L'INTÉRÊT COMPOSÉ. 2.1 Généralités. 2.2 Taux

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1 L'INTÉRÊT COMPOSÉ 2.1 Généralités Un capital est placé à intérêts composés lorsque les produits pendant la période sont ajoutés au capital pour constituer un nouveau capital qui, à son tour, portera intérêt. Cette addition des intérêts au capital s'appelle la capitalisation des intérêts. L'intervalle de temps entre deux capitalisations consécutives détermine la période de capitalisation. Le capital placé s'appelle le principal ou la valeur actuelle. La somme constituée par le capital placé et ses intérêts accumulés est la valeur acquise ou accumulé du capital. 2.2 Taux Le taux nominal. Taux annuel qui se capitalise plusieurs fois par année. Si on représente (c) le nombre de capitalisations dans l'année, on emploiera pour le désigner la notation: (i, c) Le taux périodique. Taux par période de capitalisation. Ainsi, l'on a le taux semestriel, le taux trimestriel, le taux mensuel, etc.; il sera représenté par la notation: (i/c) Le taux effectif ou annuel ou réel. Taux annuel qui ne se capitalise qu'une fois par année. Page - 1

2 2.3 Calcul de la valeur définitive d'un capital. PÉRIODES VALEUR DÉFINITIVE ==> n Page - 2

3 2.3.1 Le capital est capitalisé plus d'une fois dans l'année. On utilise le taux périodique et notre formule devient: S = P (1 + i/c) c x n i = taux nominal c = nombre de capitalisations n = nombre d'années Exemple: Quelle est la valeur définitive d'un capital de 1500 $ placé au taux de 14% capitalisé semestriellement pendant 6-1/2 ans? Page - 3

4 2.4 Calcul de la valeur actuelle d'un capital. La valeur actuelle d'une somme S payable dans n années, la somme P qu'il faut placer pendant n années au taux fixé pour obtenir la somme S.? < S O n O Démonstration: Page - 4

5 2.4.1 Application numérique Quelle est la valeur actuelle d'un capital de 500 $ exigible dans 5 ans 6 mois? Le taux nominal: 16% capitalisé trimestriellement. Page - 5

6 2.4.2 La durée du placement n'est pas égale aux périodes de capitalisation. Exemple: Un placement de 1 an 2 mois capitalisé semestriellement. ====> On calcule les intérêts composés pour le nombre entier de périodes et la différence se calculera selon la formule de l'intérêt simple. Page - 6

7 Application numérique pour la valeur définitive. Que devient au bout de 3 ans 5 mois une somme de $ placée à 15%? a) Intérêts composés. b) Intérêts simples. Page - 7

8 Application numérique pour la valeur actuelle. Une personne désire disposer dans 4 ans 8 mois d'une somme de $; combien doit-elle placer aujourd'hui au taux de 16 % capitalisé semestriellement? a) Intérêts simples b) Intérêts composés Page - 8

9 2.5 Taux équivalents et proportionnels Taux proportionnels On dit que deux taux sont proportionnels quand leur rapport est égal au rapport des durées de leur période de capitalisation respective. Le taux annuel 6% est proportionnel au taux semestriel de 3%. Le taux annuel 6% est proportionnel au taux mensuel de ½%. ===> 6% / 3% = 12 mois / 6 mois 6% / ½% = 12 mois / 1 mois Page - 9

10 2.5.2 Taux équivalents Ce sont des taux qui, correspondant à des périodes de capitalisations différentes, font acquérir des valeurs définitives identiques à un même capital pendant une même durée. ===> dans le cas des intérêts simples, les taux proportionnels seront en même temps équivalents. ===> Dans le cas des intérêts composés, les taux proportionnels seront différents des taux équivalents. Page - 10

11 2.6 Relation d'équivalence entre deux taux. Par définition, les taux i et i' sont équivalents si les valeurs acquises sont égales. ====> P ( 1 + i/c ) cn = P ( 1 + i'/c' ) c'n ====> ( 1 + i/c ) cn = ( 1 + i'/c' ) c'n ====> ( 1 + i/c ) c = ( 1 + i'/c' ) c' Exemple: Vous voulez investir $ pour 3 ans et l'on vous offre un taux de 16% capitalisé trimestriellement. Quel taux devrait-on vous offrir pour que ce soit également profitable si la capitalisation s'effectuait a) semestriellement b) mensuellement Page - 11

12 2.7 Le taux effectif Le taux équivalent qui ne se capitalise qu'une fois par an ( t ) ( 1 + i/c ) c = ( 1 + t ) Exemple Une personne vient d'emprunter d'une société de crédit. Le contrat, signé par les deux parties, stipule que le taux de crédit mensuel est de 2 1/3% ( 28% par année ) Page - 12

13 Autre exemple Georges a gagné $ à la Loto et il veut investir le fruit de sa chance de façon à toucher les intérêts une fois par année. Voici après enquête, les trois meilleures possibilités de rendement: 1- ( 17%, 4 ) 2- ( 17.3%, 2 ) 3- ( 16.88%, 12 ) Quel choix Georges doit-il faire et quel montant d'intérêt toucherat-il par année? Il s'agit de trouver le taux effectif le plus élevé. Page - 13

14 EXERCICES SUR LES INTÉRÊTS COMPOSÉS 1- Calculer, en tenant compte des intérêts composés, la valeur définitive d'un capital de: a) $, après 10 ans, au taux nominal de 15%. b) $, après 12 ans 6 mois, au taux nominal de 16% capitalisé semestriellement. c) $, après 5 ans 7 mois, au taux nominal de 13 % capitalisé mensuellement. 2- Calculer l'intérêt produit par un capital de: a) $, placé pendant 20 ans 7 mois, au taux de 15 % capitalisé mensuellement. b) $, placé pendant 7 ans 6 mois, au taux de 21% capitalisé semestriellement. 3- Un père de famille place à la naissance de son fils une somme de $ à intérêts composés à 12 % capitalisé trimestriellement. Quelle somme touchera le fils à l'âge de 21 ans? 4- Un capital de $ est resté placé pendant 12 ans à intérêts composés, au taux nominal de 18 % capitalisé mensuellement. Pendant combien de temps aurait-t-il fallu le placer à intérêt simple pour obtenir la même valeur définitive? 5- Un capital de $ a été placé à intérêts composés pendant 12 25% l'an. Quels sont les intérêts composés produits pendant Page - 14

15 les 5 dernières années? 6- Calculer à intérêts composés, la valeur actuelle de: a) $ exigibles dans 10 ans; taux: 15% l'an. b) 500 $ payables dans 3 ans 3 mois; taux: 16 % capitalisé trimestriellement. c) $ disponibles dans 5 ans 5 mois; taux: 17% capitalisé mensuellement. d) $ exigibles dans 12 ans 6 mois; taux: 24 % capitalisé semestriellement. e) 800 $ exigibles dans 15 mois; taux 15 % capitalisé mensuellement. 7- Quel est le capital qui, placé à intérêts composés pendant 5 ans 3 mois, a acquis la valeur de $, sachant que les intérêts ont été capitalisés à la fin de chaque trimestre au taux de 14 % l'an. 8- Sur une propriété qui est mise en vente, A offre $ payables au comptant; B, $ exigibles dans 5 ans; C, $ disponibles dans 8 ans. Quelle est la meilleure des trois offres? Le taux d'estimation est 16 % capitalisé semestriellement. 9- Une personne désire disposer à 50 ans d'un capital de $. Combien doit-elle placer aujourd'hui au taux de 18 % capitalisé semestriellement, sachant qu'elle est âgée de 25 ans? 10- Quelle somme faut-il placer pendant 10 ans au taux 16 % capitalisé trimestriellement pour disposer en fin de placement d'un capital de $? 11- Partager une somme de $ entre deux enfants âgés Page - 15

16 respectivement de 8 ans et de 14 ans, de telle sorte que chacun d'eux, ayant placé sa part à intérêts composés au taux 15 %. reçoice la même somme le jour de son 25 ième anniversaire. 12- Que devient, au bout de 4 ans 7 mois, un capital de $ placé à intérêts composés, sachant que les intérêts sont capitalisés tous les trimestres au taux nominal de 16 %? 13- Quelle est la valeur définitive d'un capital de $ pendant 5 ans 10 mois à 15 % capitalisé annuellement? 14- Trouver ce que devient un capital de $ placé pendant 7 ans 4 mois, les intérêts étant capitalisés chaque semestre au taux nominal de 14 %. 15- Quelle somme faut-il placer à intérêts composés à 14 % pendant 4 ans 3 mois pour obtenir $? 16- La somme de $ étant exigible le 20 mai 1991 on demande d'en déterminer la valeur le 20 septembre Le taux annuel d'évaluation est 25 % capitalisé semestriellement. 17- Quel est le taux nominal capitalisé semestriellement équivalent au taux effectif 15.5%? 18- Quel est le taux effectif équivalent au taux nominal de 16% capitalisé mensuellement? 19- Calculez le taux équivalent au taux semestriel 14 % et correspondant à une capitalisation faite tous les deux mois. 20- Quel est le taux nominal capitalisé mensuellement équivalent au taux nominal de 15% capitalisé trimestriellement? 21- Une personne ayant contracté un emprunt de 800 $ au taux nominal de 16 % capitalisé trimestriellement doit acquitter sa dette Page - 16

17 principal et intérêts, dans 5 ans. Déterminez le taux d'intérêt simple équivalent. 22- On vous offre la possibilité d'investir ,36 $ à un taux de 16 % capitalisé semestriellement pour une période de 7 ans 7 mois. Ailleurs on vous offre une capitalisation a) à tous les 2 mois. b) une fois par année. Quel taux faut-il pour que ce soit aussi profitable que la première offre? Page - 17

18 ANNUITÉS SIMPLES 3.1 Généralités Définitions Ce sont des sommes égales versées à des intervalles de temps égaux. C'est la périodicité des versements qui caractérise les annuités Classification des annuités D'après le terme de l'annuité. Annuités constantes: tous les termes sont égaux entre eux. Annuités variables: les termes sont inégaux D'après le nombre de termes. Annuités certaines: le nombre de termes est déterminé à l'avance. Page - 18

19 Annuités viagères: les termes sont payables pendant la vie d'une personne. Annuités perpétuelles: le nombre de termes est illimité D'après le moment où se fait le versement. Annuités de fin de période (généralement c'est le remboursement d'une dette). Annuités de début de période. (généralement c'est un placement) D'après la coïncidence des périodes de paiements et de capitalisation. Annuités simples: Annuités générales: la période de paiement est de même durée et coïncide avec la période de capitalisation. la période de paiement n'est pas égale à la période de capitalisation. Page - 19

20 3.2 Formule fondamentale des annuités de fin de période. L'annuité est dite de fin de période lorsque les termes échoient à la fin de chaque période de paiement. 1o terme 2e terme 3e terme n e terme / / Le calcul de base des annuités se fait à partir de la formule des intérêts composés Page - 20

21 Exemple numérique Calculer les valeurs définitive et actuelle d'une suite de termes de 100 $ payables à la fin de chaque année pendant 5 ans. Le taux d'estimation: 15%. Valeur définitive $ 100$ 100$ 100$ 100$ Valeur actuelle $ 100$ 100$ 100$ 100$ Page - 21

22 ==> il s'agit d'une progression géométrique S = y + y (1 +i) + y (1 +i) 2 +y (1 +i) 3 + y (1 +i) 4 ==> S = y [1 + (1 + i) + (1 + i) 2 + (1 + i) 3 + (1 +i) 4 ] la formule d'une progression géométrique est: S = a ( r n - 1 ) r -1 où: a = le premier terme de la progression = y =100$ r = la raison de la progression = (1 + i) n = le nombre de termes (5) ==> S = y (1 +i) n -1) = y [(i + i) n - 1] [(1 + i) - 1] i = 100 [(1 +.15) 5-1] = 674,2381 $.15 Page - 22

23 Pour simplifier l'expression [ (1 + i) n - 1] i on utilisera la symbolique S n i ====> V d = y S n i V d = 100 S 5.15 Utilisation de l'inverse S n i à partir de la formule V d = y S n i si on veut isoler y ====> y = Vd = V d x 1 S n i S n i ====> y = 674,2381 x 1 S 5.15 Page - 23

24 Etablissement de la formule de la valeur actuelle. On a vu que la progression géométrique pour la valeur définitive s'écrivait ainsi: (1 + i) n - 1 i ==> pour la valeur présente ce sera: 1- ( 1+i ) -n = A n i i ==> V p = y a n i ==> si on cherche y y = V P = V P x 1 a n 1 a n i Page - 24

25 3.3 Calcul de l'annuité lorsqu'il y a un versement irrégulier. Supposons un emprunt de $ à 12% capitalisé mensuellement sur une période de 36 versements. y = V P x 1 = 3000 x 1 A n i a = 3000 x = $ Supposons maintenant que le directeur nous demande de faire des paiements de 100 $ (c'est souvent la pratique) quel serait alors le montant du dernier versement? Page - 25

26 Si le versement est fait au début I 100$ 100$ 100$ < a < (1 +.01) = I (1 +.01) a (1+.01) = I ( ) (1+.01) = I ( ) I ( ) = I = 89.14$ Page - 26

27 3.4 Calcul de la dette restant à rembourser La méthode prospective Principe: Le capital restant à rembourser est égal à la valeur actuelle des paiements non encore effectués. Exemple: En achetant une maison, un homme accepte de verser 9000 $ comptant et 920 $ à la fin de chaque mois pendant 10 ans. Le taux d'emprunt est 18% capitalisé mensuellement. Déterminez: - la valeur de la maison - la dette restant après le 50e versement Page - 27

28 3.4.2 La méthode rétrospective > Solde de la dette après 50 versements = Valeur de la dette après 50 versements = ( ) 50 -[920 S (1+.015) 50 ] - Valeur cumulative des 50 versements effectués = , ,39 = 39702,48$ Page - 28

29 3.5 L'annuité différée Une suite de versements qui ne devient due ou payable qu'après une certaine période d'attente. Exemple: Calculer la valeur actuelle d'une suite de 9 semestrialités de 1300 $ différée de 4 ans. Le taux de 16% capitalisé semestriellement. 1ère méthode: Trouver la valeur actuelle et escompter cette valeur au temps 0. O-----O-----O-----O----- O-----O-----O------O--// O 0< ans > 4 ans < >8-1/2ans annuité de fin de période (1 +,08) -8 a 9.08 ===> V p = 1300 a 9,08 (1 +.08) -8 = Page - 29

30 2e méthode: Considérer l'annuité différée comme la différence entre deux annuités de fin de période, la première constituée de termes réels et fictifs, la deuxième de termes fictifs. termes fictifs termes réels termes réels et fictifs ==> V a l e u r présente de l'annuité différée = V a l e u r présente des versements fictifs + réels - V a l e u r présente des versements fictifs. ==> Vp = 1300 a a 8.08 = 11858, ,63 = 4387,50$ Page - 30

31 3.6 Annuités de début de période. 1- Valeur définitive o o o o //-----o o V d = (1+i) n V d = (1+i) n-1 V d = (1+i) n-2 V d = (1+i) n-3 V d = (1+i) n-4 V d = (l+i) n-5 Si on se refère à la page indiquant le raisonnement d'une annuité de fin de période, nous remarquons que chacun des versements porte intérêt une période de plus. =======> V d = V d + (1 + i) =======> V d = ys n i (1 + i) Page - 31

32 Exemple: On place au début de chaque mois, au taux de 15 $ capitalisé mensuellement une somme de 500 $ pendant 7-1/2. Quel capital obtiendra-t-on finalement? Page - 32

33 2- Valeur actuelle Le même principe s'applique à la valeur actuelle d'une annuité de début de période; on ajoute le facteur (1 + i) ===> V p = V p (1 + i) ===> V p = y a n i (1 + i) Pour assurer le remboursement d'une dette, un débiteur verse 100$ au début de chaque semestre pendant 5-1/2 ans. Calculer la dette si le taux d'emprunt est 16% capitalisé semestriellement. Attention: Mathématiquement les formules V d = y S n i (1+i) = y (S n+1 i - 1) V p = y a n i (1 + i) = y (a n-1 i +1) Page - 33

34 3.7 Utilisation de l'annuité pour déterminer la rentabilité d'un projet d'investissement. VAN La valeur actuelle nette consiste à trouver valeur présente des entrées monétaires additionnelles en relation avec un projet et en déduire l'investissement initial. =======> si VAN est positif on attent le rendement désiré. =======> si VAN est négatif on n'atteint pas le rendement désiré. =======> entre deux projets on choisit la VAN le plus élevé. Page - 34

35 Exemple: Une compagnie minière a le choix d'investir dans deux projets. Le projet A demande un investissement initial de $ et le projet B $. Voici les recettes nettes additionnelles anticipées pour ces deux projets. Année Projet A Projet B Le taux de rendement exigé par l'entreprise est 10% annuellement et les entrées se produisent à la fin de chacune des années. Page - 35

36 Conclusion: Le fait que les 2 projets aient une VAN négative signifie que l'entreprise n'atteindra pas un rendement de 10% avec ni l'un ni l'autre de ses projets. Par contre le projet B est plus rentable que le projet A. Page - 36

37 TRI Le taux de rendement interne d'un projet d'investissement est le taux d'intérêt (r) pour lequel la valeur présente des entrées monétaires additionnelles est égale au capital investi ou pour lequel VAN = 0 Pour trouver le (r) il faut utiliser la méthode par approximations sucessives si nous n'avons pas d'ordinateurs ou de calculatrices financières. Pour le projet A puisque la VAN est négative, le TRI sera <10%. Si on prend 5% Si on prend 0% a =? = , a = 0 Page - 37

38 3.8 Autre application financière: Achat ou location Lors de l'assemblée générale annuelle des actionnaires de la Cie AC, il a été voté à l'unanimité de procéder à l'acquisition d'un certain ordinateur afin d'informatiser le système comptable de la compagnie. A titre de vice-président aux finances, vous devez maintenant choisir entre les deux options qui se présentent pour procéder à l'acquisition de l'ordinateur: acheter ou louer. I - L'achat: En empruntant $ au taux de 18% capitalisé mensuellement, remboursable par versements mensuels sur une période de 5 ans. Au bout de 5 ans, la valeur de revente est estimée à $. II- La location: En payant, pendant 5 ans, à la fin de chaque mois la somme de 2850 $. Au bout de 5 ans, le locateur reprend l'ordinateur. Page - 38

39 Solution Achat, valeur actuelle nette (1 +,015) -60 = = ,56 Location, valeur actuelle nette Vp = 2850 a 60,015 = 2850 x 39, = ,77$ ===> l'option achat est plus économique de 3373,21$ Page - 39

40 EXERCICES SUR LES ANNUITÉS SIMPLES DE FIN DE PÉRIODE 1. Quelle est la valeur du capital constitué par des versements de 500 $ à la fin de chaque semestre pendant 12 1/2 ans? Le taux: 14% capitalisé semestriellement. 2. Une personne économise chaque mois une somme de 100 $ qu'elle place à la fin de chaque mois dans une société de capitalisation au taux 17% capitalisé mensuellement. De quelle somme disposera-telle au bout de 11 1/2 ans? 3. Une personne, qui a à débourser 300 $ à la fin de chaque six mois pendant 8 1/2 ans, désire s'acquitter en un seul paiement; quelle somme doit-elle verser immédiatement? Le taux d'intérêt est 20% capitalisé semestriellement. 4. L'acheteur d'une maison doit payer 5000 $ comptant et 3000 $ à la fin de chaque trimestre pendant 15 ans. Si le taux d'évaluation est 20% capitalisé trimestriellement, déterminez la valeur au comptant de la maison. 5. Quelle dette peut-on rembourser en payant 25 $ à la fin de chaque mois pendant 2 1/2 ans si le taux d'emprunt est 16% capitalisé mensuellement? 6. Une suite de versements périodiques accumulent 3500 $ au bout de 5 ans. Si le taux est 15% capitalisé trimestriellement, déterminez la valeur présente de ces versements périodiques. 7. Lors de l'achat d'une maison, une personne s'est engagée à payer $ comptant et 850 $ à la fin de chaque mois pendant 15 ans. Le taux d'emprunt est 16% capitalisé mensuellement. Calculez: Page - 40

41 a) la valeur de la maison b) la dette restant due après le 60e versement. 8. Un emprunt de $ a été contracté au taux 17% capitalisé semestriellement; on se propose de l'amortir par des semestrialités de 1000 $. Calculez la portion de la dette non amortie après 5 ans. 9. Une maison vaut $. L'acheteur paie 6000 $ comptant et remboursera le solde au moyen de 24 semestrialités de fin de période. Déterminez la semestrialité si le taux d'emprunt est 21% capitalisé semestriellement. 10. On emprunte 5000 $ à 18% pour 14 ans. On demande quelle somme il faudra à la fin de chaque année pour s'acquitter à la fois du capital et des intérêts. 11. Il y a 3 ans, vous avez emprunté 5000 $. Depuis la signature du contrat, vous avez versé 500$ à la fin de chaque semestre. S'il a été convenu de tenir compte du taux de 19% capitalisé semestriellement, déterminez la semestrialité de fin de période qui acquitterait le solde dans 2 ans? 12. L'acheteur d'une maison a le choix entre deux modes règlement: $ comptant $ comptant et 5 paiements annuels de $, le premier payable dans 4 ans. Compte tenu des intérêts composés à 15,5% l'an, indiquez le mode de règlement le moins onéreux. (Calculs). 13. Une personne a emprunté $ pour construire une maison. Compte tenu du taux 16% capitalisé trimestriellement, quelle somme doit-elle verser chaque trimestre pendant 10 ans pour rembourser sa dette. Page - 41

42 EXERCICES SUR LES ANNUITÉS SIMPLES DE DÉBUT DE PÉRIODE 1. Une personne verse 300 $ au commencement de chaque trimestre, pendant 10 ans, dans une caisse d'épargne qui crédite les intérêts au taux nominal 13% capitalisé trimestriellement. Quel capital pourrait-elle retirer: dans 10 ans? dans 7-3/4 ans immédiatement après le versement des 300 $? dans 5 ans immédiatement avant le versement de 300 $? 2. On a versé 150 $ au début de chaque mois pendant 10 ans dans une société de capitalisation qui tient compte du taux 14% capitalisé mensuellement. Les versements étant interrompus depuis 3 ans, combien doit-on toucher? 3. A quel taux nominal capitalisé trimestriellement emprunte-t-on si, pour rembourser un emprunt de $ contracté pour une durée de 5 ans on a convenu de verser 800 $ au commencement de chaque trimestre? Page - 42

43 ANNUITÉS GÉNÉRALES 4.1 Généralités Avec les annuités simples, nous avons supposé que les périodes de paiement étaient égales aux périodes de capitalisation. Mais il arrive fréquemment que la coïncidence n'a pas lieu; ainsi, les termes peuvent être payables chaque mois ou semestre alors que le taux est un taux effectif. Dans ce cas, puisque n le nombre de capitalisations dans l'année est différent de v le nombre de versements, des modifications s'introduisent dans chacune des formules précédemment établies. Page - 43

44 4.2 Approches pour calculer l'annuité générale La méthode du facteur de correction. Supposons qu'on place à la fin de chaque année 500 $. Les intérêts sont capitalisés à la fin de chaque semestre au taux de 10% l'an. Quel sera le capital constitué au bout de 15 ans. Raisonnement Le principe sera de convertir l'annuité générale en annuité simple et ensuite d'en exprimer une formule. Annuité générale 500 $ o o C = 2 6 mois 1 an V = 1 Annuité simple équivalente F F o o 6 mois 1 an Page - 44

45 Le raisonnement est de dire quel est le versement fictif qui, capitalisé deux fois, me donnera 500 $ au bout de l'année. Aussi si on applique notre formule d'annuité simple. Vd = y S n i ===> y (fictif) = Il y a donc une équivalence entre placé $ à tous les 6 mois et placé 500 $ par année capitalisé 2 fois. Page - 45

46 Si on cherche maintenant Vd pour 15 ans Si on cherche la valeur présente Page - 46

47 Cherchons maintenant les formules qui nous permettraient de trouver la valeur définitive et présente. Page - 47

48 4.2.2 La méthode de l'équivalence du taux. Cette méthode serait la plus facile à appliquer si on retrouverait le taux d'intérêt équivalent dans les tables, ce qui ne sera pas nécessairement le cas. Trouver le capital obtenu en plaçant à la fin de chaque mois, pendant 4 ans, une somme de 100 $ à 10% capitalisés semestriellement. Le principe est de dire: Quel est le taux d'intérêt capitalisé mensuellement, me donnerait 10 % capitalisé semestriellement. (1 +.10/2) 2 = (1 + i/12) 12 = (1 +.05) = (1 +i/12) 6 = /1.05 = 1 + i/12 = 1.008l = i/12 ==> i = 9,79782% La difficulté est que nous n'avons pas le taux de % dans les tables. ==> 2 choix: a) interpollation b) utiliser la formule au long Page - 48

49 a) Par interpollation Vd = y S n 1 Vd = 100 S ( % / 12) ==> on va chercher dans les tables S n i les taux d'intérêts entre.0075 et.01 pour n = l6485 x ==> 3.70l897 X = ==> x = = ==> Vd = 100 x = $ Page - 49

50 b) En utilisant la formule au complet. Vd = y S n i S n i = (1 + i) n - 1 i ==> Vd = 100 ( ) = $ c) Si on utilise le facteur de correction. (Avec des tables spéciales) Vdg = y x 1 x S n i S c/v i = 100 x 1 x S 8.05 S = 100 x x = $ Page - 50

51 4.3 Application de l'annuité générale à une hypothèque. On emprunte $ pour l'achat d'une maison. L'hypothèque est de 10% capitalisé semestriellement sur une période de 25 ans. Calculer les paiements mensuels qu'on devra verser à la fin de chaque mois. Page - 51

52 Si au bout de 10 ans le taux d'intérêt est révisé à 16%, quelle sera la nouvelle mensualité. Page - 52

53 4.4 Application de l'annuité générale à un problème de refinancement d'un immeuble. En 1980 une personne a acheté une maison de $ sur une période de 25 ans à un taux de 10% capitalisé semestriellement. En 1990, soit 10 ans plus tard, le propriétaire désire emprunter $. On évalue la maison à $. Considérant l'hypothèque résiduelle sur la propriété, le directeur de banque lui offre 2 possibilités: Page - 53

54 a) Refinancer au complet la balance de l'hypothèque et le prêt de $ à un taux nominal de 12% capitalisé semestriellement. b) Prêter en deuxième hypothèque le montant de $ à un taux de 16% capitalisé semestriellement. Page - 54

55 4.5 Application de l'annuité générale au calcul d'une rente temporaire différée. Un individu veut prendre sa retraite à 60 ans. Il veut accumuler un fonds qui lui permettra de recevoir une rente mensuelle de $ pendant 20 ans et ce, à compter du mois suivant son 60e anniversaire. Il investit à partir de son 30e anniversaire une série de versements annuels égaux jusqu'à son 59e anniversaire. Page - 55

56 Si le taux de rendement moyen au cours des 30 prochaines années est de 10% l'an, quel serait la valeur des versements annuels pour atteindre l'objectif fixé. Page - 56