Exercices, dioptres sphériques et lentilles

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1 1 exercices, dioptres sphériques et lentilles Exercices, dioptres sphériques et lentilles 1 Lentille demi-boule Considérons une lentille demi-boule de centre O, de sommet S, de rayon R = OS = 5cm, et d'indice N= 1,5, plongée dans l'air d'indice n = 1 O N S 11 Dans l'approximation de Gauss, déterminez la position du foyer image F de cette lentille 1 La lentille est éclairée par des rayons parallèles à l'axe optique OS, à la distance R de celui-ci Le foyer image G de ces rayons ne coïncide plus avec F Déterminez l'aberration de sphéricité GF solution Lentille boule On rappelle la relation de conjugaison et l'expression du grandissement du dioptre sphérique avec origine au centre dans l'approximation de Gauss, pour le couple de point ' : n n' n n' =, C' C CS C' γ= C S est le sommet du dioptre, C son centre n est l'indice du milieu à gauche du dioptre et n' l'indice à droite La lumière se propage de la gauche vers la droite La lentille étudiée est une boule de verre de rayon R et d indice N, plongé dans l'air d'indice égale à 1 On veut montrer dans l approximation de Gauss qu elle est équivalente à une lentille mince N S 1 O S 1 Déterminez la relation de conjugaison de cette lentille boule et en déduire sa distance focale image f ' en fonction de R et N Donnez en la démontrant, l expression du grandissement γ de cette lentille On veut maintenant retrouver l expression de f ' directement à partir des lois de Descartes, toujours dans l approximation de Gauss On suppose donc H et S confondus et on identifie la tangente et le sinus d un angle à cet angle

2 exercices, dioptres sphériques et lentilles i I r r J i O H F 3 Déterminer les angles du triangle OJF en fonction de N et r 4 Déterminer la distance HF en fonction de R et N, puis la distance focale f' = OF' toujours en fonction de R et N Comparer avec le résultat obtenu à la question 1 solution 3 Constructions géométriques Construire les images des objets en utilisant la convention suivante : traits pleins pour les rayons lumineux réels, traits pointillés pour les rayons lumineux virtuels La lumière se propage de la gauche vers la droite F O F F O F solution 4 Lentille mince convergente 41 Formation d une image réelle L objet est situé à gauche du foyer objet - Quelles sont les caractéristiques de l image? Connaissez-vous une application courante d un tel dispositif? - Comment obtenir une image plus proche de la lentille? Plus grande? - La distance objet/écran D étant fixée, comment doit-on choisir la distance focale f de la lentille pour que l image de l objet soit nette sur l écran? Pour f donnée, combien y a-t-il de positions possibles pour la lentille? 4 Distance focale On obtient l image d un point par un dioptre sphérique de sommet S et de centre C, séparant deux milieux d indices n (à gauche) et n (à droite) par la relation : n' n n' n = S ' S SC Une lentille mince convergente est formée de l association de deux dioptres sphériques de rayons R 1 et R En utilisant la relation précédente, et le fait que la lentille soit mince, trouver l expression de la distance focale f en fonction de l'indice N de la lentille et des rayons R 1 et R 43 Loupe Rappeler le principe de fonctionnement d une loupe En déduire comment reconnaître facilement une lentille convergente Définir le grossissement et la puissance de la loupe solution 5 ssociation de deux lentilles 51 ssociation de deux lentilles convergente pproche géométrique

3 3 exercices, dioptres sphériques et lentilles - Construire géométriquement l'image '' de l'objet ( de hauteur l = 1 cm et placé à 4 cm devant O 1) à travers le système optique décrit sur la Figure, où f' 1 = f ' = 8cm et OO 1 = 4cm L 1 L O 1 O F ' F 1' Utilisation des formules de conjugaison - Reprendre la même démarche mais par le calcul Grandissement du montage - Exprimer le grandissement de ce montage 5 ssociation d'une lentille divergente et d'une lentille convergente accolée pproche géométrique - Construire géométriquement l'image '' de l'objet (placé à 16 cm devant O 1) à travers le système optique décrit sur la figure, où f' 1 = f ' = 8cmet OO 1 = 0cm L1 L F' 1 F O1 O F ' Utilisation des formules de conjugaison - Reprendre la même démarche mais par le calcul Grandissement du montage - Exprimer le grandissement de ce montage solution 6 berrations chromatiques, principe d un achromat On dispose de deux verres dont les indices sont donnés par le tableau suivant pour trois longueurs d ondes particulières λ Crown 1864 Flint C ,3 nm 1,5155 1, ,6 nm 1, , ,1 nm 1,5355 1,69607 Dans le crown 1864, on taille une lentille mince biconvexe de diamètre D = 8 cm Les rayons de courbures des faces sont R1 = 30cm et R 1' = 1,8m 61 Calculer (à l aide du résultat 4) la distance focale f 1 de cette lentille pour chacune des trois longueurs d ondes du tableau 6 Un faisceau de lumière blanche, cylindrique, parallèle à l axe optique de la lentille, recouvre toute la face d entrée Qu observe-t-on sur un écran placé au voisinage du foyer image "moyen" de la lentille? Evaluer la dimension minimale de la tache observée

4 exercices, dioptres sphériques et lentilles 4 63 On veut réaliser un doublet achromatique en accolant à L 1 une lentille mince L réalisée en flint C 813, de sorte que la distance focale du doublet ainsi constitué soit la même pour les deux longueurs d onde extrêmes du tableau Comment doit-on choisir L? Calculer sa distance focale ainsi que celle du doublet 64 Les faces en regard des deux lentilles ont le même rayon de courbure, soit 1,8 m Calculer le rayon de courbure de l autre face de L Solution solutions S 1 11 Dans l'approximation de Gauss, la relation de conjugaison d'un dioptre sphérique avec origine au sommet s'écrit : ( n n ) n n = S S SC S est le sommet du dioptre, C son centre n est l'indice du milieu à gauche du dioptre et n' l'indice à droite La lumière se propage de la gauche vers la droite Dans notre cas, est à l'infini On en déduit : 1 SF = R N 1 et : N OF = R N 1 pplication : OF = 15cm 1 R i I i r-i O H S G' r Dans le triangle OIH : Dans le triangle G'HI : HI tani = OH HI tan( r i) = HG

5 5 exercices, dioptres sphériques et lentilles Donc : Mais HI = R et : HI HI OG = OH + HG = + tani tan r i R 1 1 OG = + tani tan ( r i ) ( ) pplication : Puisque sini = 1 et D'après Descartes sinr = n sini, on déduit i = 30 et r = 48,59 Puis : OG = 11,8 cm l'aberration de sphéricité est : D'où : retour énoncé G F = OF OG GF = 3,cm S 1 L'image 0 de par le premier dioptre sphérique de sommet S 1 est donnée par la relation de conjugaison avec origine au centre : 1 N 1 N 1 N = = O O OS R 0 1 L'image ' de 0 par le deuxième dioptre sphérique de sommet S est donnée par la relation de conjugaison avec origine au centre : N 1 N 1 N 1 = = O O OS R 0 En sommant membres à membres ces deux relations, on obtient la relation de conjugaison d'une lentille mince : La distance focale image est donc : ( ) 1 1 N 1 = O O NR NR f = N 1 ( ) Les grandissements du premier et second dioptre sont respectivement : Le grandissement de la lentille boule est : O 0 O γ 1 = et γ = O O 00 γ = = = γ γ

6 exercices, dioptres sphériques et lentilles 6 et donc : O O 0 O γ= = O O O C'est le grandissement d'une lentille mince 3 Dans le triangle OJF' : 0 ( F OJ) =π i ( π r ) = r i, ( OJF ) Dans l'approximation de Gauss, i 4 Dans le triangle OHJ : Dans le triangle HF'J : Par conséquent : =π i, ( JF O) =π ( r i) ( π i) = i r = Nr et donc : ( FOJ ) = r( N), ( OJF ) =π Nr, ( JF O) = r ( N 1) JH sin r ( N) = r ( N) = R JH tan r( N 1) = r( N 1) = HF et : Rr ( N) = r ( N 1) HF, ( N) ( ) R HF = N 1 La distance focale f = R + HF est : NR f = N 1 ( ) Ce résultat est identique à celui de la question 1 retour énoncé

7 7 exercices, dioptres sphériques et lentilles S 3 ' F O ' F ' F ' O F retour énoncé S L'image est renversée car le grandissement est : O γ = = < 0 O Si est proche de F, O > O et γ < 1 L'image est agrandie L'application est l'utilisation d'une diapositive -Pour obtenir une image plus proche de la lentille, il faut éloigner l'objet En effet, la relation de conjugaison est : = avec p = O, p = O, f = OF p p f Si est loin de la lentille, 1pest petit, 1p est grand donc p petit et ' est proche de la lentille Inversement si est proche de la lentille, 1p est grand et 1p petit donc p grand et le grandissement en valeur absolue γ= p p aussi - écran O ' ' D

8 exercices, dioptres sphériques et lentilles 8 Nous pouvons écrire deux relations : = p p f et p p = D D et f sont fixés On a donc deux équations à deux inconnues p et p Cherchons p On élimine p et il reste : = p + D p f On obtient l'équation du second degré en p : p + Dp+ Df = 0 Son discriminant est : = D 4Df Si > 0, c'est à dire si D > 4 f, il existe deux positions possibles pour la lentille : D± D 4Df p = Expérimentalement, on mesure l'écart obtenir la valeur de f : d D 4Df = entre ces deux positions et on peut ainsi D d f = 4D C'est la méthode de essel, pour déterminer la distance focale d'une lentille 4 N C R S1 O S C 1 R 1 Pour une lentille mince, S 1 O S La position de l'image 0 de par le premier dioptre, est donnée par la relation de conjugaison : N 1 N 1 = O O OC 0 1 La position de l'image ' de 0 par le deuxième dioptre est donnée par la relation de conjugaison :

9 9 exercices, dioptres sphériques et lentilles 1 N 1 N = O O OC 0 On somme ces deux relations En notant OC1 = R1 et OC = R il vient : = ( N 1) + O O R R 1 La distance focale est : f = R R 1 ( N 1)( R + R ) 1 43 ' ' F F' Une loupe est une lentille mince convergente L'objet à observer est placé très près de F, à droite L'image virtuelle '' est agrandie C'est un moyen de voir que la lentille est convergente Sans loupe, est vu sous l'angle α α= d m α d m d m est la plus petite distance sous laquelle on peut voir l'objet net à l'œil nu On l'appelle le punctum proximum vec la loupe, '' est vu sous l'angle α supérieur à α ' ' α

10 exercices, dioptres sphériques et lentilles 10 La puissance de la loupe est : α P =, et le grossissement : retour énoncé S 5 51 α G = = Pd m α L1 L O 1 O F ' F 1' ' F1 F ' Pour une construction à l'échelle, on mesure O = 6cm La position de l'image 0 de par la lentille L 1 est donnée par la relation de conjugaison : O O = f On en déduit : O10 = 8cm La position de l'image ' de 0 par la lentille L est donnée par la relation de conjugaison : = O O f 0 Sachant que O 0 = 1cm on déduit O = 6cm Le grandissement s'écrit : vec γ = 0,5 et γ 1 =, on obtient : 00 γ = = = γ γ 1 γ = 1 0 0

11 11 exercices, dioptres sphériques et lentilles 5 L1 L F 1 0 F O1 O ' ' On commence par déterminer la position de l'image 0 de par la lentille L 1, puis on construit l'image ' de 0 par la lentille L Les lentilles sont accolées et donc O1 O O Pour une construction à l'échelle, on mesure O = 16cm La position de l'image 0 de par la lentille L 1 est donnée par la relation de conjugaison : O O = f 0 1 La position de l'image ' de 0 par la lentille L est donnée par la relation de conjugaison : O O = f 0 En sommant ces deux relations, on obtient : 1 O O = f + f On déduit O = 16cm Le grandissement s'écrit : O γ= = O 1 Et donc : retour énoncé S 6 61 γ = 1 R1 = 0,3m N R 1 = 1,8m

12 exercices, dioptres sphériques et lentilles 1 La distance focale image est : f = 1 R R 1 1 ( N 1)( R + R ) 1 1 On obtient après calcul pour les trois longueurs d'ondes : 6 λ= 656,3nm f = 49,88cm = f 1 1r λ= 587,6nm f = 49,64cm 1 λ= 486,1nm f = 49,11cm = f 1 1 f 1 f 1r r C f m La distance focale moyenne est : f1r + f1 fm = = 49,495cm Dans le triangle C, le théorème de Thalès permet d'écrire : r D = f f f 1r m 1r D'où : f1r fm r = D = 0,03cm f 1r Le diamètre minimum de la tâche observé est donc : d= r = 0,06cm 63 Les centres des deux lentilles sont confondus, donc : O1 O O Notons R et R les rayons de courbure des dioptres de L, N 1 l'indice de L 1 et N l'indice de L La position de l'image 0 de par la lentille L 1 est donnée par la relation de conjugaison :

13 13 exercices, dioptres sphériques et lentilles N1 1 = ( N1 1) + = O O R 1 R 1 r 1 0 ( r 1 est simplement introduit pour alléger les notations) La position de l'image ' de 0 par la lentille L est donnée par la relation de conjugaison : La somme de ces deux relations s'écrit : N 1 = ( N 1) + = O O R R r N 1 N 1 1 = + =, O O r r f 1 1 où f est la distance focale image du doublet Pour que les rayons bleus et rouges convergent au même point, il suffit que f ait la même valeur pour les longueurs d'ondes extrêmes, soit : On en déduit l'expression de r : ( ) ( ) ( ) ( ) N1 λ 1 N λ 1 N1 λr 1 N λr 1 + = + r r r r 1 1 ( λ ) N ( λ ) ( λ ) ( λ ) 1 N1 r 1 1 = r N N r r 1 On calcule avec les valeurs du tableau : 1 r 1 = 1, 469 m La distance focale image de L est : r f = N 1 Pour la valeur intermédiaire N = 1,68100 dans le flint, on trouve : f = 1m L est donc une lentille divergente La distance focale du doublet est telle que : = + f f f 1 Pour N1 = 1,51800, f 1 = 49,64cm Par conséquent : f = 0,96 m 64 La lentille L est collée à L 1, donc R = R 1 = 1,8m Et :

14 exercices, dioptres sphériques et lentilles 14 = + r R R Connaissant la valeur de 1 r, on obtient : R = 0,91m R N R N 1 L 1 L La lentille L est divergente, et comme R < R, on peut montrer facilement, en utilisant les relations de conjugaison des dioptres sphériques qu'elle est obligatoirement biconcave retour énoncé