CHAPITRE 14 : ARITHMETIQUE

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1 CHAPITRE 14 : ARITHMETIQUE I) LES DIFFERENTES TYPES DE NOMBRES. On distingue cinq types de nombres : Les nombres entiers naturels sont les nombres entiers positifs : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 Les nombres entiers relatifs sont les nombres entiers positifs et les nombres entiers négatifs : - 4 ; - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 Les nombres décimaux sont les nombres qui peuvent s écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule : 22-3,57 ; ; 7, sont des nombres décimaux. Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s écrire sous la forme a b avec a et b entiers relatifs, b 0 : ; 22 9 ; 0,7 sont des nombres rationnels. Les nombres irrationnels sont les nombres qui ne sont pas rationnels. π ; 2 sont des nombres irrationnels. Exemples : nombres entiers naturels nombres décimaux nombres rationnels nombres irrationnels Les nombres entiers naturels sont des nombres décimaux. Les nombres décimaux sont des nombres rationnels. Attention! Les nombres rationnels ne sont pas des nombres décimaux.

2 II) VOCABULAIRE DE L ARITHMETIQUE. 1) Multiples. Les multiples d un entier naturel a sont les nombres de la forme a n où n est un entier naturel. Exemple : 28 = 7 4 et 91 = 7 13 ; 28 et 91 sont des multiples de 7. Remarque : La liste des multiples d'un nombre non nul quelconque est toujours illimitée. Par exemple, les multiples de 6 sont : 0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ; 48 ; 54 ; 60 ; 66 ; 72 ; 78 ; 84 ; 90 ; 96 ; 102 ; On les obtient en multipliant 6 par tous les entiers naturels (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ). 2) Diviseurs. a et b étant deux entiers naturels avec b non nul. Lorsqu il existe un nombre entier naturel n non nul tel que a = b n, on dit que b est un diviseur de a. Exemple : 32 = 4 8 ; 8 est un diviseur de 32 ou encore 32 est divisible par 8. Remarques : 1 est un diviseur de tous les nombres. Tout nombre entier naturel non nul est un diviseur de 0. Si b est diviseur de a, alors a est multiple de b. 3) Nombres premiers. On dit qu un nombre entier naturel est premier lorsqu il possède exactement deux diviseurs différents : 1 et lui-même. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 sont des nombres premiers. Remarque : 1 n est pas un nombre premier car 1 n admet qu un seul diviseur égal à 1. 4) Division euclidienne. La division euclidienne de l entier a par l entier b ( b 0 ) est l opération qui permet de calculer le quotient entier q et le reste r tels que : a = bq + r ; 0 r < b. Exemple : = Dans la division euclidienne de 254 par 7, 2 le quotient est 36 et le reste est 2.

3 II) DIVISEURS COMMUNS A DEUX ENTIERS NATURELS. a et b désignent deux nombres entiers naturels non nuls. 1) Diviseur commun. Définition : Un diviseur commun à a et b est un nombre entier qui divise à la fois a et b. Exemple : diviseurs communs à 30 et 24. Les diviseurs de 30 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30. Les diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24. Les diviseurs communs à 30 et 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6. Remarque : 1 est un diviseur commun à tous les nombres entiers. 2) Plus grand commun diviseur. a) Propriété : Parmi tous les diviseurs communs à a et b, il en existe un qui est plus grand que les autres. On l appelle le Plus Grand Commun Diviseur ; on le note PGCD ( a ; b ). Exemple : PGCD ( 30 ; 24 ) = 6. b) Recherche du PGCD : l algorithme d Euclide. Propriété : Si r est le reste de la division euclidienne de a par b (avec a > b), alors PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; r ). Pour calculer le PGCD de a et b (avec a > b ), on utilise la séquence ordonnée d opérations décrites ci-dessous : Etape 1 : on effectue la division euclidienne de a par b. Etape 2 : on examine le reste r de cette division : - si r = 0, alors l algorithme s arrête et PGCD ( a ; b ) = b ; - si r 0, alors on recommence l étape 1 en remplaçant a par b et b par r.

4 Exemple : calcul du PGCD ( ; 322 ) = 322 x < = 112 x < 112 L algorithme s arrête lorsqu on 112 = 98 x < 98 trouve un reste nul. 98 = 14 x < 14 Le PGCD de 1078 et 322 est le dernier reste non nul trouvé. Donc : PGCD ( ; 322 ) = 14. 3) Nombres premiers entre eux. Définition : Lorsque PGCD ( a ; b ) = 1, on dit que les nombres a et b sont premiers entre eux. Exemple : diviseurs de 7 : 1 ; 7. diviseurs de 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12. PGCD ( 7 ; 12 ) = 1 ; donc 7 et 12 sont premiers entre eux. IV) FRACTIONS IRREDUCTIBLES. a et b désignent deux entiers naturels tel que b 0. 1) Définition. La fraction a b est dite irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux. Exemple : La fraction 7 est irréductible. En effet : PGCD ( 7 ; 13 ) = ) Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible. Propriété : En simplifiant la fraction a b par le PGCD ( a ; b ), on obtient une fraction irréductible. Remarque : Avant de calculer le PGCD, il est souvent préférable de simplifier la fraction à l aide de critères de divisibilité. Exemples : Rendre irréductibles et

5 30 18 = = 5 3 ; = et déterminons le PGCD ( 247 ; 323 ). 323 = 247 x < = 76 x < = 19 x < 19 Le PGCD de 247 et 323 est le dernier reste non nul trouvé. Donc : PGCD ( 247 ; 323 ) = 19. D où : 19 = : 19 =