TD 02 : Applications linéaires

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1 Ex 1 Ex 2 TD 02 : Applicaions linéaires Les applicaions suivanes son-elles linéaires? x ( ) 1 f : y 2x + 4y z R4 R y 2, x 2 f : y 2x πy z R4 z + 3 R 3, x + y + z + Première approche x 3 f : y z R4 x + y + z + R, 4 f : P R n [X] P (X) XP (X) R n [X], 5 Ψ : f C f(x) 2 dx Donner une base du noyau e de l image des applicaions linéaires canoniquemen associées à chacune des marices suivanes,e foncion du paramère x C : ( 1 2 x ) 1 + x x x Faies de même pour l endomorphisme de R 4 suivan : f : (x, y, z, ) (y, x y, 2, x + z) x x x x x Ex 3 Ex 4 Ex 5 Monrer qu il exise un unique endomorphisme f de R 3 [X] el que : f(1) = X 1, f(x + 1) = X 3 1, f(x 2 + X + 1) = 1, f(x 3 + X 2 + 1) = X 2 1 Ce endomorphisme es-il injecif, surjecif? Soien E un espace vecoriel, f, g L(E, E) Monrer : 1 ker(g f) ker f e Im(g f) Img 2 f 2 = 0 Imf ker f 3 Si f g = g f, alors Im f e ker f son sables par g Soi E un C espace vecoriel e f un endomorphisme de E el que pour ou x dans E, f(x) es colinéaire à x Monrer que f es un homohéie TD 02 : Applicaions linéaires Page 1/5

2 Ex 6 Ex 7 Ex 8 Ex 9 Ex 10 Ex 11 CCP 2014-Algèbre-10 Soi E un espace vecoriel sur R ou C e f e g deux endomorphismes de E els que f g = id 1 Démonrer que ker(g f) = ker f 2 Démonrer que Im (g f) = Im g 3 Démonrer que E = ker f Im g CCP 2014-Algèbre-10 Soi f un endomorphisme d un espace vecoriel E de dimension n 1 Démonrer que E = Im f ker f = Im f = Im f 2 2 (a) Démonrer que : Im f = Im f 2 ker f = ker f 2 (b) Démonrer que : Im f = Im f 2 = E = Im f ker f Soien f e g deux formes linéaires sur E Monrer que ker f = ker g f e g son proporionnelles Projecions e Syméries 1 Monrer que l applicaion f = L A L (R 4 ), où A = déerminer son noyau e son image es un projeceur e Monrer qu un endomorphisme f commue avec un projeceur p si e seulemen si Im p e ker p son sables par f Soi dans R 4, E 1 = {(x, y, z, ) R 4, x + y = z e x + 2y = z}, e E 2 = vec (u 1, u 2 ) où u 1 = ( 1, 0, 1, 1) e u 2 = (1, 2, 3, 0) 1 Monrer que R 4 = E 1 E 2 2 Soi p la projecion sur E 1 parallèlemen à E 2 Calculer p(x, y, z, ) en foncion de x, y, z, R 3 Même quesion pour la symérie par rappor à E 1 parallèlemen à E 2 Soien p e q deux projeceurs d un espace vecoriel E de dimension finie 1 Monrer que p + q es un projeceur p q = q p = 0 TD 02 : Applicaions linéaires Page 2/5

3 2 Monrer que dans ce cas, Im (p + q) = Im p Im q e ker(p + q) = ker q ker p Ex 12 Monrer que pour ou Q R n [X], il exise un unique polynôme P dans R n [X] qui vérifie Q(X) = n i=0 P (i) ( X 2 i ) Ex 13 Ex 14 Soi n N, E = R n [X], e E E P (X) P (X + 1) P (X) 1 Monrer que L (E) 2 Monrer que ker = R 0 [X] e que (R n [X]) = Im = R n 1 [X] 3 Monrer que es nilpoen d indice n Monrer qu il exise au moins un polynome P que l on expliciera el que (P, (P ), 2 (P ),, n (P )) es une base de E Soi E un R espace vecoriel de dimension finie n 1 e f e g deux endomorphismes de E 1 Monrer que si f es de rang 1, il exise a R el que f 2 = af 2 Monrer que si p es le rang de f, on peu écrire f comme une somme de p endomorphismes de rang 1 dim ker f g dim ker f + dim ker g, 3 Monrer que Rang f g min { Rang f, Rang g } 4 Monrer les inégaliés Rang f Rang g Rang (f + g) Rang f + Rang g Ex 15 Trois exercices inconournables Les Noyaux iérés Ici, E es un R espace vecoriel e f L (E) On noe pour ou k N, N k = ker f k e I k = Im f k 1 Prouver que pour ou k N, N k N k+1 e I k+1 I k 2 Prouver que si il exise k 0 N el que I k0 = I k0 +1, alors la suie (I k ) es consane à parir de k 0, e qu il en es de même pour N k 3 Si E es de dimension finie, prouver que il exise k N el que I k N k = E TD 02 : Applicaions linéaires Page 3/5

4 Ex 16 Polynômes d Inerpolaion de Lagrange R n [X] R( n+1 ) Soien a 0 < < a n des réels e ϕ : P P (a 0 ), P (a 1 ),, P (a n ) 1 Monrer que ϕ es un isomorphisme 2 Soi i [[0, 1,, n]] On noe L i (X) = 0 j n,j i X a j a i a j Calculer ϕ(l i ), pour ou i {0, 1,, n} ) 3 Monrer que la famille (B) := (L 0, L 1,, L n es une base de R n [X] 4 Soi (y 0, y 1,, y n ) un veceur quelconque de R n+1 Il exise donc un unique polynôme P de R n [X] el que ϕ(p ) = (y 0, y 1,, y n ) Exprimer les coordonnées de P dans la base (B) en foncion des réels {y i, 0 i n} Ex 17 Endomorphismes nilpoens Soi E un ev de dimension n e f un endomorphisme de E On suppose qu il exise un enier p 0 el que f p = 0 e f p 1 0 On di que f es nilpoen d indice p 1 Monrer que f n es pas bijecive mais que Id f es un auomorphisme de E don on donnera l inverse 2 Monrer que les inclusions {0} ker f ker f 2 ker f p prouvées dans l exercice sur les noyaux iérés son srices 3 Soi a un veceur de E el que f p 1 (a) 0 Monrer que (a, f(a),, f p 1 (a)) es une famille libre En déduire que p n INDICATIONS Ex 3 Il es quesion ici du héorème d inerpolaion linéaire Pour la deuxième quesion pensez que ce son des propriéés qui se lisen sur l image d une base Ex 5 Pour cela, en appelan λ x le complexe qui vérifie f(x) = λ x x, prouvez que λ x+y = λ x, pour ou veceur y Ex 8 Pour le sens direc, dans le cas où f n es pas nulle, il exise une preuve en dimension finie qui consise à compléer une base de ker f en une base de E Le coefficien de proporionnalié enre f e g es alors simple à rouver Dans le cas de la dimension infinie, on monre qu il exise un veceur x 0 de E el que ker f Vec (x 0 ) = E A parir de là, on peu poser a = g(x 0 )/f(x 0 ) R e monrer que g = af Ex 12 Il s agi ici de raduire l énoncé en une propriéé de l applicaion P n i=0 P ( ) (i) X 2 i Ex 13 1 Compléer une base de ker f en une base B de E, e calculer l image de B par f 2 2 Prendre une base (e 1,, e p ) de Im f e monrer qu il exise p formes linéaires ϕ 1,, ϕ p sur E elles que p pour ou x E, f(x) = ϕ i (x = e i i=1 3 Pour la première inégalié, on pourra appliquer le héorème du rang à l applicaion linéaire f Im g E x f(x) Ex 15 1 TD 02 : Applicaions linéaires Page 4/5

5 2 Il suffi de prouver que si I k0 I k0+1, alors I k0+1 I k0+2 3 Que peu-on dire de perinen, sous cee hypohèse, sur la suie d eniers ( dim I k )k N? TD 02 : Applicaions linéaires Page 5/5