LEÇON N 47 : Courbes définies par des équations paramétriques dans le plan. Vecteur dérivé et tangente ; interprétation cinématique.

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1 LEÇON N 47 : Courbes définies par des équaions paramériques dans le plan. Veceur dérivé e angene ; inerpréaion cinémaique. Pré-requis : Foncions R R : limies, coninuié, dérivabilié,... ; Norme d un veceur : noions élémenaires. On se place dans le plan affine euclidien oriené P muni d un repère orhonormé direc O, i, j Courbes planes définies par des équaions paramériques Définiion 1 : Éan données deux foncions f, g définies e coninues sur un inervalle I D f D g, on appelle courbe paramérée plane l ensemble Γ des poins M déerminés pour I par Le sysème es appelé sysème d équaions paramériques de Γ. OM = f ı + g j. { x = f y = g, I Inerpréaion cinémaique : Lorsque désigne le emps, M es la posiion du poin mobile M à l insan, e Γ la rajecoire de M. 47. Éude locale d une courbe paramérée Veceur dérivé e angene Soi 0 I fixé arbirairemen. Supposons que f e g soien de classe C sur I, de sore que la formule de Taylor à l ordre appliquée à f e g en posan d n M d n 0 = f n 0 i + g n 0 j

2 Courbes définies par des équaions paramériques dans le plan pour n = 1 e donne pour ou I\{ 0 : M 0 M = 0 d d M d M 0 M = 0 d d M d ε M 0 M 0 d 0 1 d M 0 d 0 + ε ε {{ E Définiion : Soien 0 I e v := M 0 le veceur défini par lim 0 v = lim 0 On le noe v 0 par commodié. M 0 M. On appelle veceur dérivé à la courbe Γ en 0 M 0 M 0 = d 0 = f 0 i + g 0 j. Remarque 1 : Lorsque d 0 0, la droie sécane M 0 M définie par M 0 e le veceur direceur v a pour limie quand 0 la droie définie par M 0 e le veceur direceur v 0. Ainsi, cela jusifie les définiions suivanes Poin régulier Définiion 3 : Soien Γ une courbe de classe C 1 sur I i.e. f, g C 1 I e 0 I. Le poin M 0 Γ es di régulier si d 0 0. Inerpréaion cinémaique : Le veceur /d 0 représene le veceur viesse insananée à l insan 0. Un poin régulier es donc un poin à viesse non nulle, e la angene à la rajecoire d un poin mobile en un poin régulier es dirigée par le veceur viesse. De même, le veceur d M/d 0 représene le veceur accéléraion insananée à l insan Éude au voisinage d un poin régulier M 0 Dans la suie, Γ désigne une courbe de classe C k k.

3 Courbes définies par des équaions paramériques dans le plan Poin birégulier Définiion 4 : Un poin M 0 Γ es di birégulier si Posons a 0 = donc d 0, d M d M d 0. Si v 0, a 0 es un sysème libre, alors on peu écrire ε = α v 0 + β a 0, avec lim 0 α = lim 0 β = 0, d 0 es un sysème libre. E M 0 M = α v β a 0. Dans le repère M 0, v 0, a 0, M a pour coordonnées X = α, du signe de 0 pour proche de 0 en effe, α 0 lorsque 0, e Y = β 0 pour proche de 0. D où l allure de la courbe Γ au voisinage d un poin birégulier M 0 : a 0 = d M d 0 Γ M 0 v 0 = d Poin d inflexion analyique Définiion : Un poin M 0 Γ es appelé poin d inflexion analyique si v 0 0 e v0, a 0 es un sysème lié. Pour ou n N, noons v n 0 = dn M d n 0 e, M 0 éan un poin d inflexion analyique, on noe encore q le plus pei enier el que v 0, v q 0 soi libre. Si q >, pour ou k {,...,q 1, v k 0 e v 0 colinéaires e donc v 0 0 k, λ k R v k 0 = λ k v 0. Comme précédemmen, on monre que M 0 M = 0 v D où l allure de la courbe selon la parié de q : q 1 λ k 0 k + α k! k= {{ q q! v q q!β. {{ 0 0 v q 0 v q 0 Γ M 0 v 0 Γ M 0 v 0 q impair q pair

4 4 Courbes définies par des équaions paramériques dans le plan Remarque : Lorsque q es impair, la courbe "raverse" sa angene, c es une inflexion géomérique Poin saionnaire Définiion 6 : Un poin M 0 Γ es di saionnaire si v 0 = 0. On associe au poin M 0 deux eniers p e q els que p soi le plus pei enier vérifian v p 0 0 e q le plus pei enier el que v p 0, v q 0 soi libre dans le plan vecoriel. Comme d habiude, on monre que dans le repère M 0, v p 0, v q 0, on a M = X,Y, où signe X = 0 p lorsque es proche de 0. D où les quare cas possibles : p! e signe Y = 0 q q! p pair p impair q impair M 0 M q pair M 0 M Rebroussemen de première espèce [ ] x =, y = 3 e pour [ 3 ; 3]. Rebroussemen de deuxième espèce [ x = 1 + 3, y = pour [, 6 ; 0, 4] ] ; [ ] 3. Inflexion x =, 3 e pour [ 0, 7 ; 1, ] ; ;

5 Courbes définies par des équaions paramériques dans le plan 4. Mépla [ x = 3, y = 6 pour [ 1, 17 ; 1, 17] ]. Inerpréaion cinémaique des cas 1 e : «Pour rebrousser chemin, il fau d abord s arrêer.» Nécessairemen, M 0 es un poin saionnaire. Remarque 3 : Les équaions des courbes ci-dessus on éé expliciées afin de pouvoir vérifier qu il s agi bien à chaque fois d un poin saionnaire : il suffi de calculer x e y e vérifier si elles s annulen bien en zéro Éude des branches infinies Soi I = [a,b[. Définiion 7 : On di que Γ défini sur I présene une branche infinie lorsque b si O éan un poin arbirairemen fixé dans P. lim OM = +, b Remarque 4 : Cee définiion ne dépend pas du choix du poin O. En effe, si O désigne un aure poin de P, alors l inégalié riangulaire nous assure que O M OO OM O M + OO limom = + limo M = +. b b Soien λ,p R e m R. Lorsque OM = f ı + g j, on a plusieurs cas à disinguer : f ± e g λ : Γ adme y = λ pour asympoe horizonale ; g ± e f λ : Γ adme x = λ pour asympoe vericale ; g/f + resp. 0 : Γ adme une branche parabolique parallèlemen à Oy resp. Ox ; g/f m : Γ adme y = mx pour direcion asympoique ; g/f m e, de plus, g mf p : Γ adme y = mx + p pour asympoe oblique ; Aures cas : On ne peu rien dire Exemple : épicycloïde à rois rebroussemens On considère le cercle fixe C f de cenre 0, 3, ainsi que le cercle mobile C m de rayon 1 roulan sur C f sans glisser. On repère un poin M sur C m e on éudie sa rajecoire en foncion du emps R. Le rese des noaions, noammen d angles, se rouve sur la figure ci-dessous :

6 6 Courbes définies par des équaions paramériques dans le plan Noons u = cos ı + sin j. Donc OM = OO + O M = 4 u + u ϕ. Or les deux arcs M0I e IM on la même longueur car C m roule sans glisser sur C f, donc 3 = α angles en radians!!. D où C f C m I O M α ϕ ϕ = ı, O M = ı, OO + OO, O O + O O,O M = + π + α = 4 + π. j O ı տ M0 C m D où OM = 4 u + u 4+π = 4 cos {{ cos 4 ı + 4 sin {{ sin 4 j. f g Remarques : OM + π = OM réducion de l inervalle d éude à [0, π]. fπ = f e gπ = g Γ es symérique par rappor à Ox réducion de l inervalle d éude à [0, π]. Le calcul de f e g donne alors les ableaux de variaions suivans : 0 π 3π π 3 π 0 π π 3 4π π f g f g On arrive ainsi à la représenaion graphique : O On a donc d = 0 3 = 8 sin d sin 3 = 0 = 0, π 3, 4π 3 u, mod π, ce qui nous donne rois poins saionnaires poins bleus sur le graphique qui son des rebroussemens de première espèce éan donnée l inerpréaion physique.

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