➀ GA +2 GB +3 AG = 1 AB +3AC AB + 1 AG = 3 CB 1 = 2

Dimension: px

Commencer à balayer dès la page:

Download "➀ GA +2 GB +3 AG = 1 AB +3AC AB + 1 AG = 3 CB 1 = 2"

Clarisse Bouffard
il y a 5 ans
Total affichages :

1 BCPST 1 B 2016¹2017 ÓÖÖ Ø ÓÒ Ð Ù ÐÐ º ½µ µ G Ü Ø Ö ÙÜ Ñ Ø Ó ➀ GA +2 GB + GC = 0 ÓÒ AG = 1 6 ( 2 ) AB +AC AG = 1 AB + 1 AC 2 ➁ ÇÒ ÒÓØ G 1 Ð ÖÝ ÒØÖ {(A,1),(B,2)} ÓÒ AG 1 = 2 AB GA +2 GB +GC = 0 ÓÒ GG 1 + GC = 0 Ø Ò G Ø Ð Ñ Ð Ù [G 1 C] µ G Ü Ø Ö 1+ = 1 0 G A +G B G C = 0 ÓÒ AG = CB ½

2 µ AG = CB ÓÒ ÙÜ Ú Ø ÙÖ ÓÒØ ÓÐ Ò Ö Ø (AG ) Ø Ô Ö ÐÐ Ð (BC) ¾µ ÈÓÙÖ G ÖÝ ÒØÖ Ù Ý Ø Ñ {(A;a);(B;b);(C;c);(D;d)} ÓÒ x G = ax A +bx B +cx C +dx D +d y G = ay A +by B +cy C +dy D +d z G = az A +bz B +cz C +dz D +d G ÖÝ ÒØÖ Ù Ý Ø Ñ {A;1);(B;1);(C;1);(D;1)} ÓÒ ÓÒ x G = x A +x B +x C +x D 4 y G = y A +y B +y C +y D 4 z G = z A +z B +z C +z D 4 Ä ÓÓÖ ÓÒÒ G ÓÒØ ( 1 2 ; 1 4 ; ) 2 µ ÈÓÙÖ G ÖÝ ÒØÖ Ù Ý Ø Ñ {(A;a);(B;b);(C;c)} ÓÒ x G = ax A +bx B +cx C y G = ay A +by B +cy C G Ð ÖÝ ÒØÖ ÔÓ ÒØ ÔÓÒ Ö (A,) (B,2) Ø (C, 4) x G = x A +2x B 4x C 1 y G = y A +2y B 4y C 1 Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ Ú Ø ÙÖ Ä ÓÓÖ ÓÒÒ G ÓÒØ ÓÒ (5; 6) OG Ø OB Ø Ð = 2 0 ÙÜ Ú Ø ÙÖ Ò ÓÒØ ÓÒ Ô ÓÐ Ò Ö Ø Ò Ä ÖÓ Ø (BG) Ò Ô Ô Ô Ö Ð³ÓÖ Ò º ¾

3 µ Ê Ñ ÖÕÙ ÌÓÙ ÖÝ ÒØÖ Ü Ø ÒØ Ð ÓÑÑ Ó ÒØ Ø ÕÙ Ó ÒÓÒ ÒÙÐÐ º ÇÒ 5 GA +2 GB GC = 0 ÓÒ 5 GA +2 GA +2 A B GA ÓÖ 2 A B A C = 0 ÓÒ 5 GA GA = 0 ÓÙ ÒÓÖ GA = 5 GA Ä ÔÓ ÒØ G ÔÔ ÖØ ÒØ Ð ÖÓ Ø (AA )º ÇÒ ÑÓÒØÖ Ñ Ñ ÕÙ 2 GB +2 GB = 0 ÓÙ ÒÓÖ GB = GB Ä ÔÓ ÒØ G ÔÔ ÖØ ÒØ Ð ÖÓ Ø (BB )º ÇÒ ÑÓÒØÖ Ñ Ñ ÕÙ 7 GC GC = 0 ÓÙ ÒÓÖ GC = 7 GC Ä ÔÓ ÒØ G ÔÔ ÖØ ÒØ Ð ÖÓ Ø (CC )º Ð ÖÓ Ø (AA ) (BB ) Ø (CC ) ÓÒØ ÓÒÓÙÖ ÒØ Ù ÔÓ ÒØ G A C = 0 µ ÇÒ ÒÓØ G 1 Ð ÖÝ ÒØÖ Ù Ý Ø Ñ {(A;1);(B;1);(C;2)} Ü Ø Ö µ G 2 Ð ÖÝ ÒØÖ Ù Ý Ø Ñ {(B;1);(C;)} Ü Ø Ö 1+ 0µ ÇÒ Ø MA + MB +2MC = 4MG 1 + G 1 A + G 1 B +2G 1 C }{{} = 0 MB +MC = 4MG 2 + G 2 B +G 2 C }{{} = 0 = 4 MG 2 = 4 MG 1 ÓÒ Ó Ø ÒØ ÐÓÖ MA + MB +2MC = MB +MC 4MG 4 1 = MG 2 ÓÒ Γ Ø Ð³ Ò Ñ Ð ÔÓ ÒØ M Ú Ö ÒØ MG 1 = MG 2 Γ Ø Ð Ñ ØÖ [G 1,G 2 ] Â³ ÙÖ Ù ÚÓÙ Ñ Ò Ö ÙÒ ÙÖ ³ Ø ÙÒ Ô Ø ÕÙ ÚÓÙ Ú Þ ÚÓ Ö ÙÖ ÒÖ ³ Ü Ö º Ê Ô Ñ ÒØ Ä ÔÓ ÒØ G 1 Ø Ð Ñ Ð Ù [IC] Ó I Ø Ð Ñ Ð Ù [AB]º Ä ÔÓ ÒØ G 2 Ø ÔÐ Ö Ð Ö Ð Ø ÓÒ BG 2 = BC 4

4 µ µ ÇÒ 4 GA + GB + GC + GD = 0 ÓÒ 4 GA + GH + HB + HC + HD = 0 ÓÖ HB + HC + HD = 0 ÓÒ 4 GA + GH = 0 Ø Ò Ä ÔÓ ÒØ G Ø ÙÖ Ð ÖÓ Ø (AH) µ ÓÒ ÑÓÒØÖ ÕÙ 4 GA + GH = 0 ÓÒ AG = 7 AH µ ÇÒ λ G 1 A 2 +µ G 1 A = 0 λ G 2 A +µ G 2 A 1 = 0 λ G A 1 +µ G A 2 = 0 ÓÒ ÔÓÙÖ ÙÒ ÔÓ ÒØ M ÕÙ ÐÓÒÕÙ Ù ÔÐ Ò ÓÒ λ G 1 M +λ MA 2 +µ G 1 M +µ MA = 0 λ G 2 M +λ MA +µ G 2 M +µ MA 1 = 0 λ G M +λ MA 1 +µ G M +µ MA 2 = 0 ÓÒ Ò Ù Ø Ò ÓÑÑ ÒØ Ð ØÖÓ Ð Ø Ñ Ñ Ö Ñ Ñ Ö µ ( (λ+µ) G 1 M + G 2 M + G M ) ( +(λ+µ) MA 1 + MA 2 + MA ) = 0 ÓÙ ÒÓÖ MG 1 + MG 2 + MG = MA 1 + MA 2 + MA ÓÒ I Ø Ð³ Ó ÖÝ ÒØÖ A 1 A 2 A ÐÓÖ IA 1 + IA 2 + IA = 0 Ð ÒØÖ Ò ÐÓÖ IG 1 + IG 2 + IG = 0 Ø ÓÒ I Ø Ù Ð³ Ó ÖÝ ÒØÖ G 1 G 2 G º Ò ÓÒÐÙ ÓÒ A 1 A 2 A Ø G 1 G 2 G ÓÒØ Ð Ñ Ñ Ó ÖÝ ÒØÖ µ ËÓ Ø ABC ÙÒ ØÖ Ò Ð Ø G Ð ÖÝ ÒØÖ Ù Ý Ø Ñ ÔÓ ÒØ ÔÓÒ Ö {(A,2),(B, 1),(C,1)} µ G Ð ÖÝ ÒØÖ {(A,2),(B, 1),(C,1)} ÓÒ 2MA MB + MC = 2MG Ð Ú ÒØ M E 2MG = AB ÓÒ E Ø Ð ÖÐ ÒØÖ G Ø Ö ÝÓÒ AB 2

5 µ ÇÒ Ô ÙØ Ö Ñ ÖÕÙ Ö ÕÙ ÖÐ Ô Ô I Ð Ñ Ð Ù [AC]º µ ËÙ Ø ÒÓÑÔÐ Ø G Ø Ð ÒØÖ Ö Ú Ø ABCµº ËÓ Ø ABC Ø ÙÒ ØÖ Ò Ð Ø k ÙÒ Ö Ðº ÇÒ Ò Ø Ð ÔÓ ÒØ I J Ø K Ô Ö BI = k BC CJ = k CA µ Ä ØÖ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ù Ø Ð ÔÓ Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ º AK = k AB µ GI + GJ + GK = GB + BI + GC + CJ + GA + AK = GA + ( ) GB + GC +k BC + CA + AB = 0+k 0 = 0 G Ø Ð³ Ó ÖÝ ÒØÖ I J K

6 ½¼µ ÇÒ ÓÑÔÐ Ø Ð ÙÖ Ù ÙÖ Ø Ñ ÙÖ ÕÙ Ø ÓÒ µ I Ð ÖÝ ÒØÖ ÔÓ ÒØ ÔÓÒ Ö (A,2) Ø (B, 1) ÓÒ J Ð ÖÝ ÒØÖ ÔÓ ÒØ ÔÓÒ Ö (C,2) Ø (D,1) ÓÒ AI = BA º CJ = 1 CD º µ I Ð ÖÝ ÒØÖ ÔÓ ÒØ ÔÓÒ Ö (A,2) Ø (B, 1) ÓÒ 2KA KB = KI Ñ Ñ J Ð ÖÝ ÒØÖ ÔÓ ÒØ ÔÓÒ Ö (C,2) Ø (D,1) ÓÒ 2KC + KD = KJ K Ð ÖÝ ÒØÖ ÔÓ ÒØ ÔÓÒ Ö (A,2) (B, 1) (C,2) Ø (D,1) ÓÒ Ú Ð Ö ÙØ ÓÒ ÔÖ ÒØ ÓÒ Ó Ø ÒØ 2 KA KB + 2 KC + KD = 0 KI + KJ = 0 K Ø Ð ÖÝ ÒØÖ (I,1) Ø (J,) µ K Ø Ð ÖÝ ÒØÖ (I,1) Ø (J,) ÓÒ IK = IJ 4 ½½µ ÈÖ Ñ Ö Ñ Ø Ó ÇÒ ÓÒ ØÖÙ Ø ÙÒ Ö Ô Ö ÓÖØ ÕÙ A(0,0) Ø B(1,0) Ò Ö Ô Ö ÓÒ MA = 2MB x 2 +y 2 = 4(x 1) 2 +4y 2 x 2 8x+4+y 2 = 0 ( x 4 ) y2 = 0 ( x 4 ) 2 +y 2 = 4 9 Ò ÔÖ Ò ÒØ ÔÓÙÖ ÙÒ Ø AB Ø Ò ÔÐ ÒØ Ò ÙÒ Ö Ô Ö ÓÖØ ÕÙ A(0,0) Ø B(1,0) ( ) 4 Ð³ Ò Ñ Ð Ö Ö Ø Ð ÖÐ ÒØÖ Ω, 0 Ø Ö ÝÓÒ 2 º

7 ÙÜ Ñ Ñ Ø Ó ÇÒ ÓÒ Ö G 1 Ð ÖÝ ÒØÖ {(A,1);(B, 2)} G 2 Ð ÖÝ ÒØÖ {(A,1);(B,2)} ÇÒ ÐÓÖ MA = 2MB MA 2 4MB 2 = 0 ( MA 2MB ) (. MA +2MB ) = 0 ( MG ) ( 1. MG ) 2 = 0 MG 1. MG 2 = 0 MG 1 MG 2 Ò ÒÓØ ÒØ G 1 Ð ÖÝ ÒØÖ {(A,1);(B, 2)} G 2 Ð ÖÝ ÒØÖ {(A,1);(B,2)} Ð³ Ò Ñ Ð Ö Ö Ø Ð ÖÐ Ñ ØÖ [G 1 G 2 ] Å Ð ÙÖ Ù Ñ ÒØ Ð ÙÖ Ò³ Ø Ø Ô Ñ Ò ÓÒ AG 1 = 2 AB et AG 2 = 2 AB

8 ½¾µ ÇÒ a IA +b IB +c IC = 0 ÓÒ AI = b AB + c AC Ò ÔÓ ÒØ u = ÓÒ b AI = u+ v Ú AB Ø v = c AC ÓÒ AI Ø Ò Ð Ö Ø ÓÒ Ð ØÖ BAC bc u = v = u Ñ Ñ Ò Ø Ñ Ñ Ö Ø ÓÒ ÕÙ AB v Ñ Ñ Ò Ø Ñ Ñ Ö Ø ÓÒ ÕÙ AC I Ø ÙÖ Ð ØÖ Ù A Ò Ð ØÖ Ò Ð ABCº Ñ Ñ BI = a ÕÙ ÑÓÒØÖ ÕÙ BA + c BC et CI = a CA + b CB Ò ÓÒÐÙ ÓÒ I Ø ÙÖ Ð ØÖ Ù B Ø ÐÐ Ù C Ò Ð ØÖ Ò Ð ABC Ð ÒØÖ Ù ÖÐ Ò Ö Ø Ø Ð ÖÝ ÒØÖ Ù Ý Ø Ñ {(A,a),(B,b),(C,c)} ½ µ µ ÇÒ ÓÒ ØÖÙ Ø Ù Ú Ñ ÒØ Ð Ó ÖÝ ÒØÖ Ò ÔÖ Ò ÒØ Ð³ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ñ Ò ØÖ ¹ Ò Ð º µ ÇÒ ÒÓØ C Ð Ñ Ð Ù [AB] ÅÓÒØÖÓÒ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò ÙÖ n ÕÙ ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÒØ Ö n M n (OC)º ÈÓÙÖ n = 0 M 0 = O ÓÒ M 0 (OC) Ä ÔÖÓÔÖ Ø Ø ÚÖ Ù Ö Ò n = 0º ËÓ Ø n N Ø Ð ÕÙ M n (OC) M n+1 Ø Ð ÖÝ ÒØÖ Ù Ý Ø Ñ ÔÓÒ Ö {(M n,1),(a,1),(b,1)}

9 ÓÒ M n+1 Ø Ð ÖÝ ÒØÖ Ù Ý Ø Ñ ÔÓÒ Ö {(M n,1),(c,2)} Ö C Ñ Ð Ù [AB] ÇÒ Ò M n+1 ÔÔ ÖØ ÒØ (M n C) Ø ÓÑÑ Ô Ö ÝÔÓØ Ö ÙÖÖ Ò M n (OC) ÓÒ M n+1 ÔÔ ÖØ ÒØ (OC) ÓÒ Ò ÓÒÐÙ ÓÒ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ø ÚÖ Ù Ö Ò n ÐÓÖ ÐÐ Ð³ Ø ÚÖ Ù Ö Ò n+1 ÈÓÙÖ ØÓÙØ n N M n (OC) ÕÙ ÒØÖ Ò ÕÙ ØÓÙ Ð ÔÓ ÒØ M n ÓÒØ Ð Ò µ ËÓ Ø n N ÇÒ M n+1 Ø Ð³ Ó ÖÝ ÒØÖ M n AB ÓÒ x n+1 = 1 (x n +1+) y n+1 = 1 (y n +2+0) n N, x n+1 = 1 x n + 4 y n+1 = 1 y n + 2 µ Ä Ù Ø (x n ) Ø (y n ) ÓÒØ Ö Ø Ñ Ø Ó¹ ÓÑ ØÖ ÕÙ Ä ÔÓ ÒØ Ü ÓÒØ x = 1 x+ 4 x = 2 y = 1 y + 2 y = 1 ÇÒ ÐÓÖ n N, x n+1 2 = 1 (x n 2) y n+1 1 = 1 (y n 1) ÕÙ ÓÒÒ x n 2 = (x 0 2) n N, y n+1 1 = (y 0 1) ( ) n 1 ( ) n 1 Ò ÓÒÐÙ ÓÒ n N, x n = 2 2 y n = 1 ( ) n 1 ( ) n 1 µ Ä ÒÓÑ Ö 1 ÔÔ ÖØ ÒØ ] 1,1[ ÓÒ lim n + (x n) = 2 Ø lim n + (y n) = 1º Ä Ù Ø (M n ) ÓÒÚ Ö Ú Ö Ð ÔÓ ÒØ C ÓÓÖ ÓÒÒ (2,1)

10 ½ µ µ G 1 Ð ÖÝ ÒØÖ {(A,1),(B,2)} ÓÒ G 1 A +2 G 1 B = 0 ÓÙ ÒÓÖ AG 1 = 2 AB µ G Ð ÖÝ ÒØÖ {(A,1),(B,2),(C,),(D,)} ÓÒ GA +2 GB + GC + GD = 0 ÕÙ ÓÒÒ ÓÙ ÒÓÖ GG 1 + G 1 A +2G 1 B +6GI +IC +ID = 0 }{{}}{{} = 0 GG 1 +2GI = 0 G Ø Ð ÖÝ ÒØÖ Ù Ý Ø Ñ ÔÓ ÒØ ÔÓÒ Ö {(G 1,1),(I,2)} µ Ä Ö Ð Ø ÓÒ GG 1 +2 GI = 0 ÓÒÒ G 1 G = 2 G 1 I = 0 µ Ò Ð Ö Ô Ö (A, AB, AD) ÓÒ A(0,0) B(1,0) C(a,b) Ø D(0,1) ÓÒ µ Ò Ð ( ( ) a AB, AD) ÓÒ AC b ( a+2 G ; b+1 ) 9 Ø AG ( a+2 9 b+1 ÓÒ A,G Ø C ÓÒØ Ð Ò Ø ÙÐ Ñ ÒØ a a+2 9 = 0 ÓÒ Ó Ø ÒØ ÔÖ ÑÔÐ Ø ÓÒ ) b+1 b A,G Ø C ÓÒØ Ð Ò Ø ÙÐ Ñ ÒØ a = 2b ½¼

11 µ A,G Ø C Ð Ò A,G Ø C ÒÓÒ Ð Ò ½½

12 ½ µ µ I Ø Ð ÖÝ ÒØÖ Ù Ý Ø Ñ {(A,2);(D,1)} ÓÒ AI = 1 AD J Ø Ð ÖÝ ÒØÖ Ù Ý Ø Ñ {(B,2);(C,1)} ÓÒ BJ = 1 BC Ò ÒÓØ ÒØ K Ð ÒØÖ Ö Ú Ø BCD ÓÒ G Ø Ð ÖÝ ÒØÖ Ù Ý Ø Ñ {(A,1);(K,)} Ø Ò AG = AK 4 µ ÁÐ Ý ÔÐÙ ÑÔÐ ÔÓÙÖ G GA + GB + GC + GD = 0 ÒØÖ Ò ÕÙ 2 GE +2GF = 0 ÓÒ G Ø Ð Ñ Ð Ù Ù Ñ ÒØ [EF]º 2HA +2HB + HC + HD = 2HA + HD +2HB + HC = HI +2IA + ID + HJ +2JB + JC = HI + HJ = 0 car H milieu de [IJ] H Ø Ð ÖÝ ÒØÖ {(A,2);(B,2);(C,1);(D,1)} µ H Ø Ð ÖÝ ÒØÖ {(A,2);(B,2);(C,1);(D,1)} ÓÒ H Ø Ð ÖÝ ÒØÖ {(E,4);(F,2)} ÓÒ H ÔÔ ÖØ ÒØ Ð ÖÓ Ø Ð ÖÓ Ø (EF) H Ø Ð ÖÝ ÒØÖ {(A,2);(B,2);(C,1);(D,1)} ÓÒ H Ø Ð ÖÝ ÒØÖ {(G,4);(F,2)} ÓÒ ÓÒ H ÔÔ ÖØ ÒØ Ð ÖÓ Ø Ð ÖÓ Ø (GF) Ò ÓÒÐÙ ÓÒ Ð ÔÓ ÒØ E,F,G,H ÓÒØ Ð Ò º ½¾

Documents pareils

Ê ÙÐ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ö Ø ØÙÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ö Ï ÙØ Ð Ø ÙÐØ ÆÓØÖ ¹ Ñ Ä È Ü Æ ÑÙÖ Ð ÕÙ Û ÙØ Ð Ò Óº ÙÒ Ôº º Ê ÙÑ º Ä³ ÑÔÓÖØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ò³ Ø ÔÐÙ ÑÓÒØÖ Öº Ò Ø Ð Ó Ü ³ÙÒ ØÝÔ