Corrigé du devoir n 4

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1 Corrigé du devoir n 4 Il est très fortement conseillé de lire l'ensemble de l'énoncé avant de commencer. Le sujet est divisé en trois parties indépendantes et porte sur l'étude d'un variateur de vitesse pour une machine à courant continu. Le variateur est constitué : d'un redresseur alimenté sous tension sinusoïdale de valeur efficace égale à 120 V d'un condensateur de filtrage d'un hacheur série Le schéma de l'ensemble, alimentant l'induit d'une machine à courant continu en série avec une bobine de lissage, est représenté ci dessous. Partie 1 : étude du hacheur (6,5 points) Le schéma ci dessous à droite représente le hacheur série. Pour simplifier l'étude, on suppose que sa tension d'entrée est issue d'une source de tension imposant une tension U et que la charge placée en sortie est constituée d'une source de tension E en série avec une inductance L (cette association représente l'induit de la machine à courant continu en série avec l'inductance de lissage). Le transistor bipolaire et sa commande sont représentés par l'interrupteur unidirectionnel commandé à l'ouverture et à la fermeture K. Cet interrupteur est commandé : à la fermeture entre 0 et at à l'ouverture entre at et T. La fréquence de fonctionnement du hacheur est égale à 1 khz et a est appelé «rapport cyclique». 1. Étude de la tension de sortie a. Représenter la tension de sortie en fonction du temps pour un rapport cyclique égal à 0,6. Entre 0 et at (donc entre 0 et 0,6 T), l'interrupteur K est passant (interrupteur fermé) et la diode D est bloquée (interrupteur ouvert), la tension de sortie est égale à U. Entre at et T (donc entre 0,6 T et T), l'interrupteur K est bloqué (interrupteur ouvert) et la diode D est passante (interrupteur fermé), la tension de sortie est égale à 0. Corrigé du devoir n 4 Page 1/6 TS1 ET

2 b. Établir l'expression de sa valeur moyenne en fonction de U et du rapport cyclique. La valeur moyenne est donnée par U moy = 1 U. αt =α U T c. Montrer que E = au (cette relation pourra être utilisée par la suite). Le courant i 3 (t) étant périodique, la valeur moyenne de la tension aux bornes de l'inductance est nulle, on a donc U moy =E et comme U moy =αu alors E=αU 2. Étude de l'intensité Le graphe de la page suivante représente l'évolution de l'intensité i 3 (t) en fonction du temps. Les valeurs minimale et maximale de cette intensité sont notées respectivement I min et I max. a. Sur les axes placés sous le graphe, indiquer par un trait plus épais les intervalles de conduction de l'interrupteur K et de la diode D. L'interrupteur K est passant lorsque le courant est croissant et la diode D est passante lorsque le courant est décroissant. i 3 (t) b. Représenter le schéma équivalent du hacheur entre 0 et at en remplaçant K et D par un circuit fermé ou un circuit ouvert. c. À partir de la loi des mailles et de la loi d'ohm pour une inductance, établir la relation entre U, E, L et la dérivée de i 3 (t). D'après la loi des mailles appliquée au circuit précédent U=E +L d i 3(t) dt Ce qui donne di 3 (t) = U E dt L K D La relation précédente permet d'établir qu'entre 0 et at : i 3 (t)= U E L t+b avec B une constante. d. Déterminer l'expression de la constante B sachant que le courant à l'instant t = 0 est égal à I min. La relation i 3 (0)=I min permet d'écrire I min = U E L 0+B soit B=I min e. À quel instant le courant atteint il sa valeur maximale? Utiliser ce résultat pour déterminer l'expression littérale de l'ondulation Δ I 3 =I max I min en fonction de U, L, f et a. Le courant atteint sa valeur maximale à l'instant at, on a donc donne I max I min = U E L αt. D'après la question 1.c, E=α U donc Δ I 3 =I max I min = U αu L i 3 (αt )= U E L α T +I min =I max ce qui α T et comme f = 1 T on Corrigé du devoir n 4 Page 2/6 TS1 ET

3 obtient Δ I 3 = U (1 α)α L f La valeur maximale de l'ondulation est donnée par la relation Δ I 3max = U 4 L f f. Pour quelle valeur de a obtient on l'ondulation maximale? L'ondulation est maximale lorsque le rapport cyclique est égal à 0,5. g. Calculer L pour que l'ondulation maximale soit égale à 0,7 A si U = 170 V. Puisque Δ I 3max = U U alors L= 4 L f 4 Δ I 3max f = , =60, H Partie 2 : étude de l'inductance L (4 points) L'inductance L est constituée d'un bobinage de 100 spires placé sur la colonne centrale du circuit magnétique représenté ci dessous à droite. Le matériau des entrefers a une perméabilité magnétique égale à μ 0 =4 π 10 7 SI (perméabilité magnétique du vide ou de l'air) ; le matériau ferromagnétique doux du noyau et des culasses a une perméabilité magnétique relative égale à cm 10 7 cm cm 1. Justifier brièvement l'utilisation de matériau ferromagnétique doux pour les tôles du circuit magnétique. L'objectif est de minimiser les pertes par hystérésis. La réluctance d'une portion de circuit de perméabilité magnétique µ, de longueur l et de section S est donnée 2 cm 2 cm 2 cm 5 cm 0,5 cm 10cm 0,5 cm entrefer 0,1 cm par la relation R = 1 μ l S. 2. Calculer la réluctance de la partie supérieure de la colonne centrale du circuit magnétique. La longueur de la colonne centrale est égale à 6 cm, sa section est égale à 5 10=50 cm 2 et sa perméabilité magnétique est égale à π.10 7 SI Après calcul des différentes réluctances des colonnes latérales et de la colonne centrale, on obtient le circuit électrique analogue ci contre. Les réluctances dépendent de la longueur e des entrefers, elles sont données par les relations : R cen =2,2+1, e et R lat =12,7+4, e avec les réluctances en kh 1 et e en mm. 3. Déterminer la réluctance équivalente aux deux colonnes en fonction de e d'où R = π =1910 H 1 Les deux réluctances latérales sont en parallèle donc R eqlat = R lat 2 = 12,7+4,0.105 e 2 Corrigé du devoir n 4 Page 3/6 TS1 ET

4 4. Déduire de ce qui précède la réluctance équivalente R eq de l'ensemble du circuit magnétique en fonction de e. La réluctance R eqlat est en série avec R cen donc R eq =R eqlat +R cen. En remplaçant les réluctances par leurs expressions : R eq = 12,7 +4,0.105 e +2,2+1, e ce qui 2 donne finalement R eq =8,55+3, e 5. L'inductance L de la bobine est reliée à la réluctance par L= N 2 R eq bobine. Déterminer l'épaisseur des entrefers pour obtenir L = 60 mh. D'après ce qui précède, on peut écrire L= 8,55+3, e des entrefers : L(8,55+3, e)=n 2 puis 8,55+3, e= N 2 En remplaçant par les valeurs numériques N , e= =0,46 mm 3, avec N le nombre de spires de la d'où l'on extrait l'expression de la longueur L et enfin e= N 2 L 8,55 3, Partie 3 : puissances en entrée du redresseur (9,5 points) Les deux graphes ci dessous représentent la tension u 1 (t) (à gauche) et l'intensité i 1 (t) en entrée du redresseur. Un opérateur a relevé les spectres en amplitude du courant i 1 (t) et de la tension u 3 (t) mais a oublié de les repérer. Ils sont en page Donner deux raisons permettant d'affirmer que le spectre du bas correspond à i 1 (t). La valeur moyenne de i 1 (t) est nulle ce que confirme l'absence de raie pour la fréquence nulle du relevé du bas. D'autre part, la période de i 1 (t) est égale à 20 ms ce qui donne une fréquence de 50 Hz pour le signal et son fondamental. 2. Puissance active en entrée du redresseur La puissance active pour un dipôle est donnée par la relation P=U 0 I 0 + n=1 n= U n I n cos ϕ n avec U 0 et I 0 les composantes continues de la tension et de l'intensité aux bornes de ce dipôle, U n et I n les valeurs efficaces des harmoniques de rang n de la tension et de l'intensité et j n le déphasage entre les harmoniques de rang n Corrigé du devoir n 4 Page 4/6 TS1 ET

5 de la tension et de l'intensité. a. Combien valent les valeurs moyennes de la tension et de l'intensité en entrée du redresseur (il s'agit de u 1 (t) et i 1 (t))? Ces deux valeurs moyennes sont nulles. b. Pour la tension, combien valent les valeurs efficaces des harmoniques autres que le fondamental? La tension étant sinusoïdale, tous les harmoniques autres que le fondamental sont nuls. c. Déduire de ce qui précède la relation simplifiée donnant la puissance active en entrée du redresseur. D'après ce qui précède, la relation P=U 0 I 0 + n=1 n= U n I n cos ϕ n devient P=U I 1 cos ϕ 1 d. Déterminer graphiquement les valeurs efficaces des fondamentaux de la tension et de l'intensité. La valeur efficace du fondamental de la tension est égale à la valeur maximale de la tension (lue sur le 170 graphique ci dessus) divisée par racine carrée de deux (la tension est sinusoïdale) soit 2 =120 V La valeur efficace du fondamental de l'intensité est obtenue à partir de la valeur maximale lue sur le spectre en amplitude soit I max =10 A ce qui donne I= 10 2 =7,1 A e. Le déphasage entre le fondamental de l'intensité et la tension est égal à 10 (valeur constante pour la suite). Calculer la puissance active en entrée du redresseur. On utilise la relation P=U I 1 cos ϕ 1 déterminée précédemment : 3. Puissance réactive en entrée du redresseur La puissance réactive pour un dipôle est donnée par la relation Q= n=1 définis comme à la question 2. a. Simplifier cette relation puis calculer la puissance réactive. P=120 7,1 cos( 10)=839 W n= 1 n U n I n sin ϕ n avec U n, I n et j n Pour les mêmes raisons que pour la puissance active, la relation se simplifie en Q=U I 1 sin ϕ 1 : b. Que signifie le signe négatif trouvé à la réponse précédente? Le signe négatif signifie que le redresseur fournit du réactif au réseau. Q=120 7,1 sin( 10)= 148 var 4. Facteur de puissance La valeur efficace d'un courant périodique dont la composante continue est notée I 0 et la valeur efficace de l'harmonique de rang n est notée I n est donnée par I eff = I 2 0+ n =1 n = I n 2 a. Déterminer les valeurs efficaces des trois premiers harmoniques de l'intensité i 1 (t). La valeur efficace du fondamental est égale à 7,1 A. Les valeurs maximales des harmoniques de rangs 3 et 5 sont lues sur le spectre : I 3max =6,8 A et I 5max =2,7 A ce qui donne I 3 =4,8 A et I 5 =1,9 A pour les valeurs efficaces. Corrigé du devoir n 4 Page 5/6 TS1 ET

6 b. Calculer une valeur approchée de l'intensité efficace du courant en entrée du redresseur. D'après la relation donnée dans l'énoncé c. Calculer la puissance apparente en entrée du redresseur. S=U eff I eff =120 8,8 Soit I eff = I 1 2 +I 3 2 +I 3 2 = 7,1 2 +4,8 2 +1,9 2 =8,8 A Spectres de la tension u 3 (t) et de l'intensité i 1 (t) S=1060 VA d. La puissance active étant égale à 840 W, calculer le facteur de puissance. Le facteur de puissance est donné par k= P S = =0,792 e. Calculer la puissance déformante en entrée du redresseur. La puissance déformante D est reliée à P, Q et S par D= S 2 P 2 Q 2 soit D= ( 148) 2 D=630 vad f. Proposer une solution pour améliorer le facteur de puissance. Il faut diminuer la puissance déformante en utilisant un (ou des) filtre(s) passif(s) sur le rang 3 (et le rang 5) ou utiliser un filtre actif. Corrigé du devoir n 4 Page 6/6 TS1 ET

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