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7 ?,i- ' ^/mmmmmm. CACU ^..""'V ii\teimmies EîiiEsmmii ''?A y? K 1^ 1 - r Par le Moyede Formules Algébriques ) v-^' ET A 'AIDE DES OGARITHMES.../v:?i.'?Xi:: F, X, BURQUE, Ptr. Professeur de MatJu'matiques, au St. lîyaeitli. Séviiairede ti:-^^; ST. HYACINTHE : DES TRESSES A l'ouvoir DU "COURRIER." ?»â^«*fe«w!iii,' ''^mê^

8 -7 /

9 'iîttiiii'rt-aâémti»?*-"-^-«éi mmmmtf^ C A C U I. DE;S INTÉRÊTS SIMPES. DE 'ESCOMPTE ET DES INTÉRÊTS COMPOSÉS. \,Itrts Simples, E appelatr l'itérêtdo l'uit,il est évidet qu'uapital, au bout d'u temps ;/,doe u itérêt a = r, et u motat i -\-r. Si l'o isolerespetivemet = f,, r, das es deux équatios, l'oaura huit formules différetes. O e obtiedra eore quatre, e égalatles deux formules du apitaldéjàobteues. Or, il'y a que vigtas possibles ave les iqquatités, a, w, ii, r ; et eore, deux de es as sot idétermiés,et six pbisque détermiés. es douze as utilesrépodet aux douze formules trouvées plushaut : o pourra do, ave es 12 formules,fairele tableau omp... is Itérêts simples; lequeltableau servira aussi.r toutes les questiosd'esompte e dehors,puisque et esompte 'est rie autre hose que l'itérêt simple. II. llsovipte e dedas, Das ette maière d'esompter, o retrahe l'esompte o pas du apital, mais de la somme du apital et de ses itérêtssimples, pour le temps, au taux /'. O a do i 4- r : i : : ": : î- ; et i + r \ r w \ e, {esigifie esompte valeur présete.)de es deux proportios, o lesdeux et î" tire équat'.os: 7" et =? ^ q;^^ -= y-p-, lesquelles, état traitéesomme i-dessus,doerot les douze formules utilesde l'icsompte e dedas,et fourirot eore le tableau ompletde ette questio. j^jjm.l.?fgffppim

10 V ^ ' '"' qui doe «= /?/, ^, v' * "*" ^' ' *='^'"??^'' de suite. O voit par là,,^ i """P"'"' P-"" «d'aées, s'obtiet'ta"t"' p ar1" \ '^"^ ~ ' '? ^'' es deux formules, trait"s ''*»''"' ^'""''"''-'=s de l'algèbre, doetle tahl '"'''"""^""'Pletdes Itérêts omposés.

11 - e 5 FORMUES Pour i.e Calul des IxTÉiifTs Simples et de l'ksompte e dehors. Etat doés Formules. m 11 a =: i m r a = m i r a = iiir 1 4- iir r a ~ r m a -= m a i a r - t a m r - m a r - a a m 4- a ar m - = C 4- a r i -f r a r i a(l 4- m) i a Cas idétermié, m r t» r i a r =r=, (m!i)ï ar m a i m a a

12 -- ~- - FORMUES Pour le Calul de 'Ksfîo.MrrEe dedas. 6 Etat doés Troi! ver No. Formules. V I = V V 2 e = V 3 4 e = iir 1 -f- iir vr 5 V = V -= 7 V = 8 V r lo = V -f C V + C V 4- vr 12 e 4- m i6 1/ is 19 20

13 FORMUES Pour le Cai.vl deh Ttérêts Composés. N.B. Z logarithmede a. sigifie logarit'imạisi a sigifie

14 I i 2; «i à^^ 8 CACU DES ANNUITÉS. Il y a trois sortes d'auités. lo. 'auité est payable fi Va, I première porte itérêt pedat ;/ d'aées, et la derière e porte pas itérêt ; 20. 'auité est payable au ommeemet de l'aée, la première porte itérêt pedat d'aées omme i-dessus, et la derière e porte pas itérêt ; 30. 'auité est payable au om.meemet de l'aée, la première porte itérêt pe.idat d'aées, et ia derière pedat u a. es deux premiers modes d'auités s'emploiet d'ordiaire pour l'extitio ou l'amortisfjmet d'ue dette : le réaier peut exiger que le premier versemet soit fait tout de suite après le otrat, ou seulemet au bout d'u a ; l'autre mode est relatif aux versemets sous forme de plaemets, tels aie eux qui se fot das les baques d'eparges, les soiétés de ostrutio, les assuraes, les ompagies idustrielles ou maufaturières, et., et. O trouve les formules par l'aalysequi suit Auités ordiaires I. payables fi fa. e débiteur jouitpedat d'aées, du apitalempruté ; et le réaier reçoit e retour ue auité qui lui porte itérêt pedat ;/ lui porte itérêt ped;t ;/ d'aées, ue autre qui et aisi de suite, jusqu'àla derière. C)r, au bout du temps ;'/, ils sot quittes tous deux. Il faut do que le motat du apitalégale alors le motat de l'auité. e motat du apital.^e trouve par la formule déjà oue VI ~ X ( I +1 A» Pour trouver le motat de l'auité, o remarquera que toutes les auités pa}-és formet la progressiogéométrique : x (i -f r)"~'^: a X (i +r)"--: a x (i 4-^-')""'^ {\-\-ry^\ dot l'exposatest 1 f r. Or ia somme de ette pro-

15 Auités I i wiimmmimm» 9 gressio est le motat de l'auit. O a do : '^ X (1 + r) u m = ^ r "_^J_(±'2."~ ^^ Ces deux équatios,ombiées esemble, fourisset r le premier tableau des formules pour les auités. II. Auités ordiaires payables d'avae. e débiteur fiissat de s'aquitterau ommeemet de la ;/ième aée, le apital dot il jouit,e doe u motat que pour d'aées. Do 7 = x (I + ry-\ Quat à la formule du motat de l'auité, elle est la même que elle du as préédet, puisque la première auité porte eore itérêt pedat ;/ d'aées, et que la derière e porte pas itérêt. Aisi 7 = «X[(l+r)" 1] Et es deux for- mules doet le reste. III. sous forme de plaemets. Ii,la première auité porte itérêt pedat?i d'aées, et la derière pedat u a. Za progressio est do elle-i : -H-rt x (i+r)": a x (i-f-r)"^i: a x (i-f-f)"-2 a X (î + r). Et le motat de l'auité: ^x VI = [(l+r)"-l-l-(l+r)] r U apitalorrespodat, ou la valeur présete de l'auité, pour produire u motat égal à elui de l'auité,devra do rester à itérêts omposés pedat ;/ d'aées, omme das le premier as. Aisi le motat du apital m = x {,i-f r)". e reste omme i-dessus. Il sera faile de s'aperevoirque plusieurs des formules de ette troisième espèe d'auités sot idetiques ave elles de la deuxième et de la première espèe, de même que quelques-ues de la deuxième sot idetiquesave les formules orrespodates de la première.

16 Pour e) e) (i (i r)] a] e) e) 10 FORMUES Pour les Auités Ordiaires Payables "Fi l'a." Etat doés " O u Formules. r m r mr m a = a = 3 a = 4 a = e 4- r 4- (I + r)" [(I + r)" i] m 4- r m -f e 4- r [ (i 4- r)" i] ~ (m e) m + 4-[(^)^-i] (m ) a r a mr m r a m 5 e = 6 e = 7 e = 8 = a 4- [(I 4- r)" i] a 4- m m m 4- r)«4- r)" (a4- mr) r (i 4-r) a r a r r a m m = m == m = m = a 4- e (a er) a-f [(I -f r)" i] e + (I + r)" e 4- (i + r)" r a r a m r mr a m 3 = [a = [ (a + mr) = (m =-- (m (a -^ (i 4- r) ^ ( i 4- r) (i?-- + r) -~ ( a (m me ) 4- I) a m m r ^^ a 4- (m (i }- r) = (m m -i- e a m a 20 N. B. la solutio de 8e et du I2e as, o herehera d'abord la valeur de r par la 19e ou la 20 formule,selo le eas. "fmmmemm"m"mmimmmmsmmi wmmwirf

17 Pour I a (i e) e) [ ) e) a] [m m i (i 11 FOIFl MUES Pour les Auités Ordiaires Payables d'avae. F^ormules. I,a = e + r + (i + r)"-!_ [(i -f r)" i] a = m -I-r a = m 4- e + r (I + r)" i] ( i 4- r) ] a=m++[(^)i^-i]_ [m(-^)^- e = a 4- [(i 4- r) i] r e = m 4- [ a ( i + r) ] m~(i 4-r)«-i = = m m = a 4- e 4-r) -i (a -I-mr) [ a (i 4- r) r] m = a + [ (I 4- r) I] r m = -f (i 4-r)"--^ m==4-(i 4- r)"--i 4- r)"-! = I 4-[a (afi4-r) r)]-^-(i -^- r) = [ fa 4- mr) -^ /i 4 r) - = I 4- f m ^- (m -^ ( i 4 r ) a( m ) -^ (m ( i?t- ) r 4- (m ( a) ( I + r) = (m -^ ( ) N. B. la solutio du Se et du I2e as, o ehrehera d'à bord la valeur de r par la 19e ou la 20e formule, selo le as.

18 Pour e)-^(i e) ( ( (a(i4-r) [(i (m (i _ r)]-^(i ) (i (i a) ( 12 FORMUES Pour les Auités sous forme de Plaemets. Etat doés " O u o Formules. r m r m r i I a = e + r 4- (I 4- r)-i [(i + r)"--i] a = m -h r a = i + e + r a=m+e+ +r)" + i + r)] _ [(-^)ti]_(i-)- i + r) a r a m r m r a m e = a + [(i + r)" i]_ r = m-(-^-+i) \a(l-fr) / e = m e = m i + r)" i 4- r)" +r)-i a r 9 m = a + e (^a rr~) a r r m m = a + [(i +r)' + ' m = e 4- ( I 4- r)" 4- r)] r a 12 m = e4-(i 4-r) a r a m r '3 14 = i4-[a 4- r) -_ I -f (^ + (1 4-r))-^(i-l-r) m Y a m 15 - = (m = (m 4- r) ^ (-^^^^, i ) a m m a m r = a 4- (m ) (I ^-r) = (m e) -^ [m (e + a] 17.= _i.^'ix(ih-.[("±i"l,_. a ^dbx(^-[(v)--.]) N. B. la solutio du 8 et du I2 eas, o herhera d'à ^)ord la valeur de r par la 19e ou la 20 formule, srlo le eas.

19 ? i] "~ 13 De quelques Compliatios possibles das le Calul des Itérêts Composés et DES Auités. N. es B. priipesde solutio, pour les divers.)= problèmesqui suivet,état les mêmes que eux exposés plus haut, au alul des Itérêts omposés et des auités,les démostratios serot omises, pour plus de oisio,et les formules gééralesșeules, serot doées. I. Il est possiblequ'ue auité a, ourat pedat u temps, au taux ;',o demade quelest le apital qui,pedat u temps 1 4- «, et au même taux r, produirait u motat égal à elui de l'auité a\ ou gééralemet, il est possible que l'o demade ue queloque de es iq hoses : a, r, ;/, t, r, lorsque les quatre autres serot doées. Si les auités sot payables_/?;/ l'a,l'o se des formules qui suivet. servira Etat doés. " O u H F'ormules. a r t e -= a + [(I 4- r)" i]_ r (i-f ṟ)'""'" r t a =- e + r -f (1+ _ r)^-^» [(i + r)" i] a r u 4- [ (i -f r) _ (1 -f i) r (l 4-r) e a r t - (,- r X ( 1 -f 0' ) (i f r) a t u 1 ^»"-l ^V 1 "V^y 'J ^»l»«te«!»rta5«î"»wm»*»*»^raw^

20 ^"H^ r r {i r _ ^ r 14 Maïs si les auités sot payables d'avae ou sot sous forme de plaemets, o emploiera les formules suivates, qui sot tout à-fait idetiques pour les deux as. Etat doés. " 3 O u. H Formules. a r t e = a 4- [ (I + r) i] (I + r)t+»-i r t a = e + r 4- (I 4- r)t+-^_ [ (i + r)" i] a r t = I 4- a -f [ (1 -f.r)_ 1] (1 4- r) (1 -f r)" e a r t (,_ = ^ r X (1 4- Ot-l (I 4- r) ) a t ^ ç^ _ I, («^ti, [_(^^y^,,]) _ Il peut se faire que l'o demade pedat ombie d'aées ii, u apital devrait rester à Itérêts omposés, au taux r, pour que le motat qui e résulterait au bout du temps ;/ doât l'itérêt auel a. a première des trois formules qui suivet, doe la solutio de e problème ; la seode fait oaître, et la troisième a, lorsque les autres quatitéssot oues. Formules. a e = a (14-i) e 4- r)" a =- e 4- r 4- ( I 4- r)"

21 a.. wm^^^^^^jyk mmmmmmmmmmm ^,:^-?.?,^/^^,4^^?r1.,-.^?.».?,.- 15 N.B. valeur de r se trouvera par suppositio, au moye de l'ue queloque des trois formules qui préèdet O supposera à r sa valeur probable, et o tâhera d'obteir ui'o des quatitésoues. O fera ue seode suppositio,puis ue troisième,s'il y a besoi, jusqu'àe que l'o tombe exatemet sur!a quatitéherhée. a valeur supposée de r sera ; mais elle réussit ; et elle est eore mois péibled'ailleurs, que le alul de séries (méthode dite de Newto) auquel il faut avoir reours, pour diretemet es sortes de as. i. Si UP débiteur, devat payer les sommes R, C, D, E alors sa valeur réelle. Cette méthode est u peu laborieuse résoudre -]) et., respetivemetaux termes b,, d,, et., voulait s'aquitter du tout e u seul payemet /, B -4- = C + D 4- E et., et demadait au bout de quel temps 11, il doit faire et uique payemet ; il faudrait d'abord aluler la valeur présetede tous les payemets suessifs à faire, par la formule e = m (i-4-r)" ; o e predraitla somme, 'est-à-dire : B t; D -f (l_ _r)b ' (i- _r)e ' (l- -r)a E jp^y '^^^" ^^'^ (Appelos ette somme : S) ; aprèsquoi,l'o trouv- rait le temps ;/ par la formule suivate ; p H (l+r: Si au lieu de faire u payemet/» égal à B + C 4 D + E et., le débiteur voulait faire u payemet/» plusgrad ou plus petitque B 4- C f D -f E, et., mais toujoursplus grad que S, ar autremet le problème serait absurde ; rie à hager à la formule. o 'aurait évidemmet Mais si,au lieu de demader le temps où il doit faire tel payemet détermié, le débiteur demadait au otraire l'uiquesomm3 p à payer, pour s'aquitter du tout, au bout du temps ; alors o emploierait ette formule : p ^--^ (i 4- r)" 4- S.

22 a [(l a jii I mmrmmmmmim* ^mmmmmmmusilbm u; IV. Ue rete auelle a doit être payée pedat u ombre d'aées «; et l'o veut s'e aquitter par u uique payemet. Si le payemet est égalau produit de par a ; o trouvera le emps f, après lequel devra se faire e payemet, par la formule : _ I. ^ -t Ḻr -{-(l - -r)'-' (l + r) [ (1 -f r)" 1] Si le payemet/ est plusgrad ou plus petitque a (maistoujoursplusgrad que la valeur présetede a, ar autremet le problême serait eore absurde) ; o trouvera / par la formule : TT " ~~ ^^' ^ p + r + (l + 0" - - (1 + r) [ (I + r)» - 1] Si au lieu de demader t e doat / ; le débiteur demadait p e doat /, alors o emploierait ette formule : III. p=:(i4-r)t4-a+[(i4-r)" I] (i+r)" r es formules qui préèdet sot relatives à ue auité payable ^7i l'a ; si l'auité était payable d'avae ou sous forme de plaemet,o se servirait des trois formules suivates, parfaitemet idetiques pour les deux as. I. II. III. t p=( 4- r -f (l -\-r)-l (l 4-r) p + r -f-(l -f r)"-l (1 + r) + r)» 1],[(l- -r)_r I +r)*-t-a+[( i +r)"- 1 ]-r-( i +r)"-' V. Soit, u apitaletre les mais d'u débiteur ; le débiteur paye auellemet ue somme a, plusgrade ou pluspetiteque r (l'itérêt auel de ) ; par là,il dimiue ou il augmete sa dette ; et après?i d'aées il se trouve redevable du motat m. es formules suivates fot oaître respetivemet ;«,, a,, lorsque les quatre autres de es iq hoses m, ; a,, r, sot doées.

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24 O a(l-f-r)] N N à 18 III. Si les auités sot sous forme de plaemets. Formules. m = X (I + r)- ^^Mi±li!^l±ll] =(im-+ax[(i +r)"+i-{i -hr)])-r-( 1 4-r) a=[x (I +r)"-m]+r-[(i +r)"i-i-( i +r)j [mr fer R(l- -r)] = (1 + r) N.B. trouvera r, das les trois as, par suppositio, omme i-dessus, Si la somme a, au lieu d'être payée auellemet par le débiteur, était au otraire,prêtéeau même débiteur par le réaier ; alors,o 'aurait,das les formules préédetes,qu'àhager le sieede a. O mettrait -4-à la plae de dette augmeterait alors rapidemet., VI. et la plae de -f-.a Trouver u apitalqui s'est moté à AT das u temps N, et à m, das u temps ;/. Formule : e = Nui M N Trouver le motat AI, d'u apitalc, das u temps A^,lorsqu'osait qu'u autre apitalr, a doé u motat av, das u temps. Formule : M = Nm -\- C Trouver le motat AI d'u apitalc, das u temps N, lorsqu'o sait qu le même apital a doé u motat ;//, das u temps u. Formule : M Nm -j-»i*v,-iïs«sii^-,'*i'i!«jias^.

25 a m^ mmmmmm^ 10 Trouver au bout de quel temps N, u apitalc deviedra J/, lorsqu'o sait qu'u autre apital est deveu ;;/, au bout d'u temps 7i. Formule : N = -^ ^ m e Trouver au bout de quel temps A^, u apitalc deviedra M, lorsqu'o sait que le même apitalest deveu vi, au bout d'u temps ;/. Fotmule : N = M m e VII. Soit u apital ou u bie fods, dot le reveu auel est a, au taux r. O trouve respetivemet, a, r, par les trois formules : e = a r a = e 4- r r = a e Trouver le ombre d'aées au bout desquellesla somme des itérêts simples deviet égale à. Formule : = e ; ou plus simplemet, 1 -= - r O trouvera a et par les formules : a = e et e = a + VIII. Détermier e que deviet r, lorsqueles versemets se fot plusieurs fois das l'aée, par exemple tous les mois, ou toutes les semaies, ou tous les jours,et. Ordiairemet o se otete de diviser r par le ombre de payemets à faire das ue aée ; mais ette méthode est très fausse, puisque le réaier au bout d'ue aée se trouve avoir reçu e outre de r les itérêts des itérêts divers qui lui ot été payés. O obtiedra la véritable valeur de r pour ue por-

26 O _ fi\ ;/',produirait ou le 20 tîo queloque de l'a, ue valeur telle que i le r-mir, i le débiteur e souffrira,, par la formule : (i 4-r') Nous appelos / la valeur de r pour ue portio queloque de l'aée, et u' le ombre de payemets par a. " Etat does / et ;-, o oaîtra ;/' par la formule : (l+r) 1(1 +:" ') : (i 4-r) = (i +rr Si u débiteur, devat IX. payer ue auité, pedat u temps ;/, voulait, après avoir payé ette auité pedat u temps ;/, moidre que ;/, se libérer de toute sa dette, par u uique payemet, o trouverait failemet la somme à payer, e herhat par la 5e du 1er ou du 2e tableau des auités, selo le as, la valeur présete de la dite auité pour le tomps ;/ ou, e d'autres termes, le apitalqui, pedat le temps 71 que l'auité. le même motat Si le débiteur au lieu de se libérer omplètemet, doait ue somme supérieure a l'auité,mais eore au-dessous du reste de la dette, alors il faudrait le réaier aordât au débiteur ue dimiutio aées restat le môme, ou sur l'auité à payer, que ombre des sur le ombre des Etat doés ;/' et r\ o oaîtra ;' par la formule formule proportioelle, payemets à faire, la valeur de l'auité restat la même. trouverait, omme i-dessus, la valeur présete de l'auité eore due, o e retraherait la somme payée, et le reste se résoudrait failemet par les formules propres. Si u débiteur devat payer ue auité pedat u temps ;/, la payait fidèlemet pedat u temps

27 21 \ moidre que ;/, et disotiuait esuite de la payer pedat u temps ;/', l'état de sa dette, au bout du temps «" serait le motat de l'auité pour le temps ompris etre «' et ii\ e supposat ;/' -f «" = ;/. Si les deux temps ic et «" étaiet iférieurs à ;/, o y ajouterait la valeur présete des auités o eore éhues ; mais si es deux temps étaiet supérieurs à //, il faudrait y ajouter les itérêts omposés pour le ombre d'aées, au-delà du temps. e débiteur pourrait alors s'aquitter e payat immédiatemet toute la somme due, ou e augmetat l'auité à payer jusqu'à l'expiratio du temps w, ou e payat pedat u temps plus ou mois log, soit la même auité, soit ue auité queloque plus forte, X. Das les aluls relatifs aux assuraes sur la vie, o a souvet besoi de oaître le ombre probable d'aées qu'ue persoe a eore à vivre, ou la probabilité qu'il y a pour elle d'atteidre tel âge. O se servira, pour ela, de la tabk suivate, dite table de mortalité, où l'o voit, d'aée e aée, le ombre des survivats sur 1286 aissaes, jusqu'à l'âge de 95 as. Etat doé u âge queloque, o predra la moitié du ombre de? survivats qui orrespod à et âge, o regardera esuite vis-à-vis quel âge se trouve ette moitié : la différee etre les deux âges sera le ombre d'aées probable qu'il reste eore à vivre. a probabilité qu'il y a pour ue persoe de tel âge d'atteidre tel autre âge, se trouve e divisat l'u par l'autre, les ombres de survivats, orrespodats à es deux âges.