1 Espaces probabilisés discrets

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1 I.S.F.A. L3 (1ʳe année) 1 Espaces probabilisés discrets Probabilités, fiche d exercices n 1 Exercice 1 On cherche à modéliser le lancer de deux dés à six faces, un rouge et un noir. Voici trois modèles : 1. On prend Ω 1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. L élément (i, j) Ω 1 représente l éventualité «le dé rouge montre le nombre i et le dé noir le nombre j». 2. On prend Ω 2 = {(i, j), i, j {1,..., 6}, i j}. L élément (i, j) Ω 2 représente l éventualité «les deux dés montrent les nombres i et j». 3. On prend Ω 3 = {2, 3, 4,..., 12}. Ici, i Ω 3 représente l éventualité «la somme des deux dés est i». Pour chacun de ces modèles, déterminer la probabilité qu il convient de mettre sur l univers choisi pour que le modèle corresponde bien à notre expérience. Dire, pour chacun des modèles, si A, B, D sont des événements, et, dans l affirmative, les écrire comme sous-ensemble de l univers et donner leur probabilité : A = «la somme des deux dés est 4», B = «le dé noir a donné 1», C = «les deux dés ont donné 1 et 3». Exercice 2 Un parking contient douze places alignées. Huit voitures s y sont garées au hasard, et l on observe que les quatre places libres se suivent. Est-ce surprenant? Exercice 3 Soient E un ensemble et (A n ) n N une suite de parties de E. On pose, pour tout m N, Démontrer les assertions suivantes. S m = n m A n, T m = 1. (T m ) (resp. (S m )) est croissante (resp. décroissante). 2. lim sup A n lim inf A n. 3. lim sup(a c n) = (lim inf A n ) c. 4. lim inf(a c n) = (lim sup A n ) c. 5. P (lim inf n A n ) lim inf n P (A n ). 6. P ( lim sup n A n ) lim supn P (A n ). Exercice 4 Dans un jeu de loto, un numéro est tiré au hasard parmi les entiers de 0 à 999. Quelle est la probabilité p de gagner en misant sur un numéro? la probabilité p de gagner en misant sur deux numéros pour le même tirage? En jouant à une machine à sous, on gagne avec probabilité p à chaque fois que l on tire la manette. Quelle est la probabilité de gagner quelque chose en jouant deux fois? Exercice 5 Dans un groupe de n personnes, quelle est la probabilité p n pour que les anniversaires de deux au moins d entre eux tombent le même jour? À partir de combien de personnes cette probabilité dépasse-t-elle 1/2? n m A n.

2 Exercices hors fiche de TD Exercice 6 1) Soit (Ω, P) un espace probabilisé. Montrer que l on peut calculer la probabilité de n importe quel événement à partir des probabilités p ω = P({ω}) des seuls événements élémentaires. 2) Soit Ω un univers dénombrable ou fini, et (p ω ) ω Ω une collection de réels positifs ou nuls tels que p ω = 1. ω Ω Montrer qu il existe une unique probabilité P sur Ω telle que P({ω}) = p ω ω Ω. Exercice 7 Soit (E, P) un espace probabilisé et {A n } n 1 une suite croissante d événements. On pose B 1 = A 1, et, pour tout n 2, B n = A n \A n 1. 1) Écrire les probabilités de A n et de i 1 A i sous la forme de sommes de probabilités des B i. 2) En déduire que P ( + n=1 A n ) = lim n + P(A n). Exercice 8 On lance deux dés non pipés. Calculer la probabilité des événements suivants : A : Obtenir au moins un six. B : Obtenir au moins un numéro pair. C : La somme des numéros obtenus est égale à six. D : La somme des numéros obtenus est paire. Exercice 9 Jojo cherche à investir sur la place boursière de Jojoville. Étant donnée sa méconnaissance de la bourse et des entreprises, il demande à 9 de ses amis, plus compétents que lui, de lui dire quelle est l action parmi les 40 actions composant l indice Crack40 qui selon eux a le plus d avenir. Il obtient deux réponses favorables à l action JojoMobiles, et sept réponses pour sept autres actions, toutes différentes les unes des autres. À votre avis, cette double réponse pour JojoMobiles est-elle significative? Les réponses des amis de Jojo vont-elles l aider dans son choix? Exercice 10 On cherche à modéliser le lancer d un dé à six faces. Voici trois modèles : 1. On prend Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. L élément i Ω représente l éventualité «le dé s est arrêté sur le numéro i». 2. On prend Ω = {a, b, c}. Ici, a représente l éventualité «le dé s est arrêté sur le numéro 1 ou 2», b «3 ou 4», et c «5 ou 6». 3. On prend Ω = {ω 1, ω 2, ω 3 }. Ici, ω 1 représente l éventualité «le dé s est arrêté sur le numéro 1 ou 2 ou 3», ω 2 «4 ou 5», et ω 3 «6». Pour chacun de ces modèles, déterminer la probabilité qu il convient de mettre sur Ω pour que le modèle corresponde bien à notre expérience. Dire, pour chacun des modèles, si A, B, C et D sont des événements, et, dans l affirmative, les écrire comme sous-ensemble de Ω et donner leur probabilité : A = «le nombre obtenu est inférieur ou égal à 4» B = «le nombre obtenu est 6» C = «le nombre obtenu est 1 ou 2» D = «le nombre obtenu est pair»

3 Exercice 11 On considère Ω 1 = {1, 2,..., 10} et Ω 2 = N. Peut-on construire une probabilité sur Ω 1 telle que toutes les éventualités aient même probabilité? Et sur Ω 2? Décrire un ensemble probabilisé permettant de modéliser les expériences suivantes : On tire une carte au hasard parmi un jeu de 32 cartes. On choisit un entier au hasard.

4 I.S.F.A. L3 (1ʳe année) Probabilités, fiche d exercices n 2 Exercice 6 Soit (E, P) un espace probabilisé et {A n } n 1 une suite d événements. 1) Montrer que ( + ) + P A n P(A n ). 2) Démontrer que + n=1 n=1 n=1 P(A n ) < + = P(lim sup A n ) = 0. n Remarque : Ce résultat porte le nom de lemme de Borel-Cantelli. Exercice 7 L engin spatial StarJojo s éloigne de la terre à vitesse constante. Il envoie un message toutes les secondes, mais son système gyroscopique est défectueux et le message est envoyé dans une direction aléatoire, de telle sorte que la probabilité qu un message envoyé d une distance r de la terre arrive à la station de réception sur terre est proportionnelle à 1/r 2. Montrer qu il existe presque-sûrement un moment à partir duquel la station de réception ne recevra plus jamais aucun message en provenance de StarJojo. 2 Probabilités conditionnelle et indépendance Exercice 8 On distribue (après les avoir bien mélangés) N billets à gratter à des revendeurs, parmi lesquels une proportion p est gagnante. Jojo achète deux billets. On note A l événement «le premier billet est gagnant», et B l événement «le deuxième billet est gagnant». Déterminer la probabilité des événements A et B. Calculer P (A B). Les événements A et B sont-ils indépendants? Observer l évolution du défaut d indépendance de A et B lorsque N tend vers l infini, p restant constant. Exercice 9 Les services marketing de la société d assurance automobile JojoTranquile ont mis au point un questionnaire pour dépister les «conducteurs imprudents» (cette catégorie rassemble en fait tous les assurés déclarant au moins trois sinistres au cours d une année, et on a estimé qu ils représentent 2 % de la population), et éventuellement refuser de les assurer. Depuis plus d un an, on a demandé à tous les assurés de le remplir. Les résultats sont les suivants : parmi les conducteurs imprudents assurés à JojoTranquile, 95 % auraient été dépistés par le questionnaire. parmi les autres, 4 % auraient tout de même été déclarés imprudents à cause du questionnaire. En énonçant ces résultats, le responsable de ce projet, M. Question, se félicite du travail accompli par son équipe. Lorsqu un client potentiel, remplissant le questionnaire, est déclaré imprudent par la procédure mise au point par M. Question, quelle est la probabilité qu il soit réellement imprudent? Pensez-vous qu il soit souhaitable d utiliser les conclusions du questionnaire pour exclure préventivement de nouveaux clients? Exercice 10 Jojo fait du ski à la station «Vallées blanches». Il est en haut du téléski des Cailloux, et a le choix entre les pistes de Tout-Plat (une bleue), Les-Bosses (une rouge) et Rase-Mottes (une noire). Il va choisir une de ces trois pistes au hasard, de telle façon qu il choisisse la bleue ou la noire avec probabilité 1/4, et la rouge, qu il préfère, avec probabilité 1/2. Il descend ensuite la piste choisie. Jojo n est pas encore très à l aise cette saison, et il tombe avec une probabilité de 0,1 sur la piste bleue, de 0,15 sur la piste rouge, et de 0,4 sur la piste noire.

5 1) Soit A = «Jojo tombe en decendant la piste qu il a choisie». Calculer P(A). 2) Bernard, qui attend Jojo en bas des pistes, à la terrasse d un café, voit arriver Jojo couvert de neige : il est donc tombé. Sachant cela, quelle est la probabilité qu il ait emprunté la piste noire? Exercice 11 On lance un dé à six faces truqué : ce dé donne deux fois plus souvent de cinq et de six que les autres chiffres. Construire un espace probabilisé qui modélise un lancer de ce dé. Construire un autre espace probabilisé qui modélise cinq lancers de ce dé. Construire un autre espace probabilisé qui modélise une infinité de lancers de ce dé. Question 1 On considère un espace probabilisé (Ω, P) et A et B deux événements de probabilité non nulle. A et B sont indépendants si et seulement si P (B A) = P(A) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A) P(B) P (B A) = P (A B) P (A B) = P(A) Question 2 Soit (Ω, P) un espace probabilisé discret et A, B et C trois événements de probabilité non nulle. On note P C la probabilité sur Ω définie par P C (E) = P (E C) pour tout E Ω. Pour chaque propriété ci-dessous, cocher la case correspondante si elle suffit à montrer que A et B sont indépendants pour P C. A et B sont tous deux indépendants de C pour P A, B et C sont mutuellement indépendants pour P A, B et C sont deux à deux indépendants pour P A et B sont indépendants pour P Question 3 Soit (Ω, P) un espace probabilisé discret, et A et B deux événements. Alors : Si P(A) 1/2 et P(B) 1/2, alors P(A B) 1/4 Si P(A) 1/2 et P(B) 1/2, alors P(A B) 1/4 Si P(A) = P(B) = 1, alors P(A B) = 1 Question 4 Considérons deux événements A et B. Que peut-on affirmer en toute généralité? Si A et B sont incompatibles, alors ils sont indépendants Si A et B sont incompatibles, alors ils ne sont pas indépendants Si A et B sont indépendants, alors ils sont incompatibles Si A et B sont indépendants, alors ils ne sont pas incompatibles Question 5 Soit (Ω, P) un espace probabilisé discret, et A et B deux événements. Alors : Si A B = Ω, alors P(A) P(B) = 1 Si A B =, alors P(A) P(B) = 0 Si A B = Ω, alors P(A) + P(B) = 1 Si A B = Ω, alors P(A) + P(B) 1

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7 I.S.F.A. L3 (1ʳe année) 3 Éléments aléatoires Probabilités, fiche d exercices n 3 Exercice 12 On choisit un nombre N au hasard entre 1 et 4, puis un nombre X au hasard entre 1 et N. Quelle est la loi de X? Exercice 13 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, de même loi, telles que P [X = 0] = P [Y = 0] = P [X = 1] = P [Y = 1] = 1 2. Quelle est la loi de (X, Y )? Quelle est la loi de X + Y? Exercice 14 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois de Poisson de paramètres respectifs λ et λ. Montrer que X + Y suit la loi de Poisson de paramètre λ + λ. Exercice 15 On lance deux dés à six faces, un bleu et un rouge. On note X le résultat du dé bleu, et Y celui du dé rouge. On note S = X + Y. Déterminer la loi de S. Pour x {1,..., 6} et s {2,..., 12}, calculer P [X = x S = s]. Exercice 16 1) Soit n N et (X k ) 1 k n un n-uplet de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, telles que P [X 1 = 1] = 1 P [X 1 = 0] = p. On pose S n = X X n. (a) Calculer l espérance de S n. (b) Déterminer la loi de S n. 2) Paris est interdit à la circulation pour laisser le champ libre aux voitures officielles. Entre l Étoile et Orly, il y a treize feux tricolores qui fonctionnent de manière indépendante. Chacun est rouge un tiers du temps. Soit X le nombre de feux rouges qu une escorte de motards ignore sur son passage, de l Étoile à Orly. Déterminer l espérance de X. Exercice 17 Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. Montrer que : E X = + n=0 Application : Calculer l espérance d une loi géométrique. P [X > n]. Exercice 18 Soient X et Y deux variables aléatoires de même loi, telles que P [X = 0] = P [Y = 0] = P [X = 1] = P [Y = 1] = 1 2. Calculer E X et E Y. L espérance E(XY ) est-elle déterminée par les hypothèses que l on a formulées? Dans l affirmative, donner sa valeur. Dans la négative, quelles sont toutes les valeurs possibles pour E(XY )?

8 Question 6 On considère deux événements A et B d un espace probabilisé discret (Ω, P). Parmi les propriétés suivantes, lesquelles sont vérifiées sans hypothèse supplémentaire? 1 A B = 1 A + 1 B 1 A.1 B 1 A B = 1 A 1 A B 1 A B = 1 A 1 B 1 A\B = 1 A 1 B 1 A B = 1 A + 1 B 1 A\B = 1 A.(1 1 B ) Question 7 Soient X et Y deux variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé. On note P V la loi de probabilité du vecteur aléatoire V = (X, Y ). Comment la probabilité p = P [X = 2 et Y > 1] peut-elle s écrire? p = P (X,Y ) ({2} ]1, + [) p = P (X,Y ) ({2}, ]1, + [) p = P(X 1 ({2}) Y 1 (]1, + [)) p = P (X,Y ) ({2} R). P (X,Y ) (R ]1, + [) p = P (X,Y ) ({2}). P (X,Y ) (]1, + [) p = P (X,Y ) ({2} ]1, + [) p = P(X 1 ({2})). P(Y 1 (]1, + [)) Question 8 Soient X, Y et Z trois variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé (Ω, P), et toutes trois à valeurs dans Z. Parmi les événements A suivants, pour lesquels existe-t-il un sous-ensemble B de Z 2 tel que A = (X, Y ) 1 (B)? A = {Z = 2} A = {X = 1} A = {Y = Z} A = {X = 1 et Y 3} A = Ω A = { X 2 + Y 2 10 } A = {X + Z = 10} A = {X + Y 3} Question 9 On considère l espace Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2, et la probabilité uniforme P sur Ω. On note X la variable aléatoire définie par X(i, j) = i pour tout (i, j) Ω. Combien peut-on construire de variables aléatoires Y sur Ω telles que Y a même loi que X? aucune plus de 600 autre réponse Question 10 Avec les même notations qu à la question précédente, combien peut-on construire de variables aléatoires Y sur Ω telles que Y est indépendante de X? aucune plus de 600 autre réponse

9 Exercices hors fiche de TD Exercice 19 Soit Y une variable aléatoire de loi uniforme sur {1,..., 100}. On pose X = Calculer l espérance de X. Quelle est la loi de X? { Y si Y sinon. Exercice 20 Soit X une variable aléatoire à valeurs dans Z, dont la loi est déterminée par les probabilités p x = P [X = x], x Z. Déterminer la loi des variables aléatoires X + 1, 2X et X 2.

10 I.S.F.A. L3 (1ʳe année) Probabilités, fiche d exercices n 4 4 Théorie générale des probabilités Exercice 19 On considère un ensemble Ω, et une famille (A i ) i 1 de parties de Ω. 1) Déterminer la tribu engendrée par {A 1, A 2 }. 2) Quel est le nombre maximal d éléments que peut avoir la tribu engendrée par {A 1,..., A n }? Exercice 20 Dans R muni de sa tribu de Borel et de la mesure de Lebesgue λ, construire une suite décroissante {A n } de boréliens telle que λ A n lim λ(a n). n + n 1 Exercice 21 On munit l ensemble Ω = [0, 1[ de sa tribu de Borel et de la mesure de Lebesgue λ. On rappelle que tout x [0, 1[ admet un développement unique de la forme x = n 1 c n (x) 3 n, où les coefficients c n (x) {0, 1, 2} ne sont pas tous égaux à 2 à partir d un certain rang. On considère l ensemble C défini par C = {x [0, 1[, c n (x) {0, 2} n 1}. 1) Montrer que C n est pas dénombrable. Proposer une manière de construire C géométriquement. 2) Calculer λ(c). Exercice 22 Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé, et A et B deux événements de A. On définit une variable aléatoire X par X = a1 A + b1 B, où a et b sont deux réels non nuls. Expliciter σ(x) puis calculer la loi de X.

11 Exercice 23 Soit λ 2 la mesure de Lebesgue sur R 2. 1) Démontrer que λ 2 est invariante par translation, par symétrie par rapport à chacun des axes (Ox) et (Oy), ainsi que par symétrie par rapport à O. 2) Démontrer que si S est un segment de droite, alors λ 2 (S) = 0. 3) Calculer la mesure (pour λ 2 ) d un triangle rectangle ayant deux côtés parallèles aux axes. 4) Calculer la mesure de tout rectangle. 5) Démontrer que λ 2 est invariante par rotation. 6) Si A α est l homothétie de centre O et de rapport α, et B un borélien de R 2 quelconque, déterminer λ 2 (A α (B)) en fonction de λ 2 (B). Exercice 24 Soit µ une mesure positive sur (R 2, B(R 2 )), invariante par translation et telle que µ(c 1,1 ) = a R +, où C x,y désigne le carré [0, x] [0, y]. 1) Montrer que la mesure (pour µ) d un segment parallèle à l un des deux axes est nulle. 2) Pour m, n N, déterminer µ(c m,n ). 3) Pour x, y Q +, déterminer µ(c x,y ). 4) Déterminer µ.

12 Exercices hors fiche de TD Exercice 25 Soient Ω et Ω deux ensembles quelconques, X une application de Ω dans Ω, et C Ω. 1. Montrer que σ(x 1 (C )) X 1 (σ(c )). 2. Soit A la tribu induite par X de la tribu σ(x 1 (C )) : Exercice 26 1) Soit Montrer que σ(c ) A. En déduire que et conclure. A = {A Ω, X 1 (A ) σ(x 1 (C ))}. X 1 (σ(c )) X 1 (A ) σ(x 1 (C )), X = n α i 1 Ai i=1 une fonction étagée. Montrer que σ(x) σ({a i, 1 i n}). Dans quel cas a-t-on l égalité? 2) Soit X : (Ω, A, P) (R, B(R)) une variable aléatoire discrète, c est-à-dire telle que X(Ω) est dénombrable. Montrer que σ(x) = X 1 (P(X(Ω))). 3) Soient X et Y deux variables aléatoires étagées positives indépendantes. Montrer que E(XY ) = E X E Y. 4) Soient X et Y deux variables aléatoires intégrables indépendantes. Montrer que E(XY ) = E X E Y. Exercice 27 Considérons un modèle d assurance automobile pour lequel il y a deux types d assurés : les «bons conducteurs», et les «mauvais conducteurs». On choisit au hasard (et uniformément) un assuré automobile. On considère l événement B = «le conducteur choisi est un bon conducteur» et la variable aléatoire S représentant le nombre de sinistres déclarés au cours d une année par le conducteur choisi. On note M = B. On suppose que P(B) = 0, 6, et que les lois conditionnelles de S sachant B et sachant B sont des lois de Poisson de paramètres respectifs λ B = 0, 05 et λ M = 0, 15, c est-à-dire que : k N, P [S = k B] = e λ λk B B k!, P [ S = k B] = e λ M λ k M. k! 1) Montrer que la prime a priori π 0 = E S (l unité est le coût moyen d un sinistre) vérifie π 0 = P(B)π B + P(M)π M, où π B (resp. π M ) est l espérance d une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre λ B (resp. λ M ). Calculer π B, π M et π 0. 2) Après une année assurée, on connaît le nombre de sinistres s déclarés par chaque conducteur. La prime a posteriori π 1 (s) à faire payer à un conducteur ayant déclaré s sinistres l an passé s écrit π 1 (s) = P (B S = s) π B + P (M S = s) π M. Calculer π 1 (s) et r 1 (s) = π 1 (s)/π 0 pour s {0, 1, 2, 3, 4, 5}. 3) On note S et S le nombre de sinistres déclarés par le conducteur choisi au cours de deux années consécutives. On suppose que, conditionnellement à B ou à M, S et S sont indépendantes, c està-dire que, pour tous s, s, P [S = s, S = s B] = P [S = s B] P [S = s B]. Calculer les probabilités P [S + S = t B], t N. En déduire la valeur de la prime a posteriori pour deux années π 2 (s, s ) = P (B S = s, S = s ) π B + P (M S = s, S = s ) π M. Calculer la valeur de π 2 (s, s ) et de π 2 (s, s )/π 0 pour s + s {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

13 4) On considère deux façons de réévaluer la prime au bout de deux ans : (a) la prime est multipliée par r 1 (s) à la fin de la première année, puis encore par r 1 (s ) à la fin de la deuxième année. (b) la prime est multipliée par r 1 (s) à la fin de la primière année, et, à la fin de la deuxième année, on applique la prime initiale multipliée par r 2 (s, s ). Comparer ces deux méthodes. Exercice 28 Jojo lance et relance un dé à six faces sans s arrêter. Définir l espace probabilisé qui permet de modéliser cette expérience. Calculer la probabilité des événements suivants : A = «Jojo n obtient que des six» ; B = «À partir d un certain moment, Jojo n obtient que des six» ; C = «Jojo obtient au moins un six» ; D = «Jojo obtient une infinité de six». Exercice 29 On munit un ensemble Ω de cardinal infini de la tribu P(Ω), et on définit une application µ de P(Ω) dans R + de la manière suivante : { 0 si A est une partie finie, µ(a) = + sinon. L application µ est-elle une mesure positive sur (Ω, P(Ω))? Dans le cas contraire, comment la modifier pour qu elle devienne une mesure? Exercice 30 Expliciter σ(x) et la loi de X dans les cas suivants (λ désigne la mesure de Lebesgue) : 1. (Ω, A, P) = ([0, 1], B([0, 1]), λ) et ω Ω, X(ω) = 2. (Ω, A, P) = ([ 1, 1], B([ 1, 1]), λ/2) et { 2ω si 0 ω 1/2, 1 si 1/2 ω 1. ω Ω, X(ω) = ω 2. Exercice 31 Soit X une variable aléatoire intégrable. 1) Montrer que 2) Montrer que lim n P [X n] = 0. n + P [X n] < +. n 1

14 I.S.F.A. Exercice 25 Soit X une variable aléatoire positive. Probabilités, fiche d exercices n 5 1) Montrer que l application x P [X > x] définie sur R et à valeurs dans R est mesurable. 2) Écrire P [X > x] comme l intégrale (sous P) d une indicatrice. 3) Montrer que E X = + 4) Dans le cas où X est à valeurs dans N, montrer que 0 E X = + n=0 P [X > x] dλ(x). P [X > n]. L3 (1ʳe année) Exercice 26 Soient X et Y deux variables aléatoires telles que X Y. Montrer qu alors E X E Y (on pourra commencer par le cas où X et Y sont étagées positives). Exercice 27 Soit X une variable aléatoire intégrable. Montrer que E X = 0 si et seulement si X est presque-sûrement nulle. 5 Densité Exercice 28 (SOA) La durée de vie d une machine a une loi continue de densité f, où f(x) est proportionnelle à (10 + x) 2 pour x [0, 40] et nulle en dehors de cet intervalle. Quelle est la probabilité que la durée de vie de la machine soit inférieure à 5? Exercice 29 (SOA) Un contrat d assurance groupe couvre les sinistres santé des employés d une petite entreprise. Le montant V de la somme des sinistres pendant une année est décrit par V = Y, où Y est une variable aléatoire de densité { k(1 y) 4 si 0 < y < 1, f(y) = 0 sinon, où k est une constante. Quelle est la probabilité conditionnelle que V dépasse sachant que V dépasse ? Exercice 30 (SOA) Un contrat d assurance rembourse le montant X de certaines pertes, après déduction d une franchise C ]0, 1[. La variable X est supposée continue de densité { 2x si 0 < x < 1, f(x) = 0 sinon. La probabilité que le remboursement soit inférieur à 0,5 est 0,64. Quelle est la valeur de la franchise? Exercice 31 (SOA) On considère un contrat d assurance contre les tornades concernant les entreprises agricoles. Notons X le remboursement effectué au titre des domages à l habitation et Y celui effectué au titre des domages au reste de la propriété. On suppose que (X, Y ) est un vecteur aléatoire de densité { 6[1 (x + y)] si x > 0, y > 0 et x + y < 1, f(x, y) = 0 sinon. Calculer la probabilité que X soit inférieur à 0,2. Calculer la probabilité que X soit inférieur à Y.

15 Exercice 32 (SOA) Soient X et Y deux variables aléatoires de densité jointe Déterminer la densité de la loi marginale de Y. { 15y si x f(x, y) = 2 y x, 0 sinon. Exercice 33 Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire de loi uniforme sur Quelle est la densité de X? Les variables X et Y sont-elles indépendantes? Exercice 34 Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire de densité D = {(x, y), x 2 + y 2 1}. f(x, y) = 1 ( 2π exp x2 + y 2 ). 2 Déterminer la densité du vecteur aléatoire (X + Y, X Y ). Exercice 35 Soit V R d un vecteur aléatoire continu de densité f, et A une matrice d d inversible. Exprimer la densité du vecteur aléatoire AV en fonction de f. Exercice 36 Soit X une variable aléatoire continue de densité f. Montrer que Y = X est une variable aléatoire continue, et déterminer sa densité. Exercice 37 Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [ 1, 1]. Déterminer la densité de la variable X 2. Exercice 38 Soit X une variable aléatoire définie sur (Ω, A, P) et A un événement de probabilité non nulle. On considère la loi P X de X et la probabilité P sur (R, B(R)) définie par P (B) = P (X B A). 1) Montrer que P est absolument continue par rapport à P X. 2) Déterminer la densité de P par rapport à P X dans les cas suivants : A est indépendant de σ(x) ; A = {X E} ; A = {Z E}, où Z = (1 2ε)X, ε étant une variable aléatoire de loi B(1/2) indépendante de X.

16 Exercices hors fiche de TD Exercice 39 (SOA) Une compagnie assure un grand nombre d habitations. La valeur assurée, X, d une habitation choisie au hasard est supposée suivre la loi de densité { 3x 4 si x > 1, f(x) = 0 sinon. Sachant que l habitation choisie au hasard est assurée pour au moins 1,5, quelle est la probabilité qu elle soit assurée pour moins de 2? Exercice 40 Soit (U, V ) un vecteur aléatoire de loi uniforme sur [0, 1] 2. On pose X = ln U et Y = V ln U. Déterminer la densité du vecteur (X, Y ), puis celle de X ainsi que celle de Y.

17 I.S.F.A. L3 (1ʳe année) 6 Fonction de répartition Probabilités, fiche d exercices n 6 Exercice 39 Soient U 1,..., U n, n variables aléatoires réelles indépendantes de fonction de répartition commune F. 1) Déterminer la fonction de répartition des variables aléatoires : X = max U i, Y = min U i. i {1,...,n} i {1,...,n} 2) Explicitez celle-ci dans le cas où F est la fonction de répartition de la loi uniforme sur [0, 1] puis dans le cas où F est la fonction de répartition d une loi exponentielle. 3) Dans ces deux cas, montrer que Y est continue et déterminer sa densité et son espérance. 4) Dans le cas de la loi uniforme sur [0, 1], montrer que X est continue et déterminer sa densité et son espérance. Exercice 40 Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur l intervalle [0, 1]. Déterminer la fonction de répartition, la densité et calculer, si elle existe l espérance des variables X et Y définies par X = U, Y = 1/(1 + U). Exercice 41 Soit V = (X, Y ) un vecteur aléatoire qui ne prend que deux valeurs : Déterminer la fonction de répartition de V. P [V = (0, 0)] = 1/3, P [V = (2, 1)] = 2/3. Exercice 42 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes et toutes deux de loi uniforme sur [0, 1]. 1) Déterminer la fonction de répartition F de (X, Y ). 2) Quelle est la loi de 1 Y? 3) Déterminer la fonction de répartition de (X, 1 Y ). 4) Déterminer la fonction de répartition de (X, 1 X). 5) Le vecteur aléatoire (X, 1 X) est-il continu?

18 Exercice 43 Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire de fonction de répartition F définie par 1 e x si 0 x y, F (x, y) = (1 e y )(1 + e y e x ) si 0 y x, 0 sinon. 1) Quelle est la loi de X? Et celle de Y? 2) X et Y sont-elles indépendantes? Exercice 44 Soient X, Y 1 et Y 2 trois variables aléatoires indépendantes toutes de loi exponentielle de paramètre 1. On pose Z 1 = min(x, Y 1 ) et Z 2 = min(x, Y 2 ). 1) Déterminer la fonction de survie de Z 1 et celle de Z 2. 2) Déterminer la fonction de survie de (Z 1, Z 2 ). 3) Les variables Z 1 et Z 2 sont-elles indépendantes? 7 Moments Exercice 45 1) Montrer que si la variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [0, 1], α > 0 et β R, alors αx + β suit la loi uniforme sur [β, α + β]. 2) Calculer l espérance et la variance des lois suivantes : loi de Poisson de paramètre λ > 0 ; loi uniforme sur [0, 1]. loi uniforme sur [a, b]. Exercice 46 Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires continu, de densité où D est le domaine de R 2 défini par f(x, y) = 1 2 xy 1 D(x, y), D = {(x, y) R 2, 0 < x y 1}. 1) Les variables X et Y sont-elles indépendantes? 2) Déterminer les densités de X et Y. 3) Calculer E X et E Y. 4) Calculer Cov(X, Y ). Exercice 47 (SOA) Soit T 1 la durée séparant un accident de voiture et sa déclaration à l assurance, et T 2 la durée séparant cette déclaration et le dédommagement par l assurance. On suppose que la densité jointe f de (T 1, T 2 ), est constante sur la région R = {(t 1, t 2 ) R 2, 0 < t 1 < 6, 0 < t 2 < 6, t 1 + t 2 < 10} et nulle en dehors de R. Déterminer la durée moyenne séparant l accident et son dédommagement par l assurance. Exercice 48 (SOA) Soient (X, Y ) un vecteur aléatoire de loi uniforme sur où L > 0 est une constante. Calculer E(X 2 + Y 2 ). {(x, y) R 2, 0 x y L},

19 Exercice 49 (SOA) Le gain obtenu par la vente d un nouveau produit est donné par Z = 2X Y 5. Les variables X et Y somt indépendantes de variances respectives 1 et 2. Quelle est la variance de Z? Exercice 50 (SOA) Une entreprise a deux générateurs électriques. La durée de fonctionnement avant la première panne de chaque générateur suit la loi exponentielle de moyenne 10. L entreprise utilise le second générateur dès que le premier tombe en panne. Quelle est la variance du temps total de fonctionnement des deux générateurs? Exercice 51 (SOA) Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire de densité où k est une constante. Calculer Cov(X, Y ). Exercice 52 (SOA) Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire de densité Calculer Cov(X, Y ). { kx si 0 < x < 1 et 0 < y < 1, f(x, y) = 0 sinon, f(x, y) = { 8 3xy si 0 x 1 et x y 2x, 0 sinon. Exercice 53 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois exponentielles de paramètres respectifs α et β. Déterminer P [X < Y ]. Exercice 54 (SOA) Un appareil électronique contient deux circuits. Le second est un circuit de sauvegarde, qui se met en marche quand le premier cesse de fonctionner. L appareil tombe en panne quand le second circuit tombe à son tour en panne. Soient X et Y les dates auxquelles les circuits tombent en panne. On suppose que la densité jointe de X et Y est { 6e f(x, y) = x e 2y si 0 < x < y, 0 sinon. Quelle est la date moyenne à laquelle l appareil tombe en panne? Exercice 55 (SOA) Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire de densité { 2e (x+2y) si x > 0 et y > 0, f(x, y) = 0 sinon. Déterminer la variance de Y sous la probabilité P définie par P (A) = P (A X > 3, Y > 3).

20 Exercices hors fiche de TD Exercice 56 Pour n 1, le montant en euros du remboursement à l assuré du nᵉ accident de moto assuré par la compagnie PrevJojo est représenté par une variable aléatoire continue X n. On suppose que les X n sont indépendants et de loi identique de densité f définie par où c est une constante. 1) Calculer la valeur de c. f(x) = c.e x 1 [0,20] (x) x R, 2) Déterminer la fonction de répartition F 1 de X 1. Tracer sa courbe représentative. 3) Les événements {X 1 = 15} et {X 1 = 16} sont-ils disjoints? Sont-ils indépendants? Justifiez vos réponses. 4) Même question pour {X 1 = 15} et {X 2 = 16}. 5) Calculer la probabilité qu un accident coûte moins de 18 e à la compagnie. 6) Quelle est la probabilité conditionnelle que le premier accident coûte moins de 16 e sachant qu il coûte plus de 15 e? 7) Quel est le coût moyen m d un accident? Exercice 57 Jojo souhaite générer une suite aléatoire de 0 et de 1, indépendants, et distribués selon la loi uniforme sur {0, 1}. En fouillant dans sa poche, il n a trouvé qu une pièce de monnaie très usée dont la symétrie lui paraît douteuse, si bien qu il pense que la probabilité p d obtenir «pile» en lançant sa pièce n est pas égale à 1/2. Comment peut-il s y prendre, sans connaître la valeur de p, pour générer tout de même la suite de valeurs dont il a besoin? Combien de fois, en moyenne, devra-t-il lancer la pièce pour obtenir un élément de la suite? Exercice 58 Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ > 0. 1) Pour x > 0, calculer E((X x)1 {X>x} ). 2) En déduire la valeur de E(X1 {X>x} ), puis celle de E(X1 {X x} ). Exercice 59 On modélise le coût X d un sinistre subi par un assuré automobile (pour un véhicule de type grande routière récente) par une loi exponentielle de paramètre λ, avec 1/λ = 800 e. Le contrat d assurance de la Laguna break de Jojo prévoit une franchise de 150 e, et un plafond correspondant à la valeur de sa voiture, estimée à e. Déterminer l espérance du remboursement obtenu de la part de l assurance pour un sinistre concernant ce véhicule. Exercice 60 On considère un contrat d assurance santé prévoyant le paiement d indemnités forfaitaires correspondant à n + 1 sinistres différents, portant sur une population localisée à la région lyonnaise. Le premier des risques assurés est un risque lié à une catastrophe naturelle ou industrielle de grande ampleur : on suppose qu un tel risque survient pendant une année donnée avec une probabilité p 0, et que dans ce cas une proportion r de la population sera touchée. Les autres risques (invalidité suite à un accident de la route, etc.) surviennent (pendant une année donnée) pour chaque individu de la population de manière indépendante, et indépendamment les uns des autres, avec une probabilité p 1,..., p n pour chaque assuré. Les montants des indemnités sont notés x 0, x 1,..., x n. 1) On note X le montant total des indemnités versées à un assuré au cours d une année. Déterminer l espérance et l écart-type de X. 2) On note S le montant total des indemnités versées aux N assurés de la compagnie d assurance. Déterminer l espérance m et l écart-type σ de S.

21 3) Déterminer (en fonction de N et m) la prime pure c qui équilibre primes touchées et indemnités moyennes versées. 4) Déterminer (en fonction de N, m et σ) une approximation de la prime c + à demander aux assurés pour que la probabilité que l entreprise d assurance soit perdante pour une année (c est-à-dire pour que la somme des primes touchées soit inférieure aux indemnités versées) soit limitée à 1 % (On pourra utiliser l inégalité de Bienaymé-Tchebychev). 5) Application numérique : on choisit N = , p 0 = 10 3, r = 0, 05, x 0 = e, risque p i x i décès 0, e invalidité 0, e Calculer c et la majoration de c + obtenue en question 4. Comparer avec les résultats obtenus dans le cas ou le risque de catastrophe n est pas assuré. Exercice 61 Soient X B(1/2) et Y B(1/3) deux variables aléatoires. Déterminer, en fonction du paramètre α = E(XY ), la loi du vecteur (X, Y ), puis sa fonction de répartition. Quelles sont les valeurs que peut prendre α? Exercice 62 Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire, et A = [x, x ] [y, y ] un rectangle de R 2. Déterminer une condition C portant sur la fonction de répartition F de (X, Y ) telle que, si F vérifie C, alors F est complètement déterminée par ses valeurs sur A. Exercice 63 Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire à valeurs dans R ) Déterminer la variable aléatoire R {X x} 1 {Y y} dx dy. 2) En déduire une expression de E(XY ) en fonction de la fonction de répartition de (X, Y ). Exercice 64 Montrer que si X et Y sont deux variables aléatoires continues indépendantes, de densités respectives f X et f Y, alors le vecteur aléatoire (X, Y ) est continu, de densité f (X,Y ) définie par f (X,Y ) (x, y) = f X (x) f Y (y). Exercice 65 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes. Calculer la probabilité P [X < Y ] dans les deux cas suivants : 1. X et Y suivent la loi uniforme sur [0, 1]. 2. X et Y suivent les lois exponentielles de paramètres λ > 0 et µ > 0. Exercice 66 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, toutes deux de loi exponentielle de paramètre λ > 0. 1) Déterminer la fonction de répartition du couple V = (X, X + Y ). 2) Le vecteur aléatoire V est-il continu? Si oui, donner sa densité. 3) Déterminer la densité de X + Y.

22 Exercice 67 On considère un vecteur aléatoire (X, Y ) continu, dont la densité f peut s écrire sous la forme 1) Montrer que f(x, y) = g(x)h(y), où f(x, y) = g 0 (x)h 0 (y) (x, y) R 2. g 0 (x) g(x) = R g 0(u) du, h(x) = h 0 (x) R h 0(u) du. On note P g la loi sur R de densité g, et P h la loi de densité h. 2) Soient A et B deux boréliens de R. Montrer que P (X,Y ) (A B) = P g P h (A B). 3) Montrer que X et Y sont indépendants et déterminer leurs lois. 4) Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires continu, de densité f(x, y) = 4y(1 x)1 [0,1] 2(x, y). Montrer que X et Y sont indépendantes, et déterminer leurs densités. Exercice 68 Soit Θ un angle aléatoire de loi uniforme sur [ π/2, π/2], X = cos Θ et Y = sin Θ. Calculer Cov(X, Y ). Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes? Exercice 69 Pour n 1, le montant en euros du remboursement à l assuré du nᵉ accident de moto assuré par la compagnie PrevJojo est représenté par une variable aléatoire continue X n. On suppose que les X n sont indépendants et de loi identique de densité f définie par où c est une constante. 1) Calculer la valeur de c. f(x) = c.e x 1 [0,20] (x) x R, 2) Déterminer la fonction de répartition F 1 de X 1. Tracer sa courbe représentative. 3) Les événements {X 1 = 15} et {X 1 = 16} sont-ils disjoints? Sont-ils indépendants? Justifiez vos réponses. 4) Même question pour {X 1 = 15} et {X 2 = 16}. 5) Calculer la probabilité qu un accident coûte moins de 18 e à la compagnie. 6) Quelle est la probabilité conditionnelle que le premier accident coûte moins de 16 e sachant qu il coûte plus de 15 e? 7) Quel est le coût moyen m d un accident? 8) Si la compagnie doit rembourser les frais de 200 accidents cette année, quelle est la probabilité qu au moins 100 parmi ces accidents lui coûtent chacun plus que m? 9) Soit N le numéro du premier accident pour lequel le coût est supérieur à 19 e. En d autres termes, N = min{n 1, X n 19}. (a) Quelle est la probabilité que N soit égal à 10? (b) Quelle est la valeur la plus probable pour N? (c) Quelle est la valeur moyenne de N? Exercice 70 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètre λ > 0. Utiliser la formule du changement de variables pour trouver la densité du couple (X, X + Y ).

23 Exercice 71 Soit U = (X, Y ) un vecteur gaussien de loi N (0, I 2 ). Considérons S = R 2 = U 2, et Θ [0, 2π[ la mesure de l angle formé par l axe orienté (Ox) et le vecteur OU (R et Θ sont les coordonnées polaires de U). 1) Donner la densité de U, et en déduire la densité du vecteur (S, Θ). 2) Montrer que S et Θ sont indépendantes, et déterminer leurs lois. Exercice 72 Considérons la matrice M = Soit V = (X, Y, Z, T ) un vecteur aléatoire de loi gaussienne de moyenne (1, 2, 0, 0) et de matrice de covariance M. 1) Quelle est la loi de X? Quelle est la loi de (X + Y )?. 2) Donner la variance de la variable (X + Y + Z + T ). Le vecteur V est-il continu? 3) Trouver une matrice carrée A telle que les vecteurs ( ) ( ) X Z A Y T sont indépendants. 4) En déduire la loi conditionnelle de (X, Y ) sachant (Z, T ) = (z, t). 5) Montrer que les variables Z+T et Z T sont indépendantes. En déduire la probabilité P [ Z > T ]. 6) Quelle est la loi de la variable (Z T ) et (Z + T )2 2 Exercice 73 JojoAssistance propose un contrat d assurance comprenant une clause d assurance rapatriement. Les statisticiens de cette entreprise très performante on estimé que, parmi les assurés ayant souscrit ce contrat, et durant une période d un an, un nombre variable X effectue un voyage dans un pays «à risque», X suivant la loi de Poisson de paramètre λ = Ils évaluent de plus à p = 0, 04 la probabilité qu une personne faisant un voyage dans un tel pays ait besoin d être rapatriée.? ( Z T 1) On note Y le nombre de personnes à rapatrier au cours d une année. Montrer que 2) En déduire la loi de Y. P [Y = k X = n] = C k np k (1 p) n k, n N, k {0,..., n}. 3) Montrer que la somme de deux variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètres respectifs λ 1 et λ 2 suit une loi de Poisson de paramètre λ 1 + λ 2. 4) Pour d N, on note Y d le nombre de personnes à rapatrier au cours de d années. Déterminer la loi de Y d. Exercice 74 On a dessiné une grille carrée de 25 cases. On demande a une personne de choisir une case, et on note (X, Y ) les coordonnées (entières) de la case choisie, avec 1 X, Y 5. On a remarqué que les gens choisissent plus souvent des cases qui se situent vers le centre de la grille : la loi de (X, Y ) est donnée par où Z est un réel. 1) Calculer Z. P [(X, Y ) = (x, y)] = Z 1( x 3 + y 3 + 1) 1, (x, y) {1, 2, 3, 4, 5} 2, )

24 2) Montrer que (6 X, Y ) et (X, Y ) ont même loi. En déduire que 6 X et X ont même loi. En déduire E X. Déterminer la loi de X, ainsi que la loi de Y. 3) La personne a choisie une case sur la ligne centrale. Sachant cela, quelle est la probabilité que la case choisie soit celle du centre? 4) Déterminer la loi de X conditionnellement à {Y = 3}. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes? Calculer Cov(X, Y ). Exercice 75 Soit X une variable aléatoire telle que X(Ω) = N et E X <. On considère la fonction f : N R définie par f(k) = E (X X k). 1) Calculer f(0). Montrer que f(k) k pour tout k N. 2) Montrer que, pour k N, f(k) est la moyenne de k et de f(k + 1), avec des coefficients que l on précisera. En déduire que f est strictement croissante. 3) Calculer f quand X suit une loi géométrique G(p), avec p ]0, 1[. Exercice 76 Dans une classe, on choisit un élève au hasard, et on considère sa note X au dernier examen de probabilités. On note par G le groupe de l élève choisi (on suppose que la classe est séparée en trois groupes, d effectifs respectifs 40, 50 et 60). On suppose qu à cet examen, le groupe 1 a obtenu une moyenne de m 1 = 10, 5, le groupe 2 une moyenne de m 2 = 8 et le groupe 3 une moyenne de m 3 = 9, 5. Décrire la variable aléatoire Z = E (X G), et donner sa loi. Calculer E Z et vérifier que E Z = E X. Exercice 77 On considère une variable aléatoire N à valeurs dans N, et une suite de variables aléatoires entières (X i ) i indépendantes et indépendante de N, toutes de même loi (on notera X une variable aléatoire ayant cette loi). On considère la variable aléatoire N S = X i. 1) Montrer que, pour tout u, i=1 E ( u S N ) = G X (u) N. 2) En déduire une expression reliant les fonctions génératrices de S, X et N. 3) Calculer l espérance et la variance de S dans les cas suivants : (a) N P(λ) et X P(µ) ; (b) N P(λ) et X G(µ). Exercice 78 Un message binaire est constitué d une suite infinie X = (X i ) i 1 de 0 ou 1. On suppose que les X i sont indépendants, de loi de Bernoulli B(1/2). Le but de cet exercice est de répondre à la question suivante : «le motif 01 apparaît-il avant le motif 00?» 1) Pour k N, déterminer la probabilité conditionnelle que 01 apparaisse avant 00 sachant que l index du premier 0 rencontré est k. En déduire la probabilité p de l événement «01 apparaît avant 00». 2) On note T 01 le rang du 1 dans le premier motif 01 rencontré (donc T 01 2). Montrer que T 01 est la somme de deux variables aléatoires indépendantes de loi connue. En déduire l espérance et la variance de T 01. 3) On note T 00 le rang du deuxième 0 dans le premier motif 00 rencontré, et T 0 le rang du premier 0 rencontré. Pour tout k N, calculer, en fonction de k et de E T 00, les espérances conditionnelles suivantes : E (T 00 T 0 = k, X k+1 = 0), E (T 00 T 0 = k, X k+1 = 1). En déduire que E T 00 = E T E T 00. Calculer E T 00. 4) Conclure.

25 Exercice 79 Jojo est à Bangangté, et, malgré les conseils des médecins, il dort sans avoir de moustiquaire pour protéger son lit. Malgré tout, il prend quand même soin de bien fermer portes et fenêtres de sa chambre avant de dormir, emprisonnant un nombre X de moustiques. On suppose que la loi de X est définie par : X(Ω) = N, P [X = 0] = 1 λp 1 p, et P [X = k] = aλpk k N, où p, a et λ sont des constantes réelles vérifiant p ]0, 1[ et 0 < λ < (1 p)/p. Pendant la nuit, chacun des moustiques emprisonnés dans la chambre piquera Jojo, mais ne lui transmettra le paludisme qu avec probabilité 1/2. On note Y le nombre de moustiques qui transmettent le paludisme à Jojo. 1) Calculer la valeur de a. Calculer E X et E(X 2 ). 2) Soient k et n deux entiers naturels. Calculer P [Y = k X = n]. Déterminer la loi du couple (X, Y ). 3) Montrer que, pour tout x ] 1, 1[ et tout k N, n(n 1)... (n k + 1)x n k k! =. (1) (1 x) k+1 n k Déterminer la loi de Y. Quelle est la probabilité pour que Jojo passe une nuit à Bangangté sans attraper le paludisme? 4) Application numérique : En faisant quelques expériences avec la chambre de Jojo, ses amis ont mesuré qu approximativement, la moyenne du nombre de moustiques que l on emprisonne en fermant les ouvertures sur l extérieur de la chambre, le soir, est 5. Ils ont aussi mesuré que la probabilité de n enfermer aucun moustique est à peu près 0, 1. Calculer λ et p. Calculer la probabilité pour que Jojo passe une nuit sans attraper le paludisme?

26 I.S.F.A. L3 (1ʳe année) Probabilités, fiche d exercices n 7 8 Caratérisations fonctionnelles des lois de probabilité Exercice 56 Soit X une variable aléatoire réelle continue de densité f, et L X sa transformée de Laplace. 1) Exprimer E X et Var X en fonction de L X et de ses dérivées. 2) Pour t appartenant au domaine de L X, on pose g(x) = f(x)e tx L X (t) x R. Montrer que g est une densité de probabilité. 3) Soit Y une variable aléatoire de densité g. Déterminer sa transformée de Laplace. 4) Calculer E Y et Var Y. 5) Pour quelle fonction f a-t-on Var X = Var Y pour tout t? Dans ce cas, calculer E Y en fonction de E X. Exercice 57 Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires à valeurs entières dont la loi est déterminée par P [X = i, Y = j] = (1 a)(b a)a i b j i 1 0 j i. 1) Déterminer la fonction génératrice de (X, Y ). 2) Déterminer les fonctions génératrices de X et Y. 3) Les variables X et Y sont-elles indépendantes? 4) Déterminer la loi de Y. Exercice 58 On considère deux variables aléatoires X et Y de fonctions caractéristiques respectives ϕ X et ϕ Y. Soit A un événement indépendant de X et de Y. On pose 1) Montrer que P Z = P(A) P X + P(Ā) P Y. Z = X1 A + Y 1 Ā. 2) Exprimer la fonction caractéristique ϕ Z de Z en fonction de ϕ X et ϕ Y. 3) Déterminer la variance de Z. Exercice 59 Soient X et Y deux varioables aléatoires de loi normale centrée réduite indépendantes. En utilisant les fonctions caractéristiques, montrer que les variables (X + Y ) et (X Y ) sont indépendantes. Exercice 60 Soit X une variable aléatoire de loi de Poisson de paramètre λ, et ϕ λ la fonction caractéristique de (X λ)/ λ. Calculer ϕ λ et montrer qu elle tend simplement vers la fonction caractéristique de la loi N (0, 1) quand λ tend vers l infini.

27 Exercices hors fiche de TD 9 Exemple : modélisation de la dépendance Exercice 61 Jojobien propose un contrat d assurance santé nommé «Bien-être». Les actuaires de cette compagnie d assurance ont mis au point un modèle permettant de rendre compte de la consommation médicale de ses clients : pour un client donné, le nombre d actes remboursés par Jojobien au cours d une année peut être modélisé par une variable aléatoire N N dont la loi est définie par P [N = n] = (1 p) n p n N, où p ]0, 1[. Par ailleurs, les montants de chacun de ces N remboursements étant notés X 1,..., X N, les hypothèses suivantes ont été jugées fidèles à la réalité : les X i sont indépendantes ; pour tout i et tout borélien A, P [X i A N = n] = A ( 1 f(n) exp x f(n) ) 1 R+ (x) dx où f : N R + est une fonction donnée. On dira que la loi conditionnelle de X i sachant {N = n} est la loi exponentielle de paramètre 1/f(n), On note N S = le montant total des remboursements dans l année. On prendra ici où α > 0 et κ > 0 sont des constantes du modèle. i=1 X i f(n) = α(1 e κn ), 1) Du point de vue du comportement des assurés, que signifie le fait que f soit croissante? 2) Montrer que Dans la suite, on notera τ cette valeur. E ( e κn) = p 1 (1 p)e κ. 3) Utiliser la formule des probabilités totales pour calculer la densité puis l espérance de X i. 4) Les variables X i et N sont elles indépendantes? 5) Montrer que la loi conditionnelle de S sachant N = n est E(1/f(n)) n. 6) Pour tout x > 0, montrer que nx n x = (1 x) 2. n 0 7) Déterminer le coût moyen c = E S des remboursements versés à un assuré pendant un an, en fonction de α, p et τ. 8) Si les X i avaient été indépendants de N, mais toujours avec la même loi (celle dont l espérance a été déterminée en 3), quel aurait été le coût moyen c 0 correspondant? Application numérique : on a effectué l estimation suivante des paramètres du modèle (l unité des X i est l euro) : α = 100, p = 1/5. 9) Calculer c et le comparer à c 0, pour les valeurs de κ telles que e κ = 0,10, e κ = 0,15 et e κ = 0,25.

28 Exercice 62 Soit (X n ) n 1 une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi, et N N une variable aléatoire à valeurs entières indépendante de (X n ) n. On pose S = N i=1 X i. 1) Pour t fixé, calculer E ( t S N = n ) en fonction de n et de la fonction génératrice ϕ1 de la loi de X 1. 2) En déduire l expression de la fonction géneratrice ϕ S de S en fonction de ϕ 1 et de la fonction génératrice ϕ N de N. 3) Calculer E S en fonction des espérances de X 1 et de N. 4) Calculer la variance de S en fonction des espérances et variances de X 1 et de N. Exercice 63 La compagnie d assurances JojoPlus propose un contrat à l intérieur duquel le risque de vol dans le véhicule personnel est assuré. Les statisticiens de cette compagnie très en vue sur le marché ont modélisé ce risque dans la population de la façon suivante : la population est divisée en trois catégories, représentées suivant les proportions p 1, p 2 et p 3, ayant des habitudes de vie différentes, de sorte qu elles ne sont pas exposées à ce risque avec la même intensité. Une personne de la catégorie i {1, 2, 3} subit en une année un nombre de vols aléatoire distribué suivant la loi de Poisson de paramètre λ i. On note X le nombre de vols subis en une année par une personne choisie au hasard (uniformément) dans la population, et I {1, 2, 3} le numéro de la catégorie à laquelle elle appartient. 1) Quelle est la loi de I? Déterminer la loi de X. 2) Calculer l espérance et la variance de X. JojoPlus va bientôt mettre sur le marché un nouveau produit modulaire : le risque de vol dans le véhicule personnel pourra être choisi ou non par chacun des assurés. On estime qu un assuré choisira de se protéger contre ce risque si il a été victime de celui-ci au moins une fois durant les cinq années précédentes. On note S le nombre de vols subis par la personne choisie au hasard durant les cinq années précédentes. On suppose que (pour tout i), conditionnellement à I = i, S et X sont indépendantes. L étude du nouveau contrat nous amène à nous intéresser au conditionnement par S 1. On notera ainsi P 1 la probabilité définie par P 1 (A) = P (A S 1), et m et σ 2 l espérance et la variance de X sous P 1. 3) Pour tout i, calculer P [S 1 I = i]. En déduire P [S 1]. 4) Calculer P [I = i S 1]. 5) Montrer que, pour tout x, P [X = x S 1] = i P [X = x I = i] P [I = i S 1]. 6) Déterminer m et σ 2. 7) Application numérique : mesurer les conséquences de la mise sur le marché du nouveau produit d assurance, avec les données suivantes : λ 0, 05 0, 1 0, 15 p 0, 25 0, 5 0, 25 Exercice 64 On considère deux variables aléatoires strictement positives X et Y indépendantes et de même loi. On suppose que la loi commune de X et Y est absolument continue de densité f, et que 1/X est intégrable. 1) Montrer que P [X = Y ] = 0, et en déduire la valeur de P [X > Y ]. On considère une variable aléatoire Z dont la loi est la loi conditionnelle de X/Y sachant X > Y. 2) En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que ( ) X E = 12 ( Y E Z + 1 ). Z

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