Fonctions usuelles. Rappels de BCPST 1

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1 Lycée Pothier Orléans Fonctions usuelles Rappels de BCPST BCPST I. Généralités sur les fonctions Dans ce qui suit, f désigne une fonction définie sur une partie D de l ensemble R des réels et à valeurs dans R. Dans le plan muni d un repère orthonormal (O, i, j ) l ensemble des points de coordonnées (x, f (x)) pour x variant dans D est appelé la courbe représentative de f et sera noté C f. I.. Parité, périodicité Définition [ Parité, imparité ] On suppose que l ensemble de définition D de f est tel que : x D, x D. La fonction f est dite paire si : x D, f ( x) = f (x). La fonction f est dite impaire si : x D, f ( x) = f (x). Remarque La courbe représentative d une fonction paire est symétrique par rapport à l axe des ordonnées ; celle d une fonction impaire est symétrique par rapport à l origine du repère. Ainsi, pour obtenir la courbe représentative d une fonction paire (resp. impaire), on trace f sur D R + et on complète par symétrie par rapport à l axe des ordonnées (resp. par rapport à l origine). Définition [ Périodicité ] Soit T R +. On suppose que l ensemble de définition D de f est tel que : x D, x + T D. La fonction f est dite périodique de période T si : x D, f (x + T) = f (x). Remarque Pour obtenir la courbe représentative d une fonction périodique de période T, on trace par exemple f sur D [0,T ] et on complète par translations de vecteur kt i, k Z. I.. Fonctions majorées, minorées, borneés Définition [ Fonction majorée, minorée, bornée ] La fonction f est dite majorée si : M R, x D, f (x) M. La fonction f est dite minorée si : m R, x D, f (x) m. La fonction f est dite bornée si elle minorée et majorée; ou, de façon équivalente, si : C R, x D, f (x) C.

2 I.. Monotonie L étude de la monotonie d une fonction permet de comprendre comment celle-ci varie. Définition [ Monotonie d une fonction ] La fonction f est croissante (resp. strictement croissante) si : (x, y) D, x y = f (x) f (y) (resp. (x, y) D, x < y = f (x) < f (y)). La fonction f est décroissante (resp. strictement décroissante) si : (x, y) D, x y = f (x) f (y) (resp. (x, y) D, x < y = f (x) > f (y)). La fonction f est constante si : k R, x D, f (x) = k. Une fonction est alors dite monotone (resp. strictement monotone) sur D si elle croissante sur D ou décroissante sur D (resp. strictement croissante sur D ou strictement décroissante sur D). Remarque Pour étudier la monotonie d une fonction dérivable, on tente de dériver la fonction et d étudier le signe de sa dérivée. Si ce n est pas possible, il faut parfois revenir à la définition de la monotonie. II. II.. Fonctions usuelles Fonction racine carrée Proposition [ Racine carrée ] La restriction de la fonction carré x x à R + est une bijection strictement croissante de R + sur R +. Sa fonction réciproque est appelée fonction racine carrée et est notée x x. La fonction racine carrée est une bijection strictement croissante de R + sur R +, dérivable sur R + de dérivée x x. Proposition [ Propriétés de la racine carrée ] Soient x et y deux réels positifs. () ( x) = x () x y = x y () Si y 0, x y = x y Proposition [ Attention! ] Soit x R. x = x Les fonctions carré et racine carrée étant réciproques l une de l autre, leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x.

3 x y = x x 0 5 II.. Fonctions puissances d exposant entier On étudie ici les fonctions x x n pour n Z. Dans le cas n = 0, la fonction est constante égale à et l étude est triviale. Nous allons discerner les cas où n > 0 et n < 0 (pour n < 0, la fonction puissance a un problème de définition en 0). Proposition [ Fonction puissance d exposant entier strictement positif ] Soit n N. La fonction f : x x n est définie et dérivable sur R de dérivée f : x nx n. Si n est pair, la fonction f est paire, strictement décroissante sur R et strictement croissante sur R +. Si n est impair, la fonction f est impaire et constitue une bijection strictement croissante de R sur lui-même. Les représentations graphiques associées pour les cas n =, n = et n =, n = 5 sont les suivantes. Dans le cas pair, la courbe représentative est une parabole. x x x 5 x

4 On rappelle que pour n > 0 et x R, on pose x n = x n. Proposition 5 [ Fonction puissance d exposant entier strictement négatif ] Soit n N. La fonction f : x x n = x n est définie et dérivable sur R de dérivée f : x nx n = n x n+ Si n est pair, la fonction f est paire, strictement croissante sur R et strictement décroissante sur R +. Si n est impair, la fonction f est impaire, strictement décroissante sur R et strictement décroissante sur R +. Les représentations graphiques associées pour les cas n = et n = sont les suivantes. Dans le cas impair, la courbe représentative est une hyperbole. x x II.. Exponentielle et logarithme népérien Définition 5 [ Logarithme népérien ] La fonction logarithme népérien, notée ln, est l unique primitive sur R + de la fonction inverse x s annulant en. x x Autrement dit : x R +, ln(x) = dt t

5 Proposition 6 [ Propriétés du logarithme népérien ] La fonction ln est définie et dérivable sur R + de dérivée ln : x x. Le logarithme népérien est une bijection strictement croissante de R + sur R. Proposition 7 [ Propriétés algébriques du logarithme népérien ] Soient x et y deux réels strictement positifs et n Z. ( ) () ln(x y) = ln(x) + ln(y) () ln = ln(x) ( x ) x () ln(x n ) = n ln(x) () ln = ln(x) ln(y) y Définition 6 [ Fonction exponentielle ] Le logarithme népérien réalisant une bijection de R + sur R, on appelle fonction exponentielle, notée exp, sa fonction réciproque. Remarque Pour simplifier la notation, on introduit le nombre réel e = exp() et on notera, pour tout réel x, exp(x) = e x. Cette notation est justifiée par le point () de la proposition 0. Proposition 8 [ Lien entre exponentielle et logarithme népérien ] Soient x R et y R +. () ln(e x ) = x () e ln(y) = y Proposition 9 [ Propriétés de l exponentielle ] La fonction exponentielle est définie et dérivable sur R de dérivée exp : x exp x. La fonction exponentielle est une bijection strictement croissante de R sur R +. Remarque Une exponentielle est toujours strictement positive : pour tout réel x, e x > 0. Proposition 0 [ Propriétés algébriques de l exponentielle ] Soient x et y deux réels. () e x+y = e x e y () e x = e x () e x y = ex e y () (e x ) y = e x y 5

6 Les fonctions logarithme népérien et exponentielle étant réciproques l une de l autre, leurs courbes représentatives sont symétriques par rapport à la droite d équation y = x. 5 e x y = x ln(x) 5 Pour le moment, nous connaissons les fonctions puissance x x n où n est un entier : si n 0, x n = x... x n fois et (si x 0) x n = /x n. Il est naturel de vouloir étendre cette définition au cas où n est un réel. Cela est possible si x > 0 à l aide des fonctions exponentielle et logarithme népérien. En effet, les résultats précédents suggèrent de poser, si x > 0 et b R, x b = e b ln(x) Remarque Cette définition est cohérente avec la mise à la puissance n où n est entier. De plus, si x R +, x = x / II.. Fonctions exponentielles Définition 7 [ Fonction exponentielle de base a ] Soit a R +. La fonction exponentielle de base a est la fonction x a x = e x ln(a) définie sur R. Proposition [ Propriétés de l exponentielle de base a ] Soit a R + \{} et f : x ax. La fonction f est définie et dérivable sur R de dérivée f : x ln(a)a x. La fonction f est une bijection de R sur R + strictement croissante si a > et strictement décroissante si 0 < a <. Remarque Si a = e,78, on retrouve que la fonction exponentielle f : x e x est une bijection strictement croissante de R sur R + de dérivée f : x e x (puisque ln(e) = ). Les représentations graphiques associées dans les cas a = /, a = et a = sont les suivantes : 6

7 0,5 x x 5 x 5 5 II. 5. Fonction logarithme décimal Définition 8 [ Logarithme décimal ] La fonction logarithme décimal, notée log, est définie sur R + par la formule log(x) = ln(x) ln(0) Proposition [ Propriétés du logarithme décimal ] La fonction logarithme décimal est définie et dérivable sur R + de dérivée log : x x ln(0). La fonction logarithme décimal est une bijection strictement croissante de R + sur R. Remarque La fonction logarithme décimal ne différant de la fonction logarithme népérien que d un facteur / ln(0), elle hérite des mêmes propriétés vis-à-vis du produit et du quotient que le logarithme népérien (Proposition 7). Proposition [ Lien entre exponentielle de base 0 et logarithme décimal ] La fonction logarithme décimal est la fonction réciproque de la fonction exponentielle x 0 x de base 0 : soient x R et y R +, () log(0 x ) = x () 0 log(y) = y 7

8 II. 6. Fonctions puissances Définition 9 [ Fonction puissance d exposant réel ] Pour α R\Z, la fonction puissance d exposant α est la fonction x x α = e αln(x) définie sur R +. Proposition [ Propriétés de la fonction puissance d exposant réel ] Soit α R\Z et f : x x α. La fonction f est définie et dérivable sur R + de dérivée f : x αx α. La fonction f est une bijection de R + sur R + strictement croissante si α > 0 et strictement décroissante si α < 0. Les propriétés de calcul des fonctions puissances d exposant entier s étendent aux exposants réels. Proposition 5 [ Propriétés algébriques de la fonction puissance d exposant réel ] Soient x et y deux réels strictement positifs et α et β deux réels. () ln(x α ) = αln(x) () x α x β = x α+β () (x α ) β = x αβ () (x y) α = x α y α x α ( ) x α (5) x β = xα β (6) = xα y y α Les représentations graphiques associées dans les cas a = 0,5, a =,8, a =, a = 0,6 et a = 0 sont les suivantes : 5 x 0,5 x,8 x x 0,6 x

9 II. 7. Fonction valeur absolue Définition 0 [ Valeur absolue ] La fonction valeur absolue, notée, est la fonction définie pour tout x réel par { x si x 0 x = x si x < 0 Proposition 6 [ Propriétés de la valeur absolue ] La fonction valeur absolue est définie sur R et dérivable sur R de dérivée égale à sur R et sur R +. La fonction valeur absolue est paire, strictement décroissante sur R et strictement croissante sur R +. La représentation graphique de la fonction valeur absolue est la suivante. x II. 8. Fonction partie entière Définition [ Partie entière ] Soit x un réel. La partie entière de x, notée x, est l unique entier n vérifiant n x < n + Proposition 7 [ Propriétés de la partie entière ] La fonction partie entière est définie sur R et continue et dérivable sur R\Z de dérivée nulle. La fonction partie entière est croissante. 9

10 La représentation graphique de la fonction partie entière est la suivante. II. 9. Fonctions circulaires Proposition 8 [ Fonctions cosinus, sinus et tangente ] La fonction cosinus, notée cos, est définie sur R, paire, π-périodique et dérivable sur R avec cos = sin. La fonction sinus, notée sin, est définie sur R, impaire, π-périodique et dérivable sur R avec sin = cos. La fonction tangente, notée tan, est définie sur D = ] π k Z + kπ, π [ + kπ, impaire, π- périodique et dérivable sur D avec tan = + tan = cos Les fonctions cosinus et sinus sont «déphasées» de π/. cos x π π π π π π sin x La représentation de la fonction tangente est la suivante. 0

11 tan x π π π π π π Il arrive fréquemment de connaître cos(x), sin(x) ou tan(x) et de vouloir en déduire le réel x (en fait, les réels x, du fait de la périodicité des fonctions circulaires). Pour ce faire, on souhaite inverser les fonctions cosinus, sinus et tangente ; on définit donc les fonctions circulaires réciproques Arccos, Arcsin et Arctan. II. 0. Fonctions circulaires réciproques Définition [ Fonctions Arccos, Arcsin et Arctan ] La restriction de la fonction cosinus à [0,π] est une bijection strictement décroissante de [0,π] sur [,]. On note alors Arccos la fonction réciproque de cette restriction, qui est une bijection strictement décroissante de [,] sur [0,π]. [ La restriction de la fonction sinus à π, π ] est une bijection strictement croissante de [ π, π ] sur [,]. On note alors Arcsin la fonction réciproque [ de cette restriction, qui est une bijection strictement croissante de [, ] sur π, π ]. ] La restriction de la fonction tangente à π, π [ est une bijection strictement croissante ] de π, π [ sur R. On note alors Arctan la fonction réciproque de cette restriction, qui est une bijection strictement croissante de R sur ] π, π [. En termes de résolution d équations, les fonctions circulaires réciproques se caractérisent de la façon suivante.

12 Proposition 9 [ Résolution de cos(x) = a, sin(x) = a et tan(x) = a ] Soit a [,] et b R. Arccos(a) est l unique solution de l équation cos(x) = a dans l intervalle [ 0, π]. [ Arcsin(a) est l unique solution de l équation sin(x) = a dans l intervalle π, π ]. ] Arctan(b) est l unique solution de l équation tan(x) = b dans l intervalle π, π [. Remarque Les équations cos(x) = a, sin(x) = a et tan(x) = b ont par contre une infinité de solutions sur R. Bien sûr, si a < ou a >, les équations cos(x) = a et sin(x) = a n ont aucune solution réelle.