Lycée du Parc PCSI Devoir surveillé 3 corrigé. + e it (t) = 2i e 2it + 6 4e 2it + e 4it) ( e 2it e 2it)

Transcription

1 Lycée du Parc PCSI Devoir surveillé corrigé Eercice 1 1 En uilisan les formules d Euler, on linéarise 4 (cos ( : ( e 4 (cos i e i 4 ( e i + e i ( = i = 1 ( e 4i 6 4e i + 6 4e i + e 4i ( e i + + e i = 1 ( e 6i 6 + e 6i (e 4i + e 4i (e i + e i + 4 On calcule direcemen : = 1 5 cos(6 1 4 cos(4 1 5 cos( ( ( ( + 16 es une primiive de 4 (cos ( Comme on a la somme e le produi de a e b, grâce au relaions coefficiens-racines, on a a e b racines de z iz =, on calcule le discriminan = 8 = On en dédui que a,b + i, } + i On les race dans un repère e on obien + i + i On conclu donc a = + i e b = + i On facorise sous forme ampliude e déphasage cos( ( e on a cos( ( = ( cos( ( = cos( + π 4 En injecan dans l inégaion, on doi résoudre On race le cercle rigonomérique cos( + π 4

2 Il fau donc que + π 4 soi élémen d un inervalle de la forme [π 11π 6 +kπ, 6 +kπ] avec k Z, soi élémen d un inervalle de la forme [ π 19π 1 + kπ, 1 + kπ] avec k Z Pour k =, on obien l inervalle [ π 1, 19π 1 ] e pour k = 1, [π 1, π 1 ], les aures valeurs de k donnen des inervalles disjoins de [,π] On conlu Eercice S = [, 19π 1 ] [π 1,π] 1 On a C( + is( = = cos(k + a + i (k + a e i(k+a = e ia ( e i k Comme R \ πz, on a e i 1 e donc soi grâce au formules d Euler C( + is( = e ia1 ei( 1 e i, C( + is( = e ia e i n e i e i e i e i = e i(a+ n Par idenificaion de la parie réelle e de la parie imaginaire, on a C( = cos(a + n Applicaions : (a En prenan n = 6, a = π 15 cos π 15 π e = 15, on obien e S( = (a + n π 5π 7π 1π + cos + cos + cos + + cos Comme cos 7π 7π = π = π, on conclu cos π 15 (b En uilisan le formulaire rigonomérique, on a e On conclu : 7π 7 = cos 15 π 5π 7π 1π + cos + cos + cos + + cos = 1 15 π π 15 C( + S( = cos (a + n + (a + n = (cos (a + n + (a + n = S( C( = (a + n cos(a + n = (a + n cos(a + n = an(a + n

3 (c En prenan a =, on obien C( + S( = e S( C( = an(a + n Linéarisons le numéraeur, on obien : cos k = cos n cos k = + 1 = + 1 Par dérivaion, il en résule : On linéarise les ermes du numéraeur : On obien donc k k = (n + 1 cos 1 cos cos n + 1 n + 1 cos = 1 ((n + 1 n = 1 ((n n k k = (n + 1 ((n + 1 n 1 ((n n 4 On conclu donc k (k = (n + 1(n n ((n ( Eercice 1 En posan le changemen de variable Z = z + z + 1 4, on remarque z n-ème de l unié Il eise donc k,n 1 el que es une racine On résou alors l équaion z + z = eikπ n z + z eikπ n = ( On calcule le discriminan e on obien = 4e ikπ n = e i kπ n Les racines son donc z = 1±ei kπ n = 1 ± ei kπ n Quand on "remone" sans difficulé oues les manipulaions, on a une équivalence e on conclu L équaion a n racines ( 1 ± ei kπ n k,n 1 Pour n = 4, on obien

4 z z z 1 z 4 z z 5 z6 z 7 Reformulan les epressions de P n e I n avec (i =, on obien P n = ( n (i k e I n = ( n (i k = 1 k k + 1 i ( n (i k+1 k + 1 On fai donc apparaîre le binôme de Newon : P n + i I n = ( n (i k + k = ( n k Puis comme 1 + i = e i π, on a donc (i k = (1 + i n P n + i I n = n e i nπ Par idenificaion parie réelle e parie imaginaire, on a ( nπ P n = n cos e I n = n ( n (i k+1 k + 1 ( nπ En raçan le cercle rigonomérique, on conclu que P n ne s annule pour aucune valeur de n e I n es nul si e seulemen si n es divisible par π Eercice 4 1 On calcule direcemen On conclu 1 + d = 1 + d = 1 + d = d = 1 4 ( [ 1 ln(1 + ] 1 d = [ ln(1 + ] 1 = 1 ln = 1 ln u = 1 4, u 1 = 1 ln e u = 1 ln En uilisan la linéarié de l inégrale e sa posiivié, on a On conclu que u u n = n (1 (1 + n (1 + d }}

5 On a n +1 = (n +1 n +1 (u n es une suie croissane = n +1 e d = 1 Il en résule u n = nd Pour [,1], on a 1+ e on en dédui donc n On conclu donc 4 Modifions la première inégrale u n 1 1 = 1 + nd 1 u n n + d = 1 n + n + On peu alors effecuer l inégraion par paries alors On conclu donc d n = n nn nd u ( = nn 1 v( = n [ ] n nn nd = n ln(1 + n n 1+ u( = ln(1 + n n v ( = n ln(1 + n d E on a n N, d 1 + n = ln n n ln(1 + n d 5 En uilisan la majoraion "usuelle" ln(1 +, on a ln(1 + n 1 d ln(1 + n d On conclu bien 6 On a calculer précédemmen que En uilisan, la quesion 4, on obien D où lim n ln(1 + n d = u n 1 = u n = 1 ln n + n ( n u n 1 = ln + Grâce à la quesion 5, on conclu donc que 1 + nd ln(1 + n d d = 1 n + n + ln(1 + n d

6 ( lim n u n 1 = ln n Eercice 5 1 Résolvons d abord l équaion homogène ( + y ( + y( = (E h Comme la foncion + ne s annule pas sur R +, on peu direcemen calculer une primiive de 1 + On a 1 + = 1 ( + 1 = La foncion ln ln(+1 es une primiive sur R + de 1 On en dédui que l ensemble + des soluions de (E h es S h = λe (ln ln( + 1 = λ + 1 } ; λ R Appliquons la méhode de la variaion de la consane pour déerminer une soluion pariculière, on pose y( = λ( +1 e on a alors y ( = λ ( +1 λ( 1, soi ( + y ( + y( = ( + 1 λ ( = ln( + 1 Il fau donc déerminer une primiive de ln(+1 (+1 u ( = 1 u( = 1 En effecuan l inégraion par paries (+1 +1 v( = ln( + 1 v ( = 1, on obien 1+ [ ln( + 1 ( + 1 d = ] ln( d + 1 = ln( 1 ( Il en résule que ln( ln(+1 1+ es une primiive de (+1 Sans oublier de remuliplier, on conclu que l ensemble des soluions de l équaion es S = ln( λ + 1 } ; λ R Considérons l équaion différenielle homogène associée y 6y + 5y = L équaion caracérisique 6+5 = a deu racines simples 1 e 5, l ensemble des soluions de l équaion homogène es donc λ1 e + λ e 5 ; λ 1,λ R } Comme ch ( = e +e, on cherche des soluions pariculières pour y 6y + 5y = e (E 1 e y 6y + 5y = e (E

7 Pour (E 1, comme 1 es racine simple de l équaion caracérisique, on cherche une soluion sous la forme γe e on a alors y( = γe y ( 6y ( + 5y( = y ( = (γ + γe y ( = (γ + γe 4γe = e On rouve donc γ = 1 4 e 4 e soluion pariculière de (E 1 Pour (E, comme -1 n es pas racine de l équaion caracérisique, on cherche une soluion sous la forme δe e on a alors y( = δe y ( = δe y ( = δe y ( 6y ( + 5y( = 1δe = e On rouve donc δ = 1 1 e 1 1 e soluion pariculière de (E Par superposiion, on rouve que les soluions de l équaion iniiale sans les condiions iniiales son S = e 4 } 8 e + λ 1 e + λ e 5 ; λ 1,λ R En uilisan la condiion iniiale y( = 1 4, on a Puis en dérivan, on a λ 1 + λ = 1 4 y ( = 1 4 e 1 8 e + 8 e + λ 1 e + 5λ e 5 λ1 D où, y ( = λ + λ = 1 + 5λ = 1 En regroupan, on obien le sysème λ 1 + 5λ = 7 6 On résou e on obien λ 1 = λ = 7 4 e on conclu que la soluion au problème de Cauchy iniial es e 4 8 e + 7 ( 4 e 5 e (a On remarque que f ( = f(π perme de dire que f es dérivable car composée de foncion dérivable e on a f ( = f (π Puis, comme on a R, f ( = f(π Il résule R, f (π = f( D où f ( = f( On conclu que si la foncion f es soluion du problème, alors f + f = (b L équaion différenielle précédene es linéaire homogène d équaion caracérisique +1 =, on rouve direcemen l ensemble des soluions : S = Acos( + B ( ; A,B R}

8 (c Il fau faire la synhèse, si la foncion f es soluion, on a monré que son epression es f( = Acos( + B ( On a alors, en uilisan les relaions du cercle rigonomérique, f ( = A( + B cos( = f(π = Acos(π + B (π Il fau donc que pour ou réel, d où pour ou réel, A( + B cos( = Acos( + B (, (A + Bcos( = (A + B( En spécialisan en = π, on obien A + B = comme condiion nécessaire, soir B = A Réciproquemen, si f( = Acos( A(, on a alors, de nouveau en uilisan les relaions du cercle rigonomérique, f ( = A( Acos( = A(π + Acos(π = f(π On conclu que l ensemble des soluions du problème iniial es ( S iniial = A(cos( (; A R} = λcos + π } ; λ R 4