ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÈÐÙ ÙÖ Ñ Ø Ó Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ø ÖÑ Ò Ö Ð³ Ö Ñ ÒØ Ô ¹ Ö ÓÐ º ÍÒ ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ø Ð ÓÙÔ Ö Ò ÙÒ Ò Ò Ø Ô Ø Ø ØÖ Ò Ð ÔÙ Ø ÖÑ Ò Ö Ð³ Ö ÙÒ ³ ÙÜ Ô Ö ÙÒ ÑÓÒ Ø

Transcription

1 ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÈÐÙ ÙÖ Ñ Ø Ó Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ø ÖÑ Ò Ö Ð³ Ö Ñ ÒØ Ô ¹ Ö ÓÐ º ÍÒ ÔÖ Ñ Ö ÓÒ Ø Ð ÓÙÔ Ö Ò ÙÒ Ò Ò Ø Ô Ø Ø ØÖ Ò Ð ÔÙ Ø ÖÑ Ò Ö Ð³ Ö ÙÒ ³ ÙÜ Ô Ö ÙÒ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ø Ö Ð ÓÑÑ Ö Ó Ø ÒÙ º ³ Ø ÖÓ Ó ÑÓ Ó Ð Ñ Ø Ó ÕÙ³ Ö Ñ Ñ¹ ÔÐÓÝ ÔÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ØØ Ö Ø Ø Ð» º ÔÙ Ð ÎÁÁ Ð ØÓÙØ Ó ÓÒ Ô ÙØ ÙØ Ð Ö ÙÒ ÙØÖ Ñ Ø Ó ÕÙ ÓÒÒ Ð Ñ Ñ Ö ÙÐØ Ø Ø ÕÙ ÓÒ Ø Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ú Ð ÙÖ Ð³ ÒØ Ö Ð 1 1 (1 x2 )dxº ÁÒØ Ö Ö ØØ ÓÒØ ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ñ Ò Ô ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ñ ÑÔÐ Ñ ÒØ ³ ÔÔÐ ÕÙ Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ º ÓÒ ØÖÙ Ö ÙÒ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ÔÔÐ ÕÙ Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÙÜ ØÝÔ Ñ Ø Ó Ó Ü Ø ÒØ ÔÙ ÐÓÒ Ø ÑÔ Ù Ò Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ Ñ Ð Ñ Ø Ó Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ ÓÒØ ÓÒÒÙ ÙÒ ÒÓÙÚ Ð ÓÖ Ô٠г ÔÔ Ö Ø ÓÒ ÓÖ Ò Ø ÙÖ ÕÙ Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ð ÙØ Ð Ö ÙÒ ØÓÙØ ÙØÖ ÐÐ ÕÙ Ô Ö Ð Ô º Ä Ó Ü Ø Ò ÙÜ Ñ Ø Ó Ö ÓÐÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò ³ ÒØ ÖÖÓ Ö ÙÖ Ð ÙÖ Ö Ð Ø ÓÒ º ÂÙ ÕÙ³ ÕÙ Ð ÔÓ ÒØ Ô ÙعÓÒ Ö ÑÔÐ Ö Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ³ÙÒ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ô Ö Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ð ÚÖ

2 Ä ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ø Ð Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ÙÒ Ò Ñ Ð Ö ÙÐØ Ø Ø ÒØ Ò Ø ÕÙ ÔÓ Ø ÕÙ Ö ÔÓÒ ÒØ Ô ÖØ ÐÐ Ñ ÒØ ØØ ÕÙ Ø ÓÒº ÈÓÙÖ Ô ÖÚ Ò Ö Ö ÙÐØ Ø ÒÓÙ ÚÖÓÒ ÓÑÑ Ò Ö Ô Ö Ò Ö ÔÖ ¹ Ñ ÒØ ÒÓØ ÓÒ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ô ÖØ Ø ³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ð ÙÜ Ñ º Ò Ö Ð ÒÓØ ÓÒ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ô ÖÑ ØØÖ ÓÑÔÖ Ò Ö ÓÑÑ ÒØ ÑÓÒØÖ Ö Ø ÓÖ Ñ ³ Ò Ô Ò Ò ÕÙ ÖÑ ÒØ ÕÙ³ Ð Ò³ Ü Ø Ô ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ö ÓÙ Ö ÖØ Ò ÔÖÓ Ð Ñ º Ò Ö Ð ÒÓØ ÓÒ ³ й ÓÖ Ø Ñ Ô ÖÑ ØØÖ ÓÑÔÖ Ò Ö ÓÑÑ ÒØ ÑÓÒØÖ Ö Ø ÓÖ Ñ ³ Ò¹ Ð Ø ÕÙ ÖÑ ÒØ ÕÙ³ Ð Ò³ Ü Ø Ô ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÓÙÖ Ö ÓÙ Ö Ö¹ Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ º Ð ÒÓÙ Ô ÖÑ ØØÖ Ù ÓÑÔÖ Ò Ö ÕÙ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ Ô ÙÚ ÒØ ÔÖ ÒØ Ö ÓÙ ÒÓÑ Ö Ù ÓÖÑ Ò Ñ Ð Ö Ð Ö ¹ Ö ØÙÖ Ø ÖÑ Ù Ð Ñ ¹ ÐÙÐ Ñ Ò ÌÙÖ Ò Ñ ÕÙ ØØ Ú Ö Ø Ñ ÕÙ ÙÒ ÔÖÓ ÓÒ ÙÒ Ø Ð³ ÕÙ³ÙÒ ÐÙÐ Ø ÙÒ Ù Ø Ô Ø Ø Ô º Ä ØÖÓ Ñ Ô ÖØ ÓÖ Ò Ò Ð Ð Ò ÒØÖ Ð ÒÓØ ÓÒ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ø ³ Ð ÓÖ Ø Ñ º Ä Ö ÙÐØ Ø ÒØÖ Ð ØØ Ô ÖØ Ø Ð Ø ÓÖ Ñ ÙÖ ÕÙ ÑÓÒØÖ ÕÙ Ð ÑÓÒØÖ Ð Ø Ò Ð ÐÓ ÕÙ ÔÖ Ø Ø ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð Ø ÓÒØ ÙÒ ÓÖÓÐÐ Ö Ø Ð Ð Ö Ø ÓÖ Ñ Ðº Ö ÙÐØ Ø Ò Ø Ö Ô Ò ÒØ ÒÙ Ò Ô Ö ÙÜ Ö ÙÐØ Ø ÔÓ Ø º ÌÓÙØ ³ ÓÖ ³ Ð Ø Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ñ ¹ Ð ÕÙ ÒÓÙ Ñ Ò Ö Ú ÐÓÔÔ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ö ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ º Ò Ù Ø ÓÙØ Ö Ü ÓÑ Ð ÐÓ ÕÙ ÔÖ Ø Ô ÖÑ Ø Ò ÖØ Ò Ö Ò Ö Ð ÑÓÒØÖ Ð Ø Ð ÕÙ ÒÓÙ Ñ Ò Ö Ú ÐÓÔÔ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ ÔÓÙÖ Ø ÓÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö º ÍÒ ÖÒ Ö Ô ØÖ ÒÓÙ ÑÓÒØÖ Ö ÙÒ Ð Ò Ö ÒØ ÒØÖ Ð ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ø Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÖØ Ò ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Õ٠гÓÒ ÔÔ ÐÐ ÓÒ ØÖÙØ Ú Ô ÙÚ ÒØ ØÖ ÙØ Ð ÓÑÑ Ð ÓÖ Ø Ñ º Ù Ð Ô Ö Ú Ð Ö ÓÒ Ð Ö Ð Ò ÒØÖ ÒÓØ ÓÒ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ø ³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ñ Ù Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ÕÙ ÖÖ Ö Ð³ ÔÔ Ö ÒØ Ú Ò Ð ÒÓØ ÓÒ Ú Ö Ø º

3 ÈÖ Ñ Ö Ô ÖØ Ä ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ

4

5 1 Ä ÐÓ ÕÙ ÔÖ Ø ÉÙ ÐÐ ÓÒØ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÕÙ Ó Ø Ú Ö Ö ÙÒ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ØÖ ÚÖ ÍÒ Ö ÔÓÒ ÔÓ Ð ÕÙ Ò Ø ÙÒ ÖØ Ò ØÝÔ Ú Ö Ø Ø ÕÙ³ÙÒ ÔÖÓÔÓ ¹ Ø ÓÒ Ø ÚÖ ÕÙ Ò ÐÐ Ø ÑÓÒØÖ Ð º Ò Ô ØÖ ÒÓÙ ÐÐÓÒ Ø ÐÐ Ö ØØ Ö ÔÓÒ Ò ÓÒÒ ÒØ ÙÒ Ò Ø ÓÒ ØØ ÒÓØ ÓÒ ÑÓÒØÖ Ð Ø º ÈÓÙÖ Ð ÒÓÙ ÐÐÓÒ Ò Ö Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÑÔ Ð³ Ò Ñ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÔÙ Ò ÙÒ ÓÒ Ø ÑÔ ÐÙ Ø ÓÖ Ñ ÓÙ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÑÓÒØÖ Ð ÕÙ Ò ÓÒ Ø ØÙ ÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð º ÙÜ Ò Ø ÓÒ ÓÒØ Ò Ø ÓÒ ³ Ò Ñ Ð º ÓÑÑ ÒÓÒ ÓÒ Ô Ö ÒÓÙ ÒØ ÖÖÓ Ö ÙÖ Ð ÓÙØ Ð ÕÙ Ô ÖÑ ØØ ÒØ Ò Ö Ò Ñ Ð º ½º½ Ä Ò Ø ÓÒ Ò ÙØ Ú Ä³ÓÙØ Ð Ð ÔÐÙ ÑÔÐ ÔÓÙÖ Ò Ö ÙÒ Ò Ñ Ð Ø Ð ÒÓØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ ÜÔÐ Ø º ÇÒ Ô ÙØ Ô Ö Ü ÑÔÐ Ò Ö ÜÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð³ Ò Ñ Ð ÒÓÑ Ö Ô Ö {n N p N n = 2 p}º Ô Ò ÒØ Ò Ø ÓÒ ÜÔÐ Ø Ò Ù ÒØ Ô Ò Ö ØÓÙ Ð Ò Ñ Ð ÓÒØ ÓÒ Ó Òº ÍÒ ÙÜ Ñ ÓÙØ Ð ÙØ Ð ÔÓÙÖ Ò Ö Ò Ñ Ð Ø Ð ÒÓØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ò ÙØ Ú º Ø ÓÙØ Ð ³ ÔÔÙ ÙÖ ÙÒ Ø ÓÖ Ñ ÑÔÐ Ð Ø ÓÖ Ñ Ù ÔÓ ÒØ Ü º

6 ½º Ä ÐÓ ÕÙ ÔÖ Ø ½º½º½ Ä Ø ÓÖ Ñ Ù ÔÓ ÒØ Ü Ò Ø ÓÒ ½º½ Ä Ñ Ø µ ËÓ Ø ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö ³ ع¹ Ö ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ö Ü Ú ÒØ ÝÑ ØÖ ÕÙ Ø ØÖ Ò Ø Ú ÙÖ ÙÒ Ò Ñ Ð E Ø u 0, u 1, u 2,... ÙÒ Ù Ø ÖÓ ÒØ ³ ع¹ Ö Ø ÐÐ ÕÙ u 0 u 1 u 2... ij Ð Ñ ÒØ l E Ø ÔÔ Ð Ð Ñ Ø Ð Ù Ø u 0, u 1, u 2,... ³ Ø Ð ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ Ð³ Ò Ñ Ð {u 0, u 1, u 2,...} ³ ع¹ Ö ³ Ø ÙÒ Ñ ÓÖ ÒØ Ø Ò Ñ Ð ÔÓÙÖ ØÓÙØ i u i l Ø ³ Ø Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ i u i l ÐÓÖ l l º Ë ÐÐ Ü Ø Ð Ð Ñ Ø ³ÙÒ Ù Ø (u i ) i Ø ÙÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ð ÒÓØ lim i u i º Ò Ø ÓÒ ½º¾ Ê Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø µ Ä Ö Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö Ø Ø Ð Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø ØÓÙØ Ð Ù Ø ÖÓ ÒØ ÓÒØ ÙÒ Ð Ñ Ø º Ä Ö Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö ÓÖ Ò Ö ÙÖ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [0, 1] Ð ÖÓ Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒ Ü ÑÔÐ Ö Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø º ÔÐÙ ØØ Ö Ð Ø ÓÒ ÙÒ ÔÐÙ Ô Ø Ø Ð Ñ ÒØ 0º Ò Ö Ú Ò Ð Ö Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö ÓÖ Ò Ö ÙÖ R + Ò³ Ø Ô Ð Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø Ö Ð Ù Ø ÖÓ ÒØ 0, 1, 2, 3,... Ò³ Ô Ð Ñ Ø º ËÓ Ø A ÙÒ Ò Ñ Ð ÕÙ ÐÓÒÕÙ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ³ ÒÐÙ ÓÒ ÙÖ Ð³ Ò Ñ Ð (A) Ô ÖØ A Ø ÙÒ ÙØÖ Ü ÑÔÐ Ö Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø º Ä Ð Ñ Ø ³ÙÒ Ù Ø ÖÓ ÒØ U 0, U 1, U 2,... Ø Ð³ Ò Ñ Ð i N U iº ÔÐÙ ØØ Ö Ð Ø ÓÒ ÙÒ ÔÐÙ Ô Ø Ø Ð Ñ ÒØ º Ò Ø ÓÒ ½º ÓÒØ ÓÒ ÖÓ ÒØ µ ËÓ Ø ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö Ò ÙÖ ÙÒ Ò Ñ Ð E Ø f ÙÒ ÓÒØ ÓÒ E Ò Eº Ä ÓÒØ ÓÒ f Ø ÖÓ ÒØ x y fx fyº Ò Ø ÓÒ ½º ÓÒØ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ µ ËÓ Ø ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø Ò ÙÖ ÙÒ Ò Ñ Ð E Ø f ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÖÓ ÒØ E Ò Eº Ä ÓÒØ ÓÒ f Ø ÓÒØ ÒÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ù Ø ÖÓ ÒØ lim i (f u i ) = f (lim i u i )º

7 ½º½ Ä Ò Ø ÓÒ Ò ÙØ Ú ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º½ Ä ÔÖ Ñ Ö Ø ÓÖ Ñ Ù ÔÓ ÒØ Ü µ ËÓ Ø ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö Ð Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø ÙÖ ÙÒ Ò Ñ Ð E ÕÙ ÙÒ ÔÐÙ Ô Ø Ø Ð Ñ ÒØ mº ËÓ Ø f ÙÒ ÓÒØ ÓÒ E Ò Eº Ë f Ø ÓÒØ ÒÙ ÐÓÖ p = lim i (f i m) Ø Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÔÓ ÒØ Ü fº ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ÌÓÙØ ³ ÓÖ m Ø ÒØ Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø Ð Ñ ÒØ E m fmº Ä ÓÒØ ÓÒ f Ø ÒØ ÖÓ ÒØ f i m f i+1 mº Ä Ù Ø f i m Ø ÖÓ ÒØ ÐÐ ÓÒ Ò ÙÒ Ð Ñ Ø º Ä Ù Ø f i+1 m Ð Ñ ÒØ p ÔÓÙÖ Ð Ñ Ø º ÓÒ p = lim i (f (f i m)) = f (lim i (f i m)) = f pº ÔÐÙ p Ø Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÔÓ ÒØ Ü Ö q Ø ÙÒ ÔÓ ÒØ Ü m q Ø Ð ÓÒØ ÓÒ f Ø ÒØ ÖÓ ÒØ f i m f i q = qº ÓÒ p = lim i (f i m) qº Ä ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Ù ÔÓ ÒØ Ü ÓÒÒ Ð³ Ü Ø Ò ³ÙÒ ÔÓ ÒØ Ü ÔÓÙÖ Ð ÓÒØ ÓÒ ÖÓ ÒØ Ñ Ñ ÐÐ Ò ÓÒØ Ô ÓÒØ ÒÙ Ò ÙÔÔÓ ÒØ ÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø ÙÒ Ô Ù ÔÐÙ ÓÖØ ÙÖ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö º Ò Ø ÓÒ ½º Ê Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö ÓÖØ Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø µ ÍÒ Ö Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö ÙÖ ÙÒ Ò Ñ Ð E Ø ÓÖØ Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø ØÓÙØ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð A E ÙÒ ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ sup Aº Ä Ö Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö ÓÖ Ò Ö ÙÖ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐ [0, 1] Ð ÖÓ Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒ Ü ÑÔÐ Ö Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö ÓÖØ Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø º Ä Ö Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö ÓÖ Ò Ö ÙÖ R + Ò³ Ø Ô ÓÖØ Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø Ö Ð³ Ò Ñ Ð R + ØÓÙØ ÒØ Ö Ò³ Ô ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ º ËÓ Ø A ÙÒ Ò Ñ Ð ÕÙ ÐÓÒÕÙ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ³ ÒÐÙ ÓÒ ÙÖ Ð³ Ò Ñ Ð (A) Ô ÖØ A Ø ÙÒ ÙØÖ Ü ÑÔÐ Ö Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö ÓÖØ Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø º Ä ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ ³ÙÒ Ò Ñ Ð B Ø Ð³ Ò Ñ Ð C B Cº

8 ½¼ ½º Ä ÐÓ ÕÙ ÔÖ Ø Ü Ö ½º½ ÅÓÒØÖ Ö ÕÙ ØÓÙØ Ö Ð Ø ÓÒ ÓÖØ Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø Ø Ð Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø º Ä Ö Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö b c ع ÐÐ Ð Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø Ø¹ ÐÐ ÓÖØ Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø a ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º¾ Ë Ð Ö Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö ÙÖ Ð³ Ò Ñ Ð E Ø ÓÖØ Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø ÐÓÖ ØÓÙØ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð A E ÙÒ ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ inf Aº ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ËÓ Ø A ÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð ÕÙ ÐÓÒÕÙ E Ó Ø B г Ò Ñ Ð {y E x A y x} Ñ ÒÓÖ ÒØ A Ø l Ð ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ Bº È Ö Ò Ø ÓÒ l Ø ÙÒ Ñ ÓÖ ÒØ Ð³ Ò Ñ Ð B y B y l Ø ³ Ø Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ( y B y l ) l l º ÁÐ Ò³ Ø Ô Ð ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ l Ø Ð ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ Aº Ò Ø x Ø ÙÒ Ð Ñ ÒØ A ³ Ø ÙÒ Ñ ÓÖ ÒØ B Ø ÓÑÑ l Ø Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø Ñ ÓÖ ÒØ l xº ÓÒ l Ø ÙÒ Ñ ÒÓÖ ÒØ Aº ÈÓÙÖ ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ ³ Ø Ð ÔÐÙ Ö Ò Ð Ù Ø Ö Ñ ÖÕÙ Ö ÕÙ m Ø ÙÒ Ñ ÒÓÖ ÒØ A ³ Ø ÙÒ Ð Ñ ÒØ B Ø ÓÒ m lº Ä ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ ³ÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð B г Ò Ñ Ð Ô ÖØ ³ÙÒ Ò Ñ Ð A Ø Ò ÒØ Ò Ù Ð³ Ò Ñ Ð C B Cº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Ä ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Ù ÔÓ ÒØ Ü µ ËÓ Ø ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ ³ÓÖ Ö ÓÖØ Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø ÙÖ ÙÒ Ò Ñ Ð Eº ËÓ Ø f ÙÒ ÓÒØ ÓÒ E Ò Eº Ë f Ø ÖÓ ÒØ ÐÓÖ p = inf{c fc c} Ø Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÔÓ ÒØ Ü fº

9 ½º½ Ä Ò Ø ÓÒ Ò ÙØ Ú ½½ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ËÓ Ø C г Ò Ñ Ð {c fc c} Ø c ÙÒ Ð Ñ ÒØ Cº ÇÒ p c Ö p Ø ÙÒ Ñ ÒÓÖ ÒØ Cº Ä ÓÒØ ÓÒ f Ø ÒØ ÖÓ ÒØ ÓÒ Ò Ù Ø fp fcº È Ö ÐÐ ÙÖ fc c Ö c Ø ÙÒ Ð Ñ ÒØ C ÓÒ Ô Ö ØÖ Ò Ø Ú Ø fp cº ij Ð Ñ ÒØ fp Ø Ò Ö ÙÖ ØÓÙ Ð Ð Ñ ÒØ C Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÙÖ ÓÖÒ Ò Ö ÙÖ fp pº Ä ÓÒØ ÓÒ f Ø ÒØ ÖÓ ÒØ f(fp) fp ÓÒ fp Ø ÙÒ Ð Ñ ÒØ C Ø p Ø ÒØ ÙÒ Ñ ÒÓÖ ÒØ C ÓÒ Ò Ù Ø p fpº È Ö ÒØ ÝÑ ØÖ p = fpº Ò Ò Ô Ö Ò Ø ÓÒ ØÓÙ Ð ÔÓ ÒØ Ü f ÔÔ ÖØ ÒÒ ÒØ C Ð ÓÒØ ÓÒ ÔÐÙ Ö Ò ÕÙ pº ½º½º¾ Ä Ò Ø ÓÒ Ò ÙØ Ú ÎÓÝÓÒ Ñ ÒØ Ò ÒØ ÓÑÑ ÒØ Ø ÓÖ Ñ Ù ÔÓ ÒØ Ü Ô ÖÑ Ø Ò Ö Ò Ñ Ð Ø Ö Ð Ø ÓÒ º Ò Ø ÓÒ ½º ÖÑ ØÙÖ µ ËÓ Ø E ÙÒ Ò Ñ Ð f ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ô ÖØ ÐÐ E n Ò E Ø A ÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð Eº ij Ò Ñ Ð A Ø Ø ÖÑ Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ f ÔÓÙÖ ØÓÙ x 1,..., x n Ò A Ø Ð ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ f Ó Ø Ò Ò x 1,..., x n f x 1... x n Ø Ð Ñ ÒØ ÙÒ Ð Ñ ÒØ Aº È Ö Ü ÑÔРг Ò Ñ Ð ÒÓÑ Ö Ô Ö Ø ÖÑ Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ n n + 2º Ò Ø ÓÒ ½º Ò Ø ÓÒ Ò ÙØ Ú µ ËÓ Ø E ÙÒ Ò Ñ Ð ÙÒ Ò Ø ÓÒ Ò ÙØ Ú ÙÖ E Ø ÙÒ Ñ ÐÐ ÓÒØ ÓÒ

10 ½¾ ½º Ä ÐÓ ÕÙ ÔÖ Ø Ô ÖØ ÐÐ f 1 E n1 Ò E f 2 E n2 Ò E º º º ØØ Ñ ÐÐ Ò Ø ÙÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð A E Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð E ÖÑ Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ f 1 f 2 º º º È Ö Ü ÑÔÐ Ð ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð N ÓÖÑ ÒÓÑ Ö Ô Ö Ø Ò Ò ÙØ Ú Ñ ÒØ Ô Ö Ð³ ÒØ Ö 0 ³ ع¹ Ö Ð ÓÒØ ÓÒ N 0 Ò N ÕÙ ÔÖ Ò Ð Ú Ð ÙÖ 0 Ø Ð ÓÒØ ÓÒ N Ò N n n + 2º ij Ò Ñ Ð ÒÓÑ Ö Ô Ö Ò³ Ø Ô Ð³ÙÒ ÕÙ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð N ÕÙ ÓÒØ ÒØ 0 Ø ÕÙ Ø ÖÑ Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ n n+2 г Ò Ñ Ð N Ô Ö Ü ÑÔÐ Ú Ö Ð Ñ ÒØ ÔÖÓÔÖ Ø Ñ ³ Ø Ð ÔÐÙ Ô Ø Øº Ä ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð {a, b, c} ÓÖÑ ÑÓØ Ð ÓÖÑ a n bc n Ø Ò Ò ÙØ Ú Ñ ÒØ Ô Ö Ð ÑÓØ b Ø Ð ÓÒØ ÓÒ m amcº ³ÙÒ Ñ Ò Ö Ò Ö Ð ÙÒ Ö ÑÑ Ö ÒÓÒ ÓÒØ ÜØÙ ÐÐ Ô ÙØ ØÓÙ ÓÙÖ ÓÖÑÙÐ Ö ÓÑÑ ÙÒ Ò Ø ÓÒ Ò ÙØ Ú º ÓÑÑ ÒÓÙ ÐÐÓÒ Ð ÚÓ Ö Ð³ Ò Ñ Ð Ø ÓÖ Ñ Ò Ø ÓÑÑ Ð ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð Ð³ Ò Ñ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ò Ò ÙØ Ú Ñ ÒØ Ô Ö Ð Ü ÓÑ Ø Ð Ö Ð ÙØ ÓÒº Ä ÓÒØ ÓÒ f 1 f 2 º º º ÓÒØ ÔÔ Ð Ö Ð º Ù Ð Ù ÒÓØ Ö ÙÒ Ø ÐÐ Ö Ð x 1... x n t ÓÒ Ð ÒÓØ x 1... x n t È Ö Ü ÑÔРг Ò Ñ Ð ÒÓÑ Ö Ô Ö Ø Ò Ô Ö Ð ÙÜ Ö Ð 0 n n + 2 Ò ÒÓØ ÒØ P г Ò Ñ Ð ÒÓÑ Ö Ô Ö ÓÒ Ö Ø Ù Ô Ö Ó Ö Ð 0 P n P n + 2 P ÈÓÙÖ ÓÒÒ Ö ÙÒ Ò Ð Ò Ø ÓÒ ½º ÑÓÒØÖÓÒ ÕÙ³ Ð Ü Ø ØÓÙ ÓÙÖ ÙÒ ÔÐÙ Ô Ø Ø ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð A ÖÑ Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ f 1 f 2 º º º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º ËÓ Ø E ÙÒ Ò Ñ Ð Ø f 1, f 2,... Ö Ð ÙÖ Ð³ Ò Ñ Ð Eº ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÔÐÙ Ô Ø Ø ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð A E ÖÑ Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ f 1 f 2 º º º

11 ½º½ Ä Ò Ø ÓÒ Ò ÙØ Ú ½ ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ËÓ Ø F Ð ÓÒØ ÓÒ (E) Ò (E) FC = {x E i y 1... y ni C x = f i y 1... y ni } ÍÒ ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð C E Ø ÖÑ Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ f 1 f 2 º º º Ø ÙÐ Ñ ÒØ FC Cº Ä ÓÒØ ÓÒ F Ø ØÖ Ú Ð Ñ ÒØ ÖÓ ÒØ C C ÐÓÖ FC FC º ÇÒ Ò Ø Ð³ Ò Ñ Ð A ÓÑÑ Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÔÓ ÒØ Ü ØØ ÓÒØ ÓÒ ÓÑÑ Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÓÙ Ð Ò Ñ Ð C Ø Ð ÕÙ FC C ³ ع¹ Ö ÓÑÑ Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÓÙ Ð Ò Ñ Ð ÖÑ Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ f 1 f 2 º º º ³ ÔÖ Ð ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Ù ÔÓ ÒØ Ü Ø Ò Ñ Ð Ø ÙÒ ÔÓ ÒØ Ü F FA = A Ø ÓÒ FA Aº ÁÐ Ø ÓÒ ÖÑ Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ f 1 f 2 º º º Ø Ô Ö Ò Ø ÓÒ Ð Ø ÔÐÙ Ô Ø Ø ÕÙ ØÓÙ Ð Ò Ñ Ð C Ø Ð ÕÙ FC C ³ Ø ÓÒ Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø Ò Ñ Ð ÖÑ Ô Ö ÓÒØ ÓÒ º Ä ÔÖ Ñ Ö Ø ÓÖ Ñ Ù ÔÓ ÒØ Ü ÒÓÙ ÓÒÒ ÙÒ ÙØÖ Ö Ø Ö Ø ÓÒ Ø Ò Ñ Ð º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º ËÓ Ø E ÙÒ Ò Ñ Ð Ø f 1, f 2,... Ö Ð ÙÖ Ð³ Ò Ñ Ð Eº Ä ÔÐÙ Ô Ø Ø ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð A E ÖÑ Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ f 1 f 2 º º º Ø Ð³ Ò Ñ Ð k (F k ) Ó Ð ÓÒØ ÓÒ F Ø Ò Ô Ö FC = {x E i y 1... y ni C x = f i y 1... y ni } ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒº ÇÒ ÚÙ ÕÙ Ð ÓÒØ ÓÒ F Ø ÖÓ ÒØ º ÐÐ Ø ÔÐÙ ÓÒØ ÒÙ C 0 C 1 C 2... ÐÓÖ F( j C j) = j (FC j)º Ò Ø ÙÒ Ð Ñ ÒØ x E Ø Ò F( j C j) ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ ÒØ Ö i Ø Ð Ñ ÒØ y 1 º º º y ni j C j Ø Ð ÕÙ x = f i y 1... y ni º ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ø Ò Ð³ÙÒ C j º ÓÑÑ Ð Ù Ø C j Ø ÖÓ ÒØ Ð ÓÒØ ØÓÙ Ò C k Ð ÔÐÙ Ö Ò Ò Ñ Ð º ij Ð Ñ ÒØ x ÔÔ ÖØ ÒØ ÓÒ FC k Ø ÓÒ j (FC j)º Ê ÔÖÓÕÙ Ñ ÒØ x ÔÔ ÖØ ÒØ j (FC j) Ð ÔÔ ÖØ ÒØ ÙÒ ÖØ Ò FC k Ð Ü Ø ÓÒ ÙÒ ÒØ Ö i Ø Ð Ñ ÒØ y 1,...,y ni C k Ø Ð ÕÙ x = f i y 1... y ni º Ä Ð Ñ ÒØ y 1 º º º y ni ÔÔ ÖØ ÒÒ ÒØ j C j Ø ÓÒ x F( j C j)º ÇÒ ÚÙ ÕÙ Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð A E ÖÑ Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ f 1 f 2 º º º Ø Ð ÔÐÙ Ô Ø Ø ÔÓ ÒØ Ü Ð ÓÒØ ÓÒ F º ³ ÔÖ Ð ÔÖ Ñ Ö Ø ÓÖ Ñ Ù ÔÓ ÒØ Ü Ø Ò Ñ Ð Ø A = k (F k )º

12 ½ ½º Ä ÐÓ ÕÙ ÔÖ Ø ½º½º Ä Ö ÙÖÖ Ò ØÖÙØÙÖ ÐÐ Ä Ò Ø ÓÒ Ò ÙØ Ú ÓÒÒ ÒØ ÙÒ ÑÓÝ Ò Ö ÑÓÒ ØÖ Ø ÓÒ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò º Ë ÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø Ø Ö Ø Ö ³ ع¹ Ö ÕÙ³ ÕÙ Ó ÕÙ³ ÐÐ Ø Ú Ö Ô Ö y 1 º º º y ni ÐÐ Ø Ú Ö Ô Ö f i y 1... y ni ÐÓÖ ÐÐ Ø Ú Ö Ô Ö ØÓÙ Ð Ð Ñ ÒØ Aº ÍÒ Ñ Ò Ö ÑÓÒØÖ Ö Ð Ø ³ÙØ Ð Ö Ð ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Ù ÔÓ ÒØ Ü Ø Ö Ñ ÖÕÙ Ö ÕÙ Ð ÓÙ ¹ Ò Ñ Ð P E Ó Ø ÕÙ Ú Ö ÒØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ô Ö Ð ÓÒØ ÓÒ f i Ø ÓÒ ÕÙ³ Ð ÓÒØ ÒØ Aº ÍÒ ÙØÖ Ñ Ò Ö Ø ³ÙØ Ð Ö Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Ø ÑÓÒØÖ Ö Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ k ÕÙ ØÓÙ Ð Ó Ø F k Ú Ö ÒØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ò ÕÙ Ø ÓÒº ½º½º Ä Ö Ú Ø ÓÒ ÍÒ Ð Ñ ÒØ x ÔÔ ÖØ ÒØ Ð³ Ò Ñ Ð A Ø ÙÐ Ñ ÒØ ³ Ð ÔÔ ÖØ ÒØ ÙÒ ÖØ Ò Ò Ñ Ð F k ³ ع¹ Ö ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ f i Ø ÐÐ ÕÙ x = f i y 1... y ni Ó Ð y 1,..., y ni ÔÔ ÖØ ÒÒ ÒØ F k 1 º ØØ Ö Ñ ÖÕÙ Ô ÖÑ Ø ÑÓÒØÖ Ö ÕÙ³ÙÒ Ð Ñ ÒØ x E ÔÔ ÖØ ÒØ A Ø ÙÐ Ñ ÒØ ³ Ð Ü Ø ÙÒ Ö Ö ÓÒØ Ð Ò Ù ÓÒØ Ø ÕÙ Ø Ô Ö Ð Ñ ÒØ E ÓÒØ Ð Ö Ò Ø Ø ÕÙ Ø Ô Ö x Ø Ø Ð ÕÙ ÙÒ Ò Ù Ø Ø ÕÙ Ø Ô Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØ y Ø Ò ÒØ ÓÒØ Ø ÕÙ Ø Ô Ö Ð Ñ ÒØ z 1,..., z n ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ Ö Ð f i Ø ÐÐ ÕÙ y = f i z 1... z n º ÍÒ Ø Ð Ö Ö ³ ÔÔ ÐÐ ÙÒ Ö Ú Ø ÓÒ xº Ò Ø ÓÒ ½º Ö Ú Ø ÓÒµ ËÓ Ø E ÙÒ Ò Ñ Ð Ø f 1, f 2,... Ö Ð ÙÖ Ð³ Ò Ñ Ð Eº ÍÒ Ö Ú Ø ÓÒ Ò f 1, f 2,... Ø ÙÒ Ö Ö ÓÒØ Ð Ò Ù ÓÒØ Ø ÕÙ Ø Ô Ö Ð Ñ ÒØ E Ø Ð ÕÙ ÙÒ Ò Ù Ø Ø ÕÙ Ø Ô Ö ÙÒ Ð Ñ ÒØ y Ø Ò ÒØ Ô Ö Ð Ñ ÒØ z 1,...,z n ÐÓÖ Ð Ü Ø ÙÒ Ö Ð f i Ø ÐÐ ÕÙ y = f i z 1... z n º Ë Ð Ö Ò ³ÙÒ Ö Ú Ø ÓÒ Ø ÙÒ Ð Ñ ÒØ x E ÐÓÖ ØØ Ö Ú Ø ÓÒ Ø ÙÒ Ö Ú Ø ÓÒ xº ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ Ò Ö Ð³ Ò Ñ Ð A ÓÑÑ Ð³ Ò Ñ Ð Ð Ñ ÒØ E ÕÙ ÓÒØ ÙÒ Ö Ú Ø ÓÒº ÇÒ ÙØ Ð ÙÒ Ö ØÙÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÓÙÖ Ð Ö Ú Ø ÓÒ º ÌÓÙØ ³ ÓÖ ÓÒ Ö Ø Ð Ö Ò Ð³ Ö Ö Ò Ø Ð Ù ÐÐ Ò Ùغ Ò Ù Ø ÓÒ ØÖ ÙÒ ØÖ Ø Ù¹ Ù ÕÙ Ò Ù Ð³ Ö Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ò ÒØ Ù¹ Ù ØÖ Øº

13 ½º½ Ä Ò Ø ÓÒ Ò ÙØ Ú ½ Ä ÒÓÑ Ö 8 Ô Ö Ü ÑÔÐ Ø Ò Ð³ Ò Ñ Ð ÒÓÑ Ö Ô Ö Ò ÚÓ ÙÒ Ö Ú Ø ÓÒ Ò ÒÓØ ÒØ P г Ò Ñ Ð ÒÓÑ Ö Ô Ö ÓÒ Ö Ø Ù Ô Ö Ó ØØ Ö ¹ Ú Ø ÓÒ 0 P 2 P 4 P 6 P 8 P Ù Ð Ù ³ Ø ÕÙ Ø Ö Ð Ò Ù ³ÙÒ Ö Ú Ø ÓÒ Ô Ö Ð Ñ ÒØ E ÓÒ Ô ÙØ Ù Ð³ Ø ÕÙ Ø Ö Ô Ö Ö Ð º Ò Ø ÓÒ ½º Ö Ú Ø ÓÒ Ø ÕÙ Ø Ô Ö Ð Ö Ð µ ËÓ Ø E ÙÒ Ò Ñ Ð Ø f 1, f 2,... Ö Ð ÙÖ Ð³ Ò Ñ Ð Eº ÍÒ Ö Ú Ø ÓÒ Ø ÕÙ Ø Ô Ö Ð Ö Ð f 1, f 2,... Ø ÙÒ Ö Ö ÓÒØ Ð Ò Ù ÓÒØ Ø ÕÙ Ø Ô Ö f 1, f 2,... Ø Ð ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö ³ Ò ÒØ ³ÙÒ Ò Ù Ø ÕÙ Ø Ô Ö ÙÒ ÓÒØ ÓÒ f Ó Ø Ð ÒÓÑ Ö ³ Ö ÙÑ ÒØ fº ü ÕÙ Ö Ú Ø ÓÒ Ø ÕÙ Ø Ô Ö Ð Ö Ð ÓÒ Ô ÙØ Ó Ö Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ØÖÙØÙÖ ÐÐ ÙÒ Ð Ñ ÒØ E Ð Ö Ò Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ø Ø ÕÙ Ø Ô Ö Ð Ö Ð f i Ø ÙÜ ÓÙ ¹ Ö Ö ÑÑ Ø ÓÒØ Ó Ð Ð Ñ ÒØ z 1,...,z n ÐÓÖ ÓÒ Ó Ð³ Ð Ñ ÒØ f i z 1... z n Ð Ö Ú Ø ÓÒ ÐÐ ¹Ñ Ñ º ÉÙ Ò ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ø Ó ÙÒ Ö Ú Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÕÙ Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ø ÙÒ Ö Ú Ø ÓÒ Ø Ð Ñ Òغ ÇÒ Ô ÙØ ÓÒ Ò Ö Ð³ Ò Ñ Ð A ÓÑÑ Ð³ Ò Ñ Ð Ð Ñ ÒØ E ÕÙ ÓÒØ ÙÒ Ö Ú Ø ÓÒ Ø ÕÙ Ø Ô Ö Ð Ö Ð º ½º½º Ä ÖÑ ØÙÖ Ö Ü Ú ¹ØÖ Ò Ø Ú ³ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ ÍÒ Ü ÑÔÐ Ò Ø ÓÒ Ò ÙØ Ú Ø ÐÐ Ð ÖÑ ØÙÖ Ö Ü Ú ¹ ØÖ Ò Ø Ú ³ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒº

14 ½ ½º Ä ÐÓ ÕÙ ÔÖ Ø Ò Ø ÓÒ ½º½¼ ÖÑ ØÙÖ Ö Ü Ú ¹ØÖ Ò Ø Ú µ ËÓ Ø R Ø ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ö ÙÖ ÙÒ Ò Ñ Ð E Ð ÖÑ ØÙÖ Ö Ü Ú ¹ ØÖ Ò Ø Ú Ð Ö Ð Ø ÓÒ R Ø Ð Ö Ð Ø ÓÒ R Ò ÙØ Ú Ñ ÒØ Ò Ô Ö Ð Ö Ð t R t t R t Ø t R t ÐÓÖ t R t º Ë t R t ÙÒ Ö Ú Ø ÓÒ Ù ÓÙÔÐ (t, t ) Ø ÙÒ Ù Ø Ò t 0,..., t n Ø ÐÐ ÕÙ t 0 = t t n = t Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ i n 1 t i R t i+1 º Ë ÓÒ ÚÓ Ø R ÓÑÑ ÙÒ Ö Ô ÓÖ ÒØ Ð Ö Ú Ø ÓÒ ÓÒØ Ð Ñ Ò Ö Ô Ø Ð Ö Ð Ø ÓÒ R Ö Ð ÓÒ ÙÜ ÓÑÑ Ø ÕÙ Ò Ð Ý ÙÒ Ñ Ò ÕÙ Ñ Ò Ð³ÙÒ Ð³ ÙØÖ º ½º¾ Ä Ð Ò ½º¾º½ Ä Ð Ò Ò Ú Ö Ð Å ÒØ Ò ÒØ ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÒ ÒØÖÓ Ù Ø Ð ÒÓØ ÓÒ Ò Ø ÓÒ Ò ÙØ Ú ÒÓÙ ÐÐÓÒ Ð³ÙØ Ð Ö ÔÓÙÖ Ò Ö Ð ÒÓØ ÓÒ Ð Ò º ÆÓÙ ÐÐÓÒ Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÑÔ Ò Ö ÙÒ ÒÓØ ÓÒ ØÖ Ò Ö Ð ÕÙ ÓÑÔÖ Ò Ö Ù Ò Ð Ð Ò ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÓÒ ÕÙ Ð Ð Ò ÐÓ ÕÙ º ÈÙ ÒÓÙ Ò ÖÓÒ Ò ÙÒ ÓÒ Ø ÑÔ Ð Ð Ò Ð ÐÓ ÕÙ ÔÖ Ø º ÆÓÙ Ö ÓÒ Ô Ö ÐÐ ÙÖ Ò Ö ÙÒ ÒÓØ ÓÒ Ð Ò ÕÙ ³ Ö Ò Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÝÒØ Ü ÕÙ ÙÔ Ö ÐÐ Ô Ö Ü ÑÔÐ ÚÓ Ö ÓÒ Ö Ø 3+4 +(3, 4) ÓÙ ÒÓÖ 3 4 +º ØØ ÜÔÖ ÓÒ Ö ÔÐÙ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÜÔÖ Ñ Ô Ö ÙÒ Ö Ö ÕÙ Ò Ù Ø Ö Ö Ø Ø ÕÙ Ø Ô Ö ÙÒ ÝÑ ÓÐ º Ä ÒÓÑ Ö ³ Ò ÒØ ³ÙÒ Ò Ù Ð³ Ö Ö Ô Ò Ù ÝÑ ÓÐ Õ٠г Ø ÕÙ ØØ 2 Ò ÒØ ÝÑ ÓÐ Ø + 0 ³ Ø 3 ÓÙ 4 º º º ÍÒ Ð Ò Ø ÓÒ ÙÒ Ò Ñ Ð ÝÑ ÓÐ ÑÙÒ ³ÙÒ ÒØ Ö ÔÔ Ð Ö Ø ÓÙ ÔÐÙ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÓÑ Ö ³ Ö ÙÑ ÒØ ÝÑ ÓÐ º Ä ÝÑ ÓÐ Ò Ö ÙÑ ÒØ ÓÒØ ÔÔ Ð ÓÒ Ø ÒØ º ij Ò Ñ Ð ÜÔÖ ÓÒ Ð Ò Ø Ð³ Ò Ñ Ð ³ Ö Ö Ò Ò¹ ÙØ Ú Ñ ÒØ Ô Ö Ð Ö Ð Ù Ú ÒØ º

15 ½º¾ Ä Ð Ò ½ Ë f Ø ÙÒ ÝÑ ÓÐ ³ Ö Ø n Ø t 1 º º º t n ÓÒØ ÜÔÖ ÓÒ ÐÓÖ f(t 1,..., t n ) ³ ع¹ Ö Ð³ Ö Ö ÓÒØ Ð Ö Ò Ø Ø ÕÙ Ø Ô Ö f Ø ÓÒØ Ð ÓÙ ¹ Ö Ö ÑÑ Ø ÓÒØ t 1 º º º t n Ø ÙÒ ÜÔÖ ÓÒº ½º¾º¾ Ä Ú Ö Ð ÁÑ ÒÓÒ ÕÙ ÒÓÙ ÚÓÙÐ ÓÒ Ò Ö ÙÒ Ð Ò ÕÙ ÓÒØ ÒØ ÜÔÖ ÓÒ ÓÑÑ ÑÔ Ö(3) ÓÙ ÑÔ Ö(3) Ô Ö(3+1)º ÆÓÙ ÚÓÙ ÖÓÒ ÐÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÒØ Ù ÔÓÙÚÓ Ö ÜÔÖ Ñ Ö ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö Ø ÒØ Ö Ø ÑÔ Ö ÐÓÖ ÓÒ Ù ÙÖ Ø Ô Öº ÈÓÙÖ ÓÖÑ Ö Ø ÐÐ ÜÔÖ ÓÒ Ð Ð Ò Ù Ò ØÙÖ ÐÐ ÓÑÑ Ð Ö Ò¹ ÙØ Ð ÒØ ÔÖÓÒÓÑ Ò Ò Ô Ö Ü ÑÔÐ ØÓÙ Ø ÕÙ ÐÕÙ º Å Ñ Ò Ñ Ø Ñ Ù ÕÙ Ò ÔÐÙ ÙÖ ÜÔÖ ÓÒ ÓÒØ Ö ÑÔÐ Ô Ö Ø Ð ÔÖÓÒÓÑ º Ò Ð Ô Ö ÁÐ Ü Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÒØ Ö ÙÔ Ö ÙÖ ØÓÙØ ÒÓÑ Ö ÒØ Ö Ô ÙØ Ò Ö ÓÙ Ò ÕÙ ÔÓÙÖ ÕÙ ÒÓÑ Ö ÒØ Ö Ð Ü Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÒØ Ö ÕÙ ÐÙ Ø ÙÔ Ö ÙÖ ÕÙ Ø ÚÖ ÓÙ Ò ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÕÙ Ø ÙÔ Ö ÙÖ ØÓÙ Ð ÒÓÑ Ö ÒØ Ö ÕÙ Ø Ùܺ ÇÒ ÙØ ¹ Ð ÓÒ ÙÒ Ñ Ò Ñ ÔÐÙ ÓÑÔÐ Ü ÕÙ ÓÒ Ø ÙØ Ð Ö Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ö Ø ÑÔ ÙÒ Ú Ö Ð ÓÒØ ÓÒ Ò ÕÙ Ò Ù Ø Ð Ò Ø ÓÒ Ø Ð ÔÓÖØ Ô Ö ÙÒ ÕÙ ÒØ Ø ÙÖ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÓÙ Ð Ü Ø ÕÙ Ð ØØ Ú Ö Ð º Ò ÓÒ Ø Ò Ù Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ x y (y x) Ø y x (y x)º Ä ÕÙ ÒØ Ø ÙÖ ÓÒØ ÓÒ ÝÑ ÓÐ ÕÙ Ð ÒØ ÙÒ Ú Ö Ð Ò Ð ÙÖ Ö ÙÑ Òغ ³ ÙØÖ Ü ÑÔÐ ÝÑ ÓÐ Ð ÙÖ ÓÒØ Ð ÝÑ ÓÐ / d º º º ÆÓÙ ÚÓÒ ÓÒ Ø Ò Ö Ð ÒÓØ ÓÒ Ð Ò Ò ¹ Ú ÒØ Ñ Ò Ö ÔÖ Ò Ö Ò ÓÑÔØ Ð Ø ÕÙ ÕÙ ÝÑ ÓÐ Ù Ð Ò Ô ÙØ Ð Ö Ú Ö Ð º ij Ö Ø ³ÙÒ ÝÑ ÓÐ f Ò Ö ÓÖÑ ÔÐÙ ÙÒ ÒØ Ö n Ñ ÙÒ Ù Ø Ò ³ ÒØ Ö (k 1,...,k n ) ÕÙ Ò ÕÙ ÕÙ Ð ÝÑ ÓÐ f Ð k 1 Ú Ö Ð Ò ÓÒ ÔÖ Ñ Ö Ö ÙÑ ÒØ k 2 Ú Ö Ð Ò Ð ÙÜ Ñ º º º k n Ú Ö Ð Ò Ð n¹ Ñ º Ò ÕÙ Ò ÓÒ ³ Ø ÓÒÒ ÙÒ Ð Ò ³ ع¹ Ö ÙÒ Ò Ñ Ð Ýѹ ÓÐ ÑÙÒ ³ÙÒ Ö Ø Ø ÙÒ Ò Ñ Ð Ò Ò ÓÒØ Ð Ð Ñ ÒØ ÓÒØ ÔÔ Ð Ú Ö Ð ÓÒ Ò Ø Ð ÜÔÖ ÓÒ Ò ÙØ Ú Ñ ÒØ Ô Ö Ð Ö Ð Ù Ú ÒØ º Ä Ú Ö Ð ÓÒØ ÜÔÖ ÓÒ º Ë f Ø ÙÒ ÝÑ ÓÐ ³ Ö Ø (k 1,..., k n ) t 1 º º º t n ÓÒØ ÜÔÖ ÓÒ Ø x 1 1 º º º x1 k 1 º º º x n 1 º º º xn k n ÓÒØ Ú Ö Ð ÐÓÖ f(x x1 k t 1,..., x n 1... xn k t n ) Ø ÙÒ ÜÔÖ ÓÒº Ä ÒÓØ Ø ÓÒ f(x x1 k 1 t 1,..., x n 1... xn k n t n ) Ò Ð³ Ö Ö

16 ½ ½º Ä ÐÓ ÕÙ ÔÖ Ø f 2 x xk 1 x xk 2 2 t1 t2... È Ö Ü ÑÔРг ÜÔÖ ÓÒ u t v dx Ò Ð³ Ö Ö t u x v ½º¾º Ä Ð Ò ÔÐÙ ÙÖ ÓÖØ ³ ÜÔÖ ÓÒ ÇÒ ÙÖ Ó Ò Ò Ð ÚÖ ³ÙØ Ð Ö Ð Ò ÙÒ Ô Ù ÔÐÙ Ò Ö ÙÜ ÔÔ Ð Ð Ò ÔÐÙ ÙÖ ÓÖØ ³ ÜÔÖ ÓÒ º Ë ÓÒ ÓÒÒ ÓÒ Ø ÒØ 0 Ø 1 ÙÒ ÝÑ ÓÐ Ò Ö + ÝÑ ÓÐ ÙÒ Ö pair Ø impair Ø ÙÒ ÝÑ ÓÐ Ò Ö ÙÙÒ ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ú Ö Ð ÓÒ Ô ÙØ ÓÖÑ Ö Ð ÜÔÖ ÓÒ pair(1 + 1) Ø impair(1) pair(1 + 1) Ñ ÓÒ Ô ÙØ Ñ Ð ÙÖ Ù Ñ ÒØ ÓÖÑ Ö Ð Ñ ÒØ Ð ÜÔÖ ÓÒ impair(pair(1)) ÓÙ 1 (1 + pair(1))º ÈÓÙÖ Ð ÜÐÙÖ Ð ÙØ Ø Ò Ù Ö ÙÜ ÓÖØ ³ ÜÔÖ ÓÒ Ð Ø ÖÑ ÕÙ ÜÔÖ Ñ ÒØ ÒØ Ö Ø Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÕÙ ÜÔÖ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÖÒ ÒØ ÒØ Ö º Ò Ð ÝÑ ÓÐ pair ÔÖ Ò Ò Ö ÙÑ ÒØ ÙÒ Ø ÖÑ ÔÓÙÖ ÓÖÑ Ö ÙÒ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ø Ð ÝÑ ÓÐ ÔÖ Ò Ò Ö ÙÑ ÒØ ÙÜ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÓÖÑ Ö ÙÒ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒº ÈÓÙÖ Ð ÓÒ ÒØÖÓ Ù Ø ÙÒ Ò Ñ Ð ÙÜ Ð Ñ ÒØ {Terme, Prop} ÓÒØ Ð Ð Ñ ÒØ ÓÒØ ÔÔ Ð ÓÖØ ³ ÜÔÖ ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ù ÝÑ ÓÐ pair г Ö Ø (Terme, Prop) ÕÙ Ò ÕÙ ÕÙ Ò ÙÒ ÜÔÖ ÓÒ Ð ÓÖÑ pair(t) г ÜÔÖ ÓÒ t Ó Ø ØÖ ÓÖØ Terme ÐÓÖ Õ٠г ÜÔÖ ÓÒ pair(t) ÐÐ ¹Ñ Ñ Ø ÓÖØ Propº ÇÒ ÒØÖÓ Ù Ø ÔÐÙ Ò Ö Ð Ñ ÒØ ÙÒ Ò Ñ Ð S ÓÖØ º ij Ö Ø ³ÙÒ ÝÑ ÓÐ f Ø ÐÓÖ ÙÒ Ù Ø Ò ÓÖØ (s 1,...,s n, s ) ÕÙ Ò ÕÙ ÕÙ Ð ÝÑ ÓÐ f n Ö ÙÑ ÒØ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö Ø ÓÖØ s 1 º º º Ð n¹ Ñ ÓÖØ s n Ø Õ٠г ÜÔÖ ÓÒ ÓÖÑ Ø ÐÐ ¹Ñ Ñ Ð ÓÖØ s º

17 ½º¾ Ä Ð Ò ½ ÉÙ Ò ÓÒ ÔÐÙ Ú Ö Ð Ð Ð³ Ö Ø ³ÙÒ ÝÑ ÓÐ f Ø ÙÒ Ù Ø Ò ((s 1 1,...,s 1 k 1, s 1 ),..., (s n 1,...,s n k n, s n ), s ) ÕÙ Ò ÕÙ ÕÙ Ð ÝÑ ÓÐ f n Ö ÙÑ ÒØ ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö Ø ÓÖØ s 1 Ø ÕÙ³ Ð Ð k 1 Ú Ö Ð ÓÖØ s 1 1 º º º s1 k 1 º º º Ø Õ٠г ÜÔÖ ÓÒ ÓÖÑ Ø ÐÐ ¹Ñ Ñ Ð ÓÖØ s º Ä ÜÔÖ ÓÒ Ò ÒØ ÐÓÖ Ò º Ò Ø ÓÒ ½º½½ ÜÔÖ ÓÒ ³ÙÒ Ð Ò µ ËÓ Ø L ÙÒ Ð Ò ³ ع¹ Ö ÙÒ Ò Ñ Ð ÝÑ ÓÐ ÙÒ ÑÙÒ ³ÙÒ Ö Ø Ø ÙÒ Ñ ÐÐ ³ Ò Ñ Ð Ò Ò Ø Ó ÒØ Ò Ü Ô Ö Ð ÓÖØ ÓÒØ Ð Ð Ñ ÒØ ÓÒØ ÔÔ Ð Ú Ö Ð º ij Ò Ñ Ð ÜÔÖ ÓÒ L Ø Ò Ù¹ Ø Ú Ñ ÒØ Ô Ö Ð Ö Ð Ù Ú ÒØ º Ä Ú Ö Ð ÓÖØ s ÓÒØ ÜÔÖ ÓÒ ÓÖØ sº Ë f Ø ÙÒ ÝÑ ÓÐ ³ Ö Ø ((s 1 1,...,s 1 k 1, s 1 ),..., (s n 1,..., s n k n, s n ), s ) x 1 1 º º º x 1 k 1 º º º x n 1 º º º x n k n ÓÒØ Ú Ö Ð ÓÖØ s 1 1 º º º s 1 k 1 º º º s n 1 º º º s n k n Ø t 1 º º º t n ÓÒØ ÜÔÖ ÓÒ ÓÖØ s 1 º º º s n ÐÓÖ f(x x 1 k 1 t 1,..., x n 1... x n k n t n ) Ø ÙÒ ÜÔÖ ÓÒ ÓÖØ s º Ò Ø ÓÒ ½º½¾ Î Ö Ð ³ÙÒ ÜÔÖ ÓÒµ ij Ò Ñ Ð Ú Ö Ð ³ÙÒ ÜÔÖ ÓÒ Ø Ò Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ØÖÙØÙÖ ÐÐ Ð Ñ Ò Ö Ù Ú ÒØ V ar(x) = {x} V ar(f(x x1 k 1 t 1,..., x n 1... xn k n t n )) = V ar(t 1 ) {x 1 1,..., x 1 k 1 } V ar(t n ) {x n n,..., x n k n }º Ò Ø ÓÒ ½º½ Î Ö Ð Ð Ö ³ÙÒ ÜÔÖ ÓÒµ ij Ò Ñ Ð Ú Ö Ð Ð Ö ³ÙÒ ÜÔÖ ÓÒ Ø Ò Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ØÖÙ¹ ØÙÖ ÐÐ Ð Ñ Ò Ö Ù Ú ÒØ V L(x) = {x} V L(f(x x1 k 1 t 1,..., x n 1... xn k n t n )) = (V L(t 1 ) \ {x 1 1,..., x1 k 1 }) (V L(t n ) \ {x n n,..., xn k n еº È Ö Ü ÑÔÐ V ar( x (x = x)) = {x} Ñ V L( x (x = x)) = º ÍÒ ÜÔÖ ÓÒ Ò Ú Ö Ð Ð Ö Ø Ø ÐÓ º Ò Ø ÓÒ ½º½ À ÙØ ÙÖ ³ÙÒ ÜÔÖ ÓÒµ Ä ÙØ ÙÖ ³ÙÒ ÜÔÖ ÓÒ Ø Ò Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ØÖÙØÙÖ ÐÐ Ð Ñ Ò Ö

18 ¾¼ ½º Ä ÐÓ ÕÙ ÔÖ Ø Ù Ú ÒØ Hauteur(x) = 0 Hauteur(f(x x1 k 1 t 1,...,x n 1... xn k n t n )) = 1 + max(hauteur(t 1 ),..., Hauteur(t n ))º ½º¾º Ä Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ä ÔÖ Ñ Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Õ٠гÓÒ Ø Ñ Ò Ò Ö Ú Ð ÒÓØ ÓÒ Ú ¹ Ö Ð Ø ÐÐ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ð ÖÐ Ú Ö Ð Ø Ò Ø ÒÓÒ ÙÐ Ñ ÒØ ³ ØÖ Ð Ñ Ð Ñ ÒØ ³ ØÖ Ù Ø ØÙ º È Ö Ü ÑÔÐ Ð ÔÖÓÔÓ ¹ Ø ÓÒ x (impair(x) pair(x + 1)) ÓÒ Ú ÙØ ÔÓÙÚÓ Ö Ù Ö Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ impair(3) pair(3 + 1) Ó Ø ÒÙ Ò Ù Ø ØÙ ÒØ Ð Ú Ö Ð x Ô Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ 3º Ò Ø ÓÒ ½º½ ËÙ Ø ØÙØ ÓÒµ ÍÒ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ø ÙÒ ÓÒØ ÓÒ ÓÑ Ò Ò ÕÙ Ú Ö Ð x 1,...,x n Ó ÜÔÖ ÓÒ Ñ Ñ ÓÖØ ³ ع¹ Ö ÙÒ Ò Ñ Ð Ò ÓÙÔÐ ÓÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÑÔÓ ÒØ Ø ÙÒ Ú Ö Ð Ø Ð ÓÒ ÙÒ ÜÔÖ ÓÒ Ø Ð ÕÙ ÕÙ Ú Ö Ð ÔÔ Ö Ò ÙÒ ÓÙÔÐ Ù ÔÐÙ ÓÙ ÒÓÖ ÙÒ Ð Ø ³ Ó Ø ÓÒ θ = t 1 /x 1,..., t n /x n º ÉÙ Ò ÓÒ ÔÔÐ ÕÙ ÙÒ Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÙÒ ÜÔÖ ÓÒ ÓÒ Ú ÙØ Ö ÑÔÐ Ö ØÓÙØ Ð ÓÙÖÖ Ò Ú Ö Ð x 1 º º º x n Ô Ö Ð ÜÔÖ ÓÒ t 1 º º º t n º Ò ÒØ Ò Ù Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÓÒ ÖÒ ÕÙ Ð Ú Ö Ð Ð Ö º È Ö Ü ÑÔÐ ÓÒ Ù Ø ØÙ Ð Ú Ö Ð x Ô Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ 2 Ò Ð³ ÜÔÖ ÓÒ x+3 ÓÒ Ú ÙØ Ó Ø Ò Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ 2 + 3º Ò Ö Ú Ò ÓÒ Ù Ø ØÙ Ð Ú Ö Ð x Ô Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ 2 Ò Ð³ ÜÔÖ ÓÒ x (x = x) ÓÒ Ú ÙØ Ó Ø Ò Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ x (x = x) Ø ÒÓÒ Ð³ ÜÔÖ ÓÒ x (2 = 2)º Ä ÔÖ Ñ Ö Ø ÒØ Ø Ú ÔÓÙÖ Ò Ö Ð³ ÔÔÐ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÙÒ ÜÔÖ ÓÒ Ñ Ò Ð Ò Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ º Ò Ø ÓÒ ½º½ ÔÔÐ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ú ÔØÙÖ µ ËÓ Ø θ = t 1 /x 1,...,t n /x n ÙÒ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ø t ÙÒ ÜÔÖ ÓÒº ÇÒ Ò Ø Ð³ ܹ ÔÖ ÓÒ θ t Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ Ð ØÖÙØÙÖ t Ð Ñ Ò Ö Ù Ú ÒØ θ x i = t i θ x = x x Ò³ Ø Ô Ò Ð ÓÑ Ò θ θ f(y y1 k 1 u 1,..., y p 1... yp k p u p )

19 ½º¾ Ä Ð Ò ¾½ = f(y y 1 k 1 θ (V\{y 1 1,...,y 1 k 1 }) u 1,...,y p 1... yp k p θ (V\{y p 1,...,yp kp }) u p ) Ó Ð ÒÓØ Ø ÓÒ θ V\{y1,...,y k } Ò Ð Ù Ø ØÙØ ÓÒ θ Ö ØÖ ÒØ Ð³ Ò Ñ Ð V \ {y 1,..., y k } ³ ع¹ Ö Ò Ð ÕÙ ÐÐ ÓÒ ÙÔÔÖ Ñ Ð ÓÙÔÐ ÓÒØ Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÑÔÓ ÒØ Ø Ð³ÙÒ Ú Ö Ð y 1,..., y k º ØØ Ò Ø ÓÒ ÔÓ Ò ÒÑÓ Ò ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÐÐ ÙØÓÖ Ð ÔØÙÖ Ú Ö Ð º È Ö Ü ÑÔРг ÜÔÖ ÓÒ x (x + 1 = y) ÜÔÖ Ñ ÕÙ y Ø Ð Ù ÙÖ ³ÙÒ ÖØ Ò ÒÓÑ Ö º Ë ÓÒ Ù Ø ØÙ y Ô Ö 4 Ò ØØ ÜÔÖ ÓÒ ÓÒ Ó Ø ÒØ Ð³ ÜÔÖ ÓÒ x (x+1 = 4) ÕÙ ÜÔÖ Ñ ÕÙ 4 Ø Ð Ù ÙÖ ³ÙÒ ÖØ Ò ÒÓÑ Ö º Ë ÓÒ Ù Ø ØÙ y Ô Ö z ÓÒ Ó Ø ÒØ Ð³ ÜÔÖ ÓÒ x (x+1 = z) ÕÙ ÜÔÖ Ñ ÕÙ z Ø Ð Ù ÙÖ ³ÙÒ ÖØ Ò ÒÓÑ Ö º Å ÓÒ Ù Ø ØÙ y Ô Ö x ÓÒ Ó Ø ÒØ Ð³ ÜÔÖ ÓÒ x (x + 1 = x) ÕÙ ÜÔÖ Ñ ÕÙ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÒÓÑ Ö ÕÙ Ø ÓÒ ÔÖÓÔÖ Ù ÙÖ Ø ÒÓÒ ÓÑÑ ÓÒ ³Ý ØØ Ò Ö Ø ÕÙ x Ø Ð Ù ÙÖ ³ÙÒ ÖØ Ò ÒÓÑ Ö º ÈÓÙÖ Ú Ø Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ð ÙØ Ö ÔÔ Ð Ö ÕÙ Ð Ú Ö Ð Ð ÓÒØ ÑÙ ØØ Ð ÙÖ ÒÓÑ Ò³ ÑÔÓÖØ Ô º ÙØÖ Ñ ÒØ Ø Ò Ð³ ÜÔÖ ÓÒ x (x+1 = y) ÓÒ Ô ÙØ Ö ÑÔÐ Ö Ð Ú Ö Ð Ð x Ô Ö Ò³ ÑÔÓÖØ ÕÙ ÐÐ ÙØÖ Ú Ö Ð Ù Ò ÒØ Ò Ù yº Ò ÕÙ Ò ÓÒ Ù Ø ØÙ Ò ÙÒ ÜÔÖ ÓÒ u Ú Ö Ð x 1 º º º x n Ô Ö ÜÔÖ ÓÒ t 1 º º º t n ÓÒ Ô ÙØ Ò Ö Ð ÒÓÑ Ú Ö Ð Ð Ò u Ò ÔÖ Ò ÒØ ÒÓÑ ÕÙ Ò³ ÔÔ Ö ÒØ Ò Ô ÖÑ x 1 º º º x n Ò Ô ÖÑ Ð Ú Ö Ð t 1 º º º t n Ò Ô ÖÑ Ð Ú Ö Ð u Ò ³ Ú Ø Ö ÔÖÓ Ð Ñ º ÇÒ ÓÑÑ Ò ÓÒ Ô Ö Ò Ö Ò ÙØ Ð ÒØ Ð ÒÓØ ÓÒ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ú ÔØÙÖ Ò ¹ Ú ÒØ ÙÒ Ö Ð Ø ÓÒ ³ ÕÙ Ú Ð Ò ÙÖ Ð ÜÔÖ ÓÒ Ô Ö Ö ¹ ÙÖÖ Ò ÙÖ Ð ÙÖ ÙØ ÙÖ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ³ ÕÙ Ú Ð Ò ÐÔ Ø ÕÙ ÕÙ Ø Ð Ò Ñ ÒØ ÒÓÑ Ú Ö Ð Ð º Ò Ø ÓÒ ½º½ ÕÙ Ú Ð Ò ÐÔ Ø ÕÙ µ Ä Ö Ð Ø ÓÒ ³ ÕÙ Ú Ð Ò ÐÔ Ø ÕÙ ÓÙ ÐÔ ¹ ÕÙ Ú Ð Ò Ø Ò ÙØ Ú Ñ ÒØ Ò Ô Ö Ð Ö Ð x x f(y yk 1 1 t 1,...,y1 n... yk n n t n ) f(y y k 1 1 t 1,..., y 1 n... y k n n t n) ÔÓÙÖ ØÓÙØ i Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ù Ø Ú Ö Ð Ø ÒØ z 1 º º º z ki ÕÙ Ò³ ÔÔ Ö ÒØ Ô Ò t i Ò Ò t i z 1 /y1, i..., z ki /yk i i t i z 1 /y 1 i,..., z ki /y k i i t i º È Ö Ü ÑÔÐ Ð ÜÔÖ ÓÒ x (x = x) Ø y (y = y) ÓÒØ α¹ ÕÙ Ú Ð ÒØ º ÓÖÑ ÓÒ Ò ÓÒ Ö ÔÐÙ Ð ÜÔÖ ÓÒ ÕÙ α¹ ÕÙ Ú Ð Ò ÔÖ ³ ع¹ Ö Õ٠гÓÒ ÓÒ Ö ÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð ³α¹ ÕÙ Ú Ð Ò ³ ܹ

20 ¾¾ ½º Ä ÐÓ ÕÙ ÔÖ Ø ÔÖ ÓÒ º ÇÒ Ô ÙØ Ñ ÒØ Ò ÒØ Ò Ö Ð³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ Ð ÙØ ÙÖ ÜÔÖ ÓÒ º Ò Ø ÓÒ ½º½ ÔÔÐ Ø ÓÒ ³ÙÒ Ù Ø ØÙØ ÓÒµ ËÓ Ø θ = t 1 /x 1,...,t n /x n ÙÒ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ø t ÙÒ ÜÔÖ ÓÒº ÇÒ Ò Ø Ð³ ܹ ÔÖ ÓÒ θt Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ Ð ÙØ ÙÖ t Ð Ñ Ò Ö Ù Ú ÒØ θx i = t i θx = x x Ò³ Ø Ô Ò Ð ÓÑ Ò θ θf(y y1 k 1 u 1,...,y p 1... yp k p u p ) = f(z z 1 k 1 θ z 1 1/y 1 1,..., z 1 k 1 /y 1 k 1 u 1,..., z p 1... zp k p θ z p 1 /yp 1,...,zp k p /y p k p u p ) Ó z 1 1 º º º z1 k 1 º º º z p 1 º º º zp k p ÓÒØ Ú Ö Ð ÕÙ Ò³ ÔÔ Ö ÒØ Ô Ò f(y y1 k 1 u 1,..., y p 1...yp k p u p ) Ò Ò θº È Ö Ü ÑÔÐ ÕÙ Ò ÓÒ Ù Ø ØÙ Ð Ú Ö Ð y Ô Ö Ð³ ÜÔÖ ÓÒ 2 x Ò Ð³ ÜÔÖ ÓÒ x (x+1 = y) ÓÒ Ó Ø ÒØ Ð³ ÜÔÖ ÓÒ z (z +1 = 2 x)º Ä Ó Ü Ð Ú Ö Ð z Ø Ö ØÖ Ö ÓÒ ÙÖ Ø ÔÙ ØÓÙØ Ù Ò Ó Ö v ÓÙ w ÕÙ ÙÖ Ø ÓÒÒ Ð Ñ Ñ ÜÔÖ ÓÒ α¹ ÕÙ Ú Ð Ò ÔÖ º Ò Ø ÓÒ ½º½ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÙÜ Ù Ø ØÙØ ÓÒ µ Ä ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÙÜ Ù Ø ØÙØ ÓÒ θ = t 1 /x 1,..., t n /x n Ø σ = u 1 /y 1,...,u p /y p Ø Ð Ù Ø ØÙØ ÓÒ θ σ = {θ(σz)/z z {x 1,..., x n, y 1,..., y p }} ÇÒ ÑÓÒØÖ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ Ð ÙØ ÙÖ t ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÜÔÖ ÓÒ t (θ σ)t = θ(σt) ½º¾º ij ÖØ ÙÐ Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ø ÓÒ ¹ Ú ÒØ ÒÓÙ Ò³ ÚÓÒ ÓÒÒ ÙÙÒ Ö ØÖ Ø ÓÒ ÙÖ Ð ÒÓÑ Ö ÝÑ ÓÐ ³ÙÒ Ð Ò º ÁÐ ÙØ Ô Ò ÒØ ÔÖ Ò Ö Ò ÓÑÔØ Ð Ø ÕÙ Ò Ò Ð ÜÔÖ ÓÒ ³ÙÒ Ð Ò Ó Ú ÒØ ³ Ö Ö Ú ÙÒ ÐÔ Ø Ò º Ë ÕÙ ÝÑ ÓÐ Ù Ð Ò Ø ÜÔÖ Ñ Ô Ö ÙÒ Ð ØØÖ Ø ÐÔ Ø Ð ÑÔÓ Õ٠г Ò Ñ Ð ÝÑ ÓÐ Ù Ð Ò Ó Ø Ò º ÌÓÙØ Ó Ð Ø ¹ Ð Ñ ÒØ ÔÓ Ð ³ ÜÔÖ Ñ Ö ÝÑ ÓÐ Ô Ö ÑÓØ ÓÖÑ ÙÖ ÙÒ ÐÔ Ø Ò ÓÙ ÔÐÙ Ò Ö Ð Ñ ÒØ Ô Ö Ö Ö Ø ÕÙ Ø Ô Ö Ð Ð Ñ ÒØ ³ÙÒ Ò¹ Ñ Ð Ò º Ò Ò ÓÑ ØÖ ÖØ Ò ÝÑ ÓÐ ÓÑÑ π ÓÒØ Ð ØØÖ

21 ½º¾ Ä Ð Ò ¾ Ñ ³ ÙØÖ ÓÑÑ Ñ ØÖ ÑÓØ º Ê Ò Ò³ ÑÔ ³ Ø Ö Ö ÔÖÓ¹ Ù Ø Ö ÔÖ ÒØ Ö Ð ÝÑ ÓÐ ³ÙÒ Ð Ò Ô Ö Ö Ö Ø ÕÙ Ø Ô Ö Ö Ö ÙÜ¹Ñ Ñ Ø ÕÙ Ø Ô Ö Ð Ð Ñ ÒØ ³ÙÒ Ò Ñ Ð Ò ÕÙ Ñ Ò Ð Ò Ø ÓÒ Ù Ú ÒØ º Ò Ø ÓÒ ½º¾¼ Ò Ñ Ð ³ Ö Ö ÖØ ÙÐ µ nº ÍÒ Ò Ñ Ð ³ Ö Ö Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖØ ÙÐ ÓÙ 1¹ ÖØ ÙÐ Ð Ò Ù Ö Ö Ø Ò Ñ Ð ÓÒØ Ø ÕÙ Ø Ô Ö Ð Ð Ñ ÒØ ³ÙÒ Ò Ñ Ð Ò º ÍÒ Ò Ñ Ð ³ Ö Ö Ø (n+1)¹ ÖØ ÙÐ Ð Ò Ù Ö Ö Ø Ò¹ Ñ Ð ÓÒØ Ø ÕÙ Ø Ô Ö Ð Ð Ñ ÒØ ³ÙÒ Ò Ñ Ð ³ Ö Ö n¹ ÖØ ÙÐ º ÍÒ Ò Ñ Ð ³ Ö Ö Ø ÖØ ÙÐ ³ Ð Ø n¹ ÖØ ÙÐ ÔÓÙÖ ÙÒ ÖØ Ò ÒØ Ö È Ö Ü ÑÔРг Ò Ñ Ð ÜÔÖ ÓÒ Ò Ú Ö Ð ³ÙÒ Ð Ò ÓÒØ ¹ Ò ÒØ ÙÒ ÒÓÑ Ö Ò ÝÑ ÓÐ Ø ÙÒ Ò Ñ Ð ³ Ö Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖØ ÙÐ º Ò Ö Ú Ò ÙÒ Ò Ñ Ð Ú Ö Ð Ø ÒØ ØÓÙ ÓÙÖ Ò Ò Ð³ Ò Ñ Ð ÜÔÖ ÓÒ ³ÙÒ Ð Ò Ø ØÓÙ ÓÙÖ ÙÒ Ò Ñ Ð ³ Ö Ö Ù ÑÓ Ò ÓÙ Ð ¹ Ñ ÒØ ÖØ ÙÐ º Ä Ú Ö Ð x, x, x, x, x,... ÓÖÑ ÒØ ÙÒ Ò Ñ Ð Ò Ò Ø Ô ÙÚ ÒØ ³ ÜÔÖ Ñ Ö Ô Ö Ö Ö ÓÒØ Ð Ò Ù ÓÒØ Ø ÕÙ Ø Ô Ö Ð ÝÑ ÓÐ x Ø º ÉÙ Ò ÙÒ Ð Ò Ø ÖØ ÙРг Ò Ñ Ð ÝÑ ÓÐ Ø Ò ÓÙ ¹ ÒÓÑ Ö Ð º ÁÐ Ø ØÓÙØ Ó Ô Ö Ó Ò Ö ÓÒ Ö Ö Ð Ò ÕÙ ÓÑÔÖ ÒÒ ÒØ ÙÒ ÒÓÑ Ö ÒÓÒ ÒÓÑ Ö Ð ÝÑ ÓÐ Ø ÕÙ ÓÒØ Ø ÒÓÒ ÖØ ÙÐ º ÆÓÙ Ú ÖÖÓÒ ÙÒ Ü ÑÔÐ Ð Ø ÓÒ ¾º º ÁÐ ÙØ Ô Ò ÒØ ÚÓ Ö ÓÒ Ò ÕÙ ØØ ÒÓØ ÓÒ Ð Ò Ò Ö Ð ÕÙ ÐÕÙ Ô Ù Ð ÒÓØ ÓÒ ÓÙÖ ÒØ Ö Ð ÜÔÖ ÓÒ Ð Ò Ò Ô ÙÚ ÒØ ÔÐÙ ³ Ö Ö Ú ÙÒ ÐÔ Ø Ò º ËÓ Ø E ÙÒ Ò Ñ Ð Ø f 1, f 2,... Ö Ð ÙÖ Ð³ Ò Ñ Ð Eº ij Ò Ñ Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ò f 1, f 2,... Ò³ Ø Ô ØÓÙ ÓÙÖ ÙÒ Ò Ñ Ð ³ Ö Ö ÖØ ÙÐ º ÌÓÙØ Ó E Ø ÙÒ Ò Ñ Ð ³ Ö Ö ÖØ ÙÐ ÐÓÖ Ð³ Ò Ñ Ð Ö Ú ¹ Ø ÓÒ Ò f 1, f 2,... Ø ÙÒ Ò Ñ Ð ³ Ö Ö ÖØ ÙÐ º Ñ Ñ ÕÙ Ö Ð f 1, f 2,... Ø Ó ÙÒ Ð Ñ ÒØ ³ÙÒ Ò Ñ Ð ÖØ ÙÐ ÐÓÖ Ð³ Ò Ñ Ð Ö Ú Ø ÓÒ Ø ÕÙ Ø Ô Ö Ð Ö Ð f 1, f 2,... Ø ÙÒ Ò Ñ Ð ÖØ ÙÐ º