G en 0 et en+. Montrer que la fonction G est strictement décroissante sur ]0 ; + [.. a. Montrer qu un argument ϕ(ω) de H(j ω) est : ϕ(ω)= π arctanω b. Étudier les variations de la fonction ϕ sur ]0 ; + [ (on précisera les limites en 0 et en+ ). 3. On considère la courbe C définie par la représentation paramétrique : x(ω)= π arctanω y(ω)= 0 ln 0 ln ( ω +ω ) pour ω strictement positif. a. Dresser le tableau des variations conjointes des fonctions x et y. b. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera des valeurs décimales arrondies au centième) : ω 0,5 0,7 0,786 0,9,5 x(ω), 4 y(ω) 0 c. Tracer la courbe C dans un repère orthogonal, on prendra pour unités graphiques 5 cm sur l axe des ordonnées. La courbe C correspond au diagramme de Black associé à la fonction de transfert H. Groupe A mai 00

12 Brevet de technicien supérieur Groupement A session 004 Exercice 8 points Les questions, et 3 peuvent être traitées indépendamment l une de l autre. Une entreprise fabrique des pièces. Ces pièces sont considérées comme conformes si leur longueur est comprise entre 79, 8 mm et 80, mm.. On note L la variable aléatoire qui, à chaque pièce fabriquée, associe sa longueur en mm. On admet que la variable L suit une loi normale de moyenne 80 et d écart type 0, On prélève une pièce au hasard dans la production. Déterminer, en utilisant la table de la loi normale centrée réduite, la probabilité que cette pièce soit conforme.. On admet que si on prélève, au hasard, une pièce dans la production, la probabilité que cette pièce ne soit pas conforme, est p = 0,035. a. On note X, la variable aléatoire représentant le nombre de pièces défectueuses dans un lot de 00 pièces. Les pièces sont prélevées au hasard et le tirage est assimilé à un tirage avec remise. Justifier que X suit une loi binomiale de paramètre n = 00 et p = 0, 035. b. Le tableau ci-dessous, donne la probabilité des évènements "X = k" pour k variant de 0 à 9, à l exception de l évènement "X = ". k P(X = k) 0,084 0,09 0,88 0,94 0,340 0,0770 0,0375 0,058 0,0059 On considère les évènements : A : «le nombre de pièces défectueuses du lot est égal à» ; B : «le nombre de pièces défectueuses du lot est au moins égal à». Calculer P(A) au dix millième près, puis P(B) au millième près. c. Un lot de 00 pièces est envoyé à un client, le lot est accepté s il contient au plus 4 pièces défectueuses. En utilisant le tableau ci-dessus, déterminer au millième près, la probabilité que le client refuse ce lot. d. En utilisant le tableau ci-dessus, déterminer la plus petite valeur entière n telle que : P(X > n)<0,03 3. L entreprise souhaite améliorer la qualité de la production. Pour cela on projette de changer le processus de fabrication des pièces. On définit alors une nouvelle variable L qui à chaque pièce à construire selon le nouveau processus associera sa longueur en mm. La variable aléatoire L suit une loi normale de moyenne m = 80 et d écart type σ. Déterminer σ pour que, en prenant une pièce au hasard dans la future production, la probabilité d obtenir une pièce conforme soit égale à 0,99. Groupe A mai 00

13 Exercice 8 points Pour les spécialités Contrôle industriel et régulation automatique, électronique, Techniques physiques pour Dans tout cet exercice, le nombre n est un entier relatif. La suite n e(n) représente l échelon discrétisé causal défini par : { e(n)=0 pour n< 0 e(n)= pour n 0 On considère un filtre numérique dans lequel le signal d entrée est n e(n) et le signal de sortie est un signal discret causal noté n x(n). Ce filtre est régi par l équation récurrente : Partie x(n) x(n )= e(n) (E) Dans cette partie, on résout l équation récurrente (E) sans utilisation de la transformation en Z.. a. Justifier que x(0) =. b. Calculer x(), x() et x(3).. Pour tout entier naturel n l équation (E) s écrit : Partie x(n) x(n )= (E) a. On considère la suite y définie pour tout entier naturel n par : y(n)= x(n)+ Montrer que la suite y est une suite géométrique de raison. Donner l expression de y(n) en fonction de de l entier naturel n. b. En déduire, pour tout entier naturel n, l expression de x(n). Vérifier que l on retrouve les mêmes valeurs de x(0), x(), x() et x(3) qu à l équation. Dans cette partie on résout l équation récurrente (E) en utilisant la transformation en Z.. On rappelle que x(0) =. On se place dans le cas où n et on admet que le signal n x(n), solution de l équation récurrente (E), a une transformation en Z notée (Z x)(z). a. Montrer que pour tout z différent de 0, de et de on a : z (Z x)(z)= (z )(z ) b. Montrer que pour tout z différent de 0, de et de on a : (Z x)(z) z = z + z c. En déduire par lecture inverse du dictionnaire d images, le signal de sortie n x(n) pour n.. Représenter dans un repère orthogonal, pour les nombres entiers n tels que n 3, le signal de sortie n x(n). Prendre comme unités graphiques cm sur l axe des abscisses et 0,5 cm sur l axe des ordonnées. Groupe A 3 mai 00

14 Exercice Pour toutes les spécialités Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l une de l autre. points e(t) s(t) Dans le système représenté ci-dessus, e et s sont respectivement les signaux d entrée et de sortie, causaux (nuls pour t négatif). On suppose que le système est régi par l équation différentielle : LC d s ds (t)+rc (t)+ s(t)=e(t) () dt dt L, R et C sont des constantes réelles strictement positives. De plus à l instant initial : Partie A s(0 + )=0 et ds dt (0+ )=0 On suppose que les fonctions e et s admettent des transformées de Laplace notées respectivement E et S.. La fonction de transfert H du système est définie par S(p) = H(p) E(p). En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l équation (), exprimer H(p) en fonction de L, R et C.. On suppose que e(t)= U (t ) U (t { ) U (t)=0 si t < 0 où U est la fonction échelon unité : U (t)= si t 0 a. Tracer la courbe représentative de la fonction e dans un repère du plan. b. Déterminer E(p). 3. Dans la suite de l exercice, on considère que L=, R = 000 et C = a. Vérifier que H(p) = (p+ 50) + ( 50 3 ). Partie B b. On admet que : p H(p)= p p+ 50 (p+ 50) + ( 50 3 ) 50 (p+ 50) + ( 50 3 ) Déterminer l original h de la fonction p p H(p). Exprimer s(t) à l aide de h (t). c. Donner l expression de s(t) sur chacun des intervalles ],[, [,[ et [,+ [. On rappelle que H(p) = 500 (p+ 50) + ( 50 3 ).. On considère la fonction r définie pour tout réel ω>0 par : r (ω)= H(jω) où j est le nombre complexe de module et d argument π. Montrer que r (ω)= 500 ω ω Groupe A 4 mai 00

15 . On considère la fonction f définie pour tout réel ω>0 par : f (ω)=ω ω Montrer que f (ω)=4ω ( ω 50 )( ω+50 ). 3. Montrer que r (ω) est du signe de f (ω). 4. En déduire que r (ω) est maximal pour une valeur de ω 0 de ω. Donner la valeur de ω 0 et calculer r (ω 0 ). La partie B permet de déterminer le maximum du gain pour le système étudié en régime harmonique. Groupe A 5 mai 00

16 Brevet de technicien supérieur Groupement A session 005 Exercice Spécialités CIRA, Électronique, Électrotechnique, Génie optique et TPIL 9 points. Soit la fonction numérique g définie sur [0; π] par a. Montrer que g (t)=4sin t cos 3 t. g (t)=(+cos t)sin t. b. En déduire les variations de g sur [0 ; π].. Soit la fonction numérique f définie sur R, paire, périodique de période telle que : f (t) = τ si 0 t τ f (t) = τ si τ t où τest un nombre réel tel que 0<τ< a. Uniquement dans cette question, on prendra τ= 6. Représenter la fonction f sur l intervalle [ ; ] dans un repère orthonormal. b. On admet que la fonction f satisfait aux conditions de Dirichlet. Soit S le développement en série de Fourier associé à la fonction f. Montrer que : + S(t)= nπ sin(nπτ)cos(nπt) n= 3. On décide de ne conserver que les harmoniques de rang inférieur ou égal à. Soit la fonction numérique h définie sur R par : h(t)= π sin(πτ)cos(πt)+ π sin(4πτ)cos(4πt) On désigne par E le carré de la valeur efficace de h sur une période. h a. À l aide de la formule de Parseval, déterminer E h. b. Montrer que E h = π g (πτ). 4. Déterminer la valeur de τ rendant E h maximal. Exercice Toutes spécialités points L exercice est composé de deux parties qui peuvent se traiter de façon indépendante. Partie A Un embrayage vient appliquer, à l instant t = 0, un couple résistant constant sur un moteur dont la vitesse à vide est de 50 rad/s. On note ω(t), la vitesse de rotation du moteur à l instant t. La fonction ω est solution de l équation différentielle : 00 y (t)+ y(t)=46 () où y désigne une fonction dérivable de la variable réelle positive t. Groupe A 6 mai 00

17 . a. Déterminer la solution générale de l équation différentielle (). On cherchera une solution particulière constante. b. Sachant que ω(0)=50, montrer que ω(t)= 46+4e 00t pour tout t [0 ; + [.. a. On note ω = lim t + ω(t). Déterminer la perte de vitesse ω(0) ω. due au couple résistant. Partie B b. On considère que la vitesse du moteur est stabilisée lorsque l écart relatif ω(t) ω ω est inférieur à %. Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse. On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au millième. La vitesse du moteur étant stabilisée, on s intéresse dans cette deuxième partie à l effet d une perturbation γ du couple résistant sur la vitesse de rotation du moteur. On note f (t) la différence, à l instant t, entre la vitesse perturbée du moteur et sa vitesse stabilisée. La fonction f est solution de l équation différentielle : 00 f (t)+ f (t)=γ(t) avec f (0 + )=0 () On admet que la fonction f possède une transformée de Laplace notée F. La fonction γ est définie par : γ(t)=k [U (t) U (t τ)] où τ et K sont des réels strictement positifs caractérisant la perturbation et U est la fonction échelon unité (U (t)=0 si t < 0 et U (t)= si t 0 ).. a. Représenter la fonction γ pour τ=0,005 et K = 0,. b. Déterminer, en fonction de τ et K, la transformée de Laplace Γ de la fonction γ.. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l équation différentielle (), déterminer F (p). 3. a. Déterminer les réels a et b tels que : 00 p(p+ 00) = a p + pour tout réel p strictement positif. b p+ 00 b. En déduire l original f de la fonction F. On vérifiera notamment que : { f (t) = K ( e 00t ) si t [0 ; τ[ f (t) = K (e 00τ )e 00t si t [τ ; + [ c. Donner le sens de variation de la fonction f sur chacun des intervalles [0 ; τ[ et [τ ; + [. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de ces deux intervalles. d. Représenter la fonction f pour τ=0,005 et K = 0,. On pourra tracer les courbes représentatives des fonctions γ et f dans le même repère. Groupe A 7 mai 00

18 Brevet de technicien supérieur Groupement A 006 Exercice points Le but de cet exercice est d étudier quelques propriétés d un filtre numérique N et de comparer des effets de ce filtre avec ceux d un filtre analogique A. Partie I On rappelle que tout signal discret causal est nul pour tout entier strictement négatif. Soient x(n) et y(n) les termes généraux respectifs de deux signaux discrets causaux représentant, respectivement, l entrée et la sortie d un filtre numérique N. Ce filtre est conçu de telle sorte que, pour tout nombre entier n positif ou nul, on a : y(n) y(n )=0,04 x(n ).. On note Z x et Z y les transformées respectives des signaux causaux x et y. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de et, on a : ( ) 0,04z Z y (z)= (Z x) (z) (z )(z+ ). On suppose que le signal d entrée est l échelon unité discret : { 0 si n< 0 x(n)=e(n) avec e(n)= si n 0 a. Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de et, on a : ( Z y ) (z)= 0,04z (z ) (z+ ) b. Calculer les constantes réelles A, B et C telles que : c. En remarquant que : 0,04z (z ) (z+ ) = A (z ) + B z + C z+ ( ) Z y (z) 0,04z = z (z ) (z+ ) montrer que, pour tout entier n positif ou nul, on a : y(n)= 0,0n+ 0,0 ( ( ) n) d. Déterminer y(k) puis y(k + ) pour tout nombre entier naturel k. e. En déduire que pour tout nombre entier naturel k, on a : y(k + ) = y(k+ ). f. Représenter graphiquement les termes du signal causal y lorsque le nombre entier n est compris entre et 5. Groupe A 8 mai 00

19 Partie II On rappelle que la fonction échelon unité, notée U, est définie par : { U (t)=0 si t < 0 U (t)= si t 0 Soit la fonction f définie pour tout nombre réel t par : f (t)=sin(0t)u (t) On note F la transformée de Laplace de la fonction f. Le signal de sortie du filtre analogique A est représenté par la fonction s dont la transformée de Laplace S est telle que : S(p)= F (p) p. Justifier que, pour tout nombre réel t positif ou nul, on a : t s(t)= f (u)du 0. En déduire que, pour tout nombre réel t positif ou nul, on a : s(t)= cos(0t) 0 3. Donner sans justification la valeur maximale et la valeur minimale de la fonction s. 4. Tracer, sur le graphique du document réponse, l allure de la courbe représentative de la fonction s. Il n est pas demandé d étudier la fonction s. La figure du document réponse montre une simulation du résultat obtenu en sortie du filtre numérique soumis à une version échantillonnée de la fonction f, lorsque la période d échantillonnnage est 0,0. Groupe A 9 mai 00

20 Document à rendre avec la copie Groupe A 0 mai 00

21 Exercice - Spécialités électrotechnique, Génie optique, TPIL - (sur points) Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A Une entreprise produit, en grande quantité, des appareils. Chaque appareil fabriqué peut présenter deux défauts que l on appellera défaut a et défaut b. On prélève un appareil au hasard dans la production d une journée. On note A l évènement : «l appareil présente le défaut a» et B l évènement : «l appareil présente le défaut b». Les probabilités des évènements A et B sont P(A)=0,03 et P(B)=0,0 ; on suppose que ces deux évènements sont indépendants.. Calculer la probabilité de l évènement E : «l appareil présente le défaut a et le défaut b».. Calculer la probabilité de l évènement E : «l appareil est défectueux, c est-àdire qu il présente au moins un des deux défauts». 3. Calculer la probabilité de l évènement E 3 : «l appareil ne présente aucun défaut». 4. Sachant que l appareil est défectueux, quelle est la probabilité qu il présente les deux défauts? Le résultat sera arrondi au millième. Dans les parties B et C, les résultats seront à arrondir au centième. Partie B Les appareils sont conditionnés par lots de 00 pour l expédition aux distributeurs de pièces détachées. On prélève au hasard un échantillon de 00 appareils dans la production d une journée. La production est suffisamment importante pour que l on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 00 appareils. Pour cette partie, on considère que, à chaque prélèvement, la probabilité que l appareil soit défectueux est 0,05. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 00 appareils, associe le nombre d appareils défectueux.. a. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Donner l espérance mathématique de la variable aléatoire X.. On suppose que l on peut approcher la loi de X par une loi de Poisson de paramètre λ. Partie C a. On choisit λ = 5 ; justifier ce choix. b. En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité qu il y ait au plus deux appareils défectueux dans un lot. Les appareils sont aussi conditionnés par lots de 800 pour l expédition aux usines de montage. On prélève au hasard un lot de 800 appareils. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 800 appareils, associe le nombre d appareils défectueux. On décide d approcher la loi de la variable aléatoire X par la loi normale de moyenne 40 et d écart-type 6,.. Déterminer la probabilité qu il y ait au plus 50 appareils défectueux dans le lot.. Déterminer le réel x tel que P(X > x)=0,0. En déduire, sans justification, le plus petit entier k tel que la probabilité que le lot comporte plus de k appareils défectueux soit inférieure à 0,0. Groupe A mai 00

22 Exercice - Toutes spécialités (sur 9 points) Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Soient α et β deux nombres réels. Soit f une fonction périodique de période, définie sur l intervalle [0 ; [ par f (t)= αt+ β. On appelle a 0, a n et b n les coefficients de Fourier associés à la fonction f.. Montrer que a 0 = α + β.. Montrer que b n = α pour tout nombre entier naturel n non nul. nπ On admet que a n = 0 pour tout entier naturel n non nul. 3. On se propose de déterminer les nombres réels α et β pour que le développement S en série de Fourier de la fonction f soit défini pour tout nombre réel t + par S(t)= n sin(nπt). n= a. Déterminer les nombres réels α et β tels que a 0 = 0 et b n = n. En déduire l expression de la fonction f. b. Représenter la fonction f sur l intervalle [ ; ] dans un repère orthogonal. Partie B On veut résoudre l équation différentielle : s"(t)+ s(t)= f (t) On admet que l on obtient une bonne approximation de la fonction s en remplaçant f (t) par les premiers termes du développement en série de Fourier de la fonction f obtenus dans la partie A, c est-à-dire par : Soit (E) l équation différentielle : sin(πt)+ sin(4πt) s"(t)+ s(t)=sin(πt)+ sin(4πt). Vérifier que la fonction s définie pour tout nombre réel t par : s (t)= 4π sin(πt)+ ( 6π ) sin(4πt) est solution de l équation différentielle (E).. Résoudre l équation différentielle (E). Groupe A mai 00

23 session 007 Groupement A A. P. M. E. P. Exercice On s intéresse à un système entrée-sortie susceptible d être contrôlé. Dans la partie A, on étudie le système en l absence de contrôle. Dans la partie B, on étudie le système soumis à un contrôle. Les parties A, B et C sont indépendantes dans leurs résolutions respectives. Partie A On considère l équation différentielle (E ) suivante : y (t)+ y(t)=0 β (E ) points où y désigne une fonction dérivable de la variable réelle t et β une constante réelle.. Montrer que la fonction h définie pour tout nombre réel t par h(t) = 0 β est solution de l équation différentielle (E ).. Résoudre l équation différentielle (E ). 3. Montrer que la fonction f, solution de l équation différentielle (E ) et qui vérifie f (0)=0 est définie surrpar f (t)=βe t + 0 β. 4. Calculer lim t + f (t) que l on note f. Partie B On rappelle que la fonction échelon unité U est définie par : { U (t)=0 si t < 0 U (t)= si t 0 et qu une fonction définie surrest dite causale si elle est nulle pour tout nombre réel strictement négatif. On considère la fonction causale g qui vérifie la relation (E ) suivante : t g (t)+ g (t)= 3 [0U (u) g (u)]du+ (0 β)u (t) (E ) 0 et la condition g (0)= 0. On admet que la fonction g admet une transformée de Laplace notée G.. Montrer que la transformée de Laplace I de la fonction i définie par : est telle que t i (t)=3 [0U (u) g (u)]du 0 I (p)= 30 p 3G(p) p.. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation (E ), déterminer une expression de G(p). 3. Vérifier que G(p)= 0 p β (p+ ) + 5.

24 4. Dans cette question, on va déterminer lim t + g (t), que l on note g et qui est la valeur finale du signal représenté par la fonction g. On rappelle que, d après le théorème de la valeur finale, g = lim p 0 + pg(p). Déterminer g. 5. a. Déterminer la transformée de Laplace de la fonction qui à tout nombre réel t associe e t sin(5t)u (t). Partie C b. En déduire l expression de g (t). Dans cette partie, on prend β = 5. En annexe, à rendre avec la copie, on a représenté, sur l intervalle [0 ; + [, les courbes C f et C g représentatives des fonctions f et g définies dans les parties A et B avec β=5. On admet ici que pour tout nombre réel t positif ou nul : f (t)=5e t + 5 et g (t)=0 e t sin(5t). On rappelle que f et g sont les limites respectives des fonctions f et g en+. On a donc : f = 5 et g = 0.. a. Vérifier que pour tout nombre réel t positif ou nul on a : f (t) f f = e t. b. Soit t le nombre réel tel que : f (t) f f 0,0 pour tout t t. Calculer la valeur exacte de t, puis une valeur approchée de t arrondie au dixième.. Soit t le nombre réel tel que : 0,0 g (t) g g 0,0 pour tout t t. Graphiquement, déterminer une valeur approchée de t, arrondie au dixième. Dans ce problème, on a étudié un système entrée-sortie, dans la partie A libre de tout asservissement, puis dans la partie B contrôlé par une commande intégrale. On a montré que grâce à cette commande on peut stabiliser la sortie à la valeur 0 indépendamment de la perturbation β, au prix d une détérioration du temps de réponse du système et de l apparition d oscillations amorties. Exercice 8 points On désigne par j le nombre complexe de module dont un argument est π. On considère un filtre dont la fonction de transfert T est définie sur l intervalle ]0 ; + [ par T (ω)= jωk j ω. Le nombre k est un nombre réel strictement positif compris entre 0 et. En associant trois filtres identiques au précédent, on obtient un système dont la fonction de transfert H est définie sur ]0 ; + [ par : H(ω)=(T (ω)) 3. Groupement A 4 juin 007

25 . On note r (ω) le module de H(ω). On a donc : r (ω)= H(ω). kω a. Montrer que le module de T (ω) est b. En déduire r (ω). + ω 4. a. Justifier qu un argument de ( jω) 3 est π. Justifier qu un argument de j ω ( ω ) est arctan. En déduire qu un argument de H(ω), notée ϕ(ω), est défini sur ]0 ; + [ par : ϕ(ω)= π + 3arctan ( ω b. On note ϕ la dérivée de la fonction ϕ. Calculer ϕ (ω). Déterminer le signe de ϕ sur l intervalle ]0 ; + [. c. Déterminer les limites de la fonction ϕ en 0 et+. 3. Dans le tableau ci-après on donne les variations de la fonction r sur l intervalle ]0 ; + [. Recopier et compléter ce tableau en utilisant les résultats obtenus dans la question.. ). ω r (ω) k 3 r (ω) 0 ϕ(ω) ϕ (ω) 4. Dans cette dernière question, on se place dans le cas où k = 0,9. Lorsque ω décrit l intervalle ]0 ; + [, le point d affixe H(ω) décrit une courbe C. En annexe, à rendre avec la copie, la courbe C est tracée dans le plan complexe. On note ω 0 la valeur de ω pour laquelle le module de H(ω) est égal à. a. Placer précisément le point M 0 d affixe H(ω 0 ) sur le document réponse donné en annexe. b. Calculer une valeur arrondie à 0 près du nombre ω 0, puis de ϕ(ω 0 ). Groupement A 5 juin 007

26 Annexe Document réponse à rendre avec la copie Groupement A 6 juin 007

27 Annexe Document réponse à rendre avec la copie C Groupement A 7 juin 007

28 session 007 Groupement A Techniques physiques pour A. P. M. E. P. Exercice On s intéresse à un système entrée-sortie susceptible d être contrôlé. Dans la partie A, on étudie le système en l absence de contrôle. Dans la partie B, on étudie le système soumis à un contrôle. Les parties A, B et C sont indépendantes dans leurs résolutions respectives. Partie A On considère l équation différentielle (E ) suivante : y (t)+ y(t)=0 β (E ) points où y désigne une fonction dérivable de la variable réelle t et β une constante réelle.. Montrer que la fonction h définie pour tout nombre réel t par h(t) = 0 β est solution de l équation différentielle (E ).. Résoudre l équation différentielle (E ). 3. Montrer que la fonction f, solution de l équation différentielle (E ) et qui vérifie f (0)=0 est définie surrpar f (t)=βe t + 0 β. 4. Calculer lim t + f (t) que l on note f. Partie B On rappelle que la fonction échelon unité U est définie par : { U (t)=0 si t < 0 U (t)= si t 0 et qu une fonction définie surrest dite causale si elle est nulle pour tout nombre réel strictement négatif. On considère la fonction causale g qui vérifie la relation (E ) suivante : g (t)+ g (t)= 3 t et la condition g (0)= 0. 0 [0U (u) g (u)]du+ (0 β)u (t) (E ) On admet que la fonction g admet une transformée de Laplace notée G.. Montrer que la transformée de Laplace I de la fonction i définie par : est telle que i (t)=3 t 0 [0U (u) g (u)]du I (p)= 30 p 3G(p) p.. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation (E ), déterminer une expression de G(p). 3. Vérifier que G(p)= 0 p β (p+ ) + 5.

29 4. Dans cette question, on va déterminer lim t + g (t), que l on note g et qui est la valeur finale du signal représenté par la fonction g. On rappelle que, d après le théorème de la valeur finale, g = lim p 0 + pg(p). Déterminer g. 5. a. Déterminer la transformée de Laplace de la fonction qui à tout nombre réel t associe e t sin(5t)u (t). Partie C b. En déduire l expression de g (t). Dans cette partie, on prend β = 5. En annexe, à rendre avec la copie, on a représenté, sur l intervalle [0 ; + [, les courbes C f et C g représentatives des fonctions f et g définies dans les parties A et B avec β=5. On admet ici que pour tout nombre réel t positif ou nul : f (t)=5e t + 5 et g (t)=0 e t sin(5t). On rappelle que f et g sont les limites respectives des fonctions f et g en+. On a donc : f = 5 et g = 0.. a. Vérifier que pour tout nombre réel t positif ou nul on a : f (t) f f = e t. b. Soit t le nombre réel tel que : f (t) f f 0,0 pour tout t t. Calculer la valeur exacte de t, puis une valeur approchée de t arrondie au dixième.. Soit t le nombre réel tel que : 0,0 g (t) g g 0,0 pour tout t t. Graphiquement, déterminer une valeur approchée de t, arrondie au dixième. Dans ce problème, on a étudié un système entrée-sortie, dans la partie A libre de tout asservissement, puis dans la partie B contrôlé par une commande intégrale. On a montré que grâce à cette commande on peut stabiliser la sortie à la valeur 0 indépendamment de la perturbation β, au prix d une détérioration du temps de réponse du système et de l apparition d oscillations amorties. Exercice Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante. 8 points Le fournisseur d accès Internet Mathoile propose des abonnements comportant la fourniture d un modem ADSL. On appelle p la proportion de modems défectueux parmi ceux fournis aux clients. Dans tout l exercice, on considère que p est aussi la probabilité pour un client donné de recevoir un modem défectueux. Une association de consommateurs lance une enquête auprès des abonnés à sa revue pour estimer leur degré de satisfaction concernant leur abonnement ADSL. On appelle p la proportion de modems défectueux parmi ceux qui ont été fournis aux abonnés à la revue, clients de Mathoile. Partie A : estimation de p Parmi les réponses à l enquête reçues par l association, 48 concernent des abonnés, clients du fournisseur d accès Mathoile. Sur ces 48 abonnés, 86 déclarent avoir reçu un modem défectueux. 9 juin 007

30 . On note f e la proportion de modems défectueux chez les abonnés, également clients de Mathoile, ayant répondu à l enquête. Donner la valeur exacte de f e, puis sa valeur arrondie au centième.. Soit F la variable aléatoire qui, à un lot de n modems, pris au hasard parmi ceux fournis par Mathoile dans la population des abonnés à la revue, associe la fréquence d appareils défectueux. On peut admettre, n étant assez grand, que la variable aléatoire F suit une loi normale de moyenne p p ( p ) et d écart type σ=. n Dans cette situation, l écart type σ de la variable aléatoire F peut être approché par. ( ) f e fe n Les responsables de la revue font le raisonnement suivant : «le grand nombre de réponses reçues à notre enquête par les abonnés à notre revue, clients de Mathoile, est un échantillon pris au hasard dans l ensemble de nos abonnés qui ont reçu un modem Mathoile». Dans cette hypothèse, déterminer un intervalle de confiance de p,avec un coefficient de confiance de 0,95. Partie B : test de validité d hypothèse Le fournisseur d accès Mathoile réfute que l estimation de la proportion p de modems défectueux obtenue dans la partie A puisse s appliquer à l ensemble de sa production. Il considère en effet que l échantillon des personnes qui ont répondu à l enquête n est pas représentatif de sa clientèle. Ce fournisseur contacte alors un organisme indépendant qui procède à son tour à une enquête en interrogeant 400 clients Mathoile choisis de manière aléatoire. On appelle G la variable aléatoire qui, à un échantillon de 400 modems, associe la fréquence d appareils défectueux dans cet échantillon. À partir de cette enquête, on souhaite tester, au seuil de 5 %, l hypothèse nulle H 0 : «la probabilité p est égale à 0,6» contre l hypothèse alternative H : «la probabilité p est inférieure à 0,6».. On peut supposer, sous l hypothèse nulle, que G suit une loi normale de moyenne 0,6( 0,6) 0,6 et d écart type s=. 400 Soit a le nombre réel tel que : p(g< 0,6 a)= 0,05. Montrer qu une valeur arrondie à 0 du nombre a est égale à 0,030.. Énoncer la règle de décision du test. 3. Sur 400 personnes interrogées, 48 déclarent avoir reçu un modem défectueux. Quelle est la conclusion du test? L estimation de la partie A repose sur un échantillon non aléatoire et, sans doute, pas représentatif des clients du fournisseur Mathoile. En revanche, dans la partie B, la méthodologie de construction du test est acceptable. 30 juin 007

31 Annexe Document réponse à rendre avec la copie juin 007

32 Annexe Document réponse à rendre avec la copie C 3 juin 007

33 Brevet de technicien supérieur session octobre 006 Groupement A Nouvelle Calédonie Exercice On considère la fonction ϕ définie surr, π-périodique, et telle que : 8 points { ϕ(t) = t si 0 t < π ϕ(t) = 0 si π t < π On note S(t) développement de Fourier associé à la fonction ϕ ; les coefficients de Fourier associés à la fonction ϕ sont notés a 0, a n, b n où n est un nombre entier naturel non nul.. Représenter graphiquement la fonction ϕ sur l intervalle [ π ; 4π].. a. Calculer a 0, la valeur moyenne de la fonction ϕ sur une période. b. On rappelle que pour une fonction f, périodique de période T le carré de la valeur efficace sur une période est donné par : µ eff = [f (t)] dt. T 0 Montrer que µ le carré de la valeur efficace de la fonction sur une pé- eff riode est égal à π Montrer que. pour tout nombre entier n, on a : a n = πn [cos(nπ) ]. On admet que, pour tout nombre entier n, on a : b n = cos(nπ). n 4. On considère la fonction S 3 définie surr par : S 3 (t)= a [a n cos(nt)+b n sin(nt)] n= où les nombres a 0, a n,b n sont les coefficients de Fourier associes à la fonction ϕ définie précédemment. a. Recopier et compléter le tableau avec les valeurs exactes des coefficients demandés. a 0 a b a b a 3 b 3 9π 3 ( π ) b. Calculer la valeur exacte de S 3 puis donner la valeur approchée de ( 4 π ) ( π ) ϕ S 3 arrondie à On rappelle la formule de Parseval permettant de calculer le carré de la valeur efficace µ 3 de la fonction S 3. µ 3 = a 0 + [ a + b + a + b + a 3 + b 3] T a. Calculer la valeur exacte de µ 3. b. Calculer la valeur approchée de µ 3 µ arrondie à 0. eff Exercice points Dans ce problème, on s intéresse à un filtre modélisé mathématiquement par l équation différentielle suivante : 33 juin 007

34 { s (t)+ s(t) = e(t) s(0) = 0 La fonction e représente l entrée aux bornes du filtre et la fonction s la sortie. On admet que les fonctions e et s admettent des transformées de Laplace respectivement notées E et S. La fonction de transfert H du filtre est définie par : S(p)= H(p) E(p). On rappelle que la fonction échelon unité, notée U, est définie par : Partie A. Montrer que : H(p)= p+. { U (t) = 0 si t < 0 U (t) = si t 0.. La fonction e est définie par : e(t)= tu (t) (t )U (t ). a. Représenter graphiquement la fonction e. b. Montrer que : E(p)= p ( e p ). c. En déduire S(p). d. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que : e. En déduire l original s de S. f. Vérifier que : 3. a. Comparer s ( ) et s ( +). Partie B p (p+ ) = a p + b p + c p+ s(t) = 0 si t < 0 s(t) = t +e t si 0 t < s(t) = +( e)e t si t b. Calculer s (t) et étudier son signe sur les intervalles ]0 ; [ et ] ; + [. c. En déduire le sens de variation de la fonction s sur l intervalle ]0 : + [. d. Déterminer la limite de la fonction s en +. On note j le complexe de module et d argument π. On prend p = jω où ω désigne un nombre réel positif. On a alors : H(jω)= +jω. ( On munit le plan d un repère orthonormal O, u, ) v d unité graphique 0 cm.. Montrer que l ensemble ( ) des points m d affixe z = +jω lorsque ω décrit l intervalle [0 ; + [ est une demi-droite que l on caractérisera.. Quel est l ensemble (C ) des points M d affixe Z = lorsque ω décrit l in- +jω tervalle [0 ; + [? 3. Représenter, dans le repère ( O, u, ) v les ensembles ( ) et (C ). 34 juin 007

35 Brevet de technicien supérieur session groupement A (électrotechnique) Exercice points On rappelle que la fonction échelon unité U est définie sur R par : { U (t)=0 si t < 0 U (t)= si t 0 Une fonction définie surrest dite causale si elle est nulle sur l intervalle ] ; 0[.. On considère la fonction causale e définie sur l ensemble des nombres réels par : e(t)=4[u (t) U (t )] a. Tracer la représentation graphique de la fonction e dans un repère orthonormal. b. On note E la transformée de Laplace de la fonction e. Déterminer E(p).. On considère la fonction s telle que 4s (t)+ s(t)=e(t) et s(0)=0 On admet que la fonction s admet une transformée de Laplace, notée S. Démontrer que : S(p)= ( p p+ ) ( e p) 4 3. Déterminer les réels a et b tels que : ( p p+ ) = a p + b p Compléter le tableau ci-dessous dans lequel f représente la fonction causale associée à F : F (p) p p e p p+ 4 p+ 4 e p f (t) U (t) 5. a. Déterminer s(t), t désignant un nombre réel quelconque. b. Vérifier que : s(t)=0 si t < 0 t s(t)=4 4e 4 si 0 t < t s(t)=4e 4 e si t 6. a. Justifier que la fonction s est croissante sur l intervalle [0; [. b. Déterminer lim s(t). t t< 35 juin 007

36 7. a. Déterminer le sens de variation de la fonction s sur l intervalle [;+ [. b. Déterminer lim t + s(t). 8. Tracer la courbe représentative de la fonction s dans un repère orthonormal. Exercice 9 points Dans ce problème, on approche un signal à l aide d une fonction affine par morceaux. On désigne par E un nombre réel de l intervalle ]0; 3[. On considère la fonction f définie surr, paire, périodique de période 5, telle que : E t si 0 t < f (t)= (3 E)t+ E 3 si t < 3 si t 5 Partie A : Dans cette partie, et uniquement dans cette partie, on se place dans le cas où E =. [. Préciser l écriture de f (t) sur chacun des intervalles [0; [, [; [ et ; 5 ].. Représenter graphiquement la fonction f sur l intervalle [ 5; 0]. Partie B : Dans cette partie, on se place dans le cas général, c est-à-dire dans le cas où la valeur de E n est pas spécifiée. On appelle S la série de Fourier associée à la fonction f. On note S(t)= a n= ( a n cos ( nπ 5 t ) + b n sin ( nπ 5 t. Montrer que la valeur moyenne de la fonction f sur une période est a 0 = E Déterminer b n pour tout entier naturel n supérieur ou égal à. 3. a. Montrer que pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à : ( ) nπ t cos 5 t dt = 5 ( ) nπ nπ sin + 5 ( ( ) ) nπ 5 4n π cos. 5 0 b. On a calculé les intégrales f (t)cos ( nπ )). ) 5 t ) 5 t dt et 5 f (t)cos ( nπ On a ainsi obtenu pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à : 5 0 ( ) nπ f (t)cos 5 t dt = 5 ( 4n π (E 3)cos ( nπ 5 ) + (3 E)cos ( 4nπ En déduire que pour tout nombre entier naturel supérieur ou égal à : a n = 5 ( ( ) ( ) ) nπ 4nπ n π (E 3)cos + (3 E)cos E Pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à, on appelleu n l harmonique de rang n. On a alors u n (t)= a n cos ( ) ( ) nπ nπ 5 t + b n sin 5 t pour tout nombre réel t. 5 dt. ) ) E. 36 juin 007

37 a. Montrer qu au rang 5, u 5 (t) est nul pour tout nombre réel t. b. On appelle E 0 la valeur de E pour laquelle l harmonique de rang 3 est nulle, c est-à-dire la valeur de E telle que u 3 (t) est nul pour tout nombre réel t. Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 0 près, de E 0. Dans ce problème, à l aide d un transformateur à diode, on approche un signal sinusoïdal redressé par une fonction affine par morceaux. Un tel signal avec u 3 (t)= u 5 (t)=0 permettra : s il est associé à un moteur, de réduire les à-coups du couple s il est associé à un transformateur, d éviter les pertes s il est associé à un filtre, d éliminer plus facilement les harmoniques de rang impair d ordre supérieur. 37 juin 007

38 Brevet de technicien supérieur session groupement A Exercice points On considère un système analogique «entrée-sortie» dans lequel le signal d entrée est représenté par une fonction e et celui de sortie par une fonction s. Une fonction définie surrest dite causale si elle est nulle surl intervalle ] ; 0[. Les fonctions e et s sont des fonctions causales et on suppose qu elles admettent des transformées de Laplace notées respectivement E et S. On rappelle que la fonction échelon unité U est définie sur R par : { U (t)=0 si t < 0 U (t)= si t 0. La fonction de transfert H du système est définie par S(p) = H(p) E(p). On suppose, dans le cadre de cette étude, que H(p)= et e(t)= U (t). +p a. Déterminer S(p). b. Déterminer les réels α et β tels que S(p)= α p + β c. En déduire s(t). p+. On se propose d approcher la fonction de transfert analogique H par la fonction de transfert numérique F telle que F (z) = H ) ( ) z 0z 0 (0 + z = H. z+ L entrée et la sortie du système numérique sont modélisés respectivement par deux signaux causaux discrets x et y, admettant des transformées en Z notées respectivement X et Y. On se place toujours dans le cas où le signal d entrée du système analogique est U (t). Le signal d entrée du système analogique est échantillonné au pas de 0,. Ainsi, le signal d entrée x du système numérique est défini par x(n) = U (0, n) pour tout nombre entier naturel n. Les transformées en Z des signaux x et y vérifient Y (z)=f (z) X (z). a. Montrer que F (z)= z+ z 9. b. Déterminer X (z). c. Vérifier que Y (z)= z z 0 z z 9. En déduire l expression y(n), pour tout nombre entier naturel n. 3. Compléter, sur l annexe, à rendre avec la copie, le tableau en donnant des valeurs approchées à 0 3 près des résultats demandés. La méthode utilisée dans l exercice, pour discrétiser le système analogique, est souvent appelée transformation bilinéaire. Dans le cadre de l exemple étudié, nous observons que cette transformation préserve la stabilité du système et que les signaux de sortie analogique et numérique convergent vers la même limite.. 38 juin 007

39 Exercice points Spécialités électrotechnique et génie optique On rappelle que la fonction échelon unité, notée U, est définie sur l ensemble des nombres réels par { U (t)=0 si t < 0 U (t)= si t 0 Une fonction définie surrest causale si elle est nulle sur l intervalle ] ; 0[.. On considère la fonction causale e définie sur l ensemble des nombres réels par : e(t)=4[u (t) U (t )] a. Tracer la représentation graphique de la fonction e dans un repère orthonormal. b. On note E la transformée de Laplace de la fonction e. Déterminer E(p).. On considère la fonction s telle que 4s (t)+ s(t)=e(t) et s(0)=0 On admet que la fonction s admet une transformée de Laplace, notée S. Démontrer que : 3. Déterminer les réels a et b tels que : S(p)= ( p p+ ) ( e p) 4 ( p p+ ) = a p + b p Compléter le tableau ci-dessous dans lequel f représente la fonction causale associée à F : F (p) p p e p p+ 4 p+ 4 e p f (t) U (t) 5. a. Déterminer s(t), t désignant un nombre réel quelconque. b. Vérifier que : s(t)=0 si t < 0 s(t)=4 4e t 4 si 0 t < ( ) s(t)=4e t 4 e si t 6. a. Justifier que la fonction s est croissante sur l intervalle [0 ; [. b. Déterminer lim s(t). t t< 7. a. Déterminer le sens de variation de la fonction s sur l intervalle [ ; + [. b. Déterminer lim t + s(t). 8. Tracer la courbe représentative de la fonction s dans un repère orthonormal. 39 juin 007