Séries et intégrales généralisées - Approfondissement (2M261) Janvier-Juin Devoir Maison n o 1. ln 1 sh 1 sh t t sin(1/t 2 ) 1 +

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1 Universié Pierre e Marie Curie Licence de Mahéaiques Séries e inégrales généralisées - Approfondisseen (2M26) Janvier-Juin 25. Devoir Maison n o Exercice : Convergence e calcul d inégrales. Éudier la naure des inégrales suivanes (a) (b) ch cos 5/2 d ; ch cos (e d ; ) 5/2 (c) (d) 2. Monrer l exisence e calculer la valeur de ( ln sh sh sin(/ 2 ) ln( + ) ln d. ) d d ; (e) (Uiliser le fai que 2( ) es une priiive de /.) ln( + a ) b 3. Éudier la convergence de sin x x. (Considérer u n = nπ (n )π sin x x e uiliser l équivalen sin n x π/(2n).) n + d Exercice 2 : Foncion Bêa d Euler converge Déeriner l enseble des réels x, y els que l inégrale suivane B(x, y) = x ( ) y d Exercice 3 : Inégrales ellipiques. Monrer que les inégrales I(k) = ( x 2 )( k 2 x 2 ) Soi k ] ;[ un nobre réel. e J(k) = x 2 ( x 2 )( k 2 x 2 ) son convergenes. (Indicaion : rouver un changeen de variable convenable en reconnaissani().) 2. Dans cee quesion, on donne une inerpréaion géoérique des quaniés I(k) e J(k) quand k. Onfixe <b a deux réels e on considère l ellipse E d équaion x 2 a 2 + y2 b 2 =. Monrer que la longueur de E es 4a (I(k) k 2 J(k)) où k = b 2 /a 2 es l excenricié de E. 3. Monrer que la série enière π 2 ( ) 3 (2 ) 2 k valable pour ou enier nau- converge e que sa soe vau I(k). (On pourra prouver e uiliser la forule sin d = π 2 rel pair.) 3 ( ) 2 4

2 Exercice 4 : Quelques quesions héoriques sur les foncions inégrables. Soi f :[, + [ R une foncion de classe C. (a) On suppose que f e f son inégrables sur [, + [. Monrerque li f(x) =. (b) On suppose ainenan que f 2 e f 2 son inégrables sur R +.Monrerquef ade une liie en + e la déeriner. 2. On considère cee fois une foncion f : R + R décroissane e inégrable sur R +. (a) Monrer que li f(x) =. (b) Monrer que li xf(x) =. (c) Donner un exeple de foncion coninue définie de R + dans R +,inégrablesurr + ais qui n ade pas de liie en +. 2

3 Quelques précisions e indicaions pour l exercice 3 du DM n o Quesion 2 Lorsque f es une foncion de classe C sur un inervalle I, alorspourousa, b I avec a b, la longueur de la courbe {(x, f(x)) x I} forée par le graphe de f enre les poins de coordonnées (a, f(a)) e (b, f(b)) es donnée par la forule L a,b (f) = b a +(f (x)) 2 En rearquan que l on peu donner l équaion de la parie de l ellipse dans le dei-plan supérieur {y } sous la fore y = f(x), rerouverlerésulaaendu. Quesion 3 Par définiion, on noe pour ou réel α e ou enier naurel ( ) α α (α ) (α +) =! Pour résoudre la quesion, on pourra déeriner, pour α R, lerayondeconvergencedelasérie ( ) α e onrer que cee série enière converge uniforéen sur les inervalles copacs de], [ vers la foncion P α : ( + ) α en calculan ( + x)s (x) pour x ] ;[,oùs es la soe de la série. On pourra ensuie appliquer ce résula aux foncions qui son inégrées pour définir I(k) e J(k). 3

4 Corrigé du Devoir Maison n o Correcion de l exercice. (a) La foncion f es coninue sur ]; + [ e On appelle f l inégrande des inégrales considérées. f() = + 2 /2 ( 2 /2) + o ( 2 ) 5/2 qui es inégrable en d après le crière de Rieann donc f converge. Puis on a ch + e /2 donc f() + e 5/2 /2 qui es d inégrale divergene donc f diverge e par suie R + f diverge. (b) La foncion f es coninue sur R +.Coee on a f() /2 qui es inégrable en e vu f() + e /(2e 5/2 ) = e 3/2 /2 inégrable en + on en dédui que R f + converge. (c) On a sh =(e e )/2 e sh () =ch =(e +e )/2 > pour ou réel e par suie sh es sriceen croissane sur R donc pour ou > on a sh /sh >. Ilenrésulequela foncion f es définie e coninue sur ] ; + [ e pour ou x> on a pour = x + sh =sh(x +)=shx ch + sh ch x sh sh = ch x +shx ch / sh = ch = x +x ch / sh + o (x) sh + x Cela onre que f() =ln ( ( ) ch ) sh + o ( ) =ln(ch/ sh + o ()) + ln( ) ce qui prouve que f es inégrable en. On a ensuie pour + ( f() =ln sh ) sh 2sh e sh sh ce qui éabli l inégrabilié de f en +. Finaleenl inégraleconverge. (d) La foncion f es coninue sur R +.Deplus f() ln( + ) o (x) x donc f() = O ( /2 ) ce qui onre l inégrabilié en. Puisl inégalié sin x x onre que f() 3/2 ln( + ) = o + ( 3/2 ) ce qui éabli l inégrabilié en + donc f es inégrable sur R +. (e) La foncion f : ln( + a ) b es coninue sur R + pour ou couple (a, b) R2.Plusieurs cas se présenen suivan les valeurs de a e b. Tou d abord éudions le coporeen en : si a> alors f() a b qui es inégrable si e seuleen si b a< (Rieann) ; si a =alors f() =ln2 b es inégrable si e seuleen si b< (Rieann) ; 4

5 si a< alors f() a b ln es inégrable si e seuleen si b< (inégrale de Berrand). Puis éudions le coporeen en + : si a> alors f() + a b ln qui es inégrable si e seuleen si b> (inégrale de Berrand) ; si a =alors f() =ln2 b es inégrable si e seuleen si b> (Rieann) ; si a< alors f() + a b es inégrable si e seuleen si b a> (Rieann). En conclusion l inégrale converge si e seuleen si +a<b< ou <b<a+. 2. La foncion f : ln /( ) es coninue sur ] ; [. Onaf() ln qui es inégrable. Puis f() donc f ade une liie finie à savoir en. Onendéduique f converge. La foncion G : x 2( x ) es une priiive de g : x / x de sore que pour ous <a b< on a b f = [ 2( ) ln ] b b a +2 d a Le C difféoorphise u : de ] ; [ dans lui-êe pere de faire le changeen de variable = u 2 pour fournir b a d = b u ( 2u du) = a u2 b a En faisan a e b on obien ln d =4(ln2 ) a 2u +u du =[2u 2ln(+u)] b a 3. Coe π<4, sin x pour ou x e que a a es décroissance sur ]; ], ona e par suie n x [(n )π; nπ] sin x x sin x 4n n u n nπ (n )π sin x 4n = π sin x 4n =2 sin x 4n L équivalen rappelé dans l énoncé onre alors que u n diverge. Or n k= u k = nπ sin x x pour ou n donc cela onre que l inégrale sin x x diverge. Correcion de l exercice 2 On fixe x, y > dans la suie ainsi que la foncion f : x ( ) y. Cee foncion es posiive e coninue sur l inervalle ], [. On a f() x e d après le crière de Rieann, la foncion de signe consan x es inégrable en si e seuleen si x > c es-à-dire x> de la êe anière f() ( ) y es inégrable en si e seuleen si y>. Si l on souhaie direceen onrer la divergence de B(x, y) pour x< par exeple on peu inorer de la façon suivane ε f()d /2 ε f()d (/2) y /2 Pour x =la priiive es ln donc la inoraion es ε ε x d =(/2) y x (2 x ε x ) ε f()d 2 y (ln(/2) ln ε) 5

6 Correcion de l exercice 3. Soi k ] ;[.OnnoequeI() es une fore connue. Si l on ne se rappelle pas de la priiive on peu, pour la calculer, uiliser le changeen de variable x =sinϕ. Cecinousdonnedefaçon forelle : x 2 =dϕ. Donc arcsin = x 2. L idée es claire ainenan ; on passe à la preuve. On peu uiliser le héorèe de changeen de variable : Soi X [ ; π/2[. Lafoncionsin es de classe C sur [ ; X]. Lehéorèedechangeendevariable peu donc êre appliqué e en posan x =sinϕ on a (noer que cos ϕ> pour ϕ [ ; X]) X arcsin X ( x 2 )( k 2 x 2 ) = dϕ k 2 sin 2 ϕ. Coe k 2 sin 2 ϕ k pour ϕ [,π/2], onendéduique/ k 2 sin 2 ϕ / k 2 de sore que la foncion θ : ϕ / k 2 sin 2 ϕ es coninue sur [ ; π/2] car k ], [ e donc θ es inégrable sur [ ; π/2] ce qui onre, en faisan X que l inégrale I(k) es convergene. 2. Le êe changeen de variable s applique pour J(k), ou alors on peu sipleen vérifier que x ] ; [ x 2 ( x 2 )( k 2 x 2 ) ( x 2 )( k 2 x 2 ) On en dédui la convergence de J(k) en uilisan la convergence de I(k). 3. On considère la foncion f :[ a, a] R, x b 2 (b/a) 2 x 2. Il es clair que la resricion de f à ] a, a[ es de classe C e que le graphe de f es la parie coprise dans le dei-plan y de E. Pourcalculerlalongueur,onuiliselaforuledonnanla longueur enre les de E d abscisses e s ],a[, Un calcul direc donne L(s) = = = L(s) = L(s) = +f (x) 2. a 4 (a 2 b 2 )x 2 a 2 (a 2 x 2 ) a 2 k 2 x 2 a 2 x 2 a 2 k 2 x 2 (a 2 x 2 )(a 2 k 2 x 2 ) a 2 k 2 x 2 a 2 ( x 2 /a 2 )( k 2 x 2 /a 2 ). On effecue le changeen de variable affine (e donc licie) az = x. Ilfourni a 2 k 2 x 2 a 2 ( x 2 /a 2 )( k 2 x 2 /a 2 ) = a 2 k 2 a 2 z 2 a 2 ( z 2 )( k 2 z 2 ) a dz.. il n y a pas de héorèe de changeen de variable pour les inégrales généralisées dans le cours, e en pariculier pas d arguen de C difféo : il fau se raener à un segen e faire endre les bornes d inégraion vers les bornes de l inégrale 6

7 D où : /a L(s) =a dz s/a ( z 2 )( k 2 z 2 ) ak2 Il sui, en faisan s a, quelalongueurdel ellipsees 4a ( I(k) k 2 J(k) ). z 2 ( z 2 )( k 2 z 2 ) dz. 4. Soi α R. Siα N alors ( α ) es nul pour >αe on rouve que la série converge pour ou réel e sa soe es la foncion polynôiale α ( α = ) =(+) α d après la forule du binôe de Newon. Mainenan si α R \ N on a ( α ) pour ou enier naurel e la règle de d Aleber fourni alors ( ) N α / ( ) α α = + + n + ce qui onre que la série a un rayon de convergence R =.SasoeS es de classe C sur ] ;[ e dérivable ere à ere à ou ordre sur ] R ; R[ en pariculier on a pour ou x ] ;[ ( + x)s (x) = = + = + = ( + x)s (x) =αs(x) [ ( α ( +) ) ( ] α x + )x + ( ) α (α + ) x Il en résule que S e P α vérifien la êe équaion différenielle y = αy/( + ) sur l inervalle ] ;[ avec la êe condiion iniiale y() =. Cesdeuxfoncionssondoncégalessur] ;[. Enfin, oue série enière convergean uniforéen sur ou inervalle feré inclus dans son disque de convergence, on en dédui la convergence unifore de la série vers P α sur les inervalles copacs de ] ;[. On écri ensuie I(k) = dϕ k 2 sin 2 ϕ. e on développe l inégrande en série enière. On sai que pour ou réel α la série ( α ) converge uniforéen sur les inervalles copacs de ], [ vers P α : ( + ) α.ilsuiquela série ϕ ( ) α ( k 2 sin 2 ϕ) converge uniforéen vers ϕ ( k 2 sin 2 ϕ) /2 sur [,π/2]. Onpeudoncappliquerlehéorèe du cours e inerverir les syboles Σ e pour obenir Mainenan, on prouve la forule ( k 2 sin 2 ϕ ) /2 + ( /2 π/2 dϕ = )( k 2 ) sin 2 ϕ dϕ. = sin 2 d = π 2 3 (2 )

8 Une inégraion par paries (les foncions en jeu son de classe C sur l inervalle [,π/2]) onre que pour ou I 2 = sin 2 d = sin 2 2 ( cos 2 )d [ = I 2 2 cos sin2 2 I 2 = I I 2 ] π/2 2 sin sin 2 d On en dédui que I 2 =(2 )/(2)I 2 2.Laforulerésulealorsd unerécurrenceiédiae car sin d = π/2. Mais pour ou enier naurel, ( ) /2 Par conséquen, I(k) = π 2 Correcion de l exercice 4 ( ) /2 + = =( ) /2 +/2 +/2 =( ) ( ) 2 3 (2 ) =( ) ( 3 (2 ) Soi f :[, + [ R une foncion de classe C. ) 2 k 2 = π 2 + = ( ) (2)! (!) 2 k 2 (a) Puisque f es de classe C le héorèe fondaenal du calcul inégral pere d écrire : x [, + [ f(x) f() = f ()d. Or f es inégrable sur [, + [ donc x f converge en + e par conséquen f aussi, avec plus pariculièreen li f(x) =f() + f R + Coe f es inégrable en +, la liie ne peu êre que (cours). (b) L inégalié ab (a 2 + b 2 )/2 valable pour ous réels a, b e appliquée à f e f onre que la foncion ff es inégrable sur [, + [. Deplus x R + 2f()f ()d = f 2 (x). Donc, f 2 converge (vers 2 R + ff )en+. Coelafoncionf 2 es inégrable, cee liie ne peu êre que nulle. 2. On considère cee fois une foncion f :[, + [ R décroissane e inégrable sur [, + [ (en pariculier coninue par orceaux...). (a) Puisque f es décroissane on a : x R + x f()d f(x) + x f()d. 8

9 Or, + x f()d = + f()d f()d. Coe on sai que l inégrale de f sur [, + [ converge, il s ensui que De êe, Par encadreen, + x f()d x f()d f()d. li f(x) =. f()d =. Rearque : On aurai aussi peu dire que, par décroissance, f ade une liie. Son inégrabilié oblige cee liie à êre finie e nulle. (b) Puisque la foncion f décroi vers, elle es posiive.de plus, On en dédui ainsi que x 2 f(x) x/2 li xf(x) =. f()d. (c) On consrui une foncion f définie sur [, + [, posiive,inégrable e qui n ade pas de liie. Soi f définie par les condiions suivanes x [, 2[ f(x) = n 2 x si x [, /n 2 [; n N \{;} x [, [ f(x + n) = n 2 (2/n 2 x) si x [/n 2, 2/n 2 [; sinon. Cee foncion es bien coninue sur [, + [. Deplus,pouroueniern 2, n n f(x) = k= k+ k n f(x) = k= f(k + x) = n k= k 2 π2 6. Coe f es posiive, on en dédui qu elle es inégrable sur [, + [. Orellen adepasde liie en + car elle prend une infinié de fois la valeur e une infinié de fois la valeur. 9